1

SMU 3073/TRM3053

Kalkulus Asas

Fungsi Had dan Keselanjaran Pembezaan

Polinomial

Domain

Julat

Fungsi Songsang

Hubungan

Fungsi

Domain

Julat

Fungsi Songsang

Had Kiri

Had Kanan

Had Fungsi

Had Tak Wujud

Had di

Ketakterhinggaan

Keselanjaran

Fungsi

Pengamiran

Fungsi I Fungsi II Teknik Penggunaan

Teknik Penggunaan

Petua Hasil Darab

Fungsi

Petua Hasil

Bahagi Fungsi

Fungsi Tersirat

Fungsi Gubahan

Petua Rantai

Pembezaan

Peringkat Tinggi

Nilai Hampiran dan

Ralat

Kadar Perubahan

Gerakan Pada Satu

Garis Lurus

Kecerunan

Lengkung Pada

Satu Titik,

Kamiran

Petua Penggantian

Kamiran Bahagian

Demi Bahagian

Luas Di Bawah Graf

Luas Antara Dua

Graf

Bongkah Kisaran

Paksi Kisaran.

2

Domain dan Julat Jenis Fungsi

Fungsi I

Hubungan Fungsi

Takrif

Hubungan antara set X

dengan set Y ialah

pemetaan unsur-unsur

dalam set X kepada

unsur-unsur dalam set Y.

Set unsur-unsur di dalam

X dinamakan domain dan

set imejnya di dalam Y

dinamakan julat.

Set Y dinamakan

kodomain bagi

hubungan.

Takrif

Fungsi adalah hubungan

satu-satu dan hubungan

banyak-satu yang

memetakan unsure-unsur

dari suatu set yang

dinamakan domain

kepada set imej yang

dinamakan julat.

Takrif

Katakan suatu fungsi

f : X →Y, x ∈X, y ∈Y .

Domain bagi suatu f

adalah set unsur-unsur x

yang dipetakan kepada

imej-imej y .

Set bagi imej dikenali

sebagai julat.

Tatatanda bagi domain

adalah , manakala

untuk julat pula adalah .

Kita boleh menulis domain

dan julat dengan

menggunakan tatatanda

selang.

a) Satu fungsi dikatakan

menokok pada selang

terbuka, I, jika

( ) ( ) apabila

untuk setiap

∈I .

b) Satu fungsi dikatakan

menyusut pada selang

terbuka, I, jika

( ) ( ) apabila

untuk setiap

∈I

c) Satu fungsi dikatakan

malar pada selang

terbuka, I, jika

( ) ( ) untuk

setiap ∈I

3

Fungsi Kubik

Fungsi II

Fungsi Polinomial

Fungsi Linear

Takrif

Suatu fungsi linear ditentukan dengan persamaan f (x ) = mx + c atau

y mx + c di mana m c adalah pemalar m ≠ 0 . Domain dan julat

semulajadi adalah set nombor nyata.

( ) +

+ + + +

∈

Takrif

Suatu fungsi polinomial adalah fungsi yang terdiri daripada ungkapan

aljabar terhingga melalui kombinasi penambahan, penolakan dan

pendaraban skalar dengan kuasanya adalah nombor asli.

Takrif

Fungsi kuadratik ditentukan dengan persamaan f (x ) = ax2 + bx + c

dengan a,b,c adalah pemalar dan a ≠ 0 .

Takrif

Suatu fungsi kubik adalah fungsi polinomial f (x ) = ax3 + bx2 + cx

+ d a ≠ 0 . Domaindan julat semulajadi adalah nombor nyata

Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi Nisbah

Takrif

Fungsi nilai mutlak mengandungi tatatanda modulus seperti

( ) | |. Di mana ditakrifkan | | { 0

0}

Takrif

Suatu fungsi nisbah yang terdiri daripada nisbah ungkapan –

ungkapan polinomial ditulis dengan ( ) ( )

( ) ( ) ≠ 0

Di mana p(x) dan q(x) adalah polinomial. Domain bagi fungsi nisbah

adalah semua nombor nyata kecuali nilai x yang membawa kepada

q(x) = 0 .

Fungsi Kuadratik

4

Fungsi Trigonometri

Fungsi II

Fungsi Eksponen

Fungsi Logaritma

( ) log log ∈

Takrif

Fungsi logaritma dengan asas a ditandakan sebagai

Takrif

Fungsi eksponen adalah fungsi dengan asas a dalam bentuk f (x) = ax

dengan a > 0 dan x ∈ dinamakan eksponen.

Takrif

Fungsi punca kuasa adalah fungsi yang mengandungi tatatanda surd

( ) √

∈

Ukuran radian bagi suatu sudut

θ diukur bermula daripada

paksi x yang positif ialah

panjang lengkok s, yang

mencangkum sudut θ pada

bulatan unit. Kita tulis θ s

radian atau θ s rad

Fungsi Songsangan Kosinus

ditandakan dengan serta

ditakrifkan sebagai y = kos

jika dan hanya jika x = kos y ,

di mana 1≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ π .

Fungsi Songsang Tangen diwakilkan

sebagai , ditakrif dengan y =

tan jika dan hanya jika x = tan y

untuk

≤ ≤

Fungsi Punca

Kuasadua

Fungsi Songsang Sinus

diwakilkan sebagai ,

ditakrif dengan sin

jika dan hanya jika x = sin y

untuk 1≤ x ≤ 1 dan

≤ ≤

Amplitud bagi fungsi

y = a sin(bx ) ialah | | , dan bagi

y = a kos(bx ) ialah | |. Satu

kitaran lengkap graf fungsi sinus

dan kosinus dinamakan tempoh

di mana bagi y = a sin(bx ) dan

y = a kos(bx ) ialah

| |

5

Had dan Keselanjaran

Had Kiri Had Kanan Had Tak

Wujud

had →

( )

Jika nilai f (x) menghampiri

nombor apabila x

menghampiri dari sebelah

kiri, maka ditulis

yang dibaca sebagai “had f (x)

apabila x menghampiri dari

dari sebelah kiri bersamaan

dengan ”

had →

( )

Jika nilai f (x) menghampiri

nombor apabila x

menghampiri dari sebelah

kanan, maka ditulis

yang dibaca sebagai “had f (x)

apabila x menghampiri

dari dari sebelah kanan

bersamaan dengan ”

had →

( ) had

→ ( ) 1

Jika had sebelah kiri dan

had sebelah kanan bagi

f (x) mempunyai nilai yang

sama, iaitu

Maka

had → ( ) wujud

Keselanjaran

Fungsi

Had Fungsi

had →

( ) ≠ had

→ ( )

Jika had sebelah kiri dan

had sebelah kanan bagi

f (x) tidak mempunyai

nilai yang sama, iaitu

Maka

had → ( ) tidak

wujud

→ →

→

Jika had suatu fungsi

apabila

tidak dapat dipastikan.

Jika had tidak ada,

maka had tak wujud.

had →

( )

Jika x dibiarkan menokok tanpa batas, x

dikatakan menghampiri positif

ketakterhinggaan dan ditulis sebagai . → +

jika x dibiarkan menyusut tanpa batas, x

dikatakan menghampiri negatif

ketakterhinggaan dan ditulis sebagai, →

Penyataan ini boleh ditulis sebagai

Fungsi f adalah selanjar pada a jika

tiga syarat berikut dipenuhi:

a) f tertakrif pada suatu selang

terbuka mengandungi a .

b) had → ( ) wujud.

c) had → ( ) ( ).

Had di

Ketakterhinggaan

6

Pembezaan Fungsi

Trigonometri

Pembezaan Fungsi

Logaritma

Pembezaan

Pembezaan Fungsi

Malar

Pembezaan Fungsi

Kuasa

Takrif

Jika ( )

( ) 0

Secara geometri, graf bagi

= merupakan satu

garis mengufuk. Maka

kecerunan garis itu ialah

sifar.

( )

Takrif

Jika ( )

maka

Takrif

Jika ( ) sin( )

maka

( ) ( )

Jika ( ) kos( )

maka

( ) ( )

Jika ( ) tan( )

maka

( ) ( )

Takrif

Jika ( ) ln( )

maka

( )

Jika ( ) log

maka

( )

log

7

Pembezaan Hasil

Bahagi Fungsi

Pembezaan Fungsi

Gubahan

Teknik Pembezaan

Pembezaan Hasil

Tambah dan Hasil

Tolak

Pembezaan Hasil

Darab Fungsi

( ) ( ) ( )

Takrif

Jika ( ) ( ) ( )

maka

( ) ( ) ( ) + ( ) ( )

Takrif

Jika ( ) ( ) ( )

maka

( ) ( ) ( ) + ( ) ( )

[ ( )]

Takrif

Jika ( ) ( )

( )

maka

Takrif

Jika u ( ) f( )

maka

8

Kamiran Tak Tentu Rumus Pembezaan

∫ +

[ ] 1

∫

+ 1+ ≠ 1

[

+ 1] ≠ 1

∫

ln| | +

[ln| |]

1

∫sin +

[ ] sin

∫kos +

[ ] kos

∫sek +

[ ]

∫ +

[ ]

∫sek tan +

[ ] sek tan

∫kosek kot +

[ ] kosek kot

∫ +

[ ]

∫sinh +

[ ] sinh

∫kosh +

[ ] kosh

∫sekh +

[ ]

Pengamiran

9

∫sekh tanh +

[ ] sekh tanh

∫kosekh koth +

[ ] kosekh koth