Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.

in Suryakancana University Cianjur

CALCULUS 2

BAB 8. TEKNIK PENGINTEGRALAN

8.1 AturanDasar Substitusi Pengintegralan

Mengetahui bentuk integral baku dan dapat mengubah bentuk integral yang diberikan ke bentukintegral dengan substitusi peubah

8.2 PengintegralanParsial

Menghitung integral dengan teknik pengintegralan parsial

8.3 Integral Trigonometrik

Menghitung beberapa integral trigonometric

8.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

Menghitung integral dengan teknik substitusi yang merasionalkan

8.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung integral fungsi rasional dengan menggunakanpecahan parsial

8.6 Strategi Pengintegralan

Mengetahui apa yang harus dilakukan bila dihadapkan pada suatu bentuk integral

8.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

8.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom. Secara umum, fungsi rasional dapat dituliskan sebagai :

𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 +𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥)

dengan P, Q, dan R polinom dan derajat R < derajat Q. Integral dari P(x) dapat diperolehdengan mudah. Karena itu, untuk menghitung integral dari f(x), kita perlu mengetahuibagaimana menghitung integral dari R(x)/Q(x).

Sebagai contoh :

𝑓 𝑥 =2

(𝑥+1)3, 𝑔 𝑥 =

2𝑥+2

𝑥2−4𝑥+8, ℎ 𝑥 =

𝑥5+2𝑥3−𝑥+1

𝑥3+5𝑥

Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena derajat pembilang kurang dariderajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi sukubanyak dan fungsi rasional sejati. Misalkan :

ℎ 𝑥 =𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 + 1

𝑥3 + 5𝑥= 𝑥2 − 3 +

14𝑥 + 1

𝑥3 + 5𝑥

8.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung Integral Fungsi Rasional

ℎ 𝑥 =𝑥5+ 2𝑥3− 𝑥 + 1

𝑥3+ 5𝑥= 𝑥2 − 3+

14𝑥 + 1

𝑥3+ 5𝑥

Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut. Oleh karena fungsisuku banyak mudah diintegrasikan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak padapersoalan mengintegralkan fungsi rasonal sejati.

Apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.

Contoh 1:

2

(𝑥 + 1)3𝑑𝑥

Contoh 2 :

2𝑥 + 2

𝑥2− 4𝑥 + 8𝑑𝑥

Contoh 3 :

𝑥 + 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

8.5 Integral Fungsi Rasional

Penjabaran menjadi pecahan parsial (factor linear)

Contoh : (Faktor linear yang berlainan). Jabarkan(3𝑥−1)

(𝑥2−𝑥−6)menjadi pecahan parsial dan kemudian tentukan integralnya

yang tak tentu.

Penyelesaian : oleh karena 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk(3𝑥− 1)

(𝑥2− 𝑥− 6)=

𝐴

(𝑥 + 2)+

𝐵

(𝑥 − 3)

Tugas kita sekarang adalahmenentukan A dan B sehingga persamaan di atasmenjadi suatu bentuk kesamaan. Untuk itukita hilangkan pecahannya, sehingga kita peroleh

3𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 3 +𝐵(𝑥 + 2)

Atau dengan kesetaraan3𝑥 − 1 = 𝐴+𝐵 𝑥 + (−3𝐴+ 2𝐵)

Oleh karena persamaan di atas suatu kesamaan, jika dan hanya jika apabila koefisienpangkat yang sama di ruas kiri danruas kanan sama, maka :

𝐴 +𝐵 = 3−3𝐴+ 2𝐵 = −1

Dari dua persamaan tersebut kita peroleh𝐴 =7

5dan 𝐵 =

8

5, sehingga

(3𝑥 − 1)

(𝑥2 − 𝑥 − 6)=

(3𝑥 − 1)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)=

75

(𝑥 + 2)+

85

(𝑥 + 3)

(3𝑥− 1)

(𝑥2− 𝑥 − 6)𝑑𝑥 =

7

5

1

𝑥 + 2𝑑𝑥 +

8

5

1

(𝑥 + 3)𝑑𝑥 =

7

5ln 𝑥 + 2 +

8

5ln 𝑥 − 3 + 𝐶

8.5 Integral Fungsi Rasional

Contoh 1:

5𝑥 + 3

𝑥3− 2𝑥2− 3𝑥𝑑𝑥

Contoh 2:

1

𝑥2− 1𝑑𝑥

Contoh 3:

𝑥

(𝑥 − 3)2𝑑𝑥

Contoh 4:

3𝑥2− 8𝑥 + 13

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2

Contoh 5:

6𝑥2− 3𝑥 + 1

(4𝑥 + 1)(𝑥2+ 1)𝑑𝑥

8.5 Integral Fungsi Rasional

Untuk menjabarkan sebuah fungsi rasional 𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)menjadi jumlah pecahan parsial,

kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut :

(1) Apabila 𝑓(𝑥) tak sejati, yaitu apabila derajat 𝑝(𝑥) paling sedikit sama dengan𝑞 𝑥 bagilah terlebih dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥). Kita akan peroleh :

𝑓 𝑥 = 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚 +𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)

(2) Uraikanlah 𝐷(𝑥) menjadi hasil kali factor-factor linear dan kuadrat yang tidak dapatlagi diuraikan menjadi factor-factor linear dengan koefisien riil. Menurut suatu teoremadalam aljabar hal ini selalu mungkin.

(3) Untuk setiap factor yang berbentuk (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘 , penjabaran mungkin berbentuk𝐴1

(𝑎𝑥 + 𝑏)+

𝐴2(𝑎𝑥 + 𝑏)2

+⋯+𝐴𝑘

(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘

(4) Untuk setiap factor yang berbentuk (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑚 , penjabaran mungkin berbentuk𝐴1

(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)+

𝐴2(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2

+⋯+𝐴𝑚

(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑚

8.5 Integral Fungsi Rasional

Untuk menjabarkansebuah fungsi rasional 𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)menjadi jumlah pecahan parsial, kita perlu

melakukan langkah-langkah sebagai berikut :

(5) Samakan𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam langkah ke (3) dan ke (4). Banyaknya

konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut, yaitu 𝐷(𝑥)

(6) Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh dalam Langkah 5 dengan 𝐷(𝑥). Kemudiantentukan konstanta yang harus dicari. Ini dapat diperoleh dengan dua jalan (1) samakan koefisien darisuku yang derajatnya sama, (2) substitusikanlah nilai-nilai (yang sesuai) tertentu dalam variable x.

Contoh 1:

1

𝑥3 − 1𝑑𝑥

Contoh 2:

7

𝑥2 − 6𝑥 + 25𝑑𝑥

Buku halaman 435

8.6 STRATEGI PENGINTEGRALAN

8.2 Pengintegralan Parsial

Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralan yang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentu maka yang dapat kitalakukan adalah:

1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada substitusi yg dpt mengubahintegral tsb ke salah satu bentuk baku yang kita kenal.

2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsb dengan pengintegralan parsial.

3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusi yang merasionalkan.

4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglah integralnya denganmendekomposisi integrannya atas faktor‐faktor linear dan/atau kuadratiknya.

THANK YOU