“FUNGSI PELUANG BERSAMA”

Kelompok I :Christian KobaYulin Tipaka Novita Lidya Kendek

◊ Peluang Fungsi Bersama

Fungsi Peluang bersama diskrit Fungsi Peluang bersama kontinu

Fungsi Peluang bersama diskrit

Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit yang terdenisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah

P X,Y (x, y) = P (X = x; Y = y)

Catatan.1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada

ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama

2. {X = x; Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y

Contoh

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih

Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220

Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10

f(0,0) adalah 10/220

3

12

3

5

0

4

0

3

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut

Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/220

108/220

27/220 1/220 1

3 4 5

3( , )

12

3

x x x yp x y

y

Fungsi Peluang bersama kontinu

Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

Contoh

selainnya

yxyxyxf0

10,10)(5

6),(

2

1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah

2. Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

a.

=

=

Jawab

1

0

1

0

25

6),( dxdyyxdxdyyxf

1

0

1

0

21

0

1

0 5

6

5

6dxdyyxdxdy

115

6

10

6

5

6

5

6 1

0

21

0 dyyxdx

=

=

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah

dxdyyxYXP

4/1

0

4/1

0

25

6

4

10,

4

10

dxdyyxdxdy 4/1

0

4/1

0

24/1

0

4/1

0 5

6

5

6

640

7

320

6

220

64/1

0

34/1

0

y

y

x

x

yx

TERIMA KASIH