Invers fungsi trigonometri From Wikipedia, the free encyclopedia Dari Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas

Jump to: navigation , search Langsung ke: navigasi , cari

Trigonometry Trigonometri

History Sejarah

Usage Pemakaian

Functions Fungsi

Inverse functions Invers fungsi

Further reading Bacaan lebih lanjut

Reference Referensi

Identities Identitas

Exact constants Exact konstanta

Trigonometric tables Tabel trigonometri

Laws and theorems Hukum dan teorema

Law of sines Hukum sinus

Law of cosines Hukum cosinus

Law of tangents Hukum garis singgung

Pythagorean theorem Teorema Pythagoras

Calculus Hitungan

Trigonometric substitution Substitusi trigonometri

Integrals of functions Integral dari fungsi

Derivatives of functions Derivatif fungsi

Integrals of inverse functions Integral dari fungsi invers

v • d • e v • d • e

In mathematics , the inverse trigonometric functions or cyclometric functions are the so-called inverse functions of the trigonometric functions , though they do not meet the official definition for inverse functions as their ranges are subsets of the domains of the original functions. Dalam matematika , fungsi-fungsi trigonometri invers atau fungsi cyclometric adalah apa yang disebut fungsi invers dari fungsi trigonometri , meskipun mereka tidak memenuhi definisi resmi untuk fungsi invers sebagai mereka berkisar adalah himpunan bagian dari domain fungsi asli. Since none of the six trigonometric functions are one-to-one (by failing the horizontal line test ), they must be restricted in order to have inverse functions. Karena tidak ada satupun dari enam fungsi trigonometri adalah satu-ke-satu (oleh gagal dalam tes garis horizontal ), mereka harus dibatasi untuk memiliki fungsi invers.

For example, just as the square root function Misalnya, seperti akar kuadrat fungsi

is defined such that y 2 = x , the function y = arcsin( x ) is defined so that sin( y ) = x . seperti yang didefinisikan y 2 = x, fungsi y = arcsin (x) didefinisikan sehingga dosa (y) = x. There are multiple numbers y such that sin( y ) = x ; for example, sin(0) = 0, but also sin(π) = 0, sin(2π) = 0, etc. It follows that the arcsine function is multivalued : arcsin(0) = 0, but also arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, etc. When only one value is desired, the function may be restricted to its principal branch . Ada beberapa nomor y seperti bahwa dosa (y) = x, misalnya, dosa (0) = 0, tetapi juga dosa (π) = 0, sin (2π) = 0, dll berikut bahwa fungsi arcsine adalah multivalued : arcsin (0) = 0, tetapi juga arcsin (0) = π, arcsin (0) = 2π, dll Bila hanya satu nilai yang diinginkan, fungsi dapat dibatasi pada perusahaan cabang pokok . With this restriction, for each x in the domain the expression arcsin( x ) will evaluate only to a single value, called its principal value . Dengan pembatasan ini, untuk setiap x dalam domain yang arcsin ekspresi (x) hanya akan menilai ke nilai tunggal, disebut dengan nilai pokok . These properties apply to all the inverse trigonometric functions. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi trigonometri invers.

The principal inverses are listed in the following table. Invers utama tercantum dalam tabel berikut.

Name Nama

Usual notation

Usual notasi

Definition Definisi

Domain of x for real result

Domain x untuk hasil

nyata

Range of usual principal value Rentang nilai pokok biasa ( radians ) (

radian )

Range of usual principal value Rentang nilai pokok biasa ( degrees ) (

derajat )

arcsine arcsine y = arcsin x y = arcsin x

x = sin y x = sin y

−1 ≤ x ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 1

−π/2 ≤ y ≤ π/2 -Π / 2 ≤ y ≤ π / 2

−90° ≤ y ≤ 90° -90 ° ≤ y ≤ 90 °

arccosine arccosine

y = arccos x y = x arccos

x = cos y x = cos y

−1 ≤ x ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ π 0 ≤ y ≤ π

0° ≤ y ≤ 180° 0 ° ≤ y ≤ 180 °

arctangent arctangent

y = arctan x y = arctan x

x = tan y x = tan y

all real numbers semua

bilangan real

−π/2 < y < π/2 -Π / 2 <y <π / 2

−90° < y < 90° -90 ° <y <90 °

arccotangent arccotangent

y = arccot x y = x arccot

x = cot y x = cot y

all real numbers semua

bilangan real

0 < y < π 0 <y <π

0° < y < 180° 0 ° <y <180 °

arcsecant arcsecant

y = arcsec x y = x arcsec

x = sec y x = sec y

x ≤ −1 or 1 ≤ x x ≤ -1 atau 1 ≤

x

0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π 0 ≤ y <π / 2 atau π / 2

<y ≤ π

0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° 0 ≤ ° y <90 ° atau 90 ° <y ≤ 180 °

arccosecant arccosecant

y = arccsc x y = x arccsc

x = csc y x = csc y

x ≤ −1 or 1 ≤ x x ≤ -1 atau 1 ≤

x

−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 -Π / 2 ≤ y <0 atau 0

<y ≤ π / 2

-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90° -90 ° ≤ y <0 ° atau 0

° <y ≤ 90 °

If x is allowed to be a complex number , then the range of y applies only to its real part. Jika x diperkenankan menjadi bilangan kompleks , maka berbagai y hanya berlaku untuk bagian yang sebenarnya.

The notations sin −1 , cos −1 , etc. are often used for arcsin, arccos, etc., but this convention logically conflicts with the common semantics for expressions like sin 2 ( x ), which refer to numeric power rather than function composition, and therefore may result in confusion between multiplicative inverse and compositional inverse . Notasi dosa -1, -1 cos, dll yang sering digunakan untuk arcsin, arccos, dll, tapi konvensi ini secara logis bertentangan dengan semantik umum untuk ekspresi seperti dosa 2 (x), yang mengacu pada daya numerik daripada fungsi komposisi , dan karena itu dapat mengakibatkan kebingungan antara inversi perkalian dan invers komposisi .

In computer programming languages the functions arcsin, arccos, arctan, are usually called asin, acos, atan. Dalam bahasa pemrograman komputer arcsin fungsi, arccos, arctan, biasanya disebut asin, ACOs, atan. Many programming languages also provide the two-argument atan2 function, which computes the arctangent of y / x given y and x , but with a range of (−π, π]. Banyak bahasa pemrograman juga menyediakan dua argumen atan2 fungsi, yang menghitung arctangent y / x y dan x yang diberikan, namun dengan kisaran (-π, π].

Contents Isi

[hide] 1 Relationships among the inverse trigonometric functions 1 Hubungan antara

fungsi-fungsi trigonometri invers 2 Relationships between trigonometric functions and inverse trigonometric

functions 2 Hubungan antara fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers

3 General solutions 3 solusi Umum 4 Derivatives of inverse trigonometric functions 4 Derivatif fungsi trigonometri

invers 5 Expression as definite integrals 5 Ekspresi sebagai integral tertentu 6 Infinite series 6 Infinite series 7 Continued fraction for arctangent 7 Lanjutan fraksi untuk arctangent 8 Indefinite integrals of inverse trigonometric functions 8 Waktu Tidak integral

dari fungsi trigonometri invers o 8.1 Example Contoh 8,1

9 Two-argument variant of arctangent 9 Dua-argumen varian dari arctangent 10 Logarithmic forms 10 Logaritma bentuk

o 10.1 Example proof Contoh bukti 10,1 11 Arctangent addition formula 11 Arctangent Selain rumus 12 Practical use 12 Praktis Penggunaan 13 See also 13 Lihat pula

14 External links 14 Pranala luar

[ edit ] Relationships among the inverse trigonometric functions [ sunting ] Hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri invers

The usual principal values of the arcsin( x ) (red) and arccos( x ) (blue) functions graphed on the cartesian plane. Nilai-nilai utama yang biasa arcsin (x) (merah) dan arccos (x) (biru) fungsi digambarkan pada bidang Kartesius.

The usual principal values of the arctan( x ) and arccot( x ) functions graphed on the cartesian plane. Nilai-nilai utama yang biasa arctan (x) dan arccot (x) fungsi digambarkan pada bidang Kartesius.

Principal values of the arcsec( x ) and arccsc( x ) functions graphed on the cartesian plane. Nilai pokok dari arcsec (x) dan arccsc (x) fungsi digambarkan pada bidang Kartesius.

Complementary angles: Pelengkap sudut:

Negative arguments: Negatif argumen:

Reciprocal arguments: Timbal-balik argumen:

If you only have a fragment of a sine table: Jika Anda hanya memiliki sebuah fragmen dari sebuah tabel sinus:

Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part (or positive imaginary part if the square was negative real). Setiap kali akar kuadrat dari suatu bilangan kompleks digunakan di sini, kita memilih root dengan bagian real positif (atau bagian imajiner positif jika persegi itu negatif yang sebenarnya).

From the half-angle formula Dari rumus setengah sudut , we get: , Kita mendapatkan:

[ edit ] Relationships between trigonometric functions and inverse trigonometric functions [ sunting ] Hubungan antara fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers

[ edit ] General solutions [ sunting ] solusi Umum

Each of the trigonometric functions is periodic in the real part of its argument, running through all its values twice in each interval of 2π. Setiap fungsi trigonometri adalah periodik di bagian nyata dari argumen, berjalan melalui semua nilai-nilainya dua kali dalam setiap interval 2π. Sine and cosecant begin their period at 2π k − π/2 (where k is an integer), finish it at 2π k + π/2, and then reverse themselves over 2π k + π/2 to 2π k + 3π/2. Sinus dan kosekans mulai periode mereka di 2π k - π / 2 (di mana k adalah integer), menyelesaikannya di 2π k + π / 2, dan kemudian berbalik arah diri mereka sendiri atas 2π k + π / 2 sampai 2π k + 3π / 2. Cosine and secant begin their period at 2π k , finish it at 2π k + π, and then reverse themselves over 2π k + π to 2π k + 2π. Kosinus dan garis potong mulai periode mereka di k 2π, menyelesaikannya di 2π k + π, dan kemudian berbalik arah sendiri selama + π 2π k untuk k + 2π 2π. Tangent begins its period at 2π k − π/2, finishes it at 2π k + π/2, and then repeats it (forward) over 2π k + π/2 to 2π k + 3π/2. Garis Singgung periodenya dimulai pada 2π k - π / 2, menyelesaikannya di 2π k + π / 2, kemudian mengulanginya (forward) lebih dari 2π k + π / 2 sampai 2π k + 3π / 2. Cotangent begins its period at 2π k , finishes it at 2π k + π, and then repeats it (forward) over 2π k + π to 2π k + 2π. Kotangens periodenya dimulai pada k 2π, menyelesaikannya di 2π k + π, kemudian mengulanginya (forward) selama + π 2π k untuk k + 2π 2π.

This periodicity is reflected in the general inverses: periodisitas Hal ini tercermin dalam invers umum:

[ edit ] Derivatives of inverse trigonometric functions [ sunting ] Derivatif fungsi trigonometri invers

Main article: Differentiation of trigonometric functions Artikel utama: Diferensiasi fungsi trigonometri

Simple derivatives for real and complex values of x are as follows: Wikipedia derivatif untuk dan kompleks nilai real dari x adalah sebagai berikut:

Only for real values of x : Hanya untuk nilai real dari x:

For a sample derivation: if Untuk derivasi contoh: jika , we get: , Kita mendapatkan:

[ edit ] Expression as definite integrals [ sunting ] Ekspresi sebagai integral tertentu

Integrating the derivative and fixing the value at one point gives an expression for the inverse trigonometric function as a definite integral: Mengintegrasikan derivatif dan memperbaiki nilai pada satu titik memberikan pernyataan untuk fungsi trigonometri invers sebagai terpisahkan yang pasti:

When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals , but still well-defined. Bila x sama dengan 1, yang integral dengan domain terbatas integral yang tidak benar , tapi masih yang jelas.

[ edit ] Infinite series [ sunting ] seri Infinite

Like the sine and cosine functions, the inverse trigonometric functions can be calculated using infinite series , as follows: Seperti fungsi sinus dan kosinus, fungsi trigonometri invers dapat dihitung dengan menggunakan deret tak hingga , sebagai berikut:

Leonhard Euler found a more efficient series for the arctangent, which is: Leonhard Euler menemukan seri lebih efisien untuk arctangent, yaitu:

(Notice that the term in the sum for n = 0 is the empty product which is 1.) (Perhatikan bahwa istilah dalam jumlah untuk n = 0 adalah produk kosong yang adalah 1.)

Alternatively, this can be expressed: Atau, ini dapat dinyatakan:

[ edit ] Continued fraction for arctangent [ sunting fraksi Lanjutan] untuk arctangent

An alternative to the power series for arctangent is its generalized continued fraction : Sebuah alternatif untuk seri listrik untuk arctangent adalah perusahaan lanjutan fraksi umum :

This is valid in the cut complex plane. Ini berlaku dalam bentuk potongan bidang kompleks. There are two cuts, from − i to the point at infinity, going down the imaginary axis, and from i to the point at infinity, going up the same axis. Ada dua luka, dari - i ke titik di infinity, turun sumbu imajiner, dan dari saya ke titik di infinity, naik sumbu yang sama. It works best for real numbers running from −1 to 1. Ia bekerja terbaik untuk bilangan real berjalan dari -1 ke 1. The partial denominators are the odd natural numbers, and the partial numerators (after the first) are just ( nz ) 2 , with each perfect square appearing once. Penyebut parsial adalah bilangan natural aneh, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (nz) 2, dengan masing-masing persegi sempurna muncul sekali. It was developed by Carl Friedrich Gauss , utilizing the Gaussian hypergeometric series . Ini dikembangkan oleh Carl Friedrich Gauss , memanfaatkan seri Hipergeometris Gaussian .

[ edit ] Indefinite integrals of inverse trigonometric functions [ sunting ] Waktu Tidak integral fungsi trigonometri invers

For real and complex values of x : Untuk dan kompleks nilai real dari x:

For real x ≥ 1: Untuk real x ≥ 1:

All of these can be derived using integration by parts and the simple derivative forms shown above. Semua ini dapat diturunkan menggunakan integrasi dengan bagian-bagian dan bentuk-bentuk sederhana derivatif yang ditunjukkan di atas.

[ edit ] Example [ sunting ] Contoh

Using Menggunakan , set , Mengatur

Then Kemudian

Substitute Pengganti

Then Kemudian

and dan

Back-substitute for x to yield Kembali-pengganti x untuk menghasilkan

[ edit ] Two-argument variant of arctangent [ sunting ]-argumen varian Dua arctangent

Main article: atan2 Artikel utama: atan2

The two-argument atan2 function computes the arctangent of y / x given y and x , but with a range of (−π, π]. In other words, atan2( y , x ) is the angle between the positive x -axis of a plane and the point ( x , y ) on it, with positive sign for counter-clockwise angles (upper half-plane, y > 0), and negative sign for clockwise angles (lower half-plane, y < 0). It was first introduced in many computer programming languages, but it is now also common in other fields of science and engineering. Kedua-argumen atan2 fungsi menghitung arctangent y / x y dan x yang diberikan, namun dengan kisaran (-π, π]. Dengan kata lain, atan2 (y, x) adalah sudut antara sumbu x positif dari pesawat dan titik (x, y) di atasnya, dengan tanda positif untuk arah jarum jam sudut counter (pesawat atas-setengah, y> 0), dan tanda negatif untuk sudut searah jarum jam (setengah-pesawat yang

lebih rendah, y <0). Ini pertama kali diperkenalkan pada banyak bahasa pemrograman komputer, tetapi sekarang juga umum di bidang lain sains dan teknik.

In terms of the standard arctan function, that is with range of (−π/2, π/2), it can be expressed as follows: Dalam hal fungsi arctan standar, yaitu dengan kisaran (-π / 2, π / 2), dapat dinyatakan sebagai berikut:

It also equals the principal value of the argument of the complex number x + iy . Hal ini juga sama dengan nilai pokok dari argumen dari bilangan kompleks x + iy.

This function may also be defined using the tangent half-angle formulae as follows: Fungsi ini juga dapat didefinisikan dengan menggunakan rumus setengah sudut singgung sebagai berikut:

provided that either x > 0 or y ≠ 0. asalkan baik x> 0 atau y ≠ 0. However this fails if given x ≤ 0 and y = 0 so the expression is unsuitable for computational use. Namun ini gagal jika diberikan x ≤ 0 dan y = 0 sehingga ekspresi tidak cocok untuk digunakan komputasi.

The above argument order ( y , x ) seems to be the most common, and in particular is used in ISO standards such as the C programming language , but a few authors may use the opposite convention ( x , y ) so some caution is warranted. Urutan argumen di atas (y, x) tampaknya yang paling umum, dan khususnya digunakan dalam standar ISO seperti bahasa pemrograman C , tapi beberapa penulis dapat menggunakan konvensi berlawanan (x, y), jadi hati-hati beberapa dibenarkan .

[ edit ] Logarithmic forms [ sunting ] bentuk Logaritma

These functions may also be expressed using complex logarithms . Fungsi-fungsi ini juga dapat dinyatakan dengan logaritma kompleks . This extends in a natural fashion their domain to the complex plane . Ini meluas dengan cara alami mereka domain ke pesawat kompleks .

Elementary proofs of these relations proceed via expansion to exponential forms of the trigonometric functions. Dasar bukti hubungan ini berjalan melalui ekspansi ke bentuk eksponensial fungsi trigonometri.

[ edit ] Example proof [ sunting ] Contoh bukti

( exponential definition of sine ) ( definisi eksponensial sinus )

Let Membiarkan

Then Kemudian

(the positive branch is chosen) (Cabang positif dipilih)

QED QED

Inverse trigonometric functions in the complex plane Invers fungsi trigonometri dalam bidang kompleks

arcsin( z ) arcsin (z)

arccos( z ) arccos (z)

arctan( z ) arctan (z)

arccot( z ) arccot (z)

arcsec( z ) arcsec (z)

arccsc( z ) arccsc (z)

[ edit ] Arctangent addition formula [ sunting ] formula Selain Arctangent

this is derived from the tangent addition formula ini berasal dari tambahan formula singgung

Hints for Proof: Bantuan untuk Bukti:

Starting from the tangent addition formula: Mulai dari penambahan rumus tangen:

Let u = tan( a ), v = tan( b ) which implies that a = arctan u , b = arctan v Mari u = tan (a), v = tan (b) yang menunjukkan bahwa arctan u =, b = arctan v

Then: Kemudian:

. .

Take the arctan of both sides of the previous equation and the result follows. Ambil arctan dari kedua sisi dari persamaan sebelumnya dan hasilnya berikut.

[ edit ] Practical use [ sunting ] Penggunaan Praktis

A right triangle. Sebuah segitiga siku-siku.

Inverse trigonometric functions are useful when trying to determine the remaining two angles of a right triangle when the lengths of the sides of the triangle are known. Invers fungsi trigonometri berguna ketika mencoba untuk menentukan dua sudut yang tersisa dari sebuah segitiga siku-siku jika panjang sisi segitiga diketahui. Recalling the right-triangle definitions of sine, for example, it follows that Mengingat definisi kanan segitiga sinus, misalnya, dapat dikatakan bahwa

Often, the hypotenuse is unknown and would need to be calculated before using arcsine or arccosine. Seringkali, miring tidak diketahui dan akan perlu dihitung sebelum menggunakan arcsine atau arccosine. Arctangent comes in handy in this situation, as the length of the hypotenuse is not needed. Arctangent sangat berguna dalam situasi ini, sebagai panjang sisi terpanjang tidak diperlukan.

For example, suppose a roof drops 8 feet as it runs out 20 feet. Misalnya, atap tetes 8 kaki seperti berjalan keluar 20 kaki. The roof makes an angle θ with the horizontal, where θ may be computed as follows: Atap membuat sudut θ dengan horizontal, di mana θ dapat dihitung sebagai berikut:

[ edit ] See also [ sunting ]