09b07006 fitriani nur

Program Pasca Sarjana UNMJurusan Pendidikan Matematika

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Limit merupakan cabang matematika yang disebut matematika analisis. Limit juga

merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus, diferensial dan integral. Oleh karena itu

materi tentang limit memerlukan pemahaman matematis.

Berdasarkan catatan sejarah, analisis bermula di abad ke-17 yang ditandai dengan

ditemukannya kalkulus oleh Newton dan Leibniz. Pada abad ke-17 dan abad ke-18 topik-

topik analisis seperti kalkulus dan diferensial berkembang pesat untuk bidang terapan.

Kemudian pada abad ke-19 Cauchy adalah matematikawan pertama yang meletakkan

landasan logis kalkulus dengan memperkenalkan barisan Cauchy. Pada abad pertengan ke-

19 Rieman memperkenalkan teorinya yaitu kalkulus Integral. Pada akhir abad ke-19

tersebut, Weierstrass memperkenalkan definisi limit. Namun demikian notasi limit yang

digunakan sampai saat ini adalah notasi yang diperkenalkan oleh Cauchy.

Matematikawan cenderung bersikap skeptic. Jika seseorang berkata kepada

matematikawan bahwa sesuatu adalah benar, kemungkinan tanggapan yang akan diperoleh

adalah buktikan. Tetapi untuk membuktikan sesuatu haruslah memahami makna kata yang

digunakan sejelas-jelasnya. Terutama yang menyangkut kata limit, karena keseluruhan

kalkulus bertumpu pada makna dari kata tersebut.

Berdasarkan uraian tersebut, makalah ini akan membahas tentang konsep limit di

perguruan tinggi dan beberapa topik tentang limit, konsep limit di SMA.

B. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan makalah ini adalah mendeskripsikan konsep limit di Perguruan Tinggi

dan di SMA (Sekolah Menengah Atas).

C. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan makalah ini adalah diperolehnya pengetahuan

tentang konsep limit.

Program Pasca Sarjana UNM | Fitriani Nur 62

Definisi limit secara formal

Definisi limit-limit sepihak

Definisi limit tak hingga dan limit pada tak hingga

Limit fungsi aljabar

Teorema limit

Teorema limit utama

Teorema subtitusi

Teorema apit

Limit

Definisi limit

Definisi limit secara intuitif

Limit fungsi trigonometri

Limit di satu titik

Kekontinuan fungsi

Limit fungsi aljabarKekontinuan pada titik tertentu

Kekontinuan pada suatu interval


PEMBAHASAN

Pada dasarnya limit merupakan konsep dasar dari operasi hitung diferensial

(turunan fungsi), yaitu operasi yang menunjukkan laju perubahan pada suatu saat atau titik

tertentu. Sebagai contoh, kita tidak dapat menentukan besar perubahan volume air yang

tertuang ke dalam gelas tepat pada waktu tertentu. Namun, dengan penerapan konsep limit,

kita dapat menentukannya melalui nilai pendekatannya. Oleh karena itu, konsep limit sangat

perlu untuk dipahami. Berikut ini akan digambarkan peta konsep limit diberbagai jenjang

pendidikan:

Keterangan:

: topik pembahasan limit di perguruan tinggi

: topik pembahasan limit di perguruan tinggi dan di SMA



A. Konsep Limit pada Perguruan Tinggi

Tujuan mempelajari limit pada perguruan tinggi antara lain: 1) menjelaskan

konsep-konsep tentang fungsi, limit, turunan dan mampu dalam penerapannya sebagai

dasar untuk mempelajari mata kuliah lainnya, 2) Mahasiswa dapar memahami secara

mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan teorema-teorema serta mampu

menga-plikasikannya dalam menyelesaikan soal, 3) Mahasiswa dapat membuktikan limit

suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan kriteria - atau kriteria barisan.

1. Definisi Limit

Definisi Limit yang dimaksud sebagaimana dituliskan dalam buku Kalkulus

Jilid I oleh Purcell, Varberg, dan Rigdon (2003:70) yang diterjemahkan oleh I Nyoman

Susila adalah:

limx→c

f ( x )=L berarti bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan (betapapun

kecilnya), terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga |f(x) – L| < asalkan bahwa 0 < |x – c| < , yakni 0 < |x – c| < |f(x) – L| < . (Purcell, dkk., 2003:70).

Harus ditekankan bahwa pertama-tama diberikan bilangan , bilangan harus

dihasilkan dan bersesuaian dengan . Untuk memahami definisi diatas, perhatikan

tafsiran geometri berikut:

Contoh 1:

Buktikan bahwa limx→4

(3 x−7)=5

Bukti:


Gambar 1


Secara intuitiflimx→4

(3 x−7)=5 dapat dibuktikan dengan mensubtitusi nilai-nilai yang

mendekati 3. Perhatikan table berikut:

X f(x) x f(x)

3 2 5 8

3.5 3.5 4.5 6.5

3.9 4.7 4.1 5.3

3.999 4,997 4.001 5,003

↓ ↓ ↓ ↓

4 5 4 5

Dari table di atas diperoleh bahwa limx→4

(3 x−7)=5

Secara fakultatif limx→4

(3 x−7)=5, dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit.

Analisis pendahuluan

Andaikan > 0 sebarang, diperoleh suatu > 0 sedemikian sehingga

0<|x−4|<δ →|(3 x−7 )−5|<ε

Pada ketaksamaan disebelah kanan |(3 x−7 )−5|<ε↔|3 x−12|<ε

↔|3 ( x−4 )|<ε

↔|3||( x−4 )|<ε

↔|(x−4)|< ε3

Jadi kita peroleh δ=ε3

.

Bukti resmi

Andaikan diberikan > 0. Pilih δ=ε3

. Maka 0<|x−4|<δ mengimplikasikan

|(3 x−7 )−5|=|3 x−12|¿|3 ( x−4 )|¿3|x−4|¿3δ

¿

Sehingga terbukti limx→4

(3 x−7)=5 .

Teorema Limit Utama

Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g

adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di a. maka :



1. limx→a

k=k

2. limx→a

x=a

3. limx→a

kf ( x )=k limx→a

f (x )

4. limx→a

[ f ( x )± g(x )]=[limx→af ( x ) ]± [ limx→a

g (x ) ]5. lim

x→a[ f ( x )g( x)]=[limx→a

f ( x ) ] [limx→ag ( x ) ]

6. limx→a

f (x)g(x )

=[ limx→a

f ( x ) ][ limx→a

g (x ) ], limx→a

g ( x )≠0

7. limx→a

[ f (x )]n=¿ [ limx→af (x) ]n ¿

8. limx→a

n√ f (x )=n√ limx→a

f (x ) , limx→a

f ( x )>0, jika n genap

Contoh 2:

Carilah limx→ 4

(3 x2−2x )

Penyelesaian:

limx→ 4

(3 x2−2x )=limx→ 4

3 x2−limx→ 4

2x

¿3 limx→ 4

x2−2 limx→ 4

x

¿3¿¿¿

¿3 (4 )2−2 (4 )

¿40

Teorema Apit

Andaikan f,g,dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f (x)≤g (x)≤h(x) untuk

semua x dekat c, kecuali mungkin di c. jika limx→c

f ( x )=limx→c

h ( x )=L maka limx→c

g ( x )=L.

Contoh 3:

Telah diketahui bahwa 1−16≤sin xx

≤1, untuk semua bilangan x yang dekat

dengan 0, apa yang bisa disimpulkan?

Penyelesaian:

Andaikan f ( x )=1−16

, g ( x )= sin xx

dan h ( x )=1,

limx→0

f ( x )=1=¿ limx→0

h ( x )

Sehingga menurut teorema Apit nilai limx→0

sin xx

=1



2. Limit melibatkan fungsi trigonometri

Teorema A Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real c dalam daerah asal fungsi

1. limt →c

sin t=sin c

2. limt →c

cos t=cos c

3. limt →c

tan t=tan c

4. limt →c

cot t=cot c

5. limt →c

sec t=sec c

6. limt →c

csc t=csc c

Bukti Teorema A1

Pertama kita menetapkan kasus dimana c = 0. Anggap bahwa t > 0 dan misalkan titik

A, B, dan P didefinisikan pada gambar 1. Kemudian

o<|BP|<|AP|<arc (AP)

Tetapi |BP|= sin t dan arc AP =t, sehingga

0<sin t<t

Jika t < o, maka t < sin t < t <0. Kita dapat menggunakan teorema apit (Teorema

2.6C) dan menyimpulkan bahwa limt →0

sin t=0. Untuk melengkapi bukti, kita juga akan

memerlukan hasil bahwa limt →0

t=1. Ini mengikuti dengan penggunaan kesamaan

trigonometri dan teorema A:

limt →0

cos t=limt →0

√1−sin2 t=√1−( limt→ 0sin t )2=√1−02=1

Sekarang untuk menunjukan bahwa limt →c

sin t=sin c, pertama kita anggap h=t−c

sehingga h →0 sebagaimana t→c. kemudian


Gambar 2


limt →c

sin t = limh→0

sin(c+h)

= limh→ 0

¿¿ (Kesamaan Tambahan)

= ¿

= ¿

¿ sin c

Bukti Teorema A2

Kita menggunakan kesamaan lain bersama dengan Teorema 2.6A. jika cos c

> 0, maka untuk t di dekat c kita memiliki cos t=√1−sin2t . Maka,

limt →c

sin t=limt→c

√1−sin2t=√1−( limt→csin t )2=√1−sin2 c=cosc

Di sisi lain, jika cos c < 0, maka untuk t dekat c kita memiliki cos t=√1−sin2t . Dalam kasus ini,

limt →c

cos t = limt →c

(−√1−sin2t ¿)=−√1−(limt →csin t )2=−√1−sin2 c¿

= −√cos2c=−|cosc|=coscBentuk c = 0 telah dijelaskan pada bukti pernyataan 1.

Teorema A1 dapat digunakan bersama dengan Teorema A2 untuk buktikan

Teorema A lainnya.

Contoh 4:

Tentukanlah limt →0

t 2cos tt+1

Penyelesaian:

limt →0

t 2cos tt+1

=(limt→0

t 2

t+1 )¿Dua limit penting yang tidak dapat dibuktikan dengan subtitusi adalah

limt →0

sin tt

dan limt →0

1−cos tt

Selanjutnya akan kita buktikan nilai limit pada teorema berikutnya.

Teorema B Limit-limit trigonometri khusus

1. limt →0

sin tt

=1

2. limt →0

1−cos tt

=0

Bukti Teorema B1

Dalam bukti teorema A dari makalah ini, kita menunjukkan bahwa

limt →0

cos t=1dan limt →0

sin t=0



Untuk −π2

≤ t ≤π2

, t ≠0 (ingat, tidak penting apa yang terjadi pada t = 0), gambarlah

garis vertical segmen BP dan busur lingkaran BC, seperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 2. (jika t < 0, pikirkanlah daerah banyangan yang direfleksikan melewati

sumbu x). ini adalah bukti dari Gambar 2 bahwa

Luas (sector OBC) ≤ luas (segitiga OBP) ≤ luas (sector OAP)

Daerah segitiga adalah setengah alas kali tinggi, dan luas daerah lingkaran dengan

sudut pusat t dan jari-jari r adalah ½ r2|t|. dengan menggunakan hasil ini pada ketiga

darerah memberikan

12¿¿

Yang setelah mengalikan dengan 2 dan membagi dengan bilangan positif |t| cos t,

menghasilkan,

cos t ≤¿ sin t∨¿¿ t∨¿

≤1cos t

¿¿

Karena ekspresikan (sin t)/t itu positif untuk −π2

≤ t ≤π2

, t ≠0, kita peroleh |sin t||t|=(sin

t)/t. Sehingga,

cos t ≤sin tt

≤1cos t

Karena kita berada setelah limit fungsi tengah dan kita tahu bahwa limit dari setiap

fungsi “sisi luar”, ketidaksamaan ganda ini meminta Teorema Apit. Ketika kita

memakai, kita memperoleh

limt →0

sin tt

=1

Bukti Teorema B2

Limit kedua mengikuti dengan mudah dari yang pertama. Tinggal mengalikan

pembilang dan penyebut dengan (1 + cos t); akan menghasilkan

limt →0

1−cos tt

= limt →0

1−cos tt

.1+cos t1+cos t

¿ limt →0

1−cos2 tt ¿¿

¿


Gambar 3


= limt →0

sin2tt ¿¿

¿

=( limt→0 sin tt )limt→0sin t

limt →0

¿¿¿

¿1 . 02

¿0

Contoh 5:

Tentukan limx→0

sin 3 xx

Penyelesaian:

limx→0

sin 3 xx

=limx→ 03sin 3 x3 x

=3 limx→0

sin 3 x3 x

=3

3. Limit-limit Tak Hingga dan Limit Pada Tak Berhingga

a. Limit-limit Tak Hingga

Definisi limit x→∞

Misalkan f didefinisikan pada [c ,∞¿ untuk beberapa bilangan c. kita

mengatakan bahawa f ( x )=L jika untuk setiap ε>0 terdapat bilangan yang

berkaitan M sedemikian sehingga x>M⟹|f ( x )−L|<εDefinisi limit x→−∞

Misalkan f didefinisikan pada [−∞ ,c¿ untuk beberapa bilangan c. kita

mengatakan bahawa lim f ( x )=L jika untuk setiap ε>0 terdapat bilangan M

yang bersesuaian sedemikian sehingga x<M⟹|f ( x )−L|<εContoh 6:

Tunjukkan jika k adalah bilangan bulat positif maka limx→∞

1

xk=o

Penyelesaian

Misalkan ε>0. Setelah analisis pendahuluan, kita memilih M= k√ 1ε . Kemudian

x>M mengaplikasikan bahwa | 1xk−0|= 1xk

< 1

M k=ε.

Jadi limx→∞

1

xk=o

b. Limit Tak Berhingga

Definisi Limit Tak Berhingga



limx→c+¿ f ( x )=∞¿

¿jika untuk setiap bilangan positif M terdapat sebuah δ>0

sedemikian rupa sehingga 0<x−c<δ⟹ f (x)>M

Contoh 7:

Tentukan lim

x→1−¿ 1

(x−1)2̇¿

¿ dan

limx→1+¿

1

(x−1)2̇¿

¿

Penyelesaian:

Grafik f ( x )=1 /(x−1), diperlihatkan pada gambar 4.

Ketika x→1+¿¿, penyebut tetap positif tetapi menuju nol, sementara

pembilang tetap 1 untuk semua x. Maka, hasil bagi 1

(x−1)2̇dapat dibuat besar

secara sebarang dengan membatasi x dekat tetapi diatas 1. Dengan cara

yang serupa, ketika x dekat, tetapi kekiri dari 1.

Kita menyimpulkan bahwa

limx→1−¿ 1

(x−1)2̇=∞¿

¿ dan

limx→1+¿

1

(x−1)2̇=∞¿

¿

Karena kedua limit adalah ∞, kita juga dapat menuliskan limx→1

1

(x−1)2̇=∞

4. Kekontinuan Fungsi

Dalam bahasa biasa kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu

proses berkelanjutan. Gagasan inilah yang berkenaan dengan fungsi. Sebagaimana

definisi kekoninuan di satu titik dikemukan Purcell dkk (2003:70) yang diterjemahkan

oleh I Nyoman Susila adalah:

Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c. Kita

menyatakan bahwa f kontinu di c jika limx→c

f ( x )=f (a).

Definisi diatas mensyaratkan 3 hal berikut:

a) limx→a

f (x ) ada.

b) f (c ) ada, yakni c berada dalam daerah asal f.

c) limx→a

f (x )=f (a)

Untuk memahami syarat diatas perhatikan gambar berikut:


Gambar 4


B. Konsep Limit pada SMA

Pada jenjang SMA Limit dikenal dengan Limit Fungsi, dengan pendefinisian secara

intuitif (tdk resmi). Tujuan pembelajaran limit fungsi pada SMA antara lain: 1)

menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disatu titik dan di tak hingga, 2) menghitung

limit fungsi aljabar disatu titik dan di tak hingga, 3) menghitung limit fungsi trigonometri

disatu titik.

1. Definisi limit fungsi di suatu titik tertentu x = a

Limit fungsi f(x) disuatu titik x = a adalah nilai yang didekati oleh f(x) atau nilai

hampiran dari f(x) untuk nilai x mendekati a dan x≠a. Jika x mendekati a maka f(x)

mendekati L (Jozua Sabandar, 2009:182).

Dituliskan : limx→a

f ( x )=L

Contoh 8:

Tentukan limx→4

(3 x−7)=5

Penyelesaian:

limx→4

(3 x−7)=5 dapat diselesaikan dengan mensubtitusi nilai-nilai yang

mendekati 3. Perhatikan table berikut:

X f(x) x f(x)

2 1 4 15

2.5 3,75 3.5 10,75

2.9 6,31 3.1 7,71

2.999 6,993001 3.001 7,007001

↓ ↓ ↓ ↓

3 7 3 7

Dari tabel di atas diperoleh bahwa limx→3

(x2+x−5)=7


Gambar 5


Jika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai

limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut juga

mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :

a. Limit penjumlahan fungsi merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

b. Limit selisih fungsi merupakan selisih limit masing-masing fungsi.

lim (f(x) – g(x)) = lim f(x) – lim g(x)

c. Limit perkalian fungsi merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

d. Limit pembagian fungsi merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.

lim

)(

)(

xg

xf

=

Contoh 9:

Tentukan limx→4

(5 x+1)x

Penyelesaian:

limx→4

(5 x+1)x

=limx→4

(5x+1)

limx→4

x

¿limx→4

5 x+limx→4

1

limx→4

x

¿5 (4 )+14

¿ 214

2. Limit fungsi Tak Hingga

Perhatikan nilai fungsi f ( x )=1x

, dimana x ϵ R dan x≠0 pada tabel berikut:

x 1 2 3 … 100 … 10.000 10.001 …

1/x 1 1/2 1/3 … 1/100 … 1/10.000 1/10.001 …


)(lim

)(lim

xg

xf


Dari table diatas diketahui bahwa jika nilai x diganti dengan bilangan-bilangan

yang semakin besar maka 1x

akan mendekati nilai nol. Sehingga untuk jenis fungsi

pecahan dengan x mendekati tak hingga (∞), maka digunakan suatu metode dengan

membagi pembilang dan penyebut dengan variable pangkat tertinggi dan dengan

menggunakan fakta: limx→∞

1x=o

Contoh 10:

Tentukan limx→∞

x3−2x2+52x3+4 x+10

Penyelesaian:

limx→∞

x3−2x2+52x3+4 x+10

=limx→∞

x3

x3−2 x

2

x3+ 5

x3

2 x3

x3+ 4 x

x3+ 10

x3

¿ limx→∞

1−2x+ 5

x2 (1x )

2+ 4x ( 1x )+10x2 ( 1x )

¿ 1−0+02+0+0

¿ 12

3. Limit Fungsi Trigonometri

limx→a

f ( x ) dinamakan limit fungsi trigonometri jika fungsi f ( x ) pada limit tersebut

merupakan fungsi trigonometri. Agar dapat memahami limit fungsi trigonometri,

perhatikan gambar berikut:


Gambar 6


Gambar diatas merupakan lingkaran yang berpusat dititik O dan berjari-jari r.

B dan A merupakan sebarang titik yang berbeda pada lingkaran, sedangkan BC

merupakan garis singgung terhadap lingkaran di titik B.

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri ditunjukkan bahwa

t=r sin x dan T¿ r sin x (x dalam radian), sehingga diperoleh sebagai berikut:

Luas ∆ BOA=12r . t=1

2r .rsin x=1

2r2 sin x

Luas ∆OBC=12r .T=1

2r . r tan x=1

2r2 tan x

Luas lingkaran O ¿ π r2=12r22π

Luas sektor OBA ¿besar<AOB

2 πx luas lingkaranO=1

2r2 x

Dari pengamatan gambar lingkaran O diperoleh:

Luas ∆ BOA<Luas sektorOBA<¿ Luas ∆OBC

↔12r2sin x< 1

2r2 x< 1

2r2 tan x

↔ sin x<x< tan x⋯ (1 )

↔ sin x<x< sin xcos x

↔1sin x

> 1x> cos xsin x

↔1> sin xx

>cos x⋯ (2 ) (masing−masing dikalisin x )

Karena limx→0

cos x=cos 0=1 dan limx→0

1cos x

¿ 1cos 0

=1

Maka dari persamaan (2) diperoleh limx→0

sin xx

=1 atau limx→0

xsin x

=1

Selanjutnya dari persamaan (1):

sin x<x< tan x

↔sin xtan x

< xtan x

<1(masing−masingdikali1tan x )

↔cos x< xtan x

<1⋯ (3 )

Karena limx→0

cos x=cos 0=1, maka dari persamaan 3 diperoleh limx→0

tan xx

=1 atau

limx→0

xtan x

=1

Contoh 11:



Hitunglah limx→0

sin 5 x3x

Penyelesaian:

limx→0

sin 5 x3x

=limx→ 0

sin 5 x3 x

.5 x5 x

¿ limx→0

sin 5 x5x

.5 x3 x

¿ limx→ 0

sin 5 x5x

.53

¿ 53limx→0

sin 5 x5x

¿ 53.1

¿ 53

4. Kekontinuan fungsi

Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi, digunakan perhitungan limit fungsi.

Definisi kekontinuan fungsi sebagaimana dikemukakan noormandiri adalah Fungsi f

kontinu di x=a jika dan hanya jika limx→a

f ( x )=f (a) (Noormandiri, 2005:275).

Sama halnya yang dijelaskan pada kekontinuan limit pada perguruan tinggi,

syarat dari suatu fungsi f (x) dikatakan kontinu di x=a jika memenuhi syarat berikut:

a) limx→a

f (x ) ada.

limx→a

f (x ) tidak ada atau f ( x ) tidak mempunyai limit apabila limit kiri tidak sama

dengan limit kanan. Limit kiri berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri dr a

dan limit kanan berarti bilaman x dekat tetapi pada sebelah kanan dr a.

b) f (a) ada, yakni f(a) terdefinisi.

c) limx→a

f (x )=f (a)

Contoh 12:

Tunjukkan fungsi f (x)=2x+1, kontinu di x=1

Penyelesaian:

limx→1

2x+1=3

f (1 )=2 (1 )+1=3

Karena limx→1

f ( x )=3=f (1), maka menurut definisif (x)=2x+1, kontinu di x=1.



KESIMPULAN

Di perguruan tinggi konsep limit didefinisikan secara fakultatif (resmi) dan intuitif (tdk

resmi), konsep limit tersebut mengalami penyederhanaan ditingkat SMA yakni didefinisikan

secara intuitif. Hal ini disebabkan oleh beberapa hal antara lain, konsep limit baru

diperkenalkan pada jenjang SMA, dan juga disesuaikan dengan tingkat perkembangan

kognitif siswa.

SARAN

Diharapkan kepada pendidik matematika agar menguasai konsep matematika seperti

limit, agar dapat memperdalam pemahaman peserta didik tentang konsep limit disetiap

jenjang pendidikan.



DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Varberg, dan Rigdon (2003). Kalkulus dan Geometri Analitis, Jakarta. Erlangga.

Noormandiri, B.K. (2005). Matematika SMA PROGRAM IPA, Jakarta. Erlangga.

Josua Sabandar (2009). Matematika SMA PROGRAM IPA, Jakarta. Bumi Aksara.

Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.


09b07006 fitriani nur

Documents