ukuran gejala pusat,letak

Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 11

UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT

Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar


Penyajian data dengan cara-cara diagram, tabel, histogram, poligon, dan ozaiv, dapat dikembangkan menjadi ukuran gejala pusat dan ukuran letak.

Ukuran gejala pusat disebut juga ukuran tendensi sentral, sedangkan ukuran letak disebut juga ukuran penempatan.


Ukuran gejala pusat terdiri atas:Rata-rata atau rata-rata hitungRata-rata ukurRata-rata harmonikM o d u s

Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistik. Apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi maka disebut parameter.


Rata-rata atau Rata-rata HitungRata-rata (rata-rata hitung) untuk data kuantitatif yg

terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan membagi jumlah nilai data oleh banyak data.

Simbol rata-rata untuk sampel adalah sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbol µ. Jadi adalah statistik dan µ adalah populasi.

Nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x1, x2, …., xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbol n menyatakan ukuran sampel, yaitu banyak data atau obyek yg diteliti dalam sampel.

x

x


Rumus untuk rata-rata

n

xxatau

n

x.....xxx

n

1ii

n21

n

xx i

425210

55135451960

x

Atau lebih sederhana ditulis:

Umur pegawai masing-masing: 60, 19, 45, 35, dan 51. Maka rata-ratanya adalah:

Rumus 1

Rumus 2


i

ii

f

xfx

Jika ada 1 pegawai berumur 60, 1 berumur 19, 2 berumur 20, 1 berumur 35, 1 berumur 57, 1 berumur 51, 5 berumur 45, dan 1 berumur 56, maka data tersebut lebih baik ditulis dalam bentuk:

xi fi

60 1

19 1

20 2

35 1

57 1

51 1

45 5

56 1

xi menyatakan umur pegawai (tahun), dan fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi yg bersesuaian.

Rumus rata-rata untuk data yg berbentuk seperti ini adalah:

Rumus 3


Untuk contoh tersebut, maka dianjurkan untuk membuat tabel penolong sebagai berikut:

7692,4113

543

f

xfx

i

ii

xi fi fixi

60 1 60

19 1 19

20 2 40

35 1 35

57 1 57

51 1 51

45 5 225

56 1 56

Jml 13 543

Dari tabel diperoleh Σ fi = 13 dan Σ fixi = 543, sehingga:


Kita juga dapat menghitung rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sub-sampel lalu dijadikan satu. Jika ada k buah sub-sampel masing-masing dengan keadaan berikut:

Sub-sampel 1: berukuran n1 dengan rata-rata , sub-sampel 2: berukuran n2 dengan rata-rata , ……………………………, dan sub-sampel k: berukuran nk dengan rata-rata , maka rata-rata gabungan dari k buah sub-sampel itu dihitung dengan rumus:

1x

i

ii

n

xnx

2x

kx

Rumus 4


Contoh: 3 buah subsampel masing-masing berukuran 10, 6, dan 8 dengan rata-ratanya masing-masing 145, 118 dan 162. Maka rata-rata gabungan adalah:

9167,143

243454

86101628118614510

nxn

xi

ii

i

ii

f

xfx

Untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya dihitung dengan menggunakan rumus:

Rumus 5


Nilai ujian

fi

xi

Tanda kelas

fixi

21 – 30 7 25,5 178,5

31 – 40 13 35,5 461,5

41 – 50 28 45,5 1274,0

51 – 60 46 55,5 2553,0

61 – 70 29 65,5 1899,0

71 – 80 17 75,5 1283,5

81 – 90 8 85,5 684,0

91 – 100 2 95,5 191,0

Jumlah 150 8525

8333,56150

8525

f

xfx

i

ii


Cara kedua untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah dengan cara koding atau cara sederhana.

Untuk ini, salah satu tanda kelas diambil dan dinamakan x0 dan diberi nilai c = 0. Tanda kelas yg lebih kecil dari x0 diberi nilai c = -1, c = -2, dan seterusnya; sebaliknya yg lebih besar diberi tanda c = +1, c = +2, dan seterusnya. Jika p = panjang kelas, maka rata-rata hitung cara koding dapat diperoleh dengan rumus:

i

ii0 f

cfpxx Rumus 6


Nilai ujian fi xi ci fici

21 – 30 7 25,5 – 3 – 21

31 – 40 13 35,5 – 2 – 26

41 – 50 28 45,5 – 1 – 28

51 – 60 46 55,5 0 0

61 – 70 29 65,5 1 29

71 – 80 17 75,5 2 34

81 – 90 8 85,5 3 24

91 – 100 2 95,5 4 8

Jumlah 150 20

8333,563333,15,55150

20105,55

f

cfpxx

i

ii0


M o d u sModus (Mo) digunakan untuk menyatakan

fenomena yg paling banyak terjadi atau paling banyak digunakan.

Untuk data kuantitatif, modus diperoleh dengan cara menentukan frekuensi yg terbanyak di antara data tersebut

Contoh: terdapat sampel dengan nilai-nilai data 153,169,147,147,166,153,147, dan 164.

Maka Mo = 147, karena muncul 3 kali.


Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi maka modus ditentukan dengan rumus:

21

1

bbb

pbMo

b = batas bawah kelas modal, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak; p = panjang kelas modal, b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya; b2 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval terdekat berikutnya.

Rumus 7


Nilai ujian fi

21 – 30 7

31 – 40 13

41 – 50 28

51 – 60 46

61 – 70 29

71 – 80 17

81 – 90 8

91 – 100 2

Jumlah 150

Kelas modal = kelas ke-4b = ½(50+51) = 50,5p = 10b1 = 46 – 28 = 18b2 = 46 – 29 = 17

6429,551429,55,50Mo

1718

18105,50

bb

bpbMo

21

1


UKURAN LETAKUKURAN LETAK



Ukuran letak terdiri atas:M e d i a nK u a r t i lD e s i lP e r s e n t i l


MEDIANMEDIANMedian (Me) = salah satu teknik penjelasan

kelompok yg didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yg telah disusun urutannya dari yg terkecil sampai yg terbesar, atau sebaliknya.

Jika sampel berukuran ganjil, maka Me, setelah data disusun menurut nilainya, merupakan data paling tengah.

Jika sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, maka Me sama dengan rata-rata dua data tengah


Untuk data ganjil: 153,169,147,171,166,158,145,

164,170,160, dan 177;

Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177

Me = 164

Untuk data genap: 153,169,147,171,166,158,145,

164,170,160, 180, dan 177;

Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177,180

Me = ½(164+166)=165


Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi maka median ditentukan dengan rumus:

f

FnpbMe 2

1

b = batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median akan terletak; p = panjang kelas median, n = ukuran sampel atau banyak data; F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median; f = frekuensi kelas median.

Rumus 8


Nilai ujian fi

21 – 30 7

31 – 40 13

41 – 50 28

51 – 60 46

61 – 70 29

71 – 80 17

81 – 90 8

91 – 100 2

Jumlah 150

n = 150Kelas median = kelas ke-4b = ½(50+51) = 50,5p = 10F = 7+13+28 = 48f = 46

3696,568696,55,50Me

46

48150105,50

f

FnpbMe 2

121


KUARTILKUARTILJika sekumpulan data dibagi 4 bagian yg sama

banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada 3 buah kuartil yaitu kuartil pertama (K1), kuartil kedua (K2), dan kuartil ketiga (K3). Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil.

Untuk menentukan nilai kuartil: (a) susun data menurut urutan nilainya, (b) tentukan letak kuartil, (c) tentukan nilai kuartil


Letak kuartil ditentukan oleh:

3,2,1idengan4

1nikedataKLetak i

Tentukan K1 dan K3 dari data: 153,169,147,171,166,158,145,164,170,160, 180, dan 177; Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177,180

41

1 3kedata4

1121kedataKLetak

yaitu antara data ke-3 dan data ke-4, seperempat jauh dari data ke-3

Rumus 9


Nilai K1 = data ke-3 + ¼(data ke-4 – data ke-3)

= 153 + ¼(158 – 153) = 153 + 1,25 = 154,25

4

33 9kedata

4

1123kedataKLetak

yaitu antara data ke-9 dan data ke-10, tigaperempat jauh dari data ke-9

Nilai K3 = data ke-9 + ¾(data ke-10 – data ke-9) = 170 + ¾(171 – 170) = 170 + 0,75 = 170,75


Untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil Ki (i = 1,2,3) dapat ditentukan dengan rumus:

3,2,1idengan

f

F4in

pbK i

b = batas bawah kelas Ki, yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak; p = panjang kelas Ki, n = ukuran sampel atau banyak data; F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas Ki; f = frekuensi kelas Ki.

Rumus 10


Nilai ujian fi

21 – 30 7

31 – 40 13

41 – 50 28

51 – 60 46

61 – 70 29

71 – 80 17

81 – 90 8

91 – 100 2

Jumlah 150

n = 150i = 3Letak K3 = ¾ x 150 = 112,5

= kelas interval ke-5b = ½(60+61) = 60,5p = 10F = 7+13+28+46 = 94f = 29

8793,663793,65,6029

945,112105,60K

29

9441503

105,60f

F4in

pbK

3

3


UKURAN SIMPANGAN UKURAN SIMPANGAN ATAU DISPERSIATAU DISPERSI



Ukuran simpangan = ukuran dispersi = ukuran variasi = menggambarkan derajat bagaimana berpencarnya data kuantitatif

Yang termasuk ukuran simpangan adalah:• Rentang• Rentang antar kuartil• Simpangan kuartil (deviasi kuartil)• Rata-rata simpangan (rata-rata deviasi)• Simpangan baku (deviasi standar)• Varians• Koefisien variasi


Rata-rata Simpangan

19 –15 15

20 –14 14

35 1 1

45 11 11

51 17 17

xx i xx i ix

n

xxRS

i

6,11558

RS


Varians dan Simpangan BakuUntuk sampel, varians diberi simbol s2 dan untuk

populasi diberi simbol δ2. Simpangan baku untuk sampel diberi simbol s dan populasi diberi simbol δ

Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, …xn dan rata-rata maka varians dan

simpangan baku adalah:

x

1n

xxs

2

i2

1n

xxs

2

i

Rumus 11 Rumus 12


1n

xxs

2

i

2084

832

15

832s2

4222,14208s

1n

xxs

2

i2

xx i 2i xx

19 –15 225

20 –14 196

35 1 1

45 11 121

51 17 289

832

ix


Bentuk lain dari rumus varians dan simpangan baku adalah:

1nn

xxns

2i

2i2

1nn

xxns

2i

2i

1nn

xxns

2i

2i2

1nn

xxns

2i

2i

Rumus 13 Rumus 14

xi (xi)2

19 361

20 400

35 1225

45 2025

51 2601

170 6612

208

20

4160

155

17066125s

22

4222,14208s


Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka untuk menentukan varians dan simpangan baku digunakan rumus:

1n

xxfsdan

1nxxf

s2

ii

2

ii2

1nn

xfxfnsdan

1nn

xfxfns

2ii

2ii

2ii

2ii2

Atau dapat pula digunakan rumus:

Rumus 16

Rumus 17 Rumus 18

Rumus 15


Nilai ujian fi xi

21 – 30 7 25,5 -31,3333 981,7757 6872,4298

31 – 40 13 35,5 -21,3333 456,1097 5916,4260

41 – 50 28 45,5 -11,3333 128,4437 3596,4233

51 – 60 46 55,5 -1,3333 1,7777 81,7737

61 – 70 29 65,5 8,6667 75,1117 2178,2390

71 – 80 17 75,5 18,6667 348,4457 5923,5767

81 – 90 8 85,5 28,6667 821,7797 6574,2375

91 – 100 2 95,5 38,6667 1495,1137 2990,2274

Jumlah 150 34133,3333

xx i 2i xx 2ii xxf


Dengan menggunakan Rumus 15 dan 16, maka:

0828,229

149

3333,34133

1150

3333,34133

1n

xxfs

2

ii2

1355,150828,229

1nxxf

s2

ii


Nilai ujian fi xi (xi)2 fixi fixi2

21 – 30 7 25,5 650,25 178,5 4551,75

31 – 40 13 35,5 1260,25 461,5 16383,25

41 – 50 28 45,5 2070,25 1274,0 57967,00

51 – 60 46 55,5 3080,25 2553,0 141691,50

61 – 70 29 65,5 4290,25 1899,0 124417,25

71 – 80 17 75,5 5700,25 1283,5 96904,25

81 – 90 8 85,5 7310,25 684,0 58482,00

91 – 100 2 95,5 9120,25 191,0 18240,50

Jumlah 150 8525 518637,50



0828,229

1150150

85255,518637150

1nn

xfxfns

22ii

2ii2

1355,150828,229

1nn

xfxfns

2ii

2ii


Varians dan simpangan baku juga dapat ditentukan dengan cara koding seperti terlihat pada Rumus 9 dan 10 berikut ini:

1nn

cfcfnps

2ii

2ii22

1nncfcfn

ps2

ii2ii2

Rumus 20

Rumus 19


Nilai ujian fi xi ci fici ci2 fici

2

21 – 30 7 25,5 – 3 – 21 9 63

31 – 40 13 35,5 – 2 – 26 4 52

41 – 50 28 45,5 – 1 – 28 1 28

51 – 60 46 55,5 0 0 0 0

61 – 70 29 65,5 1 29 1 29

71 – 80 17 75,5 2 34 4 68

81 – 90 8 85,5 3 24 9 72

91 – 100 2 95,5 4 8 16 32

Jumlah 150 20 344



0828,229

115015020344150

101nncfcfn

ps2

22

ii2ii22

1355,150828,229

1nn

cfcfnps

2ii

2ii2


Kita juga dapat menghitung varians gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sub-sampel lalu dijadikan satu. Jika ada k buah sub-sampel masing-masing dengan keadaan berikut:

Sub-sampel 1: berukuran n1 dengan varians s12,

sub-sampel 2: berukuran n2 dengan varians s22,

……………………………, dan sub-sampel k: berukuran nk dengan varians sk

2, maka varians gabungan dari k buah sub-sampel itu dihitung dengan rumus:

kn....nn

s1n....s1ns1ns

k21

2kk

222

2112

Rumus 21

ukuran gejala pusat,letak

Documents