calculus 2 pertemuan 1

Download Calculus 2 pertemuan 1

Post on 11-Jan-2017

289 views

Category:

Education

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CALCULUS 2

    Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.

    in Suryakancana University Cianjur

  • INTEGRAL

    Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

    Persamaan Diferensial Sederhana

    Notasi Sigma dan Luas Daerah di

    Bawah Kurva

    Integral Tentu

    Teorema Dasar Kalkulus

    Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

    Substitusi dalam Penghitungan Integral

    Tentu

  • Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

    Fungsi F disebut anti-turunan f pada selang apabila : = ()

    Untuk setiap .

    Sebagai contoh,

    = 2 + 1Merupakan anti turunan dari

    = 2 pada

    Secara umum, keluarga fungsi = 2 + merupakan

    anti-turunan dari = 2 pada karena = 2 = untuk setiap .

    Keluarga fungsi anti-turunan disebut integral tak tentudari dan dilambangkan dengan . Jadi, sebagai

    contoh,

    2 = 2 +

  • Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

    Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan adalahkeluarga fungsi yang anggotanya merupakan pergeseran

    ke atas atau ke bawah dari anggota lainnya. Semua

    anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan

    yang sama, yaitu .

    Keluarga fungsi yang turunannya sama

    Diketahui fungsi

    dan turunannya.

    2 + 2 2

    2 2

    2 3 2

  • Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

  • Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

    Apakah setiap anti turunan = 2 berbentuk

    = 2 + ?

    Jawaban : Iya. Ini menurut Teorema 4.8.B, yang mengatakan

    bahwa dua fungsi dengan turunan sama hanya berbeda

    dalam konstanta.

    Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telah kita

    pelajari sebelumnya, kita mempunyai beberapa teorema

    berikut tentang integral tak tentu.

    Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika , dan 1, maka

    =+1

    + 1+

    Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x)

    = cos + dan = +

  • Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

    Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)

    Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka :

    i. = ;

    ii. + = + ;

    iii. = ;

    Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum)

    Jika , 1, dan g adalah fungsi yang mempunyaiturunan, maka

    [ ] =[ ]+1

    + 1+

    * ( + )=

    1

    (+1)( + )+1

  • Contoh : Anti Turunan Integral Tak Tentu

    1. 7 + 5 28 76 + 5 =

    2. 12 =

  • Persamaan Diferensial Sederhana

    = +

    Dalam bahasa diferensial : Jika = (), maka:

    = = Sehingga

    = +

    Bentuk ini dinamakan persamaan diferensial. Secara umum,

    persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan

    turunan fungsi.

  • Persamaan Diferensial Sederhana

    Secara geometris, masalah menyelesaikan persamaan

    diferensial

    = () sama dengan masalah mencari

    lengkungan yang garis singgungnya di setiap titik sudah

    diberikan.

  • Contoh : Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2)

    dan mempunyai kemiringannya pada setiap titik pada kurva

    sama dengan dua kali absis (koordinat-x) titik tersebut.

    Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x).

    Kondisi yang harus berlaku di setiap titik (, ) pada kurva.Maka, dalam bahasa diferensial, informasi di atas

    mengatakan bahwa :

    = 2

    = 2 Integralkan kedua ruas,

    Persamaan Diferensial Sederhana

    = 2

    + 1 = 2 + 2

    = 2 + 2 1 = 2 +

    Karena kurva melalui titik (1,2), maka

    kita memiliki titik = 2 dan = 1 ,sehingga :

    = 2 + 2 = 12 + = 1

    Kita simpulkan bahwa = 1, = 2+

  • Metode Pemisahan Variabel

    Secara umum, tidak ada prosedur baku untuk mencari

    solusi persamaan diferensial. Untuk saat ini

    pembicaraan akan dibatasi pada persamaan

    diferensial yang sangat sederhana. Metode pencarian

    solusinya menggunakan metode pemisahan variabel.

    Prinsip dari metode ini adalah mengumpulkan semua

    suku yang memuat peubah dengan dan yangmemuat peubah dengan , kemudian diintegralkan.

    Selesaikan persamaan diferensial dengan

    penyelesaian kedua buah ruas:

    = + 32

    2

    kemudian cari penyelesaian bilamana = 0 dan = 1.

  • Metode Pemisahan Variabel

    Pengecekkan akhir pada pekerjaan kita adalah mengganti hasil ini

    pada kedua ruas dari persamaan diferensial semula untuk melihat

    apakah ia benar. Dengan menggantikan pada ruas kiri, diperoleh :

  • Notasi Jumlah dan Sigma

    Penjumlahan deret bilangan 1 + 2 ++ dilambangkan dengan notasi sigma :

    =1

    = 1 + 2 ++

    Dengan

    Teorema 5 (Kelinearan Sigma)

  • Notasi Jumlah dan Sigma

    Beberapa jumlah khusus (dengan indeks i berjalan dari 1

    sampai dengan n):

    =1 = 1+ 2 + 3 ++ =

    (+1)

    2

    =1 2 = 1 + 4 + 9 ++ 2 =

    (+1)(2+1)

    6

    =1 3 = 1 + 8 + 27++ 3 =

    (+1)

    2

    2

    =1 4 = 1 + 4 + 9 ++ 2 =

    (+1)(63+92+1)

    6

    Contoh : Tentukan nilai dari =1 [ 1 4 + 3 ]

  • Luas Daerah di Bidang

    Dalam bentuk sederhana, luas memenuhu lima sifat :

    Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (riil) tak negative

    Luas persegi-panjang adalah hasil kali panjang dan lebar

    (diukur dalam satuan yang sama)

    Daerah kongruen memiliki luas yang sama

    Luas dari gabungan dua daerah yang hanya berimpit

    menurut satu ruas garis sama dengan jumlah luas kedua

    daerah tersebut

    Jika satu daerah terkandung di dalam daerah yang kedua,

    maka luas daerah pertama kurang dari atau sama dengan

    luas yang kedua.

  • Luas Daerah di Bidang

    Bila kita meninjau suatu daerah dengan batasmelengkung, masalah penentuan luas menjadi lebih sukar.Tetapi lebih dari 2000 tahun silam, Archimedesmenyediakan kunci untuk suatu penyelesaian. Katanya,pandang satu barisan polygon dalam yang menghampiridaerah melengkung dengan kecermatan yang semakinbesar.

  • Luas Daerah di Bidang

  • Luas Daerah di Bidang

  • Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

    Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

  • Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

  • Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

    lim =

    26

    3

    Jelas sehingga

    lim =

    26

    3

  • Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

  • Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

  • Luas Daerah di Bidang

  • Integral TentuNewton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang

    dini dari konsep integral tentu. Tetapi Riemannlah yang

    memberikan kita definisi modern. Dalam perumudan definisi

    integral tertentu, dipedomani oleh pemikiran yang dibahas

    sebelumnya. Gagasan pertama adalah jumlah Riemaan.

  • Integral Tertentu

    Contoh : Halaman 275, Contoh 1 dan 2

  • Definisi Integral Tentu

  • Definisi Integral Tentu

    Secara umum, menyatakan batasan luas daerah

    yang tercakup diantara kurva = () dan sumbu-x dalamselang [, ] , yang berarti bahwa tanda positif akandiberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian

    atas sumbu-x, dan tanda negative diberikan untuk luas

    bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Secara

    simbolik,

  • Sifat-sifat Integral Tentu

  • Sifat-sifat Integral Tentu

    Contoh : Halaman 279, Contoh 3 dan 4