“UKURAN PEMUSATAN, UKURANPENYEBARAN “

Disusun Oleh :

Nama Kelompok :

1. Anita Juliani ( 06081181419006)

2. Putri Yani ( 06081181419072)

3. Siti Sholekah ( 06081181419011)

Dosen pengasuh :

1. Prof.Dr.Ratu Ilma I.P.,M.Si.

2. Puji Astuti.M.Sc.

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

ANGKATAN 2014

A. Ukuran Pemusatan Data

1. Pengertian ukuran pemusatan data

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.

2. Macam-macam ukuran pemusatan data

2.1 Rata-rata (Mean)

2.1.1 Rata-rata dari data tunggal

Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperolah dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Dirumuskan dengan :

Keterangan :

x̄ = Mean

∑i=1

n

1 = Jumlah seluruh data

n = banyaknya data

Contoh :

Perhitungan mean nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi agama islam, PMP, Bahasa Indonesia, Bahasa inggris, IPS dan IPA seorang siswa Madrasah Aliyah Negeri.

X F9 18 17 16 15 14 1∑x= 39 N=6

Dari tabel diatas telah kita peroleh ∑x= 39, sedangkan N=6. Dengan demikian :

x̄= ∑ xN =

396 = 6,50

2.1.2Rata-rata hitung dari data yang telah dikelompokkan

Untuk data kelompokkan mean dapat diperoleh dengan menggunakan dua metode, yaitu metode panjang dan metode singkat.

x̄=∑i=1

n

1

n

2.1.3 Mencari mean data kelompokkan dengan menggunakan metode panjang

Pada perhitungan mean yang menggunakan metode panjang, semua kelompokan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari, nilai tengah midpoint-nya. Setelah itu, tiap midpoint diperkalikan dengan frekuensi yang dimilikki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.

Rumus :

Contoh :

Nilai hasil tes seleksi bidang studi bahasa inggris dari sejumlah 800 orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon sisiwa pada sebuah SMA swasta

Interval nilai F75-79 870-74 1665-69 3260-64 16055-59 24050-54 17645-49 8840-44 4035-39 3230-34 8total 800= N

Dari tabel diatas tentukan rata-ratanya ?

Jawab :

Perhitungan rata-rata dengan menggunakan metode panjang

Interval nilai F X fX75-79 8 77 61670-74 16 72 115265-69 32 67 214460-64 160 62 992055-59 240 57 1368050-54 176 52 915245-49 88 47 413640-44 40 42 168035-39 32 37 118430-34 8 32 256total 800= ₐ - 43920= ∑ fX

Dari tabel diatas telah kita peroleh ∑ fX=43920, adapun N=800. Dengan demikian :

x̄= ∑fX

N

x̄= ∑fX

N =43920

800 = 54,90

2.1.4 Mencari mean data kelompokkan dengan menggunakan singkat

Rumus yang digunakan :

Keterangan :

x̄= Rata-rata (mean)

x’= mean terkaan atau mean taksiran

∑ fX ᾿ = jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-masing interval.

N= Number of Cases

2.1.5 Rata-rata Geometris dan data tunggal

Rata-rata geometris G dari sekumpulan angka X1,X2,....,Xn, adalah akar pangkat n dari perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus :

Contoh :

Tentukan rata-rata geometris dari 4,9,6!

Jawab :

G=3√4.9 .6

G=3√216

G=6

2.1.6 Rata-rata geometris dari data yang dikelompokkan

Untuk mencari rata-rata geometris dari data kelompokkan dengan menggunakan rumus :

Log G = ∑( fi log xi)

∑fi

2.1.7 Rata-rata harmonis data tunggal

Rata-rata harmonis data tunggal dirumuskan dengan :

x̄= x’+ i (∑fX ᾿

N)

G=n√ x₁. x₂. xn

H= n

∑i=1

n 1x 1

2.1.8 Rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan

Rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan rumus :

2.2 Median

Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang diurutkan(disusun) dari data terkecil sampai data terbesar.

2.2.1 Median dari data tunggal

Contoh :

Diketahui data sebagai berikut :

3,2,5,2,4,6,6,7,9,6. Carilah mediannya!

Jawab : Setelah data diurutkan didapat 2,2,3,4,5,6,6,6,7,9

Karena n genap maka mediannya :

Me= 5+6

2

Me= 5,5

2.2.2 Median dari data yang telah dikelompokkan

Untuk mencari nilai dari median yang telah dikelompokkan dengan menggunakan rumus :

Keterangan :

b= batas bawah kelas median

p= panjang kelas

n= banyaknya data

F=jumlah frekuensi sebelum kelas median

f= frekuensi kelas median

Contoh :

H=n

∑ fxi

Me= b + P(12

n−F

f)

Tentukanlah median dari data berikut !

Tabel 1.1

Tinggi Frekuensi (f)150-154 3155-159 5160-164 10165-169 13170-174 7175-179 2

Penyelesaian :

a. Tabel 1.1 dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi seperti tabel 1.2

Tabel 1.2 frekuensi dan frekuensi kumulatif tinggi

Tinggi Frekuensi (f) Frekuensi kumulatif (fk)

150-154 3 3155-159 5 8160-164 10 18165-169 13 31170-174 7 38175-179 2 40

∑ f 1=40

b. Tentukan kelas yang memuat median, yaitu dengan menghitung nilai 12n = 1

2(40)= 20. Berarti kelas median terletak pada kelas 165-169.b= 164,5; F= 18, f=13, P=5Me= b + P(

12

n−F

f)

Me= 164,5 + 5(12

40−18

13)

Me= 165,27

Jadi, mediannya adalah 165,27.

2.3 Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar.

2.3.1 Modus dari data tunggal

Contoh :

Tentukan modus dari data berikut ini !

1,2,3,2,2,3,4,5,6,2

Jawab :

Setelah diurutkan diperoleh : 1,2,2,2,2,3,3,4,5,6

Modus (Mo)= 2

2.3.2 Modus dari data yang telah dikelompokkan

Untuk menghitung modus dari data yang telah dikelompokkan dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Tentukan modus data berikut!

Tinggi Frekuensi (f)150-154 3155-159 5160-164 10165-169 13170-174 7175-179 2

Penyelesaian :

Kelas yang memuat modus adalah kelas 165-169 (karena mempunyai frekuensi yang terbanyak)

b= 164,5 ; b1= 13-10 = 3; b2= 13-7= 6; P= 5

Mo=b + P b1

b 1+b 2

Mo=164,5 + 5 3

3+6

Mo= 164,5 + 1,7

Mo= 166,2

Jadi, modusnya adalah 166,2.

3. Hubungan antara rata-rata (x̄), Median (Me), dan Modus (Mo)

Terdapat hubungan empiris antara (x̄), (Me), dan (Mo), yaitu

Mo=b + P b 1

b 1+b 2

Mo= x̄ - 3 (x̄- Me) Mo= 3 Me-2 x̄

atau

Contoh soal :

Dari beberapa kali ujian pelajaran Matematika, Bahasa Inggris, dan Kimia, seorang siswa mendapatkan nilai dalam bentuk distribusi seperti pada tabel 1.1. pada mata pelajaran apa siswa itu mendapatkan hasil yang terbaik ?

Tabel 1.1 median dan modus beberapa pelajaran

Pelajaran Median ModusMatematika 7,5 6,0Bahasa Inggris 7,5 7,0Kimia 6,5 7,5

Penyelesaian :

Hasil terbaik dilihat dari rata-rata hasil ujian

Mo= 3 Me-2 x̄

Pelajaran Matematika :

6,0= 3 (7,5 )-2 x̄

6,0= 22,5- 2 x̄

2 x̄= 22,5-6,0 = 16,5

x̄= 8, 25

Pelajaran Bahasa Inggris :

7,0= 3 (7,5 )-2 x̄

7,0= 22,5- 2 x̄

2 x̄= 22,5-7,0 = 15,5

x̄= 7, 75

Pelajaran Kimia :

7,5= 3 (6,5 )-2 x̄

7,5= 19,5- 2 x̄

2 x̄= 19,5 -7,5= 12

x̄= 6

Rata-rata tertinggi terdapat pada mata pelajaran Matematika. Jadi, nilai terbaik terdapat pada pelajaran Matematika.

B.Ukuran Penyebaran Data

1. Pengertian ukuran penyebaran data

Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, atau bomogenitas data, atau stabilitas data.

2. Macam-macam ukuran penyebaran data

2.1 Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar.

2.4.1 Cara menghitung kuartil untuk data yang tidak berkelompok

Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data tersebut sudah diurutkan dari nilai Nil

Jika nomor urutan tersebut bukan bilangan cacah maka harus digunakan interpolasi.

Contoh :

Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data berikut!

Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)4 3 35 9 126 13 257 13 388 0 489 2 50

∑ fi= 50Penyelesaian :

Letak kuartil bawah (Q1) pada data urutan

Ke 14 (n + 1) =

14 (51)= 12,75

Letak kuartil tengah ( Q2) pada data urutan

Ke 12(n + 1) =

12 (51) = 25,50

Letak kuartil atas (Q3) pada data urutan

Letak Q1: n+1

4

Letak Q2 : 2(n+1)

4

Letak Q3 : 3(n+1)

4

Ke 34 (n + 1) = 3

4 (51) = 38,25Karena, nomor urutan bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi. Sehingga diperoleh :Q1= Y12 + 0,75 (Y13-Y12) = 5 + 0,75 (6-5) = 5,75Q2= Y25 + 0,50 (Y26-Y25) = 6 + 0,5 (7-6) = 6,5Q3= Y38 + 0,25 (Y39-Y38) = 7 + 0,25 (8-7) = 7,25

2.4.2 Kuartil untuk data berkelompok

Untuk mencari nilai kuartil data berkelompok dengan menggunakan rumus :

Keterangan :

b= tepi bawah kelas Q

P = panjang kelas

F= jumlah frekuensi sebelum kelas Q

f= frekuensi kelas Q

n= jumlah data

Contoh :

Nilai pelajaran Matematika dari 40 orang siswa dikelompokkan seperti tabel 1.22

Tabel 1.22 Frekuensi Nilai Matematika

Nilai Frekuensi (fi)42-46 147-51 552-56 557-61 1562-66 867-71 472-76 2

∑ fi=40Tentukan :

Q1 = b + P 14

n−F

f

Q2 = b + P 12

n−F

f

Q3 = b + P 34

n−F

f

a. Kuartil bawah

b. Kuartil tengah, dan

c.Kuartil atas

Penyelesaian :

Tabel 1.23 Frekuensi dan frekuensi kumulatif nilai matematika

Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi kumlatif (fk)42-46 1 147-51 5 652-56 5 1157-61 15 2662-66 8 3467-71 4 3872-76 2 40

∑ fi=40a. Kuartil bawah atau kuartil ke-1 (Q1)

Untuk menentukan nilai Q1 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q1, yaitu dengan menghitung nilai

14 n =

14

(40 )=10.Berarti, kelas yang memuat Q1 adalah 52-56 =, (fk=11)

Maka diperoleh b= 51,5; F=6; f= 5; P= 5

Sehingga kuartil bawahnya :

Q1 = b + P 14

n−F

f

Q1= 51,5 + 5 10−6

5

Q1= 51,5 + 4 = 55,5

Jadi, kuartil bawahnya adalah 55,5.

b. Kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2)

Untuk menentukan nilai Q2 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q2, yaitu dengan menghitung nilai

12n =

12

(40 )=20.Berarti, kelas yang memuat Q2 adalah 57-61 =, (fk=15)

Maka diperoleh b= 56,5; F=11; f= 15; P= 5

Sehingga kuartil tengahnya :

Q2 = b + P 12

n−F

f

Q2= 51,5 + 5 20−11

15

Q2= 56,5 +3 = 59,5

Jadi, kuartil tengahnya adalah 59,5.

c. Kuartil atas atau kuartil ke-3 (Q3)

Untuk menentukan nilai Q3 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q3, yaitu dengan menghitung nilai

34 n =

34

(40 )=30.Berarti, kelas yang memuat Q3adalah 61-66 =, (fk=)34

Maka diperoleh, b= 61,5; F=26; f= 8; P= 5

Sehingga kuartil atasnya :

Q3 = b + P 34

n−F

f

Q2= 61,5 + 5 30−26

8

Q2= 61,5 +2,5= 64

Jadi, kuartil atasnya adalah 64.

2.2 Persentil

Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama setelah data disusun dari yang terkecil sampai ke terbesar.

2.2.1 Persentil data yang tidak berkelompok

Untuk mencari nilai persentil data yang tidak berkelompok dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7

Tentukan P20 dan P80.

P1=i

100 (n+1)

Jawab :

Telah diurutkan, data menjadi : 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9

Letak P1=i

100 (n+1)

Letak P20=20

100 (10+1) = 2,2 jadi, P20= 4 + 0,2 (4-4) = 4

Letak P80=80

100 (10+1) = 8,8 jadi, P80= 7+ 0,8 (8-7) = 7,8

2.5.2 Persentil data yang berkelompok :

Untuk mencari nilai persentil data yang berkelompok yaitu dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Tentukan persentil ke-10 dan persentil ke-84 dari distribusi frekuensi berikut.

Tabel 1.26 Frekuensi dan frekuensi kumulatif skor

Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi kumulatif (fk)0-9 3 310-19 67 7020-29 205 27530-39 245 52040-49 213 73350-59 147 88060-69 77 95770-79 34 99180-89 8 99990-99 1 1000

Sfi= 1000Penyelesaian :

a. Persentil ke-10 (P10) i= 10

Kita cari dulu kelas yang memuat P10 , yairu dengan menghitung nilai dari

10100n = 10

100(1000)= 100Berarti kelas yang memuat P10 terletak pada kelas 20-29

Maka diperoleh, b= 19,5; F=70; f=205; P=10

Sehingga persentil ke-10 adalah

Pi= b + Pri−F

f

P10= b + P10100

n−F

f

P10= 19,5 + 10100−70

205

P10= 19,5 + 1,5 = 21,0.

Jadi, persentil ke-10 adalah 21,0.

b. Persentil ke-84 (P84) i= 84

Kita cari dulu kelas yang memuat P84 , yairu dengan menghitung nilai dari

84100n = 84

100(1000)= 840Berarti kelas yang memuat P84 terletak pada kelas 50-59

Maka diperoleh, b= 49,5; F=733; f=147; P=10

Sehingga persentil ke-84 adalah

P84= b + P84100

n−F

f

P84= 49,5 + 10840−733

147

P84= 49,5 +7,3 = 56,8

Jadi, persentil ke-84adalah 56,8.

2.3 Desil

Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumupulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar dapat dibagi menjadi sepuluh bagian. Masing-masing bagian mengandung 10% data. Dengan demikian suatu sekumpulan data mempunyai 9 buah desil, yaitu D1, D2, D3,..., D9.

2.3.1 Desil data yang tidak berkelompok

D1 letaknya pada data urutan ke 1

10 (n + 1) D2 letaknya pada data urutan ke

210 (n + 1)

D3 letaknya pada data urutan ke 3

10 (n + 1) . .

. .D9 letaknya pada data urutan ke

910 (n + 1)

2.3.2 Desil data yang berkelompok

Contoh :Skor tes 1000 siswa siswa dari suatu uji coba tercatat seperti pada tabel 1.24.Tabel 1.24 Frekuensi skor tes

Skor (x) Frekuensi (fi)0-9 310-19 6720-29 20530-39 24540-49 21350-59 14760-69 7770-79 3480-89 890-99 1

Sfi= 1000Tentukan :a. Desil ke-3 (D3)b. Desil ke-6 (D6)Penyelesaian :Tabel 1.24 dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi seperti pada tabel 1.25.Tabel 1.25 frekuensi dan frekuensi kumulatif skor

Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi kumulatif (fk)0-9 3 310-19 67 7020-29 205 27530-39 245 52040-49 213 73350-59 147 88060-69 77 95770-79 34 99180-89 8 99990-99 1 1000

Sfi= 1000

Di= b + P i10

n−F

f

a. desil ke-3 (D3)Kita cari dulu kelas yang memuat D3, yaitu dengan menghitung nilai dari

310n = 3

10(1000)= 300Berarti kelas yang memuat D3 terletak pada kelas 30-39

Maka diperoleh, b= 29,5; F=275; f=245; P=10

Sehingga desil ke-3 adalah

D3= b + P 310

n−F

f

D3= 29,5 + 10 300−275245

D3= 29,5 + 1,0 = 30,5Jadi, desil ke-3adalah 30,5.

b. desil ke-6 (D6)Kita cari dulu kelas yang memuat D6, yaitu dengan menghitung nilai dari

610n = 6

10(1000)= 600Berarti kelas yang memuat D6 terletak pada kelas 40-49

Maka diperoleh, b= 39,5; F=520; f=213; P=10

Sehingga desil ke-6 adalah

D6= b + P 610

n−F

f

D6= 39,5 + 10 600−520213

D6= 39,5 + 3,7 = 43,2Jadi, desil ke-6 adalah 43,2.

2.1 range

Range (R) adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor (nilai) yang tertinggi (Highest Score) . Dengan rumus :

R = H-L

Keterangan :

R= range yang kita cari

H= Skor atau nilai yang tertinggi (Highest score)

L= Skor atau nilai yang terendah (Lowest Score)

2.1.1 Penggunaan Range

Range kita gunakan sebagai ukuran,apabila didalam waktu yang sangat singkat kita ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan mengabaikan faktor ketelitian atau kecermatan.

2.1.2 Kebaikan dan kelemahan range

Kebaikan range sebagai salah satu ukuran penyebaran data ialah dengan menggunakan range dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang sedang kita hadapi. Sedangkan kelemahannya ialah range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai ekstrimnya. Dan range sebagai ukuran penyebaran data, tidak memperhatikan distribusi yang terdapat didalam range itu sendiri.

2.2 Deviasi

Deviasi adalah selisih atau simpangan dari masing-masing skor atau interval, dari nilai rata-rata hitungnya (deviation from the mean).

2.2.1 Deviasi rata-rata

Deviasi rata-rata adalah jumlah harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor, dibagi dengan banyaknya skor itu sendiri.

2.2.2 Deviasi Standar

Deviasi standar ialah deviasi rata-rata yang tadinya memilikki kelemahan, telah dibakukan atau distandarisasikan, sehingga memilikki kadar kepercayaan atau reliabilitas yang lebih mantap, oleh karena itu, dalam dunia analisis statistik deviasi standar ini mempunyai kedudukan yang amat penting.

Daftar Pustaka

Riduwan. 2008. Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta.

Sabandar, Jozua. 2009. Matematika.Jakarta : Bumi Aksara.

Sudijono, Anas. 2012. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : Rajawali Pers.

Sudjana. 2001. Metode Statistika. Bandung : Tarsito.