MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TRIGONOMETRI 1

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapsel Matematika

Disusun oleh :

Nanan Sumartini

PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SEBELAS APRIL

SUMEDANG

1

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum wr.wb.

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Illahi Robi Allah swt, atas berkat dan

rahmat-Nya kami dapat menyusun makalah ini tepat pada waktunya. Makalah ini

disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapsel Matematika.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang ikut membantu dalam

pembuatan dan penyusunan makalah ini, karena kami tidak dapat menyelesaikan

makalah ini jika tanpa bantuan setiap pihak, bantuan berupa materil ataupun segala hal

yang dapat membantu dalam penyelesaian makalah ini.

Makalah ini masih jauh dari sempurna, karena kami manusia yang tidak bisa lepas

dari kesalahan, kami hanya dapat berusaha untuk mencoba sedikit lebih baik, karena itu

kami akan sangat bisa untuk menampung setiap kritik dan saran yang bersifat

membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Sumedang, Oktober 2014

Penyusun

2

DAFTAR ISI

Kata Pengantar..........................................................................................................i

Daftar Isi..................................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN........................................................................................1

1.1 Latar Belakang Masalah..........................................................................1

1.2 Rumusan Masalah....................................................................................1

1.3 Tujuan Penulisan.....................................................................................2

1.4 Sistematika Penulisan..............................................................................2

BAB II PEMBAHASAN MATERI.........................................................................3

2.1 Pengertian Trigonometri..........................................................................3

2.2 Fungsi Trigonometri................................................................................3

2.3 Grafik Fungsi Trigonometri.....................................................................6

2.4 Identitas Trigonometri............................................................................10

2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri........................................14

BAB III PENUTUP................................................................................................19

3.1 Kesimpulan............................................................................................19

3.2 Saran......................................................................................................21

Daftar Pustaka........................................................................................................22

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Matematika sebagai dasar ilmu pengetahuan dan merupakan salah satu mata

pelajaran ujian nasional. Matematika dengan peranannya menjadikannya sebagai ilmu

yang penting dan salah satu peranannya matematika adalah sebagai alat berfkiir untuk

menghantarkan siswa memahami konsep matematika yang dipelajarinya. Salah satu

konsp matematika tersebut adalah konsep trigonometri.

Trigonometri merupakan cabang ilmu Matematika yang melibatkan dua bidang

teori penting, yaitu teori bilangan dan geometri. Secara geometris, trigonometri

dikembangkan berdasarkan studi bintang–bintang. Trigonometri memiliki banyak

penerapan praktis, misalnya dalam teknik bangunan dan arsitektur, digunakan untuk

mengukur rangka atap dan sudut elevasi pada sebuah kawat penyangga jembatan. Serta

dapat digunakan sebagai aplikasi dalam menghitung panjang baja yang dibutuhkan

dalam pembuatan jembatan dengan gelagar rangka (trapesium), yang mepunyai sisi

berbetuk segitiga-segitiga.

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis membuat sebuah makalah dengan

judul “Makalah Kapita Selekta Matematika Trigonometri 1”.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana pengertian trigonometri?

2. Bagaimana fungsi trigonometri?

3. Bagaimana grafik dan periode trigonometri?

4. Bagaimana identitas persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ?

4

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari pembuatan makalah ini adalahsebagai berikut.

1. Untuk mengetahui pengertian trgonometri.

2. Untuk mengetahui fungsi terugonometri.

3. Untuk mengetahui grafik dan periode trigonometri.

4. Untuk mengetahui identitas persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.

1.4 Sistematika Penulisan

Kata Pengantar

Daftar Isi

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Tujuan Penulisan

1.4 Sistematika Penulisan

BAB II PEMBAHASAN MATERI

2.1 Pengertian Trigonometri

2.2 Fungsi Trigonometri

2.3 Grafik Fungsi Trigonometri

2.4 Identitas Trigonometri

2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran

Daftar Pustaka

5

BAB II

PEMBAHASAN MATERI

2.1 Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)

adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi

trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan

dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya, bagi

beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan

peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah

perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan

juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang

menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya

Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel

trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy

sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang

berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam

bahasa Inggris dan Perancis.

2.2 Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah relasi yang memasangkan setiap sudut tepat

hanydengan sebuah perbandingan trigonometri atau gabungan dari perbandingan

trigonometri. Terdapat tiga fungsi baku trigonometri, yaitu y = f(x)=sin x, y = f(x) = cos

x, dan y = f(x) = tan x.

6

Sebelum membahas grafik fungsi trigonometri perlu diketahui bahwa satuan

ukuran sudut ada dua macam, yaitu derajat dan radian.

1 putaran penuh = 360o

Sudut pusat lingkaran (1 putaran penuh) = 2 πr

r radian = 2 π radian

Jadi 360o = 2 π rad

180o = rad

90o = rad, dan seterusnya

Jika kita perhatikan gambar berikut, perbandingan trigonometri untuk sudut θ

masing-masing adalah

Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sinθ, cos θ dan

tan θ maka terdapat pemetaan dari himpunan real (R) ke himpunan bilangan real (R).

7

Catatan :

1 rad = 180°

π = 57,296

1o = 180°

π rad = 0,017 rad

Untuk π = 3,141592

Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari

himpunan sudut ke bilangan real. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut:

R R R R R R

a. Gambar (i) fungsi sinus didefenisikan

f :θ → sin θ , θ∈ R , dengan f (θ )=sin θb. Gambar (ii) fungsi kosinus didefenisikan

f :θ → cosθ , θ∈R , dengan f (θ )=cosθ

c. Gambar (iii) fungsi tangent didefenisikan

f :θ → tan θ , θ∈B ,dengan f (θ )=tan θ

Untuk B= R artinya\{…. ,−3π2

,− π2

,π2

,3π2

, …… ..} semua anggota himpunan

bilangan real selain {…. ,−3π2

,− π2

,π2

,3π2

, …… ..}Fungsi f (θ )=sin θ , f (θ )=cosθ , f (θ )=tan θ disebut sebagai fungsi trigonometri.

Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif

tergantung letak sudut di kuadrannya. Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat

bernilai positif, nol atau negatif tergantung letak sudut di kuadrannya. Adapun fungsi

yang lainnya yaitu :

8

• θ

• θ

• tan❑θ

• cos❑θ

• Sin θ

• θ

2.3 Grafik Fungsi Trigonometri

Grafik fungsi sin f(x)=sin x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o

x 0

Sin x 0 12

12√3 1 1

2√3 1

2 0 -12 -

12√3 -1 -

12√3 -

12 0

9

Grafik fungsi cos f(x)=cos x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o

x 0

cos x 0 0 0-

1… … 0 … … 1

y

Grafik fungsi tan f(x)=cos x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o

x 0

tan x 0 0 … … … … 0

y

x

Periode maksimum dan minimum fungsi trigonometri secara umum dapat

ditentukan bahwa :

10

π2

π

-1

1

2 π3

5 π6

π 7 π6

4 π3

3 π2

π6

π3

a. f(x) = Periode = atau

Nilai maksimum =

Nilai maksimum = -

b. f(x) = Periode = atau

Nilai maksimum =

Nilai maksimum = -

c. f(x) = Periode = atau

Nilai maksimum dan minimum tidak ada

Adapun grafik fungsi yang lainnya adalah :

1. Fungsi sinus , f ( x )=sin x ,untuk 0≤ x≥ 2 π

2. Fungsi kosinus,f ( x )=cos x , untuk 0≤ x≥ 2π

11

INGAT!SIFAT-SIFAT GRAFIK FUNGSI :

Sinus dan cosinus : - kontinu di tiap titik sudut

- periodik, p=2 π

- range : -1 < sin x < 1

-1 < cos x < 1

Tangen : - diskontinu, asimtosis di

- periodik,

- mempunyai range tak hingga : - < tan x

3. Fungsi tangen, f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x≥ π

4. Fungsi cotangen

5. Fungsi sec x

12

6. Fungsi cosec x

Adapun cara menggambarkan garfik fungsi y=A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c

1. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap

kelipatan 2π/k. Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang

setiap kelipatan π/k

2. Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|

3. Amplitudo = ½ (ymax – ymin)

4. Cara menggambar:

a. Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas

b. Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya

c. Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A

13

d. Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k, Untuk kx – b → grafik

digeser ke kanan sejauh b/k

e. Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c, Untuk – c → grafik digeser ke

bawah sejauh c

2.4 Identitas Trigonometri

Membuktikan identitas trigonometri sederhana

Rumus-rumus yang perlu dipahami :

a. Rumus dasar yang merupakan kebalikan

sin θ= 1

cosec θ

cosθ= 1

sec θ

tanθ= 1

cot θ

b. Rumus dasar yang merupakan hubungan perbandingan

tanθ=sin θ

cosθ

cot θ=cosθ

sin θ

c. Rumus dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

sin θ=cos( 90°−θ)

cosθ=sin( 90°+θ )

tanθ=cot (90 °−θ )

cot θ=tan (90 °−θ )

sin θ= y

r atau y=rsin θ

cosθ= xr atau x=r cosθ

14

x2+ y2=r2

(r cosθ )2+(rsin θ )2=r 2

r2 (cos2θ+sin2 θ )=r2

Jadi, cos2θ+sin2θ=1

cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan cos2 )

1+sin2 θ

cos2 θ= 1

cos2 θ

1+(sin θ

cosθ )2

=( 1cosθ )

2

1+ tan2 θ=sec2θ

Jadi 1+ tan2 θ=(secθ )2

cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan sin2 )

cos2 θsin2 θ

+1= 1sin2 θ

(cos θsin θ )

2

+1=(cosec θ )2

cot2θ+1=cos ec2 θ

Jadi cot2θ+1=cos ec2θ

Sebelum membuktikan suatu identitas perlu dipahami terlebih dahulu cara

penyelesaiannya.

1. Sebaiknya kita mengubah satu ruas saja sehingga sama dengan ruas yang lain.

2. Boleh kedua-duanya diubah sehingga mendapatkan dua bangun ruas kiri dan

kanan yang sama.

3. Jika selain sinus dan cosinus terdapat juga tangen, cotangen, secan dan

cosecan, sebaiknya dijasikan sinus dan cosinus semuanya.

15

4. Penyederhanaan persamaan dicari peluangnya dengan cara memfaktorkan,

menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan, faktor kuadrat suatu

binominal, atau menciptakan suatu faktor yang sama pada pembilang dan

penyebut suatu pecahan.

Sehingga kita dapatkan bahwa bentuk suatu identitas trigonometri adalah :

Contoh Soal.

Buktikan Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)!

Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α

= Sin α . Cos α .

Sin αCos α

= Sin2 α

= 1 – Cos2 α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

Pemfaktoran Sebelum Menggunakan Identitas Dasar

Contoh Soal.

Buktikan sin2 A−sin2 A cos2 A=sin4 A !

Jawab:

sin2 A−sin2 A cos2 A=sin2 A (1−cos2 A )

=sin2 A×sin2 A

16

=sin4 A

Penggabungan Pecahan Sebelum Menggunakan Identitas Dasar

Contoh Soal.

Buktikan

1sin A+1

− 1sin A−1

=2 sec2 A

Jawab :

1sin A+1

− 1sin A−1

=(sin A−1)−(sin A+1)(sin A+1)(sin A−1)

sin A−1−sin A−1

sin2 A−1= −2

−(1−sin2 A )

2

(1−sin2 A )=2× 1

cos2 A=2 sec2 A

Pemisahan Pecahan Sebelum Menggunakan Identitas Dasar

Contoh Soal.

Buktikan sin2 θ=sec2 θ−1

sec2 θ

Jawab :

sec2 θ−1sec2 θ

=sec2 θsec2 θ

− 1sec2 θ

=1− 1

sec2 θ=1−cos2 θ

=sin2 θ

Pengubahan ke Sin x dan Cos x

Contoh soal.

1. Buktikan identitas berikut:

sin x+tan xcot anx+cos ecx

=sin x tan x

Jawab:

17

sin x+tan xcot anx+cos ecx

=sin x+sin x

cos xcos xsin x

+1

sin x

=

sin x cos x+sin xcos x

cos x+1sin x

=sin x (sin x cos x+sin x )cos x (cos x+1)

=sin x

cos x×

sin x (cos x+1)cos x+1

=sin x

cos x×sin x

=tan x×sin x

2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

1. Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat perbandingan

trigonometri.

a. Bentuk persamaan dasar

sin x = sin a                  

x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)

cos x = cos a

x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)

cos x = cos a

x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)

tan x = tan a

x = a + k.180

dalam hal ini k = bilangan bulat

Notes :

Jika tedapat persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, atau sebaliknya,

salah satu diubah menjadi (90 – a)°. Misalnya : cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°

18

Perhatikan contoh berikut :

1. Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Jawab :

2 cos x = √3

cos x = ½ √3

cos x = cos 30°

x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°

k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°

Sehingga HP = {30°, 150°}

b. Bentuk persamaan a cos x + b sin nx

Jika kita menemukan persamaan dalam bentuk a cos nx + b sin nx maka kita

ubah menjadi k cos(nx – α)

dimana

Kemudian  diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a

Penentuan letak α:

Jika a +, b + → α di kuadran I

Jika a –, b + → α di kuadran II

Jika a –, b – → α di kuadran III

Jika a +, b – → α di kuadran IV

Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c,

syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:

19

Dan persamaan ini tidak dapat diselesaiakan jika :

c. Persamaan bentuk a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d

Ketika terdapat bentuk persamaan a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d. Untuk

menyelesaikannya lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:

Dan untuk berikutnya persamaan diselesaikan seperti halnya menyelesaikan

persamaan a cos nx + b sin nx = c

d. Persamaan berbentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0

Untuk persamaan berbentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0, dalam

menyelesaikannya kita dapat mengikuti cara sebagai berikut :

Misalnya (cos x ± sin x) = p

sehingga

(cos x ± sin x)2 = p2

cos2x ± 2 sin x.cos x + sin2x = p2

1 ± 2 sin x.cos x = p2

± 2 sin x.cos x = p2 – 1

Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p2 – 1)

20

Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:

a.p ± ½ b(p2 – 1) + c = 0

Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p,

selanjutnya persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara ketika

menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c

2. Pertidaksamaan Trigonometri

Langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri

pada hakikatnya hampir sama dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Hanya

terdapat tambahan menentukan daerah penyelesaian. Berikut ini langkah-langkahnya :

1. Mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri

2. Diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan

Contoh:

Selesaikan sin 2x < cos x  untuk 0 ≤ x ≤ 360°

Penyelesaian :

sin 2x – cos x < 0

2 sin x.cos x – cos x < 0

cos x.(2 sin x – 1) < 0

harga nol:

cos x = 0

cos x = cos 90°

x = 90° + k.360°      atau      x = –90° + k.360°

k = 0 → x = 90°                        k = 1 → x = 270°

2 sin x – 1 = 0

2 sin x = 1

21

sin x = ½

sin x = sin 30°

x = 30° + k.360°        atau      x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                         x = 150° + k.360°

k = 0 → x = 150°

Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:

Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)

Jadi garis bilangannya sebagai berikut:

berdasarkan soal yang diminta yaitu kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-

bagian yang bertanda (-)

Sehingga HPnya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}

BAB III

PENUTUP

22

3.1 Kesimpulan

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)

adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi

trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan

dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya, bagi

beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Fungsi trigonometri adalah relasi yang memasangkan setiap sudut tepat

hanydengan sebuah perbandingan trigonometri atau gabungan dari perbandingan

trigonometri. Terdapat tiga fungsi baku trigonometri, yaitu y = f(x)=sin x, y = f(x) = cos

x, dan y = f(x) = tan x.

Membuktikan identitas trigonometri sederhana

Rumus-rumus yang perlu dipahami :

a. Rumus dasar yang merupakan kebalikan

sin θ= 1

cosec θ

cosθ= 1

sec θ

tanθ= 1

cot θ

23

b. Rumus dasar yang merupakan hubungan perbandingan

tanθ=sin θ

cosθ

cot θ=cosθ

sin θ

c. Rumus dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

sin θ=cos( 90°−θ)

cosθ=sin( 90°+θ )

tanθ=cot (90 °−θ )

cot θ=tan (90 °−θ )

sin θ= y

r atau y=rsin θ

cosθ= xr atau x=r cosθ

x2+ y2=r2

(r cosθ )2+(rsin θ )2=r 2

r2 (cos2θ+sin2 θ )=r2

Jadi, cos2θ+sin2θ=1

cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan cos2 )

24

1+sin2 θ

cos2 θ= 1

cos2 θ

1+(sin θ

cosθ )2

=( 1cosθ )

2

1+ tan2 θ=sec2θ

Jadi 1+ tan2 θ=(secθ )2

cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan sin2 )

cos2 θsin2 θ

+1= 1sin2 θ

(cos θsin θ )

2

+1=(cosec θ )2

cot2θ+1=cos ec2 θ

Jadi cot2θ+1=cos ec2θ

3.2 Saran

Berdasarkan pembahasan materi di atas, maka penulis mempunyai beberapa saran :

Untuk para calon guru, mudah-mudahan dengan adanya makalah ini dapat

menjadi referensi untuk bahan ajar ketika memulai pengajaran mengenai materi

yang sama.

Untuk para pembaca yang lainnya, semoga makalah ini dapat bermanfaat dan

dapat menjadi salah satu sumber ilmu mengenai trigonometri

Makalah ini tidaklah sempurna, oleh karena itu kami selaku penulis meminta

saran dan kritikannya untuk kami agar kami dapat memperbaiki kekurangan-

kekurangan yang ada dan dapat membuat makalah yang lainnya lebih baik lagi.

25

DAFTAR PUSTAKA

http://trigonometri-pengertian/wikipedia.com

http://persamaandanpertidaksamaan/trigonometri/agungramat.blogspot.com

http://grafikfungsitrigonometri_taufikhendriyanto.blogspot.com

http://mamannugroho_identitas_trigonometri_materi.blogspot.com

26