20. modul integral pak sukani

Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi

D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m

INTEGRAL

12.1. Integral Tak Tentu

a. Integral Fungsi Aljabar

Rumus Dasar Integral tak tentu :

1. C x1 n

a dx ax

1 nn

n -1

2. C ax dx a

3. C x ln dx x dx x

1 -1

Contoh :

1. dx 3) x 2( = 11

2

x

1+1 + 3x + C = x

2 + 3x + C

2. dx 5) x 6(3x2 = 12

3

x

2+1 –

11

6

x

1+1 + 5x + C

= x3 – 3x

2 + 5x + C

3. dxxx )35

2

2

3( 2 = Cxxx 3

2

5

2

3

2

3

23 = Cxxx 35

1

2

1 23

4. dxxx )3

254( 4

1

3

1

= Cxxx 3

2

4

5

5

3

4

44

5

3

4

= Cxxx 3

243 4

5

3

4

5. dxxx )53(4 = dxxx )2012( 2

= 3x3 + 10x

2 + C

6. dxxx )6)(42( = dxxxx )244122( 2 = dxxx )2482( 2

= Cxxx 2443

2 23

7. dxx 2)5( = dxxx )2510( 2

= Cxxx 2553

1 23

8. dxx 2)23( = dxxx )4129( 2

= 3x3 + 6x

2 + 4x + C

9. dxxxx

)352

(32

= dxxxx )352( 321

= Cxxx

21

2

3

1

5ln2 = C

xxx

22

35ln2



10. dxxx )2( 3

= dxxx )2( 3

1

2

1

= Cxx 3

4

2

3

3

4

2

2

3

1 = Cxx 3

4

2

3

3

2

3

2

b. Integral Fungsi Trigonometri

Rumus dasar integral :

1. dxx sin = – cos x + C

2. C ax cos a

1 dx ax sin ; C b) (ax cos

a

1 dx b) (ax sin

3. dxx cos = sin x + C

4. C ax sin a

1 dx ax cos ; C b) (ax sin

a

1 dx b) (ax cos

Contoh :

1. xdx3sin2 = Cx 3cos3

2

2. xdx5cos3 = Cx 5sin5

3

3. dxx)25sin(4 = Cx

)25cos(2

4 = 2cos(5 – 2x) + C

4. dxx )12

1cos(2 = Cx )1

2

1sin(

2

1

2 = Cx )1

2

1sin(4

5. dxxx ))34sin(32cos5( = Cxx )34cos()4

3(2sin

2

5

= Cxx )34cos(4

32sin

2

5

12.2. Integral Tertentu (Integral Batas)

Rumus Dasar :

F(a)F(b)F(x)f(x)dxb

a

b

a

a = batas bawah

b = batas atas

Contoh :

1.

3

1

2 )463( dxxx = 3

1

23 )43( xxx

= (33 – 1

3) + 3(3

2 – 1

2) – 4(3 – 1)

= (27 – 1) + 3(9 – 1) – 4(3 – 1)

= 26 + 24 – 8

= 42



2.

4

0

)3)(42( dxxx =

4

0

2 )12462( dxxxx =

4

0

2 )1222( dxxx

=

4

0

23 )123

2( xxx

= 3

2(4

3 – 0

3) + (4

2 – 0

2) – 12(4 – 0)

= 3

2(64 – 0) + (16 – 0) – 12(4 – 0)

= 423

2 + 16 – 48

= 103

2

3.

2

1

2)32( dxx =

2

1

2 )9124( dxxx

=

2

1

23 )963

4(

xxx

= 3

4(2

3 – (-1)

3) – 6(2

2 – (-1)

2) + 9(2 – (-1))

= 3

4(8 + 1) – 6(4 – 1) + 9(2 + 1)

= 12 – 18 + 27

= 21

4. 4

1

3 dxx = 4

1

2

1

3 dxx

=

4

1

2

3

2

3

3

x =

4

1

2

3

)2( x = 4

1

3 )2( x

= )14(2 33 = )1)2((2 32

= 2(23 – 1) = 2(8 – 1)

= 14

5.

3

1

32)

62( dx

xx =

3

1

32 )62( dxxx

=

3

1

21 )2

6

1

2(

xx =

3

1

2)

62(

xx

= )1

1

3

1(6)

1

1

3

1(2

2

= )19

1(6)1

3

1(2

= )9

8(6)

3

2(2

= 3

16

3

4 =

3

12

= –4



6. 2

0

cos2

xdx = 20

)sin2(

x

= 2(sin 90o – sin 0

o)

= 2(1 – 0)

= 2

7.

2

2sin3 xdx =

2

)2cos2

3( x

= 2

3 (cos 2(180

o) – cos 2(90

o)

= 2

3 (cos 360

o – cos 180

o)

= 2

3 (1 – (-1))

= –3

8. 3

0

)sin43cos2(

dxxx = 3

0

)cos43sin3

2(

xx

= 3

2(sin 3(60

o) – sin 3(0

o)) + 4(cos 3(60

o) – cos 3(0

o))

= 3

2(sin 180

o – sin 0

o) + 4(cos 180

o – cos 0

o)

= 3

2(0 – 0) + 4(–1 – 1)

= –8

12.3. Pemakaian Integral

a. Luas Daerah

1. Daerah diatas sumbu x

Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva

y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :

b

a

dx (x) fL (daerah diatas sumbu x)

2. Daerah dibawah sumbu x

Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva

y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :

b

a

dx (x) fL (daerah dibawah sumbu x)

a b x

y y = f(x)

a b x y

y = f(x)



3. Daerah diatas dan dibawah sumbu x

Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan

dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :

L = b

a

dx (x) f – c

b

dx (x) f

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 3x – 10 dan sumbu x.

Jawab :

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x

x2 – 3x – 10 = 0

(x + 2) (x – 5) = 0

x + 2 = 0 x = -2

x – 5 = 0 x = 5

L =

5

2

2 )103( dxxx =

5

2

23 )102

3

3

1(

xxx

= ))}2(5(10))2(5(2

3))2(5(

3

1{ 2233

= )}25(10)425(2

3)8125(

3

1{

= –(443

1 – 31

2

1 – 70) = 57

6

1 satuan luas

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x dapat juga dihitung dengan :

2

6a

D . D L D = b

2 – 4ac

y = x2 – 3x – 10 a = 1 ; b = -3 ; c = -10

D = (-3)2 – 4 . 1 . (-10) = 9 + 40 = 49

L = 2)1.(6

49.49 =

6

343

L = 576

1 satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 0 dan x = 8

Jawab :

Luas daerah ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L =

4

0

8

4

)4()4( dxxdxx

=

8

4

2

4

0

2 )2

14()

2

14( xxxx

= )}48(2

1)48(4{)}04(

2

1)04(4{ 2222

= (16 – 8) – (16 – 24)

= 8 + 8

b a c x

y

y = f(x)

y

x 5 -2

y = x2 – 3x – 10

0 4 8 x

4

y

y = 4 – x



L = 16 satuan luas

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 2 dan x = 4

Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x

L =

4

2

2 )4( dxxx =

4

2

32 )3

12( xx

= )24(3

1)24(2 3322

= )864(3

1)416(2

= 24 – 183

2

L = 53

1 satuan luas

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 sin 2x, x = 0 dan x =

Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L = 2

0

2

2sin42sin4

xdxxdx

=

2

20

)2cos2()2cos2( xx

= –2(cos 2(90o) – cos 2(0

o)) + 2(cos 2(180

o) – cos 2(90

o)

= –2(cos 180o – cos 0

o) + 2(cos 360

o – cos 180

o)

= –2(-1 – 1) + 2(1 – (-1))

= –2(-2) + 2(2)

= 4 + 4

L = 8 satuan luas

b. Volume Benda Putar

1. Perputaran terhadap sumbu x

y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a

dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan

didapatkan benda yang volumenya :

V = b

a

2dx y π

a b x

2. Perputaran terhadap sumbu y

y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a

dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan

b didapatkan benda yang volumenya :

V = b

a

2dy x π

a x

Contoh :

2 0 4 x

y

y = 4x – x2

x

y

/2 0

y = 4 sin 2x



1. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 0, dan x = 4 yang

diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

V =

4

0

2)12( dxx =

4

0

2 )144( dxxx

=

4

0

23 )23

4( xxx

= {3

4(4

3 – 0

3) + 2(4

2 – 0

2) + (4 – 0)}

= {3

4(64) + 2(16) + 4

= (853

1 + 32 + 4)

V = 1213

1 satuan volum

Atau dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

)..(.3

22 rrRRtV

R = jari-jari lingkaran besar, r = jari-jari lingkaran kecil, dan t = tinggi kerucut

y = 2x + 1 untuk x = 0 r = 1 ; untuk x = 4 R = 9 dan t = 4

V = 3

. t . (R

2 + R . r + r

2)

= 3

. 4 . (9

2 + 9 . 1 + 1

2)

= 3

. 4 . (81 + 9 + 1)

V = 1213

1 satuan volum

2. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x, x = 0, dan x = 3 jika


Jawab :

V =

3

0

2)3( dxx =

3

0

2 )69( dxxx

=

3

0

32 )3

139( xxx

= {9(3 – 0) – 3(32 – 0

2) +

3

1(3

3 – 0

3)}

= {9(3) – 3(9) + 3

1(27)}

= (27 – 27 + 9)

V = 9 satuan volum

3. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan sumbu x jika


Jawab :

Batasnya adalah x = 0 dan x = 2

V =

2

0

22 )2( dxxx =

2

0

432 )44( dxxxx

0 4 x

y

y = 2x + 1

3 0 x

y

y = 3 – x



=

2

0

543 )5

1

3

4( xxx = {

3

4(2

3 – 0

3) – (2

4 – 0

4) +

5

1(2

5 – 0

5)

= {3

4(8 – 0) – (16 – 0) +

5

1(32 – 0)

= (103

2 – 16 + 6

5

2)

V = 15

16 satuan volum

Pembahasan soal-soal :

1. 3 5x

dx = ….

A. C x2

33

2-

C. C x2

33

2

E. C x8

55

8-

B. C x2

55

2

D. C x2

55

2-

UN 03/04

Jawab : A

Penyelesaian :

3 5x

dx =

3

5

x

dx = dx x 3

5-

= C x

13

5

1 13

5-

= C x

3

2

13

2-

= C x2

33

2-

2.

2

0

23 dx 9x) 3x x( = ….

A. 14 B. 9 C. 6 D. –4 E. –8

UN 04/05

Jawab : A

Penyelesaian :

2

0

23 dx 9x) 3x x( =

2

0

234 x2

9 xx

4

1

= 4

1 (2

4 – 0) – (2

3 – 0) +

2

9 (2

2 – 0)

= 4

1 . 16 – 8 +

2

9 . 4

= 4 – 8 + 18

= 14

3. Nilai dari

3

1

2 dx 3) 2x 9x( adalah ....

A. 20 B. 34 C. 74 D. 80 E. 88

UN 07/08

Jawab : E

Penyelesaian :



3

1

2 dx 3) 2x 9x( = 31

23 33 xxx

= 3 (33 - (-1)

3) - (3

2 - (-1)

2) + 3(3 - (-1))

= 3 (27 + 1) - (9 - 1) + 3 (3 + 1)

= 84 - 8 + 12

= 88

4. dx 1) 2x ( 2 = ….

A. x3 + 4x

2 + 1 + C C.

3

4x

3 + 4x

2 + x + C E.

3

4x

3 + 2x

2 + x + C

B. x3 + 2x

2 + x + C D.

3

4x

3 + 2x

2 + 1 + C

UN 07/08

Jawab : E

Penyelesaian :

dx 1) 2x ( 2 = dx 1) 4x 4x( 2

= 3

4x

3 + 2x

2 + x + C

5. 2

0

dx 5x) cos 2 -2x sin 4(

= ….

A. 5

18 B. 2 C.

5

4 D.

5

3 E.

5

2

UN 03/04

Jawab : A

Penyelesaian :

2

0

dx 5x) cos 2 -2x sin 4(

= 2

0

5xsin 5

2 -2x cos 2

= -2 (cos 2 . 90o – cos 0

o) -

5

2 (sin 5 . 90

o – sin 0

o)

= -2 (cos 180o – cos 0

o) -

5

2 (sin 450

o – sin 0

o)

= -2 (-1 – 1) – 5

2 (1 – 0)

= -2 (-2) - 5

2

= 4 – 5

2

= 5

20 –

5

2

= 5

18

6. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 4x – x2 , y = 0, x = 1, x = 3 adalah ….

A. 3

20 satuan luas C.

3

32 satuan luas E.

3

64 satuan luas

B. 3

22 satuan luas D.

3

40 satuan luas

UN 03/04

Jawab : B



Penyelesaian :

L = 3

1

2 dx ) x-4x (

=

3

1

32 x3

12x

= 2 (32 – 1

3) –

3

1 (3

3 – 1

3) = 2 (9 – 1) –

3

1 (27 – 1)

= 2 . 8 – 3

1 . 26

= 16 – 3

26

= 3

48 –

3

26

L = 3

22 satuan luas

7. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2, garis x = 1, garis x = 2, dan sumbu x adalah …

satuan luas.

A. 62

1 B. 4

2

1 C. 5

4

1 D. 3

2

1 E. 2

4

1

UN 04/05

Jawab : D

Penyelesaian :

L =

2

1

dx 2) (x =

2

1

2 2x x2

1

= 2

1 (2

2 – 1

2) + 2 (2 – 1)

= 2

1 . 3 + 2 = 1

2

1 + 2

= 32

1 satuan luas

atau dengan menggunakan rumus luas trapesium.

L = 2

1 . jumlah sisi sejajar . tinggi

L = 2

1 (3 + 4) . (2 – 1)

= 2

1 . 7 . 1

L = 32

1 satuan luas

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 3x dan y – x = 0 adalah … satuan luas.

A. 12 B. 3

34 C.

3

32 D. 10 E.

3

28

UN 05/06

Jawab : C

Penyelesaian :

0 1 2 x

y

2

3

4

y = x + 2



Menentukan titik potong dua kurva

x2 – 3x – x = 0

x2 – 4x = 0

x (x – 4) = 0

x = 0 dan x = 4

L =

4

0

2 dx 3x x x

L =

4

0

2 dx 3x xx

L =

4

0

2 dx x4x

L =

4

0

32 x3

1 2x

L = 2 (42 – 0) –

3

1 (4

3 – 0)

L = 2 . 16 – 3

1 . 64

L = 32 – 3

64

L = 3

96 –

3

64

L = 3

32 satuan luas

Atau dengan cara rumus : 26

.

a

DDL

x2 – 3x = x

x2 – 3x – x = 0

x2 – 4x = 0 a = 1 ; b = -4 ; c = 0

D = b2 – 4ac = (-4)

2 – 4 . 1 . 0 = 16

L = 2)1.(6

16.16 =

6

64

L = 3

32 satuan luas

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 6x, garis x = -5, garis x = -2, dan sumbu x

adalah ... satuan luas.

A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 E. 38

UN 07/08

Jawab : B

Penyelesaian ;

L =

2

5

2 )6( dxxx

=

2

5

23 33

1

xx

= - {3

1 ((-2)

3 - (-5)

3) + 3 ((-2)

2 - (-5)

2}

= - {3

1 (-8 + 125) + 3(4 - 25)

= - {39 - 63}

= - (-24)

-6 -5 -2 0 x

y

y = x2 + 6x

0 3 4 x

y y = x y = x2 – 3x



L = 24 satuan luas

10. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 1 dan x = 2 diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum

A. 213

1 B. 18

3

1 C. 13

3

1 D. 6

3

1 E. 16

3

1

UN 04/05

Jawab : C

Penyelesaian :

V = 2

1

2 dx y =

2

1

2 dx 1) (2x

=

2

1

2 dx 1) 4x (4x

=

2

1

23 x 2x x3

4

= {3

4(2

3 – 1

3) + 2(2

2 – 1

2) + (2 – 1)}

= (3

4 . 7 + 2 . 3 + 1)

= (93

1 + 6 + 1)

V = 163

1 satuan volum

atau dihitung dengan rumus kerucut terpotong.

V = 3

. t (R

2 + R . r + r

2) ; R = 5, r = 3

= 3

. (2 – 1) (5

2 + 5 . 3 + 3

2)

= 3

. 1 . (25 + 15 + 9)

= 3

. 49

V = 163

1 satuan volume

11. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 8, x = 1 dan x = 3 diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.

A. 2443

1 B. 274

3

1 C. 290

3

2 D. 300

3

2 E. 320

3

2

UN 05/06

Jawab : C

Penyelesaian :

V =

3

1

2dx 8 2x

V =

3

1

2 dx 64 32x 4x

V =

3

1

23 64x 16x x3

4

V = {3

4(3

3 – 1

3) + 16 (3

2 – 1

2) + 64 (3 – 1)}

0 1 2 x

5

3

y

y = 2x + 1

0 1 3

8

x

y y = 2x + 8



V = {3

4 (27 – 1) + 16 (9 – 1) + 64 (3 – 1)}

V = {343

2 + 128 + 128}

V = 2903

2 satuan volum

Atau dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

V = . 3

t (R

2 + R . r + r

2)

R = 2 . 3 + 8 = 14 ; r = 2 . 1 + 8 = 10 dan t = 3 – 1 = 2

V = . 3

2 (14

2 + 14 . 10 + 10

2)

V = . 3

2 (196 + 140 + 100)

V = . 3

2 . 436

V = . 3

872

V = 2903

2 satuan volum

12. Volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 4, sumbu x, x = -2, dan x = 0,

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 3

42 B.

3

38 C.

3

32 D.

3

20 E.

3

16

UN 07/08

Jawab : C

Penyelesaian :

V =

0

2

2)42( dxx =

0

2

22 )16164( dxxx

=

0

2

23 1683

4

xxx

= {3

4 (0

3 - (-2)

3) + 8 (0

2 - (-2)

2) + 16 (0 - (-2))}

= {3

4 (0 + 8) + 8 (0 - 4) + 16 (0 + 2)}

= (3

32 - 32 + 32)

= 3

32 satuan volum

Atau dengan rumus volume kerucut.

V = 3

1 . r

2 . t

untuk x = -2 r = 2 (-2) + 4 = 0

untuk x = 0 r = 2 (0) + 4 = 4

tinggi t = 0 - (-2) = 2

V = 3

1 . 4

2 . 2

-2 0 x

y

y = 2x + 4



= 3

1 . 16 . 2

= 3

32 satuan volum

Soal latihan :

1. Nilai dari :

4

1

dx 2) 6x ( = ….

A. 51 B. 49 C. 45 D. 36 E. 20

2.

3

1

2 ....)23( dxx

A. 56 B. 48 C. 42 D. 38 E. 33

3. dx 2x)sin - x cos (2 = ....

A. 2 sin x – 2 cos 2x + C C. 2 sin x + 2

1 cos 2x + C E. 2 sin x – cos 2x + C

B. 2 sin x – 2

1 cos 2x + C D. 2 sin x + cos 2x + C

4.

3

0

2 ....)3( dxx

A. 27 B. 18 C. 9 D. 6 E. 3

5.

2

0

23dx

x

1

x

2= ….

A. 81 B.

41

C. 43 D.

431 E.

49

6.

2

1

2 )423( dxxx = ….

A. 18 B. 19 C. 22 D. 24 E. 26

7. Nilai dari :

3

2

2 dx 6) 5x x( = ….

A. –16

1 B. –

6

1 C.

6

5 D. 1

3

1 E. 1

3

2

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x2, y = 2x, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 213

1 B. 18 C. 10

3

2 D. 9 E. 4

2

1

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 0, dan x = 4 adalah ... satuan luas.

A. 213

1 B. 18 C. 16 D. 10

3

2 E. 5

3

1

10. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 4x, yang dibatasi oleh sumbu x ; x = -2 dan x = 2

adalah … satuan luas.

A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 E. 0

11. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 6x – x2, dibatasi sumbu x, adalah … satuan luas.

A. 3

118 B.

3

114 C.

3

108 D.

6

115 E.

6

112

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 12 B. 9 C. 63

2 D. 5

4

1 E. 4

2

1

13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3, dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 13

1 B. 1

3

2 C. 2

3

1 D. 2

3

2 E. 3

3

1



14. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 27 B. 45 C. 54 D. 63 E. 76

15. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.

A. 1983

1 B. 200

3

2 C. 201 D. 211 E. 231

3

2

16. Volume yang terjadi kurva y = -3x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0 dan x = -3 diputar 360°

dengan sumbu x adalah … satuan volume.

A. 36 B. 48 C. 56 D. 64 E. 81

17. Volume benda putar yang terjadi jika kurva y = x – 1, yang dibatasi oleh sumbu x, x = 1 dan

x = 5, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volume.

A. 3

49 B.

3

51 C.

3

54 D.

3

64 E.

3

68

18. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar

360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 183

2 B. 19

5

3 C. 21 D. 21

3

1 E. 24

19. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar

360o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 33

1 B. 4

3

2 C. 5

3

1 D. 6

3

2 E. 10

3

2

20. Volume yang terjadi jika kurva y = 4 – x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0, x = 4 diputar

terhadap sumbu x sejauh 360° adalah ... satuan volume.

A. 3

61 B.

3

64 C.

3

67 D.

3

73 E.

3

86

20. modul integral pak sukani

Documents