pertemuan ke-18 matematika & statistik · ukuran penyebaran pengertian dan kegunaan penyebaran...

PERTEMUAN KE-18

MATEMATIKA & STATISTIK

BAB 4 UKURAN LETAK

Pengertian Ukuran Letak Ukuran letak suatu rangkaian data adalah ukuran yang didasarkan pada letak ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Kuartil Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 4 bagian yang sama.

K1 K2 K3 Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni; kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil ke 3 (K3). Kuartil pertama (K1) adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah dan 75 % distribusi bagian atas. Kuartil kedua (K2) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Md). Kuartil ketiga (K3) adalah nilai yang membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas.

Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi) Nilai kuartil dirumuskan dengan

cif

FbKi

in

.)(

4

Dengan i = 1, 2, 3 Dimana b : batas bawah kelas Ki p : panjang kelas Ki F : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki f : frekuensi kelas Ki

Contoh :

Diketahui distribusi frekuensi gaji 80 buruh pabrik genting perminggu tahun 2012 (dalam ribuan rupiah) sebagai berikut :

Kelas frekuensi Tepi Kelas bawah

Frekuensi kumulatif

keterangan

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15 5 + 10

30-34 17 29.5 32 5+10+17

35-39 18 34.5 50 5+10+17+18

40-44 15 39.5 65 5+10+17+18+15

45-49 8 44.5 73 5+10+17+18+15+8

50-54 7 49.5 80 5+10+17+18+15+8+7

jumlah 80

Rumus letak untuk data berkelompok

4

)(niKi

4

)(11

nK

4

)(22

nK

4

)(33

nK

1. Kuartil 1

Letak Kuartil 1: 204

)80(11 K

Nilai Kuartil 1 : 9706.3017

)1520(.55.291

K

2. Kuartil 2 sama dengan Median

Letak Kuartil 2 : 404

)80(22 K


)3240(.55.342

K


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak K1 ada

diurutan 20

Letak K2 ada

diurutan 40

15 = 5 + 10

32 = 5 + 10 + 17

3. Kuartil 3

Letak Kuartil 3 : 604

)80(33 K


)5060(.55.393

K

Desil Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 10 bagian yang sama.

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Desil dari suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama. Desil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 10 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi desil untuk menentukan nilai batas tiap 10 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibadi menjadi 10 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 10 persen distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 9 nilai desil yakni; desil 1 (D1), desil 2 (D2), desil ke 3 (D3) dan seterusnya sampai dengan desil ke 9 atau D9.


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak K3 ada

diurutan 60

Desil pertama (D1) adalah suatu nilai yang membatasi 10% distribusi bagian bawah dan 90 % distribusi bagian atas. Desil kedua (D2) adalah nilai yang membatasi 20% distribusi bagian bawah dan 80% distribusi bagian atas. Desil kelima (D5) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini desil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn) dan kuartil ke 2 (K2). Desil kesembilan (D9) adalah nilai yang membatasi 90% distribusi bagian bawah dan 10% distribusi bagian atas. Asumsi teknik pengukuran desil : data yang diperoleh dari hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala interval. Desil merupakan bilangan pembagi dari sekumpulan data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Ada sembilan Desil yaitu Desil pertama, Desil kedua, . . ., Desil sembilan, yang diberi simbol D1, D2, . . ., D3. Data kelompok (dalam distribusi frekuensi)

Nilai Desil dirumuskan dengan

Dengan i = 1, 2, 3, . . ., 9 Dimana b : batas bawah kelas Di p : panjang kelas Di F : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di f : frekuensi kelas Di

Contoh :



10

)(niDi

10

)(33

nD

10

)(55

nD

10

)(88

nD

1. Desil 3

Letak Desil 3 : 2410

)80(33 D

Nilai Desil 3 : 147.3217

)1524(.55.293

D


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak D3 ada

diurutan 24

2. Desil 5


)80(55 D


)3240(.55.345

D

3. Desil 8


)80(88 D


)5064(.55.398

D


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak K2 ada

diurutan 40

Letak K3 ada

diurutan 64

Persentil Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 100 bagian yang sama.

P1 P2 P3 P25 P35 P50 P60 P75 P90 P99 Persentil suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar. Oleh karena itu fungsi persentil adalah menentukan nilai batas tiap 1 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Teknik ini diterapkan jika kelompok atau distribusi data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, untuk selanjutnya menentukan batas tiap 1 persen dalam distribusi dimaksud. Dalam statistik dikenal ada 99 nilai persentil yakni; persentil 1 (P1), persentil 2 (P2), persentil ke 3 (P3) dan seterusnya sampai dengan persentil ke 99 atau P99. Persentil pertama (P1) adalah suatu nilai yang membatasi 1% distribusi bagian bawah dan 99 % distribusi bagian atas. Persentil kedua (P2) adalah nilai yang membatasi 2% distribusi bagian bawah dan 98% distribusi bagian atas. Persentil ke 50 (P50) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini persentil 50 dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn) dan kuartil ke 2 (K2) serta desil ke 5 atau D5. Persentil ke 99 (P99) adalah nilai yang membatasi 99% distribusi bagian bawah dan 1% distribusi bagian atas.

Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

Nilai Persentil dirumuskan dengan

Dengan i = 1, 2, 3, . . ., 99

Dimana b : batas bawah kelas Pi p : panjang kelas Pi F : Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi f : frekuensi kelas Pi

Contoh :



100

)(niPi

100

)(2525

nP

100

)(5050

nP

100

)(7575

nP


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

1. Persentil 25

Letak Persentil 25 : 20100

)80(2525 P

Nilai Persentil 25 : 147.3217

)1520(.55.2925

P

2. Persentil 50


)80(5050 P


)3240(.55.3450

P


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak D3 ada

diurutan 20

Letak K2 ada

diurutan 40

3. Persentil 75


)80(7575 P


)5060(.55.3975

P

Latihan Soal Diketahui data pendapatan pedagang angkringan di jalan wirobrajan sbb :

No Pendapatan Jumlah

Pedagang 1 100-109 5 2 110-119 10 3 120-129 19 4 130-139 25 5 140-149 20 6 150-159 14 7 160-169 7

Pertanyaan : 1) Carilah K1, K2 dan K3 2) Carilah D4, D6 dan D9 3) Carilah P20, D50 dan D80 4) Pemerintah berencana membantu 10 pedagang angkringan yang

pendapatannya paling rendah. Berapa pendapatan pedagang agar ia mendapat bantuan dari pemerintah ?


Frekuensi kumulatif

20-24 5 19.5 5

25-29 10 24.5 15

30-34 17 29.5 32

35-39 18 34.5 50

40-44 15 39.5 65

45-49 8 44.5 73

50-54 7 49.5 80

Letak P75

ada diurutan

60

BAB 5

UKURAN PENYEBARAN

Pengertian dan Kegunaan Penyebaran atau dispersi adalah pergerakan dari nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya. Rata-rata dari serangkaian nilai observasi tidak dapat diinterpretasikan secara terpisah dari hasil dispersi nilai-nilai tersebut sekitar rata-ratanya. Makin besar variasi nilai, makin kurang representatif rata-rata distribusinya. Adapun ukuran penyebaran data yang biasa dihitung adalah range (rentang), standar deviasi (simpangan baku), kurtosis (keruncingan), skewness (kemiringan). Rentang data menunjukkan selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil dalam suatu himpunan data. Simpangan baku adalah jumlah mutlak selisih setiap nilai pengamatan terhadap nilai rata-rata dibagi dengan banyaknya pengamatan, kurtosis merupakan ukuran untuk menentukan bentuk-bentuk distribusi yang biasanya dibandingkan dengan kurva distribusi normal. Contoh Diberikan tabel hasil test mahasiswa A dan B : Mahasiswa Hasil Tes A 60 65 50 60 65 60 B 30 90 50 70 60 60 Mahasiswa A : variasi nilai dari 50 sampai 65. Mahasiswa B : variasi nilai dari 30 sampai 90. Bisa kita lihat . Meskipun rata-rata hasil tes mereka sama, tetapi dispersi hasil tes mahasiswa B lebih besar dari pada mahasiswa A. Nilai A lebih konsisten (stabil) dari pada nilai B. Sedang nilai B kadang baik, kadang jelek. Hal ini berarti prestasi nilai A lebih baik (stabil) dari pada B. Kegunaan ukuran penyebaran antara lain sebagai berikut :

1. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-ratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.

2. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.

3. Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.

Ukuran Penyebaran Absolut Ukuran pnyebaran absolute adalah ukuran penyebaran yang digunakan untuk membandingkan dengan ukuran penyebaran yang lain dalam suatu populasi yang sama. Macam-macam ukuran penyebaran absolute sebagai berikut :

1. Rentang (range) 2. Rentang antar kuartil 3. Simpangan kuartil (deviasi Kuartil) 4. Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata) 5. Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

Pada kesempatan Hari ini kita hanya membahas Standar Deviasi Standar Deviasi

Standar Deviasi (Simpangan baku) merupakan ukuran simpangan yang paling banyak digunakan. Misalkan suatu sampel berukuran n, dengan data: X1, X2, X3, …., Xn. Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut dapat dihitung sbb:

s = =

Dimana : s = standar deviasi ∑ = Jumlah X = nilai data

= nilai rerata N = jumlah frekuensi

Untuk Data Tidak Berkelompok Nilai Ujian Nasional 9 siswa Kelas XII untuk Mapel Ekonomi

60 65 50 75 80 80 60 85 90

Maka Deviasi Standar (Standar Deviasi) dapat dihitung sbb:

No X (Xi - ) (Xi - )2

1 60 -11.67 136.11 2 65 -6.67 44.44 3 50 -21.67 469.44 4 75 3.33 11.11 5 80 8.33 69.44 6 80 8.33 69.44 7 60 -11.67 136.11 8 85 13.33 177.78 9 90 18.33 336.11

Jumlah 645 0 1450

67.719

645

N

XX

s = 95.179

450.1s

Untuk Data Kelompok Untuk data berkelompok berlaku formula deviasi standar sebagai berikut : Metode Pendek Metode ini menggunakan formula

xciNfdnfd 22 )/(/

Dimana : α = Deviasi Standar ∑ = Jumlah d = deviasi dalam interval kelas N = jumlah frekuensi

f = frekuensi

Kelas f X d fd d^2 fd^2

40-49 4 44.5 -3 -12 9 36 50-59 6 54.5 -2 -12 4 24 60-69 15 64.5 -1 -15 1 15 70-79 13 74.5 0 0 0 0 80-89 8 84.5 1 8 1 8 90-99 4 94.5 2 8 4 16 jumlah 50 -3 -23 19 99

Langkah-langkahnya :

a. Hitung nilai deviasi dalam interval kelas (d) masing-masing kelas

b. Kalikan masing-masing nilai d dengan masing-masing frekuensinya (f),

kemudian dibagi dengan jumlah seluruh frekuensi dan hasilnya

dikuadratkan

c. Hitung kuadrat nilai d2 masing-masing kelas

d. Kalikan masing-masing kuadrat nilai d2 dengan masing-masing

frekuensinya (f), kemudian bagi dengan jumlah seluruh frekuensi

e. Hasil (d) dikurangkan (b) lalu diakarkan dan dikalikan dengan interval

kelas

Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

cixNfdnfd 22 )/(/

10)50/19(50/99 2 x

107684.1 x

103298.1 x

298.13

Coding

Ci = Kelas Interval

Ci = 40 – 30 = 10

Latihan Soal Tabel dibawah ini menunjukan distribusi frekuensi gaji 50 kayawan di perusahaan swasta (dalam ribuan rupiah)

No Pendapatan Jumlah Karyawan 1 2000-2490 3 2 2500-2990 9 3 3000-3490 15 4 3500-3990 13 5 4000-4490 7 6 4500-4990 3

Berdasarkan data diatas, hitunglah Standar Deviasi dari tabel diatas

TUGAS YANG HARUS SAUDARA PECAHKAN Untuk Mahasiswa Perempuan Tabel dibawah ini menunjukan distribusi frekuensi gaji kayawan di perusahaan A dan perusahaan B (dalam ribuan rupiah)

No Kelas Jumlah karyawan

Perusahaan A Perusahaan B 1 2000-2490 3 5 2 2500-2990 7 10 3 3000-3490 15 20 4 3500-3990 14 8 5 4000-4490 6 4 6 4500-4990 5 3

Berdasarkan data diatas, hitunglah :

a. Mean, Median, Kuartil 1 (K1), Desil 7 (D7) dan Percentil 40 (P40) b. Standar Deviasi perusahaan A dan perusahaan B ! c. Bandingkan hasil perhitungan Saudara, perusahaan mana yang lebih

baik ? Jelaskan !

Untuk Mahasiswa Laki-Laki Tabel dibawah ini menunjukan distribusi frekuensi gaji kayawan di perusahaan A dan perusahaan B (dalam ribuan rupiah)

No Kelas Jumlah karyawan

Perusahaan A Perusahaan B 1 2000-2490 3 4 2 2500-2990 7 6 3 3000-3490 15 10 4 3500-3990 14 15 5 4000-4490 5 8 6 4500-4990 4 4 7 5000-5490 2 3

Berdasarkan data diatas, hitunglah :

a. Mean, Median, Kuartil 1 (K1), Desil 7 (D7) dan Percentil 40 (P40) b. Standar Deviasi perusahaan A dan perusahaan B ! c. Bandingkan hasil perhitungan Saudara, perusahaan mana yang lebih

baik ? Jelaskan !

Kunci Jawaban : Pilih Yang Rata-ratanya besar dan standar deviasinya kecil

Noted :

1. Karena tanggal 10 April 2020 tanggal merah, Saudara diberi

waktu 3 hari untuk mempelajari materi ini. Jika materi sudah

dipelajari silahkan Selesaikan Tugas Yang harus Saudara

Pecahkan.

2. Setelah Saudara Download materi silahkan presensi melalui

klik Leave Comment dengan menulis Nama dan NIM sekali

saja.

3. Silahkan Saudara kerjakan dan kirim ke

[email protected] paling lambat Hari Senin

Tanggal 13 April 2020 jam 22:00 WIB

SEMOGA ALLAH SELALU MELINDUNGIMU # STAYATHOME

mailto:[email protected]

pertemuan ke-18 matematika & statistik · ukuran penyebaran pengertian dan kegunaan penyebaran...

Documents