Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.

in Suryakancana University Cianjur

CALCULUS 2

BAB 8. TEKNIK PENGINTEGRALAN

8.1 AturanDasar Substitusi Pengintegralan

Mengetahui bentuk integral baku dan dapat mengubah bentuk integral yang diberikan ke bentukintegral dengan substitusi peubah

8.2 PengintegralanParsial

Menghitung integral dengan teknik pengintegralan parsial

8.3 Integral Trigonometrik

Menghitung beberapa integral trigonometric

8.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

Menghitung integral dengan teknik substitusi yang merasionalkan

8.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung integral fungsi rasional dengan menggunakanpecahan parsial

8.6 Strategi Pengintegralan

Mengetahui apa yang harus dilakukan bila dihadapkan pada suatu bentuk integral

8.1 ATURAN DASAR PENGINTEGRALAN

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Pangkat :

𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

𝑥𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶,𝑟 ≠ −1

ln 𝑥 +𝐶, 𝑟 = −1

Eksponensial

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥 𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0

ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

proof :

Since we know the derivative: 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

we can use the Fundamental Theorem of calculus:

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥(𝑒𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) yang berarti"yang sudah dibuktikan" atau "yang sudah terbukti"

See also the proof that :𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Pangkat :

𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

𝑥𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥𝑟+1

𝑥 + 1+ 𝐶,𝑥 ≠ −1

ln 𝑥 + 𝐶, 𝑥 = −1

Eksponensial

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0

ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

𝑥−1 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶, 𝑥 = −1

proof :

Since we know the derivative: 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

Set 𝑢 = 𝑒𝑥

Then𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑢 →

𝑑𝑢

𝑢= 𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑢= 𝑑𝑥

= 𝑥 + 𝐶= ln 𝑢 + 𝐶

Q.E.D

𝑎𝑐 = 𝑏

log100 = 2102 = 100log𝑎𝑏 = 𝑐𝑎𝑐 = 𝑏𝑦 = 𝑒𝑥

log𝑒 𝑦 = 𝑥ln𝑦 = 𝑥

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Pangkat :

𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

𝑥𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥𝑟+1

𝑥 + 1+ 𝐶,𝑥 ≠ −1

ln 𝑥 + 𝐶, 𝑥 = −1

Eksponensial

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥 𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0

ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑏 ≠ 1,𝑏 > 0

proof :

Strategy use the 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 +𝐶

Since 𝑒ln 𝑏 = 𝑏,

𝑏𝑥 𝑑𝑥 = [(𝑒ln 𝑏)𝑥]𝑑𝑥 = 𝑒(ln 𝑏)𝑥 𝑑

Set 𝑢 = ln 𝑏 𝑥

Then 𝑑𝑢 = ln𝑏 𝑑𝑥

Substituted : 𝑒𝑢 (𝑑𝑢

ln𝑏)

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Pangkat :

𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

𝑥𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥𝑟+1

𝑥 + 1+ 𝐶,𝑥 ≠ −1

ln 𝑥 + 𝐶, 𝑥 = −1

Eksponensial

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥 𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0

ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

Substituted : 𝑒𝑢 (𝑑𝑢

ln𝑏)

𝑒𝑢𝑑𝑢

ln 𝑏=1

ln𝑏 𝑒𝑢 𝑑𝑢

=1

ln𝑏𝑒𝑢+ 𝐶

=1

ln𝑏𝑒(ln 𝑏)𝑥 + 𝐶

=1

ln𝑏(𝑒ln 𝑏)𝑥 + C

=1

ln𝑏𝑏𝑥 + 𝐶

Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum)

Consider this example: if you have the integral:

2𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Pangkat :

𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

𝑥𝑟 𝑑𝑥 = 𝑥𝑟+1

𝑥 + 1+ 𝐶,𝑥 ≠ −1

ln 𝑥 + 𝐶, 𝑥 = −1

Eksponensial

𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

𝑏𝑥 𝑑𝑥 =𝑏𝑥

ln 𝑏+ 𝐶, 𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0

ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

ln( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 𝐶

Proof :

Strategy: Use Integration by Parts.

Penjelasan akan dijabarkan pada Bab 8.2

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Trogonometri :

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi Aljabar :

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

Mengubah Integral ke Bentuk Baku dengan Substitusi Peubah :

Teorema A

(Substitusi). Untuk menentukan 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, kita dapat mensubstitusi 𝑢 = 𝑔(𝑥), dengan 𝑔fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menjadi ℎ 𝑢 𝑑𝑢 danapabila 𝐻 sebuah antiturunan ℎ, maka :

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐻 𝑢 + 𝐶 = 𝐻 𝑔 𝑥 + 𝐶

Contoh :

1. Tentukan 𝑥

𝑐𝑜𝑠2(𝑥2)𝑑𝑥 . 4. Tentukan 𝑒𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑒𝑥)𝑑𝑥

2. Tentukan 𝑥

4+𝑥2𝑑𝑥 5. Tentukan

𝑒𝑥

1+𝑒𝑥𝑑𝑥

3. Tentukan 𝑥+𝑥3

1+𝑥4𝑑𝑥

8.1 Aturan Dasar Pengintegralan

8.2 PENGINTEGRALAN PARSIAL

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

8.2 Pengintegralan Parsial

THANK YOU