19. modul turunan (diferensial) pak sukani

Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi

D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m

TURUNAN (DIFERENSIAL)

a. Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Dasar Turunan

1. f (x) = axn df (x)/dx atau f' (x) = n . ax

n – 1

2. f (x) = ax f' (x) = a

3. f (x) = a f' (x) = 0

4. f (x) = ln x f'(x) = x

1

5. f (x) = ex f' (x) = e

x

Contoh :

1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 3x

Jawab :

f'(x) = 2 . 2x2 – 1

+ 3

= 4x + 3

2. Turunan dari f(x) = 4x3 – 2x

2 + 6x – 5 adalah :

Jawab :

f' (x) = 3 . 4x3 – 1

– 2 . 2x2 – 1

+ 6

= 12x2 – 4x + 6

3. Turunan dari f(x) = (x – 2) (2x + 6) adalah :

Jawab :

f (x) = 2x2 + 6x – 4x – 12 = 2x

2 + 2x – 12

f' (x) = 4x + 2

4. Turunan dari f(x) = (2x + 3)2 adalah :

Jawab :

f (x) = 4x2 + 12x + 9

f' (x) = 8x + 12

5. Tentukan turunan pertama dari f (x) = 2

23

2

642

x

xxx

Jawab :

Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu

f (x) = 32

2

2

3

2

6

2

4

2

2

x

x

x

x

x

x = x – 2 + 3x

-1

f' (x) = 1 – 0 + (-1) . 3x–1 – 1

f' (x) = 1 – 3x

–2

f' (x) = 1 – 2

3

x

6. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x x – 4 x

Jawab :

f (x) = 2x x – 4 x = 2 2

3

x – 4 2

1

x

f' (x) = 2 . 2

32

1

x – 4 . 2

12

1

x

= 3 2

1

x –

2

1

x

2



f' (x) = 3 x – x

2

Aturan Rantai

1. f(x) = Un f'(x) = n . U

n – 1 . U

'

Contoh :

1. f(x) = (2x – 5)3

f'(x) = 3 (2x – 5)2 . 2

f'(x) = 6 (2x – 5)2

2. f(x) = (3x + 2)5

f'(x) = 5 (3x + 2)4 . 3

f'(x) = 15 (3x + 2)4

3. f(x) = )35( x = (5x – 3)1/2

f'(x) = 5.)35(2

12

1

x

f'(x) = 352

5

x

2. f(x) = VU. f'(x) = U' . V + V' . U

Contoh :

1. f(x) = (3x + 1) . (5x – 3)

f'(x) = 3 (5x – 3) + 5 (3x + 1)

f'(x) = 15x – 9 + 15x + 5

f'(x) = 30x – 9

2. f(x) = (2x2 – 3) . (x

2 + 4)

f'(x) = 4x (x2 + 4) + 2x (2x

2 – 3)

f'(x) = 4x3 + 16x + 4x

2 – 6x

f'(x) = 8x2 + 10x

3. f(x) = V

U f'(x) =

2

'.'.

V

UVVU

Contoh :

1. f(x) = )52(

)34(

x

x

f'(x) = 2)52(

)34(2)52(4

x

xx

f'(x) = 2)52(

68208

x

xx

f'(x) = 2)52(

26

x

2. f(x) = )62(

)53(

x

x



f'(x) = 2)62(

)53(2)62(5

x

xx

f'(x) = 2)62(

563010

x

xx

f'(x) = 2)62(

24

x

Atau dengan cara lain :

f(x) = dcx

bax

f'(x) =

2)(

..

dcx

bcda

Contoh :

1. f(x) = )52(

)34(

x

x

f'(x) = 2)52(

)6(20

x

f'(x) = 2)52(

26

x

2. f(x) = )62(

)53(

x

x

f'(x) = 2)62(

3.2)6).(5(

x =

2)62(

630

x

f'(x) = 2)62(

24

x

b. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

1. f (x) = sin ax → f' (x) = a cos ax

2. f (x) = cos ax → f' (x) = -a sin ax

3. f (x) = sin (ax + b) → f' (x) = a cos (ax + b)

4. f (x) = cos (ax + b) → f' (x) = -a sin (ax + b)

Contoh :

1. Turunan dari f (x) = 2 sin 3x adalah :

Jawab :

f'(x) = 3 . 2 cos 3x = 6 cos 3x

2. Turunan dari f (x) = 4 cos (2x – 5)

Jawab :

f'(x) = -2 . 4 cos (2x – 5) = -8 sin (2x – 5)

3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4sin 2x – 3 cos x

Jawab :

f'(x) = 4 . 2 cos 2x + 3 sin x = 8 cos 2x + 3 sin x



4. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2 sin (4x – 1) + 3 cos (5 – 2x)

Jawab :

f'(x) = 2 . 4 cos (4x – 1) – (-2) sin (5 – 2x)

= 8 cos (4x – 1) + 2 sin (5 – 2x)

5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos (3x + 2) + 5 sin (2x – 7)

Jawab : f'(x) = –3 sin (3x + 2) + 10 cos (2x – 7)

Nilai Turunan

Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f(x) f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu,

kemudian x nya diganti dengan a

Contoh :

1. Tentukan nilai f'(3) dari : f(x) = 3x2 + 6x – 5

Jawab :

f'(x) = 6x + 6 f'(3) = 6(3) + 6 = 18 + 6 = 24

2. Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (3x + 2) (2x – 4)

Jawab :

f(x) = 6x2 – 12x + 4x – 8 = 6x

2 + 8x – 8

f'(x) = 12x – 8 f'(2) = 12(2) – 8 = 24 – 8 = 16

3. Tentukan nilai f'(4) dari : f(x) = (2x – 5)3

Jawab :

f'(x) = 3 (2x – 5)2 . 2

f'(x) = 12 (2x – 5)2

f'(4) = 12 (2(4) – 5)2 = 12 (3)

2 = 12 . 9 = 108

4. Tentukan nilai f'(2) dari : )33(

)65()(

x

xxf

Jawab :

2)33(

)6.(3)3.(5)('

xxf =

2)33(

1815

x =

2)33(

3

x

3

1

9

3

)36(

3

)3)2(3(

3)2('

22

f

5. Tentukan nilai f'(30o) dari f(x) = 3 sin 2x adalah :

Jawab :

f'(x) = 6 cos 2x

f' (30o) = 6 cos 2(30

o) = 6 cos 60

o = 6 .

2

1 = 3

6. Tentukan nilai f'(45o) dari f(x) = 4 cos (3x + 15

o)

Jawab :

f'(x) = –12 sin (3x + 15o)

f'(45o) = –12 sin (3(45

o) + 15

o) = –12 sin (135

o + 15

o)

= –12 . sin 150o = –12 .

2

1 = –6

c. Pemakaian Turunan

1. Fungsi naik, Fungsi turun, dan Stationer

Pada gambar fungsi f (x), titik P terletak pada kurva

dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk x < a, fungsi f (x)

merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk x > a, fungsi f

(x) merupakan fungsi naik. Untuk x = a, fungsi f (x)

dalam kondisi diam(tidak turun dan tidak naik). Kondisi

diam tersebut dinamakan stationer.

f (x) turun f (x) naik

y = f (x)

{a, f (x)}

x

y



a. Fungsi turun, jika turunannya f' (x) < 0

b. Fungsi naik, jika turunannya f' (x) > 0

c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' (x) = 0

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 + 3x

2 – 9x + 6 jika fungsinya naik.

Jawab :

Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f (x) > 0 f' (x) > 0

f (x) = x3 + 3x

2 – 9x + 6 f' (x) = 3x

2 + 6x – 9 < 0

3x2 + 6x – 9 > 0 (dibagi dengan 3)

x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) (x – 1) > 0

x + 3 < 0 x < –3

x – 1 > 0 x > 1

HP : {x x < –3 atau x > 1}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya turun.

Jawab :

Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) < 0 f' (x) < 0

f (x) = x (x – 2)2 = x (x

2 – 4x + 4) = x

3 – 4x

2 + 4x

f' (x) = 3x2 – 8x + 4 < 0

(3x – 2) (x – 2) < 0

3x – 2 > 0 3x < 2 x > 3

2

x – 2 < 0 x < 2

HP : {x 3

2 < x < 2}

3. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3 – 3x

2 – 9x + 8 jika fungsinya diam

(stationer).

Jawab :

Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0 f' (x) = 0

f (x) = x3 – 3x

2 – 9x + 8 f' (x) = 3x

2 – 6x – 9 = 0

3x2 – 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3)

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x – 3 = 0 x = 3

x + 1 = 0 x = –1

HP : {–1, 3}

4. Sebuah bola dilemparkan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h

(t) = 32 – 4t2 (dalam satuan meter). Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter

dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.

Jawab :

h (t) = 32t – 4t2 h' (t) = 32 – 8t

Syarat maksimum jika h' (t) = 0

32 – 8t = 0 8t = 32

t = 4 detik

h (4) = 32 (4) – 4 (4)2 = 128 – 64

= 64 meter.

2. Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x1, y1) adalah ….

y – y1 = m (x – x1) m = gradien garis = f'(x)



Contoh :

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x – 6 di titik (2, –12).

Jawab :

y = x2 – 5x – 6 y' = 2x – 5

m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1

y – y1 = m (x – x1)

y – (-12) = –1(x – 2)

y + 12 = –x + 2

x + y + 12 – 2 = 0

x + y + 10 = 0

2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis

x1 = 2.

Jawab :

y = x2 + 4 y' = 2x

m = 2 (2) = 4

y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8

y = m (x – x1) + y1

y = 4 (x – 2) + 8

y = 4x – 8 + 8

y = 4x

3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan

garis y = 3x – 6.

Jawab :

y = 3x2 y' = 6x m1 = 6x

y = 3x – 6 y' = 3 m2 = 3

Karena garisnya sejajar maka m1 = m2 = 3

6x = 3 x1 = 2

1

y1 = 3 (2

1)2 = 3 (

4

1) =

4

3

y = m (x – x1) + y1

y = 3 (x – 2

1) +

4

3

y = 3x – 2

3 +

4

3

y = 3x – 4

3 atau 4y – 12x + 3 = 0

Pembahasan soal-soal :

1. Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x

4 – 1) adalah ….

A. 12x6 + x

4 – x

3 – 1 C. 7x

6 + 4x

3 – 3x

2 E. 42x

5 + 12x

2 – 6x

B. 12x6 – x

4 + x

3 D. 7x

6 – 4x

3 + 3x

2

UN 03/04

Jawab : C

Penyelesaian :

f (x) = x7 + x

4 – x

3 – 1

f' (x) = 7x6 + 4x

3 – 3x

2

2. Turunan pertama fungsi :

f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = ….

A. 3 x – 3x C. 3 x + 3x E. x

3 + 3



B. 3 x – 3 D. x

3 – 3x

UN 04/05

Jawab : E

Penyelesaian :

f (x) = 6 x + 3x = 6 21

x + 3x

f ' (x) = 3 21

x

+ 3 =

21

x

3 + 3

f ' (x) = x

3 + 3

3. Turunan pertama dari f(x) = 2 x

1 8x

adalah f'(x) = ....

A. 44

152 xx

C. 44

172 xx

E. 44

82 xx

B. 44

152

xx D.

44

172

xx

UN 07/08

Jawab : C

Penyelesaian :

y = V

U y' =

2

'.'.

V

VUVU

U = 8x - 1 U' = 8 dan V = x + 2 V' = 1

f'(x) = 2)2(

1).18()2.(8

x

xx

= 44

181682

xx

xx

= 44

172 xx

atau dengan cara :

f(x) = 2 x

1 8x

f'(x) = 2)2(

)1.(12.8

x

= 44

1162

xx

= 44

172 xx

4. Turunan pertama dari

y = sin 2x – cos 3x adalah ….

A. cos 2x + sin 3x C. –2 cos 2x + 3 sin 3x E. –2 cos 2x – 3 sin 3x

B. –cos 2x – sin 3x D. 2 cos 2x + 3 sin 3x

UN 05/06

Jawab : D

Penyelesaian :

y = sin 2x y' = 2 cos 2x

y = cos 3x y' = –3 sin 3x

y = sin 2x – cos 3x



y' = 2 cos 2x – (–3 sin 3x)

y' = 2 cos 2x + 3 sin 3x

5. Grafik fungsi f (x) = 3

1x

3 + x

2 – 3x + 2 naik pada interval ….

A. x < -3 atau x > 1 C. -3 < atau x < 1 E. 1 < x < 3

B. x < -1 atau x > 3 D. -1 < x < 3

UN 03/04

Jawab : A

Penyelesaian :

Syarat fungsi naik : turunan pertama > 0

f' (x) = x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) . (x – 1) > 0

x + 3 < 0 → x < -3

x – 1 > 0 → x > 1

karena tanda pertidaksamaan pada soal > maka HP nya menggunakan tanda penghubung

atau.

HP : x < -3 atau x > 1

6. Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, naik pada interval ….

A. -1 < x < 3 C. x > 1 atau x > 3 E. x < -1 atau x > 1

B. 1 < x < -3 D. x < 1 atau x > -1

UN 04/05

Jawab : E

Penyelesaian :

Syarat fungsi naik adalah turunannya > 0

f (x) = x3 – 3x + 3

f ' (x) = 3x2 – 3 > 0 (dibagi 3)

x2 – 1 > 0

(x – 1) (x + 1) > 0

x – 1 > 0 x > 1 dan

x + 1 < 0 x < -1

jadi fungsi naik pada interval :

{x < -1 atau x > 1}

7. Titik maksimum dari fungsi y = -x2 + 8x - 12 adalah ….

A. (2, 0) B. (3, 3) C. (4, 4) D. (5, 3) E. (6, 0)

UN 07/08

Jawab : C

Penyelesaian :

Syarat maksimum, turunannya y' = 0

y = -x2 + 8x - 12 -2x + 8 = 0

2x = 8 x = 4

y = -(4)2 + 8 (4) - 12 = -16 + 32 - 12

= 4

Titik maksimum : (4, 4)

8. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 2x

2 + 1 pada titik yang berabsis 1 adalah ….

A. 7y – x + 3 = 0 C. y + 7x + 3 = 0 E. y – 7x + 3 = 0

B. y + 7x – 3 = 0 D. y – 7x – 3 = 0

UN 05/06

Jawab : E

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung :

y = m (x – x1) + y1 x1 = 1

y1 = (1)3 + 2 (1)

2 + 1 = 1 + 2 + 1



y1 = 4

gradien m = y' = 3x2 + 4x untuk x = 1

m = 3 (1)2 + 4 (1) = 3 + 4 = 7

y = 7 (x – 1) + 4

y = 7x – 7 + 4

y = 7x – 3 y – 7x + 3 = 0

Soal latihan :

1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5x – 6 x adalah f'(x) = ….

A. 5 – x

3 B. 5 +

x

3 C. 5 – 3 x D. 5 + 3 x E. 5 – 3x x

2. Turunan pertama dari fungsi : f (x) = 2x3 (x

2 – 3) adalah f '(x) = ….

A. 2x5 – 6x

3 C. 2x

2 (5x

2 – 9) E. 2x (5x

2 – 9)

B. 10x4 – 6x

2 D. 2x

2 (5x

2 – 9x)

3. Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2 + 6) adalah f' (x) = ….

A. 6 (x2 – x + 2) C. 6x

2 – 3x + 6 E. 2x

3 – 3x

2 + 12x

B. 2 (x2 – x + 6) D. 2x

3 – 3x

2 + 12x – 18

4. Turunan pertama dari y = √x + 3x - 2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2

+ 3 C ½ x1/2

+ 3 D ½ x-1/2

+ 3 E ½ x2 + 3

5. Turunan pertama dari y = x + 3x – 2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2

+ 3 C. ½ x-1/2

+ 3 D. ½ x1/2

+ 3 E. ½ x2 + 3

6. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x3 – 4x

2 + 6x adalah f'(x). Nilai dari f'(2) = ....

A. 30 B. 22 C. 18 D. 12 E. 8

7. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2 sin 3x – 3 cos x adalah ….

A. 6 cos 3x – 3 sin x C. –6 cos 3x + 3 sin x E. 6 cos 3x + 3 sin x

B. –3

2 cos 3x – 3 sin x D.

3

2 cos 3x + 3 sin x

8. f(x) = 2x2 + 3x – 1, jika f

1(x) adalah turunan pertama dari f(x) maka nilai f

1(2) = ….

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 E. 11

9. Turunan pertama dari y = cos2x + sin2x adalah ….

A. 2cos2x – 2sin2x C. - cos2x + sin2x E. -4cos2x – 4sin2x

B. cos2x – 2sin2x D. 4cos2x + 4sin2x

10. y’ dari y = 1x2x2 adalah ….

A. 1x2xx2 2 C. 1x2x)2x2( 2 E. 1 2x x

1 x

2

B. 1x2x)2x2( 2 D. 1x2x

2x22

11. Turunan pertama dari y = 13 x adalah ….

A. y' = 1) (3x 3 C. y' = 1) (3x 3

1

E. y' =

1) (3x

3

B. y' = 31) (3x 3 D. y' = 31) (3x 3

1

12. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x

2 - 12x + 3, naik pada interval ....

A. x < -2 atau x > 2

1 C. 2 < x <

2

1 E. -2 < x < -

2

1

B. x < 2

1 atau x > 2 D. -2 < x <

2

1

13. Grafik fungsi f (x) = x3 – 6x

2 – 15x, turun pada interval ….

A. {–1 < x < 5} C. {1 < x < 5} E. {x < –5 atau x > 1}

B. {–5 < x < 1} D. {x < –1 atau x > 5}



14. Interval x dimana f(x) = x12x9x2 23 turun adalah ....

A. x< -2 atau x > -1 C. -1 < x < 2 E. 1 < x < 2

B. x < 1 atau x > 2 D. -2 < x < -1

15. Jika y = 3x2

4x3

, maka y’ = ….

A. 2

3 B.

3x2

3

C.

2)3x2(

3

D.

2)3x2(

3

E.

2)3x2(

17

16. Nilai minimum lokal dari fungsi y = 1/3x3 - x

2 - 3x + 4 adalah ….

A. -9 B. -6 C. -5 D. -1 E. 3

17. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 4x3 + 9x

2 – 12x + 3 adalah ….

A. 4 B. 12 C. 24 D. 31 E. 36

18. Sebuah roket ditembakkan tegak lurus selama t detik dengan persamaan lintasan

h(t)= 600t – 5t2 (satuan meter). Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah ... meter.

A. 48.000 B. 36.000 C. 24.000 D. 18.000 E. 9.000

19. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah ….

A. 3y – x – 11 = 0 C. 3x + y + 11 = 0 E. 3x – y – 11 = 0

B. 3y + x + 11 = 0 D. 3x – y + 11 = 0

20. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x

2 - 12x + 3, turun pada interval ....

A. -2 < x < 2

1 C. 2 < x <

2

1 E. x <

2

1 atau x > 2

B. -2 < x < -2

1 D. x < -2 atau x >

2

1

19. modul turunan (diferensial) pak sukani

Documents