UKURAN PENYEBARAN DATAMata kuliah : Statistika Terapan

Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc

Semester : II

Pertemuan : VI

Pokok Bahasan : Ukuran Penyebaran Data

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS HORTIKULTURA

Sub Pembahasan

1. Range

2. Deviasi kuartil

3. Simpangan absolut rata-rata4. Ragam dan standar deviasi

RANGE • Range merupakan selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum

dalam suatu gugus data.

Contoh 1:

Besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang selama lima bulanterakhir (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut:

5, 5, 5, 6, 6, 3 dan 7. Maka range-nya adalah 7 – 5 = 2.

• Mencari nilai range untuk data yang sudah dikelompokkan, adalah:R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama

atauR = Nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah.

Contoh 2:

• Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:No. Kelas Interval fi xi

1 31 – 40 1 35,5

2 41 – 50 2 45,5

3 51 – 60 5 55,5

4 61 – 70 15 65,5

5 71 – 80 20 75,5

6 81 – 90 25 85,5

7 91 – 100 5 95,5

Ʃfi = 73

Penyelesaian:Berdasarkan tabel di samping.

Cara 1:

• Batas bawah kelas teakhir = 91

• Batas bawah kelas pertama = 31

Maka range, R= 91 – 31 = 60

Cara 2:

• Nilai tengah tertinggi = 95,5

• Nilai tengah terendah = 35,5

Maka range, R = 95,5 – 35,5 = 60

DEVIASI KUARTIL• Deviasi kuartil merupakan selisih nilai

kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1) dibagi dua.

• Rumus untuk menghitung deviasi kuartil data tidak dikelompokkan:

KD =𝑄3 − 𝑄1

2• Contoh: tentukan deviasi kuartil dari data

berikut: 35, 40, 70,80, 91, 50, 61, 25,95Penyelesaian:

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

1 2 3 4 5 6 7 8 9

• Letak kuartil 1: 𝑸𝟏 = 𝟏 ×𝟗+𝟏

𝟒= 𝟐, 𝟓

jadi kuartil pertama terletak di antara data ke-2 dan data ke-3.

• Nilai kuartil 1:

Nilai 𝑄1 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒2 +1

2(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒3 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒2)

Nilai 𝑄1 = 35 +1

240 − 35 = 35 +

1

2. 5 = 𝟑𝟕, 𝟓

• Letak kuartil 3: 𝑸𝟑 = 𝟑 ×𝟗+𝟏

𝟒= 𝟕, 𝟓

jadi kuartil ketiga terletak di antara data ke-7 dan data ke-8.

• Nilai kuartil 3:

Nilai 𝑄3 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒7 +1

2(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒8 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒7)

Nilai 𝑄7 = 80 +1

291 − 80 = 80 +

1

2. 11 = 𝟖𝟓, 𝟓

Maka deviasi kuartilnya adalah:

DK =𝑄3−𝑄1

2=

(85,5 −37,5)

2= 24

SIMPANGAN ABSOLUT RATA-RATA• Simpangan absolut rata-rata adalah jumlah

mutlak penyimpangan setiap nilai pengamatan terhadap rata-rata, dibanding banyaknya pengamatan. Simpangan absolut rata-rata mencerminkan rata-rata selisih mutlak nilai data terhadap nilai rata-rata.

1. Simpangan Absolut Rata-rata Untuk Data Tidak Dikelompokkan.

Rumusnya:

Di mana:

Xi = Nilai data ke-iത𝑋 = Rata-rata hitung

N = Banyaknya observasi

Contoh:

Pengeluaran per bulan dari lima orang iburumah tangga untuk keperluan biaya hidup(dalam ratusan ribu rupiah) pada tahun 2004,adalah sebagai berikut:

3 4 4,5 5 6.Tentukan deviasi rata-ratanya!

Penyelesaian:

ҧ𝑥 =3 + 4 + 4,5 + 5 + 6

5= 4,5

𝑀𝐴𝐷 =3− 4,5 + 4 − 4,5 + 4,5 − 4,5 + 5 − 4,5 + 6 − 4,5

5

= 0,80

𝑀𝐴𝐷 =σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥

𝑁

2. Simpangan Absolut Rata-rata Untuk Data Dikelompokkan.

Contoh:

Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:

No. Kelas Interval fi Xi fi.x |Xi -ഥ𝑿| f.|Xi -ഥ𝑿|

1 53 – 58 2 55,5 111 19,88 39,76

2 59 – 64 12 61,5 738 13,88 166,56

3 65 – 70 10 67,5 675 7,88 78,80

4 71 – 76 23 73,5 1690,5 1,88 43,24

5 77 – 82 14 79,5 1113 4,12 57,68

6 83 – 88 10 85,5 855 10,12 101,20

7 89 – 94 5 91,5 457,5 16,12 80,60

8 95 – 100 4 97,5 390 22,12 88,48

Ʃ=80 Ʃ=6030 Ʃ=656,32

ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑥𝑖σ 𝑓𝑖

=6030

80= 75,38

Jadi,

MAD =656,32

80= 8,204

Langkah 1 Langkah 2 Langkah 4

Langkah 3

Langkah 5

Langkah 6

RAGAM• Ragam adalah jumlah kaudrat dari selisih nilai observasi

dengan rata-rata hitung dibagi banyaknya observasi. Sedangkan standar deviasi adalah akar dari ragam tersebut.

1. Untuk data tidak dikelompokkan

• Formulasi ragam untuk populasi;

• Formulasi ragam untuk sampel;

𝜎2 =σ(𝑥𝑖 − 𝜇)2

𝑁𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜎2 =

σ𝑥𝑖2 −

(σ𝑥𝑖)2

𝑁𝑁

𝑠2 =σ(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠2 =

σ𝑥𝑖2 −

(σ 𝑥𝑖)2

𝑛𝑛

Di mana:

Xi = Nilai tengah kelas ke-i

N = Banyaknya data populasi

n = Banyaknya data sampel

fi = Frekuensi kelas ke-i

Contoh 1: data tidak dikelompokkan

• Carilah standar deviasi dari data sebagai berikut: 5, 7, 8, 9, 10, 21

Penyelesaian:

X X - ഥ𝑿 (𝑿 − ഥ𝑿)𝟐

5 -5 25

7 -3 9

8 -2 4

9 -1 1

10 0 0

21 11 121

Ʃ=60 0 Ʃ=160

ҧ𝑥 =60

6= 10

𝑠2 =σ(𝑥𝑖 − ҧ𝑥)2

𝑛 − 1=

160

5= 32

𝑠 = 32 = 5,657

2. Untuk data dikelompokkan

• Formulasi ragam untuk populasi;

• Formulasi ragam untuk sampel;

𝜎2 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖

2 −(σ𝑓𝑖𝑥𝑖)

2

𝑁𝑁

𝑠2 =σ𝑓𝑖𝑥𝑖

2 −(σ𝑓𝑖𝑥𝑖)

2

𝑛𝑛

Di mana:

Xi = Nilai tengah kelas ke-i

N = Banyaknya data populasi

n = Banyaknya data sampel

fi = Frekuensi kelas ke-i

Contoh 2: data dikelompokkan• Diketahui distribusi frekuensi di bawah ini:

Penyelesaian:

No. Kelas Interval fi Xi fi.x |𝑿𝒊 − 𝑿| |𝑿𝒊 − 𝑿|𝟐 f.|Xi -ഥ𝑿|𝟐

1 53 – 58 2 55,5 111 19,88 395,21 790,43

2 59 – 64 12 61,5 738 13,88 192,65 2311,9

3 65 – 70 10 67,5 675 7,88 62,094 620,94

4 71 – 76 23 73,5 1690,5 1,88 3,5344 81,291

5 77 – 82 14 79,5 1113 4,12 16,974 237,64

6 83 – 88 10 85,5 855 10,12 102,41 1024,1

7 89 – 94 5 91,5 457,5 16,12 259,85 1299,3

8 95 – 100 4 97,5 390 22,12 489,29 1957,2

Ʃ=80 Ʃ=6030 Ʃ=8322,8

ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑥𝑖σ 𝑓𝑖

=6030

80= 75,38

Varian = 𝑠2 =8322,8

79= 105,352

Standar deviasi, 𝑠 = 105,352 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟔

Langkah 1 Langkah 2 Langkah 4 Langkah 5 Langkah 6

Done!

Latihan Soal.

1. Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:

Interval Kelas Fi

20 – 29 1

30 – 39 4

40 – 49 7

50 – 59 13

60 – 69 25

70 – 79 15

80 – 89 5

Tentukanlah:

1. Deviasi rata-rata (MAD)

2. Varians (𝑠2)

3. Standar deviasi (s)

Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam

Penelitian.Bandung:Pustaka Setia

• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia