1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada makalah ini materi yang akan kami bahas adalah Fungsi Kepadatan Peluang didalam

makalah ini kami sajikan materi tentang Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak

Diskrit, Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepadatan Peluang

Bersama dari Beberapa Peubah Acak dimana dialamnya terdapat penjelasan serta rumus dan

soal-soal.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini yaitu :

Apa yang dimaksud dengan fungsi kepadatan peluang dan jenisnya?

C. Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah untuk membantu pembaca agar mengetahui, memahami arti

dan cara menyelesaikan Fungsi Kepadatan Peluang.

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Fungsi Kepadatan Peluang (FKP)

Kita telah mengenal dan memahami pengertian distribusi suatu peubah acak. Dimana,

distribusi peubah acak merupakan kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan

probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X = x). Distribusi X dapat dituliskan dalam

bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut. Variabel acak merupakan suatu fungsi acak

X yang bernilai riil di mana nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S dengan

S merupakan ruang sampel dari suatu percobaan statistik. Berdasarkan materi distribusi

peubah acak, peubah acak terbagi dua jenis, yaitu: variabel acak diskrit dan variabel acak

kontinu. Dimana variabel acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai

terhingga atau tak terhingga tetapi terbilang. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel

acak yang mempunyai nilai-nilai tak terhingga dan tak terbilang. Melalui pengertian-

pengertian diatas kita dapat dengan mudah menghitung peluang dari suatu peristiwa. Cukup

dengan mengamati tabel distribusi peluang. Pengertian tersebut dapat diperluas pada peubah-

peubah acak kontinu melalui konsep fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Dimana jika X adalah

variabel acak dan P(X = x) adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P (X = x)

disebut fungsi padat peluang.

B. Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Diskrit

Misalkan e ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi e terbilang. Misalkan f adalah

fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika

fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:

f (x)≥ 0 untuk setiap x di e

𝑓 𝑥 𝑥 𝑑𝑖 𝑒 = 1

Jika peubah acak X diskrit dengan fungsi kepadatan peluang f(x), maka peluang suatu

peristiwa A diberikan oleh:

𝑃 𝐴 = 𝑓 𝑥

𝑥 𝑑𝑖 𝑒

3

Contoh 1:

Misalkan e = { 0, 1, 2, 3, 4} ruang dari X, dan f adalah fungsi dari e ke dalam R yang

didefinisikan oleh:

𝑓 𝑥 =4!

4−𝑥 !𝑥! [

12

]4 ; x di e

Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.

Hitunglah P( X ≤ 1).

Penyelesaian:

Fungsi 𝑓 𝑥 =4!

4−𝑥 !𝑥 ! [

12

]4 merupakan suatu fungsi kepadatan peluang jika memenuhi dua

sifat f.k.p yaitu

f (x)≥ 0 untuk setiap x di e

jelas bahwa f(x) ≥ 0 untuk setiap x di e karena e = { 0, 1, 2, 3, 4}

𝑓 𝑥 = 1. 𝑥 𝑑𝑖 𝑒

Bukti 𝑓 𝑥 = 14𝑥=0

𝑓 𝑥 = 4!

4−𝑥 !𝑥 ! [

12

]44𝑥=0

4𝑥=0

= 4!

4−𝑥 !𝑥! [

12

]44𝑥=0

= [12

]4 𝐶𝑥44

𝑥

= [12

]4 (4!

4−0 !0!+

4!

4−1 !1!+

4!

4−2 !2!+

4!

4−3 !3!+

4!

4−4 !4!)

= [1

2]4 (

4!

4 !0!+

4!

3 !1!+

4!

2 !2!+

4!

1 !3!+

4!

0 !4!)

= [1

2]4 ( 1 + 4 + 6 + 4 + 1)

= 1

16 (16) = 1

Jadi Terbukti 𝑓 𝑥 = 14𝑥=0 . Ini berarti bahwa f adalah fungsi kepadatan peluang dari

peubah acak diskrit atau f.k.p. dari X.

4

Karena f merupakan f.k.p dari X, maka

P(A) = P( X ≤ 1) = 𝑓 𝑥 =1𝑥=0

4!

4−𝑥 !𝑥! [

1

2]41

𝑥=0

= [1

2]4 𝐶𝑥

11𝑥=0

= 1

2

4

(4!

4−0 !0!+

4!

4−1 !1!)

= 1

2

4

(4!

4 !0!+

4!

3 !1!)

= 1

2

4

(1 + 4)

= 1

16 (5)

= 5

16

Jadi, P( X ≤ 1) = 5

16

Contoh 2:

Misalkan e = { x | x = 1, 2, 3........} adalah ruang dari peubah acak X. Misalkan f adalah

fungsi dari e ke dalam R yang didefinisikan oleh f (x)= 1

2 𝑥

untuk setiap x di e.

Buktikan bahwa f suatu fungsi kepadatan peluang.

Hitunglah P(A) dimana A = { x | x = 1, 3, 5........}.

Penyelesaian:

a. Jelas f(x)≥0 untuk setiap x di e. Akan ditunjukkan bahwa

𝑓 𝑥 =∞𝑥=1 1

𝑓 𝑥 =∞𝑥=1

1

2

4

=∞𝑥=1

1

2+

1

2

2

+ 1

2

3

+ ⋯

= 1

2(1 +

1

2+

1

2

2

+ 1

2

3

+ ⋯

= 1

2 (1 + 𝑓 𝑥 )∞

𝑥=1

2 𝑓 𝑥 ∞𝑥=1 = 1 + 𝑓 𝑥 ∞

𝑥=1

2 𝑓 𝑥 ∞𝑥=1 − 𝑓 𝑥 = 1∞

𝑥=1

𝑓 𝑥 = 1∞

𝑥=1

5

Ini berarti bahwa f adalah f.k.p. dari X.

b. P (A) = 𝑓 (𝑥)∞𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑥 =1

= 1

2+

1

2

3

+ 1

2

5

+ ⋯ )

= 1

2(1 +

1

2

2

+ 1

2

4

+ ⋯ )

= 1

2(1 + 𝑃 𝐴𝑐 )}

= 1

2{1 + 1 − 𝑃 𝐴 }

= 1

2(2 − 𝑃 𝐴 )}

P (A) = 1 - 1

2(𝑃 𝐴 )

P(A) + 1

2(𝑃(𝐴)= 1

3

2𝑃(𝐴) = 1

P (A) = 2

3

Jadi P(A) = 𝑓 (𝑥)∞𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑥 =1 dimana A = { x | x = 1, 3, 5........} =

2

3.

C. Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu

Misalkan e ruang dari peubah acak kontinu X. Jadi e tak terbilang. Misalkan f adalah fungsi

dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika

fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:

f (x)≥ 0 untuk setiap x di e

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐴

Jika peubah acak X kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang f(x), maka peluang suatu

peristiwa A diberikan oleh:

𝑃 𝐴 = 𝑓 (𝑥)

𝑥 𝑑𝑖 𝑒

Contoh 1:

Misalkan A = { x | 0 < x < ∞}ruang peubah acak kontinu X, dan f adalah fungsi dari e ke

dalam R yang didefinisikan oleh f(x) = 𝑒−𝑥 untuk setiap x di e.

Buktikanlah bahwa f merupakan f.k.p.

Hitunglah P(X ≤ 1).

6

Penyelesaian:

Jelas f(x) ≥ 0 untuk setiap x di e. Akan tetapi ditunjukkan bahwa

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1.∞

0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

∞

0

= −𝑒−𝑥 |0∞

= −𝑒−𝑥 − (−𝑒−0)

= 0 + 1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1.∞

0

Jadi fungsi f adalah f.k.p dari X.

P(X ≤ 1) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥1

0

1

0

= −𝑒−𝑥 |01

= −𝑒−𝑥 − (−𝑒−0)

= −𝑒−𝑥 + 1

Contoh 2 :

Misalkan e = { x | 0 < x < 1} adalah ruang dari peubah acak X. Jika f(x) = KX2 untuk setiap x

di e, carilah harga X sehingga f merupakan f.k.p dari X. Kemudian, hitung P(1

4 < X ≤

1

2 ).

Penyelesaian:

a. Jelas f(x) ≥ 0 untuk setiap x di e. Agar f merupakan f.k.p.,

Haruslah 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝐴

. Akan tetapi ,

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥2𝑑𝑥 =𝑘

3

1

0𝐴 𝑥3|0

1 −𝑘

3 (1)3 =

𝑘

3

Karena haruslah 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝐴

dimana 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐾𝑥2 𝑑𝑥 =𝑘

3

1

0𝐴 , maka

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑘

3𝐴 , sehingga

𝑘

3= 1 K = 3.

7

b. Karena K = 3, maka

P( 1

4 < 𝑋 ≤

1

2 ) = 3𝑥2 = 𝑥3|1/4

1/21/2

1/4

=(1

2)3 − (

1

4)3

P( 1

4 < 𝑋 ≤

1

2 ) =

1

8−

1

64=

7

64

P( 1

4 < 𝑋 ≤

1

2 ) =

7

64

Jadi, P( 1

4 < 𝑋 ≤

1

2 ) =

7

64

D. Fungsi Kepadatan Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak

Misalkan e ruang bersama cari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal

ini 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 semuanya diskrit, yang berarti e terbilang, maka fungsi f dari e ke

dalam R yang bersifat:

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 ) ≥ 0 untuk setiap (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) di e

……… 𝑓 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 = 1𝑛𝑥3𝑥2𝑥1

Dimanakan f.k.p. bersama dari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini, jika A ⊆e, maka:

P(A) = P [(𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) 𝑑𝑖 𝑒 ]

= ……… 𝑓 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 𝑛𝑥3𝑥2𝑥1 .

Misalkan e ruang bersama cari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini

𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 semuanya kontinu, yang berarti e tak terbilang, maka fungsi f dari e ke

dalam R yang memenuhi sifat:

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 ) ≥ untuk setiap (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) di e

…… . .𝑥3𝑥2𝑥1

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛)𝑑𝑥1 𝑑𝑥2𝑛 𝑑𝑥3 …… ,𝑑𝑥𝑛 = 1

Dimanakan f.k.p. bersama dari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini,

P(A) = P [(𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) 𝑑𝑖 𝐴 ]

= …… . .𝑥3𝑥2𝑥1

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛)𝑑𝑥1 𝑑𝑥2𝑛 𝑑𝑥3 …… ,𝑑𝑥𝑛 .

Contoh :

Misalkan e {(x, y) | x = 1, 2, 3, ...... dan y = 1, 2, 3,...... adalah ruang bersama dari X dan Y .

Misalkan f (x, y) didefinisikan oleh:

8

𝑓 𝑥, 𝑦 = 9

4𝑥+𝑦

Buktikan bahwa f merupakan f.k.p bersama dari X dan Y .

Bukti:

Jelas 𝑓 𝑥,𝑦 ≥ 0 untuk setiap (x, y) di e. Akan ditunjukkan bahwa

𝑓 𝑥, 𝑦 = 1∞𝑥=1

∞𝑦=1 . Untuk itu kita buat tabel distribusi bersama sebagai berikut:

x

y

1 2 3 4 …

1 9

42

9

43

9

44

9

45

…

2 9

43

9

44

9

45

9

46

…

3 9

44

9

45

9

46

9

47

…

… … … … … …

… … … … … …

(i). Jumlah baris pertama adalah:

S1 = 9 1

4𝑘=

9

4 {

1

4+

1

4𝑘} =

9

16+

1

4 𝑠1

∞𝑘=2

∞𝑘=2

Jadi S1 = 3

4

(ii). Jumlah baris kedua adalah:

S2 = 9 1

4𝑘= 9 (

1

4

1

4𝑘) =

9

4

1

4𝑘

∞𝑘=2 =

1

4 𝑠1

∞𝑘=2

∞𝑘=2

Jadi S2 = 1

4 𝑆

= 1

4

3

4

= 3

6

(iii). Jumlah baris ketiga adalah:

𝑆𝑘 = 9 1

4𝑘= 9 (

1

4

1

4𝑘) =

9

4

1

4𝑘

∞𝑘=2 =

1

42 𝑆1∞𝑘=2

∞𝑘=2

(iv). Dengan cara yang sama seperti di atas, maka jumlah baris ke- k adalah:

Sk = 1

4𝑘−1 𝑆1

9

Jadi,

𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑆1 1 + 1

4+

1

42+

1

43+

1

44+ ……

∞

𝑥=1

∞

𝑦=1

= 𝑆1 1 + 1

4+

1

4𝐾∞𝐾=2

= 𝑆1 1 + 1

4+

1

9+ (9

1

4𝐾∞𝐾=2 )

= 𝑆1 1 + 1

4+

1

9+ (𝑆1)

= 3

4 1 +

1

4+

1

9+ (

3

4)

= 3

4 𝑥

16

12 =1

Ini berarti bahwa f adalah f.k.p. bersama dari x dan y.

10

BAB III

PENUTUP

A. Simpulan

Pengertian Fungsi Kepadatan Peluang (FKP)

Kita telah mengenal dan memahami pengertian distribusi suatu peubah acak. Dimana,

distribusi peubah acak merupakan kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan

probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X = x). Distribusi X dapat dituliskan dalam

bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut. Variabel acak merupakan suatu fungsi acak

X yang bernilai riil di mana nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S dengan

S merupakan ruang sampel dari suatu percobaan statistik. Berdasarkan materi distribusi

peubah acak, peubah acak terbagi dua jenis, yaitu: variabel acak diskrit dan variabel acak

kontinu. Dimana variabel acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai

terhingga atau tak terhingga tetapi terbilang. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel

acak yang mempunyai nilai-nilai tak terhingga dan tak terbilang. Melalui pengertian-

pengertian diatas kita dapat dengan mudah menghitung peluang dari suatu peristiwa. Cukup

dengan mengamati tabel distribusi peluang. Pengertian tersebut dapat diperluas pada peubah-

peubah acak kontinu melalui konsep fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Dimana jika X adalah

variabel acak dan P(X = x) adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P (X = x)

disebut fungsi padat peluang.

Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Diskrit

Misalkan e ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi e terbilang. Misalkan f adalah

fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika

fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:

f (x)≥ 0 untuk setiap x di e

𝑓 𝑥 𝑥 𝑑𝑖 𝑒 = 1

Fungsi Kepadatan Peluang dari Peubah Acak Kontinu

Misalkan e ruang dari peubah acak kontinu X. Jadi e tak terbilang. Misalkan f adalah

fungsi dari e ke dalam R, fungsi f tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang jika

fungsi f memenuhi sifat-sifat berikut ini:

f (x)≥ 0 untuk setiap x di e

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐴

11

Fungsi Kepadatan Peluang Bersama dari Beberapa Peubah Acak

Misalkan e ruang bersama cari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal

ini 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 semuanya diskrit, yang berarti e terbilang, maka fungsi f dari e ke

dalam R yang bersifat:

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 ) ≥ 0 untuk setiap (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) di e

……… 𝑓 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 = 1𝑛𝑥3𝑥2𝑥1

Dimanakan f.k.p. bersama dari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini, jika A ⊆e, maka:

P(A) = P [(𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) 𝑑𝑖 𝑒 ]

= ……… 𝑓 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 𝑛𝑥3𝑥2𝑥1 .

Misalkan e ruang bersama cari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini

𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 semuanya kontinu, yang berarti e tak terbilang, maka fungsi f dari e ke

dalam R yang memenuhi sifat:

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 ) ≥ untuk setiap (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) di e

…… . .𝑥3𝑥2𝑥1

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛)𝑑𝑥1 𝑑𝑥2𝑛 𝑑𝑥3 …… ,𝑑𝑥𝑛 = 1

Dimanakan f.k.p. bersama dari 𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛 Dalam hal ini,

P(A) = P [(𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛) 𝑑𝑖 𝐴 ]

= …… . .𝑥3𝑥2𝑥1

𝑓 (𝑋1,𝑋2,𝑋3, ……… 𝑋𝑛)𝑑𝑥1 𝑑𝑥2𝑛 𝑑𝑥3 …… ,𝑑𝑥𝑛 .

B. Saran

Semoga makalah yang telah kami buat dapata bermanfaat bagi pembaca dan

khususnya kami sebagai penyusun, dan diharapkan pembaca dapat menganalisis lebih jelas

lagi mengenai pemecahan masalah rutin dan non rutin dengan cara mencari literature-literatur

lain yang dapat menambah wawasan pembaca dalam menganalisis materi tersebut

12

DAFTAR PUSTAKA

UMP (2011) “Fungsi Kepadatan Peluang” http://www.scribd.com/doc/111725664/7-

Fungsi-Kepadatan-Peluang (diakses 21,04,2014)

Asriani Hasan (2011) “STATISTIK MATEMATIKA II”

http://www.scribd.com/doc/119906652/STATMAT-II-EDIT-docx (diakses

21,04,2014)