UKURAN GEJALA PUSAT, LETAK DAN SIMPANGAN

ISTILAH-ISTILAH

Parameter : sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi

Statistik : sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh

Ukuran pemusatan: sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yg terkecil sampai terbesar atau sebaliknya

1. RATA-RATA HITUNG

Untuk populasi :

N

xn

ii

1

µ: rata-rata hitung populasi

N: banyaknya anggota populasi

Xi: data kuantitatif dr anggota populasi ke-i

Untuk contoh/sampel:

n

xx

n

ii

1

: rata-rata hitung contoh

n: banyaknya anggota dr contoh

Xi: data kuantitatif dr anggota contoh ke-i

x

Misal : banyaknya nelayan pd 5 pulau, yaitu 30, 50, 60, 40 dan 60 orang (dipandang sbg populasi nelayan pd 5 pulau). Hitung rata-rata banyaknya nelayan pd 5 pulau tersebut ?

orang485

6040605030

N

xi

i

5

1

Seorang petugas mengambil contoh acak tujuh kaleng ikan tuna untuk diperiksa ketidakmurniannya, diperoleh data: 1,8; 2,1; 1,7; 1,6; 0,9; 2,7 dan 1,8%. Hitung rata-rata contoh ketidakmurnian ikan tuna kaleng

n

xx i

i

7

1 %8,17

8,17,29,06,17,11,28,1

x

2. RATA-RATA UKUR

Jika perbandingan tiap 2 data yg berurutan tetap atau hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan dr pada rata-rata hitung

nn xxxU ..... 21 Akar pangkat n dari data ( x1.x2…xn)

Misal : data x1=2; x2=4; x3=8 n: 3

48423 xxU

Untuk data-data yg bernilai tinggi, untuk memudahkan penghitungan data dilogaritmakan dan hasil akhirnya diantilogaritmakan

3. RATA-RATA HARMONIK

)1

(1

n

i ix

nH

nxxx

nH

1......

11

21

Misal: rata-rata harmonik dari data : 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 (n=7)

87,5

12

1

10

1

7

1

6

1

6

1

5

1

3

11

H

Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi kecepatannya 10 km/jam; waktu kembali 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi?

Penggunaan lain dari rata-rata harmonik sbb:

Dengan rata-rata hitung jamkmx /152

2010

Jika panjang jalan 100 km untuk pergi butuh waktu 10 jam dan pulang 5 jam. Pulang pergi butuh waktu 15 jam dan menempuh jarak 200 km

Rata-rata kecepatannya =200

15km/jam

3 13

1km/jam

salah

Hasil di atas tdk lain adalah: jamkmH /3

113

3

40

2032

201

101

2

4. MODUS (Mo)

Nilai yang paling sering terjadi atau nilai yg memiliki frekuensi kejadian yg paling tinggi

Sering dipakai untuk menentukan rata-rata kualitatif

Misal: kebanyakan kematian di negara X disebabkan oleh penyakit jantung koroner

Untuk data kuantitatif:

Sampel dengan nilai : 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14.

xi fi

12 1

14 228 234 4

Frekuensi terbanyak terjadi untuk data 34 jadi Mo=34

5. RATA-RATA SIMPANGAN

Rata-rata dari jarak (selisih) antara tiap data dengan rata-ratanya

Jarak = | xi – x | Diambil nilai mutlaknya (nilainya positif)

n

xxRS

n

ii

1

Misal: Data dengan nilai : 8, 7, 10, 11 (n=4)

Cari rata-ratanya = 94

111078

x

6 RS = = 1,5 6

4

xi xi – x I xi – x I

10 1 1

8 -1 17 -2 2

11 2 2

6. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI = SD)

Ukuran simpangan yang paling banyak digunakan

SD : akar penjumlahan dari kuadrat penyimpangan tiap data terhadap rata-ratanya dibagi n-1

Pangkat dua dari simpangan baku varians (ragam)

Simpangan baku sampel S

Varians (ragam) dari sampel S2

Simpangan baku populasi σ

Varians (ragam) dari populasi σ2

1

)( 2

12

n

xxS

n

iiRagam sampel Simpangan baku sampel

1

)( 2

1

n

xxS

n

ii

N

xxn

ii

2

12

)(

N

xxn

ii

2

1

)(

Ragam Populasi Simpangan baku populasi

Cara mencari ragam dan simpangan baku sampel

- Hitung rata-rata x

x-Tentukan selisih tiap data dengan rata-ratanya x1- , x2- … xn-x x

x-Tentukan kuadrat dari selisih tersebut (x1- )2, (x2- )2 …(xn- )2x x

-Jumlahkan kuadrat-kuadrat tersebut

-Jumlah kuadrat-kuadrat tersebut dibagi oleh n-1

Misal : data 8, 7, 10, 11, 4 85

4111078

x

8 0 0

xi xi - (xi - )2x x

7 -1 1

10 2 4

11 3 9

4 -4 16

30

15

)8()8()8()8()8( 25

24

23

22

212

xxxxx

S

15

)84()811()810()87()88( 222222

S

5,74

30

4

)169410(

15

)4()3()2()1()0( 222222

S Ragam (varians)

1

)(5

1

2

2

n

xxS i

i

5,715

302

S

74,25,7 S

Simpangan baku:

Cara lain mencari S2 atau S

)1(

)( 2

1

2

12

nn

xxnS

n

ii

n

ii

10 100

xi xi2

8 64

7 49

11 121

4 16

40 350

5

1iix

25

1i

ix

5,7)15(5

)40()350(5 22

S

74,25,7 S

7. BILANGAN BAKU (Z)

Sampel berukuran n dgn data x1, x2, … Xn sedangkan rata-ratanya: x, dan simpangan baku = S. Dapat dibentuk data baru Z1, Z2, … Zn

S

xxZ ii

i = 1, 2, ….n

Variabel Z1, Z2, …. Zn Rata-ratanya = 0, simpangan bakunya (S) = 1

Misal : Mhs A mendpt nilai 86 dr ujian akhir matematika (rata-rata = 78; S=10). Untuk Ujian Akhir statistika mendpt nilai 92 (rata-rata= 84; S=18). Dalam mata ajran apa mhs A mencapai kedudukan yg lebih baik ????

8,010

7886

matZ 44,0

18

8492

statZ

Mhs A mendpt 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpgn baku di atas rata-rata nilai statistika.

Mhs A kedudukannya lebih tinggi dalam matematika dibanding statistika

8. KOEFISIEN VARIASI

Digunakan untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data

Misal: Membandingkan masa pakai 2 jenis lampu

Lampu I; rata-rata masa pakai = 3.500 jam (S= 1.050)

Lampu II; rata-rata masa pakai = 10.000 jam (S= 2.000)

x

SKV

%301003500

050.1 xKVLampuI %20100

000.10

000.2 xKVLampuII

** Lampu II memiliki masa pakai yg lebih uniform (seragam) karena memiliki koefisien variasi lebih kecil dibanding Lampu I