Perbandingan Metode Iterasi Jacobi dan Metode Iterasi Gauss-Seidel dalam Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Fuzzy

Muhammad Abdi1, a), Sukarna 2, b), dan Rahmat 3, c)

1Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar, 90224a) rahmatpoetra2012@gmail.com

Abstrak. Penelitian ini mengkaji tentang menyelesaian Sistem Persamaan Linear Fuzzy dengan Membanding kan Metode Iterasi Jacobi dan Metode Iterasi Gauss-Seidel.Bentuk umum persamaan linear fuzzy yaitu:

A~X=~Y

Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yang bermula dari suatu hampiran Metode iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier yang proporsi koefisien nol nya besar. Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematika ditulis dalam bentuk

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…,n ;k=1,2,3 , …, n. Pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai-

nilai yang paling akhir dihitung digunakan di dalam semua perhitungan. Jelasnya, di dalam iterasi

Jacobi, menghitung dalam bentuk x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1)). Setelah mendapatkan

Hasil iterasi kedua Metode tersebut maka langkah selanjutnya membandingkan kedua metode tersebut dengan melihat jumlah iterasinya dan nilai Galatnya manakah yang lebih baik dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Fuzzy.Kata kunci : Sistem Persamaan Linear Fuzzy, Metode Itersi Jacobi, Metode Iterasi Gauss-Seidel.

Abstract. This study examines the completion of the Linear Fuzzy Equation System by Comparing the Jacobi Iteration Method and the Gauss-Seidel Iteration Method. The general form of the linear fuzzy equation is:

A~X=~Y

The Jacobi iteration method is one of the indirect methods, which stems from an almost a method of this Jacobi iteration method used to solve linear equations whose proportion of large zero coefficients. Iteration can be interpreted as a process or method used repeatedly (repetition) in solving a mathematical problem written in the form

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…,n ;k=1,2,3 , …, n. In the Gauss-Seidel iteration method,

the most recently calculated values are used in all calculations. Obviously, inside Jacobi iteration,

counting in form x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1)) After obtaining the result of second iteration

of the Method then the next step compare both methods by seeing the number of iteration and the Error value which is better in solving Linear Fuzzy Equation System.Keywords: Linear Fuzzy Equation System, Jacobi Itersi Method, Gauss-Seidel Iteration Method.

PENDAHULUAN

Sistem persamaan linear merupakan kumpulan persamaan linear yang saling berhubungan untuk mencari nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linear tersebut. Sistem persamaan

linier kadang muncul secara langsung dari masalah-masalah yang nyata sehingga membutuhkan proses penyelesaian. Menyelesaikan suatu persamaan linear adalah mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linear yang diberikan. Sistem persamaan linear biasanya terdiri atas m persamaan dan n variabel. Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks Ax = b dengan semua entri-entri di dalam A dan b adalah bilangan riil.

Secara umum sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan dua metode yaitu metode langsung dan metode tidak langsung. Metode langsung biasanya disebut metode eksak, diantaranya metode eliminasi, subtitusi, dekomposisi LU, dekomposisi Cholesky, dan dekomposisi Crout. Metode tidak langsung biasanya disebut iterasi , diantaranya metode iterasi Jacobi, metode SOR, metode Gauss-Seidel. Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen sedangkan Metode Gauss Seidel merupakan metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai yang sesungguhnya. Metode ini menggunakan nilai awal dan pada proses selanjutnya menggunakan nilai yang sudah diketahui sebelumnya.

Konstanta dalam sistem persamaan linear biasanya berupa bilangan riil, namun seiring perkembangan ilmu matematika, konstanta dalam sistem persamaan linear dapat berupa bilangan fuzzy dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama. Fuzzy dapat diartikan sebagai kabur atau samar-samar, biasanya digunakan dalam masalah yang mengandung unsur ketidakpastian. Sistem persamaan linear dengan konstanta berupa bilangan fuzzy disebut sistem persamaan linear fuzzy . bentuk sistem persamaan linear fuzzy seperti sistem persamaan linear biasa, perbedaanya terletak pada unsur b . unsur b dalam sistem persamaan linear fuzzy merupakan bentuk parameter yang berada pada interval tertentu.

Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy telah dibahas oleh beberapa peneliti sebelumnya, diantaranya penelitian yang dilakukan oleh Beta Norita dengan Judul “Sistem Persamaan Linear Fuzzy”, ia membahas tentang kajian sistem persamaan linear fuzzy dan solusi sistem persamaan linear fuzzy. Selajutnya A.Panahi dan T.Allahviranloo dengan judul “Solving Fuzzy Linear Systems of Equations”, mereka membahas penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy dengan menggunakan metode Segitiga atas dan Segitiga bawah. Selanjutnya Kholifah dengan judul ”Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Metode Gauss Seidel”. Ia membahas penyelesaian Sistem persamaan linear fully fuzzy dengan metode Gauss seidel.

Berdasarkan penelitian dan jurnal tersebt penulis tertarik untuk mengulas skripsi dengan mengambil dua metode yang digunakan yaitu metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss Seidel, sehingga penulis tertarik mengambil judul “Perbadingan Metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss Seidel dalam menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy”.

Sistem Persamaan Linear Fuzzy

Sistem persamaan linear fuzzy adalah sistem persamaan linear yang berparameter fuzzy yang berada pada interval tertentu. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah sebagai berikut:

A~X=~Y (1)Sistem persamaan linear fuzzy dapat dijelaskan sebagai berikut:

a11~x1+¿a12

~x2+¿⋯+¿ a1n~xn=~y1

a21~x1+¿ a22

~x2+¿⋯+¿a2n~xn=~y2

⋮¿⋮¿⋮¿

⋮amn

~xn=~yn

(2)

Dengan a ij adalah konstanta dan ~X j variabel yang belum diketahui dan dan ~y j adalah fuzzy. Persamaan (4.1) dapat di tulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

A=[ a11 a12 ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮am1

⋮am2

⋮⋯

⋮amn

] ~X=[~x1~x2~x3

⋮~xn

] ~Y=[~y1~y2~y3

⋮~yn

] (3)

Dengan matriks koefisien A=aij untuk i , j=1,2 ,…,n, ~x adalah vektor bilangan fuzzy berukuran n ×1 dengan ~x i=x i (r ) , x i (r ) ,r=0,1 dan ~yi= y i (r ) , y i (r ) , untuk i = 1,2,3,...n adalah vektor bilangan bilangan fuzzy yang berukuran n x 1.Menurut Beta Norita (tanpa tahun) Langkah awal yang dilakukan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear fuzzy adalah mengubah matriks koefisien A yang berukuran n x n menjadi matriks yang berukuran 2n x 2n yang diamsumsikan menjadi matriks M.

Ketentuan berikut:a) Jika a i , j ≥ 0 maka b i, j=ai , j dan b i+n , j+n=ai , j

b) Jika a i , j<0 maka b i, j+n=−ai , j dan b i+n , j=−ai , j (4)c) Entri yang lainnya = 0

Definisi 1 (T. Allahviranloo, 2004) Vektor bilangan fuzzy x1 , x2 , …, xn

T dengan diberikan ~x i=x i (r ) , x i (r ) ,untuk i = 1,2,...,n dan r = 0,1 disubut penyelesaian dari sistem persamaan linear jika:

∑j=1

n

aij x j=∑j=1

n

aij x j= y i

∑j=1

n

aij x j=∑j=1

n

aij x j= y i

Menurut M. Matinfar (2008) sistem persamaan linear fuzzy baru dapat dijelaskan sebagai berikut :S11 x1+¿⋯+¿S1 n xn+¿S1n+1 x2+¿⋯+¿ S1,2n xn ¿ y1

¿⋮ ¿ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ¿ S11 x1+¿Sn+11 x1+¿ ⋮

S2n ,1 x1+¿¿

Persamaan 4.2 dapat ditulis sebagai berikut :S~X=~Y

Atau

[B1 B2

B2 B1] [ XX ]

Dengan

S=[B1 B2

B2 B1] , X=[ x1(r )⋮

xn(r )], X=[ x1(r )⋮

xn(r )] Y=[ y1(r )⋮

yn(r )] dan Y=[ y1(r )⋮

yn(r )]Definisi 2 (M.Matinfar dkk, 2008) Terdapat X ¿ x i (r ) , x i (r ) , 1≤i ≤n adalah solusi dari SX=Y dengan bilangan fuzzy U ¿ui (r ) ,u i (r ) , 1≤ i≤ n; adalah:u (r )=min x i (r ) , x i (r ) , x i (1 ) , x i (1 ) ,u (r )=max xi (r ) , xi (r ) , xi (1 ) , x i (1 ) ,

Solusi fuzzy~U disebut solusi fuzzy kuat (strong fuzzy solution) jika ui= xi , ui=~x i , maka jika terdapat salah satu yang tidak sama maka~U adalah solusi fuzzy lemah (weak fuzzy solution).

Metode Iterasi Jacobi

Metode iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier yang proporsi koefisien nol nya besar. Metode ini ditemukan olek matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an. Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematika. Adapun metode iterasi Jacobi yaitu:

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…, n ;k=1,2,3 , …, n (5)

Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Metode iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan sebagai berikut:

x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1)) (6)

Galat

Misalkan x suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak x, yang tidak diketahui. Nilai

ex=x−x (7)Disebut galat |e x| disebut galat mutlak, dan nilai

r x=|x−x|

x (8)

Himpunan Fuzzy (Fuzzy Set)

Pada himpunan klasik, keberadaan suatu elemen x dalam suatu himpunan A hanya memiliki dua kemungkinan keanggotaan, yaitu x menjadi anggota A atau x tidak menjadi anggota Suatu A nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan suatu elemen x dalam suatu himpunan . biasa disebut dengan nilai keanggotaan, yang biasa ditulis dengan μA (x).

Pada himpunan klasik, nilai keanggotaan hanya memasangkan nilai 0 atau 1 untuk unsur-unsur pada semesta pembicaraan, yang menyatakan anggota atau bukan anggota. (Ravita,2012)Nilai keanggotaan untuk himpunan A adalah fungsi μA : X → {0,1 } dengan

μA ( x )={ 1 , jika x∈ A0 , jika x∉ A atau x∈ A (9)

Bilangan Fuzzy

Definisi 3 (Kwang, 2005)

Bilangan fuzzy u dalam R didefinisikan sebagai pasangan fungsi (u , u) yang memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Fungsi u monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0,1],

2. Fungsi u monoton turun, terbatas dan kontinu kanan pada [0,1], dan

3. u (r)≤ u (r) untuk setiap r dalam [0,1],Himpunan bilangan-bilangan fuzzy dinyatakan dengan F. Untuk selanjutya, bilangan fuzzy u∈

F ditulis dalam bentuk parameter u = (u ,u ).

Definisi 4 (kajani, 2005)Operasi aljabar fuzzy menggunakan definisi yaitu untuk setiap u, v ∈ F dan bilangan real α didefinisikan :a) u=v jika dan hanya jika u=v dan u=v .b) u+v=(u+v ,u+v )c) αu=( α u , α u ) untuk α ≥ 0d) αu=( α u , α u ) untuk α ≥ 0

METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan penelitian kajian teori, dilakukan bulan Desember 2017-Maret 2018 dengan menggunakan buku-buku dan jurnal-jurnal yang membahas tentang sistem persamaan linear fuzzy, metode numerik, himpunan fuzzy.

HASIL PENELITIAN

Simulasi pertama

~x1−~x2=−7+2r ,−3−2 r~x1−3~x2=19+4 r , 27−4 rTentukan solusi dari persamaan berikut

A ~x=~y

(1 −11 3 )(~x1

~x2)=(−7+2 r −3−2 r

19+4 r 27−4 r )A=(1 −1

1 3 )~x=(x1 (r ) x1 (r )x2 (r ) x2 (r ))~y=(−7+2 r −3−2 r

19+4 r 27−4 r )Sistem persamaan dari n x n diubah menjadi 2n x 2n yang diamsumsikan dengan matriks m

1. Jika a ij ≥ 0 maka b ij=aij , b i+n , j+n=aij

a11=1 b11=1 b33=1a21=1 b21=1 b43=1

¿2. Jika a ij<0 maka b i, j+n=−aij dan bi +n , j=−aij

a12=−1 b14=1 b32=1¿ ¿

3. b ij bernilai nol untuk entri-entri yang lain.

Karena pada contoh diamsumsikan matriks m sehingga b ij=mij. Berdasarkan entri-entri yang di dapat maka akan diperoleh persamaan baru:

¿Persamaan diatas dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks baru sebagai berikut:

[1 01 3

0 10 0

0 10 0

1 01 3] [x1

x2

x1

x2]=[−7+2 r

19+4 r−3−2r27−4 r ]

Dengan

m=[1 01 3

0 10 0

0 10 0

1 01 3] ,~x=[x1

x2

x1

x2] ,~y=[−7+2 r

19+4 r−3−2 r27−4 r ]

Maka dengan melakukan operasi perkalian terhadap persamaan matriks diperoleh persamaan linear fuzzy baru yaitu:

x1 +x2 ¿−7+2rx1 +3 x2 ¿19+4 r

x2 +x1 ¿−3−2rx1 +3 x2 ¿27−4 r

Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy yang baru ini dapat dilakukan dengan :1. Metode Iterasi Jacobi

Bentuk umumnya

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…,n ;k=1,2,3 , …, n (4.5)

x1(k)=−x2

(k−1)−7+2r x2(k)=−1

3x1

(k−1)+ 19+4 r3 x1

(k)=−x2(k−1)−3−2 r

x2(k)=−1

3x1

(k−1)+ 27−4 r3

Iterasi Pertama

x1(1 )=−x2

(0 )−7+2rx2(1 )=−1

3x

1

(0 )

+ 19+4 r3 x1

(1 )=−x2(0 )−3−2 rx2

(1 )=−13

x1( 0)+ 27−4 r

3Misalkan Nilai awal (x1

(0 ) , x2(0 ) , x1

(0 ) , x2(0 )=0) dengan mensubtitusi Nilai awal pada iterasi

pertama maka di peroleh:

x1(1 )=−7+2 rx2

(1 )=19+4 r3 x1

(1 )=−3−2 r x2(1 )=27−4 r

3

Untuk diperoleh iterasi kedua caranya adalah dengan mensubtitusi nilai ~x (1 )=[−7+2r , 19+4 r

3,−3−2 r , 27−4 r

3 ]Iterasi kedua

x1(2 )=−x2

(1)−7+2 rx2(2 )=−1

3x

1

(1)

+ 19+4 r3 x1

(2 )=−x2(1)−3−2 rx2

(2 )=−13

x1( 1)+27−4 r

3Dimana iterasi pertama yaitu :

~x (1 )=[−7+2r , 19+4 r3

,−3−2 r , 27−4 r3 ]

x1(2 )=−(27−4 r

3 )−7+2r=−27−21+4 r+6 r3

=−48+10 r3

x2(2 )=−1

3(−7+2 r )+19+4 r

3=

(7+19 )+ (−2r+4 r )3

=26+2 r3

x1(2 )=−( 19+4 r

3 )−3−2 r=−19−9+(−4 r )−6 r3

=−28−10 r3

x2(2 )=−1

3(−3−2 r )+ 27−4 r

3=3+27+2r−4 r

3=30−2 r

3

Jadi iterasi ke dua adalah ~x (2 )=[−48+10r3

, 26+2r3

,−28−10 r3

, 30−2 r3 ]

Iterasi ketiga

x1(3 )=−x2

(2 )−7+2 rx2(3 )=−1

3x

1

(2 )

+ 19+4 r3

x1(3 )=−x2

(2 )−3−2 rx2(3 )=−1

3x1

( 2)+ 27−4 r3

Dimana iterasi kedua yaitu:~x (2 )=[−48+10r

3, 26+2r

3,−28−10 r

3, 30−2 r

3 ]x1

(3 )=−( 30−2 r3 )−7+2r=−30−21+2 r+6 r

3=−51+8 r

3

x2(3 )=−1

3 (−48+10 r3 )+19+4 r

3=48+57−10 r+12 r

9=105+2 r

9

x1(3 )=−(26+2r

3 )−3−2r=−26−9−2 r−6 r3

=−35−8 r3

x2(3 )=−1

3 (−28−6 r3 )+ 27−4 r

3=28+81+10r−12r

9=109−2r

9

Jadi iterasi ketiga yaitu:[−51+8 r3

, 105+2 r9

,−35−8 r3

, 109−2 r9 ].

Metode Iterasi Gauss – SeidelBentuk umumnya :

x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1))

Sehingga diperoleh dari contoh 1 yaitu:

x1(k)=−x2

(k−1)−7+2r x2(k)=−1

3x1

(k)+19+4 r3 x1

(k)=−x2(k)−3−2 rx2

(k)=−13

x1(k)+27−4 r

3Iterasi pertama

x1(1)=− x2

(0)−7+2r x2(1)=−1

3x1

(1)+ 19+4 r3 x1

(1)=− x2(1 )−3−2r x2

(1)=−13

x1(1)+ 27−4 r

3Misalkan Nilai awal (x1

(0 ) , x2(0 ) , x1

(0 ) , x2(0 )=0) dengan mensubtitusi Nilai awal pada iterasi

pertama maka di peroleh:

x1(1)=− x2

(0)−7+2r=0−7+2 r=−7+2r

x2(1)=−1

3x1

(1 )+ 19+4 r3

=−13

(−7+2 r )+ 19+4 r3

=7+19−2 r+4 r3

=26+2 r3

x1(1)=− x2

(1 )−3−2r=−( 26+2r3 )−3−2 r=−26−9−2 r−6 r

3=−35−8 r

3

x2(1)=−1

3x1

(1 )+ 27−4 r3

=−13 (−35−8 r

3 )+27−4 r3

=35+81+8 r−12r9

=116−4 r9

jadi iterasi pertama yaitu:~x (1)=[−7+2r , 26+2 r3

,−35−8 r3

, 116−4 r9 ]

Iterasi kedua:

x1(2)=− x2

(1 )−7+2 rx2(2)=−1

3x1

(2)+ 19+4 r3 x1

(2)=− x2(2)−3−2r x2

(2)=−13

x1(2)+ 27−4 r

3Dimana iterasi pertama yaitu:

~x(1)=[−7+2r , 26+2 r3

,−35−8 r3

, 116−4 r9 ]

Maka diperoleh:

x1(2)=−x2

( 1)−7+2r=−( 116−4 r9 )−7+2 r=−116−63+4 r+18 r

9=−179+22 r

9

x2(2)=−1

3x1

(2 )+ 19+4 r3

=−13 (−179+22 r

9 )+ 19+4 r3

=179+171−22 r+36 r27

=350+14 r27

x1(2)=−x2

( 2)−3−2 r=−(350+14 r27 )−3−2 r=−350−81−14 r−54 r

27=−431−68 r

27

x2(2)=−1

3x1

(2 )+ 27−4 r3

=−13 (−431−68 r

27 )+ 27−4 r3

=431+729+68 r−108 r81

=1160−40 r81

Jadi Iterasi kedua yaitu : ~x(2)=[−179+22 r9

, 350+14 r27

, −431−68 r27

, 1160−40 r81

]

Iterasi ketiga

x1(3)=−x2

(2)−7+2 rx2(3)=−1

3x1

(3 )+ 19+4 r3 x1

(3)=−x2(3)−3−2 rx2

(3)=−13

x1(3 )+ 27−4 r

3Dimana iterasi kedua yaitu:

~x(2)=[−179+22 r9

, 350+14 r27

, −431−68 r27

, 1160−40 r81

]

Maka diperoleh :

x1(3)=−x2

(2)−7+2 r=−( 1160−40 r81 )−7+2 r=−1160−567+40 r+162 r

81=−1727+202r

81

x2(3)=−1

3x1

(3 )+ 19+4 r3

=−13 (−1727+202r

81 )+ 19+4 r3

=1727+1539−202r+324 r243

=3266+122r243

x1(3)=−x2

( 3)−3−2 r=−( 3266+122r243 )−3−2 r=−3266−729−122 r−486 r

243=−3995−608 r

243

x2(3)=−1

3x1

(3 )+ 27−4 r3

=−13 (−3995−608 r

243 )+ 27−4 r3

=3995+6561+608 r−972r729

=10556−364 r729

Jadi iterasi ketiga yaitu :~x(3 )=[−1727+202 r81

, 3266+122r243

,−3995−608 r243

, 10556−364 r729 ]

Tabel 4.1 Simulasi Pertama dengan Metode Iterasi Jacobir/

iterasi

ke n

r = 0 r = 0.1

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -7.000

0

6.3333

-3.000

0

9.0000

13.3832 -6.800

0

6.4667

-3.200

0

8.8667

13.301

2 -16.00

00

8.6667

-9.333

3

10.0000

11.294 -15.66

67

8.7333

-9.666

7

9.9333

11.2566

3 -17.00

00

11.6667

-11.66

67

12.1111

4.4611 -16.73

33

11.6889

-11.93

33

12.0889

4.4337

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮22 -

21.4999

13.4999

-16.49

99

14.4999

0.00019127

-21.24

99

13.5499

-16.74

99

14.4499

0.00019063

r/iteras

ike n

r = 0.2 r = 0.3

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -6.600

0

6.6000

-3.400

0

8.7333

13.2269 -6.400

0

6.7333

-3.600

0

8.6000

13.1612

2 -15.33

33

8.8000

-10.00

00

9.8667

11.223 -15.00

0

8.8667

-10.33

3

9.8000

11.1933

3 -16.46

67

11.7111

-12.20

00

12.0667

4.409 -16.20

0

11.733

-12.46

67

12.0444

4.3871

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮22 -

20.9999

13.5999

-16.99

99

14.3999

0.00019006

-20.74

99

13.6499

-17.24

99

14.3499

0.00018956

r/iteras

ike n

r = 0.4 r = 0.5

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -6.200

0

6.8667

-3.800

0

8.4667

13.104 -6.000

0

7.0000

-4.000

0

8.3333

13.0554

2 -14.66

8.9333

-10.66

9.7333

11.1674 -14.33

9.0000

-11.00

9.6667

11.1455

67 67 33 003 -

15.9333

11.7556

-12.73

33

12.0222

4.368 -15.66

67

11.7778

-13.00

00

12.0000

4.3518

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮22 -

20.4999

13.6999

-17.49

99

14.2999

0.00018912

-20.24

99

13.7499

-17.74

99

14.2499

0.00018875

r/iteras

ike n

r = 0.6 r = 0.7

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -5.800

0

7.1333

-4.200

0

8.2000

13.0155 -5.600

0

7.2667

-4.400

0

8.0667

12.9844

2 -14.00

00

9.0667

-11.33

33

9.6000

11.1275 -13.66

67

9.1333

-11.66

67

9.5333

11.1136

3 -15.40

00

11.8000

-13.26

67

11.9778

4.3385 -15.13

33

11.8222

-13.53

33

11.9556

4.3281

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮22 -

19.9999

13.7999

-17.99

99

14.1999

0.00018845

-19.74

99

13.8499

-18.24

99

14.1499

0.00018821

r/iteras

ike n

r = 0.8 r = 0.9

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -5.400

0

7.4000

-4.600

0

7.9333

12.9622 -5.200

0

7.5333

-4.800

0

7.8000

12.9488

2 -13.33

33

9.2000

-12.00

00

9.4667

11.1036 -13.00

00

9.2667

-12.33

33

9.4000

11.0975

3 -14.86

67

11.8444

-13.80

00

11.9333

4.3207 -14.60

00

11.8667

-14.06

67

11.9111

4.3163

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮22 -

19.4999

13.8999

-18.49

99

14.0999

0.00018804

-19.24

99

13.9499

-18.74

99

14.0499

0.00018794

r/iterasike n r = 1

x1 x2 x3 x4 error1 -5.0000 7.6667 -5.0000 7.6667 12.94432 -12.6667 9.3333 -12.6667 9.3333 11.09553 -14.3333 11.8889 -14.3333 11.8889 4.3148⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

22 -18.9999 13.9999 -18.9999 13.9999 0.00021921

Tabel 4.2 Simulasi Pertama dengan Metode Iterasi Gauss-Seidelr/

iterasi

ke n

r = 0 r = 0.1

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -7.000

0

8.6667

-11.66

67

12.8889

20.6481

-6.800

0

8.7333

-11.93

33

12.8444

20.7339

2 -19.88

89

12.9630

-15.96

30

14.3210

14.321

-19.64

44

13.0148

-16.21

48

14.2716

14.2716

3 -21.32

10

13.4403

-16.44

03

14.4801

1.5912

-21.07

16

13.4905

-16.69

05

14.4302

1.5857

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -

21.5000

13.5000

-16.50

00

14.5000

2.6947e-05

-21.25

00

13.5500

-16.75

00

14.4500

2.6855e-05

r/iteras

ike n

r = 0.2 r = 0.3

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -6.600

0

-6.600

0

-12.20

00

12.8000

20.825

-6.400

0

8.8667

-12.46

67

12.7556

20.9213

2 -19.40

00

13.0667

-16.46

67

14.2222

14.2222

-19.15

56

13.1185

-16.71

85

14.1728

14.1728

3 -20.82

22

13.5407

-16.94

07

14.3802

1.5802

-20.57

28

13.5909

-17.19

09

14.3303

1.5748

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -

21.0000

13.6000

-17.00

00

14.4000

2.6762e-05

-20.75

00

13.6500

-17.25

00

14.3500

2.6669e-05

r/iteras

ike n

r = 0.4 r = 0.5

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -6.200

0

8.9333

-12.73

33

12.7111

21.0227

-6.000

0

9.0000

-13.00

00

12.6667

21.1292

2 -18.91

11

13.1704

-16.97

04

14.1235

14.1235

-18.66

67

13.2222

-17.22

22

14.0741

14.0741

3 -20.32

35

13.6412

-17.44

12

14.2804

1.5693

-20.07

41

13.6914

-17.69

14

14.2305

1.5638

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -

20.5000

13.7000

-17.50

00

14.3000

2.6576e-05

-20.25

00

13.7500

-17.75

00

14.2500

2.6483e-05

r/iteras

ike n

r = 0.6 r = 0.7

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -5.800

0

9.0667

-13.26

67

12.6222

21.2407

-5.600

0

9.1333

-13.53

33

12.5778

21.3572

2 -18.42

22

13.2741

-17.47

41

14.0247

14.0247

-18.17

78

13.3259

-17.72

59

13.9753

13.9753

3 -19.82

47

13.7416

-17.94

16

14.1805

1.5583

13.9753

13.7918

-18.19

18

14.1306

1.5528

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -

20.0000

13.8000

-18.00

00

14.2000

2.639e-05

-19.75

00

13.8500

-18.25

00

14.1500

2.6297e-05

r/iteras

ike n

r = 0.8 r = 0.9

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -5.400

0

9.2000

-13.80

00

12.5333

21.4785

-5.200

0

-5.200

0

-14.06

67

12.4889

21.6045

2 -17.93

33

13.3778

-17.97

78

13.9259

13.9259

-17.68

89

13.4296

13.4296

13.8765

13.8765

3 -19.32

59

13.8420

-18.44

20

14.0807

1.5473

-19.07

65

13.8922

-18.69

22

14.0307

1.5418

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -

19.5000

13.9000

-18.50

00

14.1000

2.6204e-05

-19.25

00

13.9500

-18.75

00

14.0500

2.6111e-05

r/iterasike n r = 1

x1 x2 x3 x4 error1 -19.2500 13.9500 -18.7500 14.0500 2.6111e-052 -19.2500 13.9500 -18.7500 14.0500 2.6111e-053 -19.2500 13.9500 -18.7500 14.0500 2.6111e-05⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮8 -19.0000 14.0000 -19.0000 14.0000 2.6018e-05

Dari hasil simulasi pertama pada tabel 4.1 dan 4.2 dengan syarat pemberhentian iterasi |xn−xn−1|<ε (ε= 10-4) diperoleh metode Iterasi Jacobi mendapatkan Iterasi pemberhentian pada iterasi ke 22 dan metode Iterasi Gauss-Seidel mendapatkan Iterasi pemberhentian pada iterasi Ke 8 dan error pada metode Gauss-Seidel lebih cepat konvergen dari pada metode jacobi. Hal ini menunjukkan bahwa metode Iterasi Gauss-Seidel lebih baik digunakan ketimbang metode iterasi Jacobi.

Simulasi kedua

Sebuah sirkuit Listrik dalam Penerapan Sistem persamaan Linear Fuzzy untuk menganalisis sirkuit tersebut dengan sumber yang sama dengan arus sebagai Fuzzy dan resistensinya yang terlihat pada gambar berikut:

Berdasarkan hukum kirchoff 2 yaitu:∑ ε+∑ I . R=0

Keterangan:ε = jumlah ggl Sumber arus (V)I.R = Jumlah Penurunan tegangan (V)I = arus Listrik (A)R = hambatan (W)Maka diperoleh berdasarkan hukum kirchoff 2 pada gambar yaitu:3 I1+3 ( I 1−I 2 )=(3+4 r , 8+11r )−(2+r ,1+r ) (4.1)3 ( I 1−I2 )+12 I 2=(3+4 r ,8+11r )−(2+r ,1+r ) (4.2)Maka hasil operasi dari persamaan 4.1 dan 4.2 menjadi

6 I 1+3 I 2=(1+3 r ,7+10 r )I 1+3 I 2=(1+3 r ,2−6 r)Misalkan I 1=~x1

I 2=~x2

Maka diperoleh :6~x1−3~x2=1+3 r ,7+10r~x1+3~x2=1+3r ,2−6 r

Tentukan solusi dari persamaan berikutA ~x=~y

(6 −31 3 )(~x1

~x2)=(1+3 r 7+10 r

1+3 r 2−6 r )A=(6 −31 3 )~x=(x1 (r ) x1 (r )

x2 (r ) x2 (r ))~y=(1+3 r 7+10 r1+3 r 2−6 r )

Sistem persamaan dari n x n diubah menjadi 2n x 2n yang diamsumsikan dengan matriks m4. Jika a ij ≥ 0 maka b ij=aij , b i+n, j+n=aij

a11=6 b11=6 b33=6a21=1 b21=1b43=1

¿5. Jika a ij<0 maka b i, j+n=−aij dan bi +n , j=−aij

a12=−3 b14=3 b32=3¿ ¿

6. b ij bernilai nol untuk entri-entri yang lain.

(1+8 r ,5−19r ) V

(3+4 r ,8+11r ) V(2+r , 1+r )V

3Ω

12 Ω3 Ω

Karena pada contoh diamsumsikan matriks m sehingga b ij=mij. Berdasarkan entri-entri yang di dapat maka akan diperoleh persamaan baru:

¿Persamaan diatas dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks baru sebagai berikut:

(6 01 3

0 30 0

0 30 0

6 01 3

)(x1

x2

x1

x2)= 1+3 r

1+3 r7+10 r2−6 r

Dengan

m=(6 01 3

0 30 0

0 30 0

6 01 3

) ,~x=(x1

x2

x1

x2) ,~y=

1+3 r1+3 r

7+10 r2−6 r

Maka dengan melakukan operasi perkalian terhadap persamaan matriks diperoleh persamaan linear fuzzy baru yaitu:6 x1 +3 x2 ¿1+3 rx1 +3 x2 ¿1+3 r

3 x2 +6 x1 ¿7+10rx1 +3 x2 ¿2−6 r

Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy yang baru ini dapat dilakukan dengan

1. Metode Iterasi JacobiBentuk umumnya

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…,n ;k=1,2,3 , …, n

Sehingga diperoleh dari contoh 2 yaitu

x1(k )=−1

2x2

(k−1)+ 1+3 r6

x2(k )=−1

3x1

(k−1)+ 1+3 r3

x1(k )=−1

2x2

(k−1)+ 7+10 r6

x2(k)=−1

3x1

(k−1)+2−6 r3

Iterasi pertama

x1(1 )=−1

2x2

( 0)+ 1+3 r6

x2(1 )=−1

3x1

( 0)+ 1+3 r3

x1(1 )=−1

2x2

( 0)+ 7+10 r6

x2(1)=−1

3x1

(0 )+ 2−6 r3

Misalkan Nilai awal (x1(0 ) , x2

(0 ) , x1(0 ) , x2

(0 )=0) dengan mensubtitusi Nilai awal pada iterasi pertama maka di peroleh:

x1(1 )=−1

2(0 )+1+3 r

6=1+3 r

6x2

(1 )=−13

(0 )+1+3 r3

=1+3 r3

x1(1 )=−1

2(0 )+7+10 r

6=7+10 r

6

x2(1)=−1

3(0 )+2−6 r

3=2−6 r

3

Jadi iterasi pertama diperoleh yaitu: [ 1+3 r6

, 1+3 r3

, 7+10 r6

, 2−6 r3 ]

Iterasi kedua

x1(2 )=−1

2x2

( 1)+1+3 r6

x2(2 )=−1

3x1

( 1)+1+3 r3

x1(2 )=−1

2x2

( 1)+7+10 r6

x2(2)=−1

3x1

(1 )+ 2−6 r3

dimana iterasi pertama diperoleh yaitu: [ 1+3 r6

, 1+3 r3

, 7+10 r6

, 2−6 r3 ]

x1(2 )=−1

2 ( 2−6 r3 )+1+3 r

6=−2+1+6 r+3 r

6=−1+9 r

6

x2(2 )=−1

3 ( 1+3 r6 )+ 1+3r

3=5+15 r

18

x1(2 )=−1

2 ( 1+3 r3 )+ 7+10 r

6=6+7 r

6

x2(2)=−1

3 ( 7+10 r6 )+ 2−6 r

3=5−46 r

18

Jadi iterasi kedua yaitu: [−1+9r6

, 5+15 r18

, 6+7 r6

, 5−46 r18 ]

Iterasi ketiga

x1(3 )=−1

2x2

(2)+ 1+3r6

x2(3 )=−1

3x1

(2)+ 1+3r3

x1(3 )=−1

2x2

(2)+ 7+10 r6

x2(3)=−1

3x1

(2 )+ 2−6 r3

Dimana iterasi kedua yaitu: [−1+9r6

, 5+15 r18

, 6+7 r6

, 5−46 r18 ]

x1(3 )=−1

2 ( 5−46 r18 )+ 1+3 r

6=−5+6+46 r+18 r

36=1+64 r

36

x2(3 )=−1

3 (−1+9 r6 )+ 1+3 r

3=1+6−9r+18r

18=7+9 r

18

x1(3 )=−1

2 ( 5+15 r18 )+ 7+10 r

6=−5+42−15 r+60 r

36=37+45 r

36

x2(3)=−1

3 ( 6+7 r6 )+ 2−6 r

3=−6+12−7 r−36 r

18=6−43 r

18

Jadi iterasi ketiga yaitu :[ 1+64 r36

, 7+9 r18

, 37+45 r36

, 6−43 r18 ]

2. Metode Iterasi Gauss – Seidel

Bentuk umumnya :

x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1))

Sehingga diperoleh dari contoh 2 yaitu:

x1(k )=−1

2x2

(k−1)+ 1+3 r6

x2(k )=−1

3x1

(k )+ 1+3 r3

x1(k )=−1

2x2

(k )+ 7+10 r6

x2(k)=−1

3x1

(k)+ 2−6 r3

Iterasi pertama

x1(1 )=−1

2x2

( 0)+ 1+3 r6

x2(1 )=−1

3x1

( 1)+1+3 r3

x1(1 )=−1

2x2

( 1)+7+10 r6

x2(1)=−1

3x1

(1)+ 2−6 r3

Misalkan Nilai awal (x1(0 ) , x2

(0 ) , x1(0 ) , x2

(0 )=0) dengan mensubtitusi Nilai awal pada iterasi pertama maka di peroleh:

x1(1 )=−1

2(0 )+1+3 r

6=1+3 r

6x2

(1 )=−13 ( 1+3 r

6 )+ 1+3r3

=−1+6−3 r+18r18

=5+15 r18

x1(1 )=−1

2 ( 5+15 r18 )+ 7+10 r

6=−5+42−15 r+60 r

36=37+45 r

36

x2(1)=−1

3 ( 37+45r36 )+2−6 r

3=35−261 r

108

Jadi iterasi pertama yaitu:[1+3 r6

, 5+15 r18

, 37+45 r36

, 35−261r108 ]

Iterasi kedua

x1(2 )=−1

2x2

( 1)+1+3 r6

x2(2 )=−1

3x1

( 2)+1+3 r3

x1(2 )=−1

2x2

( 2)+7+10 r6

x2(2)=−1

3x1

(2 )+ 2−6 r3

Dimana iterasi pertama yaitu:[1+3 r6

, 5+15 r18

, 37+45 r36

, 35−261r108 ]

x1(2 )=−1

2 ( 35−261 r108 )+ 1+3 r

6=−35+36+261 r+108 r

216=1+369r

216

x2(2 )=−1

3 ( 1+369 r216 )+1+3 r

3=−1+216−369 r+648 r

648=215+279 r

648

x1(2 )=−1

2 ( 215+279 r648 )+ 7+10 r

6=−215+1512−279 r+2160 r

1296=1297+1881 r

1296

x2(2)=−1

3 ( 1297+1881 r1296 )+ 2−6 r

3=−1297+2592−1888 r−7776 r

3888=1295−9657 r

3888

Jadi iterasi kedua yaitu: [1+369 r216

, 215+279 r648

, 1297+1881r1296

, 1295−9657 r3888 ]

Iterasi ketiga

x1(3 )=−1

2x2

(2)+ 1+3r6

x2(3 )=−1

3x1

(3)+ 1+3 r3

x1(3 )=−1

2x2

(3)+ 7+10 r6

x2(3)=−1

3x1

(3 )+ 2−6 r3

Dimana iterasi kedua yaitu: [ 1+369 r216

, 215+279 r648

, 1297+1881r1296

, 1295−9657 r3888 ]

x1(3 )=−1

2 ( 1295−9657 r3888 )+ 1+3r

6=−1295+1296+9657 r+3888 r

7776=1+13545 r

7776

x2(3 )=−1

3 ( 1+13545 r7776 )+ 1+3 r

3=−1+7776−13545 r+23328 r

23328=7775+9783 r

23328

x1(3 )=−1

2 ( 7775+9783 r23328 )+ 7+10 r

6=−7775+54432−9783r+77760r

46656= 46657+67977 r

46656

x2(3)=−1

3 ( 46657+67977 r46656 )+ 2−6 r

3=−46657+93312−67977 r−279936 r

139968=46655−347913 r

139968

x1(5 )=−1

2 ( 5038843,67−2447443 r30233058 )+ 7+10 r

6=−5038843,67+70543802+2447443 r+100776860 r

60466116=65504958,3+103224303r

60466116

x2(5)=−1

3 ( 65504958,3+103224303 r60466116 )+ 2−6 r

3=−65504958,3+120932232−103224303 r−362796696 r

181398348=55427273,7−466020999 r

181398348Jadi iterasi kelima yaitu:

[−0,67+17563972r10077686

, 5038843,67−2447443 r30233058

, 65504958,3+103224303 r60466116

, 55427273,7−466020999 r181398348 ]

Tabel 4.3 Simulasi Pertama dengan Metode Iterasi Jacobir/

iterasi

ke n

r = 0 r = 0.1

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 0.1667

0.3333

1.1667

0.6667

1.3944 0.2167

0.4333

1.3333

0.4667

1.4934

2 -0.166

7

0.2778

1.0000

0.2778

0.54149 -0.0167

0.3611

1.1167

0.0222

0.55149

3 0.0278

0.3889

1.0278

0.3333

0.23241 0.2056

0.4389

1.1528

0.0944

0.2489

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮11 0.000

00.333

41.000

00.333

30.00017

9330.1743

0.3753

1.1457

0.0848

0.00019205

r/iteras

ike n

r = 0.2 r = 0.3

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 0.2667

0.5333

1.5000

0.2667

1.6361 0.3167

0.6333

1.6667

0.0667

1.8121

2 0.1333

0.4444

1.2333

-0.233

3

0.58889 0.2833

0.5278

1.3500

-0.4889

0.64898

3 0.3833

0.4889

1.2778

-0.144

4

0.27268 0.5611

0.5389

1.4028

-0.3833

0.30201

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮11 0.348

60.417

21.291

4-

0.1638

0.0002104

0.5229

0.4591

1.4371

-0.4124

0.00023303

r/iteras

ike n

r = 0.4 r = 0.5

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 -6.200

0

8.9333

-12.73

33

12.7111

21.0227 0.4167

0.8333

2.0000

-0.3333

2.2314

2 -18.91

11

13.1704

-16.97

04

14.1235

14.1235 0.5833

0.6944

1.5833

-1.0000

0.81555

3 -20.32

35

13.6412

-17.44

12

14.2804

1.5693 0.9167

0.6389

1.6528

-0.8611

0.3719

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮11 0.697

20.501

01.582

8-

0.6609

0.00025884

0.8715

0.5429

1.7285

-0.9095

0.00028696

r/iteras r = 0.6 r = 0.7

ike n

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 0.4667

0.9333

2.1667

-0.533

3

2.4633 0.5167

1.0333

2.3333

-0.7333

2.705

2 0.7333

0.7778

1.7000

-1.255

6

0.91361 0.8833

0.8611

1.8167

-1.5111

1.0178

3 1.0944

0.6889

1.7778

-1.100

0

0.41055 1.2722

0.7389

1.9028

-1.3389

0.45083

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮11 1.045

80.584

81.874

2-

1.1581

0.00031678

1.2200

0.6268

2.0199

-1.4066

0.00034786

r/iteras

ike n

r = 0.8 r = 0.9

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error

1 0.5667

1.1333

2.5000

-0.933

3

2.9541 0.6167

1.2333

2.6667

-1.1333

3.2089

2 1.0333

0.9444

1.9333

-1.766

7

1.1265 1.1833

1.0278

2.0500

-2.0222

1.2385

3 1.4500

0.7889

2.0278

-1.577

8

0.49235 1.6278

0.8389

2.1528

-1.8167

0.53481

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮11 1.394

30.668

72.165

6-

1.6552

0.0003799

1.5686

0.7106

2.3113

-1.9037

0.00041267

r/iterasike n r = 1

x1 x2 x3 x4 error1 0.6667 1.3333 2.8333 -1.3333 3.46812 1.3333 1.1111 2.1667 -2.2778 1.35293 1.8056 0.8889 2.2778 -2.0556 0.57802⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

11 1.7429 0.7525 2.4570 -2.1523 0.000446

Tabel 4.4 Simulasi Pertama dengan Metode Iterasi Gauss-Seidelr/

iterasike n

r = 0 r = 0.1

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error1 0.16

670.2778

1.0278

0.3241

1.1253 0.2167

0.3611

1.1528

0.0824

1.2301

2 0.0046

0.3318

1.0008

0.3331

0.17316 1.2301

0.3748

1.1459

0.0847

0.044032

3 0.00 0.33 1.00 0.33 0.004809 0.17 0.37 1.14 0.08 0.001223

01 33 00 33 9 43 52 57 48 14 0.00

000.3333

1.0000

0.3333

0.00013361

0.1743

0.3752

1.1457

0.0848

3.3975e-05

r/iterasike n

r = 0.2 r = 0.3

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error1 0.26

670.4444

1.2778

-0.1593

1.3881 0.3167

0.5278

1.4028

-0.4009

1.5835

2 0.3463

0.4179

1.2910

-0.1637

0.085095 0.5171

0.4610

1.4362

-0.4121

0.21422

3 0.3485

0.4172

1.2914

-0.1638

0.0023637

0.5227

0.4591

1.4371

-0.4124

0.0059506

4 0.3486

0.3486

1.2914

-0.1638

6.566e-05

0.5229

0.4590

1.4371

-0.4124

0.00016529

r/iterasike n

r = 0.4 r = 0.5

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error1 0.36

670.6111

1.5278

-0.6426

1.8041 0.4167

0.6944

1.6528

-0.8843

2.0419

2 0.6880

0.5040

1.5813

-0.6604

0.34335 0.8588

0.5471

1.7265

-0.9088

0.47247

3 0.6969

0.5010

1.5828

-0.6609

0.0095374

0.8711

0.5430

0.5430

-0.9095

0.013124

4 0.6971

0.5010

1.5829

-0.6610

0.00026493

0.8714

0.5429

1.7286

-0.9095

0.00036456

r/iterasike n

r = 0.6 r = 0.7

x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error1 0.46

670.7778

1.7778

-1.1259

2.2915 0.5167

0.8611

1.9028

-1.3676

2.5494

2 1.0296

0.5901

1.8716

-1.1572

0.6016 1.2005

0.6332

2.0167

-1.4056

0.73073

3 1.0453

0.5849

1.8742

-1.1581

0.016711 1.2195

0.6268

2.0199

-1.4066

0.020298

4 1.0457

0.5848

1.8743

-1.1581

0.0004642

1.2200

0.6267

2.0200

-1.4067

0.00056383

r/iterasi r = 0.8 r = 0.9

ke n x1 x2 x3 x4 error x1 x2 x3 x4 error1 0.56

670.9444

2.0278

-1.6093

2.8133 0.6167

1.0278

2.1528

-1.8509

3.0817

2 1.3713

0.6762

2.1619

-1.6540

0.85985 1.5421

0.7193

2.3070

-1.9023

0.98898

3 1.3936

0.6688

2.1656

-1.6552

0.023885 1.5678

0.7107

2.3113

-1.9038

0.027472

4 1.3943

0.6686

2.1657

-1.6552

0.00066347

1.5686

0.7105

2.3114

-1.9038

0.0007631

Dari hasil simulasi kedua pada tabel 4.3 dan 4.4 dengan syarat pemberhentian iterasi |xn−xn−1|<ε (ε= 10-4) bahwa metode Iterasi Jacobi mendapatkan Iterasi pemberhentian pada iterasi ke 11 dan metode Iterasi Gauss-Seidel mendapatkan Iterasi pemberhentian pada iterasi Ke 4 dan error pada metode Gauss-Seidel lebih cepat konvergen dari pada metode Jacobi Hal ini menunjukkan bahwa metode Iterasi Gauss-Seidel lebih baik digunakan ketimbang metode iterasi Jacobi.

Kesimpulan

1. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fuzzy dengan Metode Iterasi Jacoby dan Iterasi Gauss-Seidel

Terlebih dahulu mengubah bentuk sistem persamaan Linear fuzzy dari matriks n x n menjadi 2n x 2n yang diasumsikan M dengan ketentuan:

a. Jika a i , j ≥ 0 maka b i, j=ai , j dan b i+n , j+n=ai , j

b. Jika a i , j<0 maka b i, j+n=−ai , j dan b i+n , j=−ai , j

c. Entri yang lainnya = 0

setelah dilakukan hal tersebut maka diperolehlah persamaan linear fuzzy baru. Kemudian mencari solusi persamaan linear fuzzy dengan metode Iterasi Jacobi dan metode Iterasi Gauss-Seidel.Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy menggunakan iterasi Jacobi dilakukan dengan mengubah persamaan linear fuzzy baru menjadi bentuk

x i(k)= 1

aii(b i−∑

j ≠i

n

a ij x j(k−1)) ,i=1,2 ,…,n ;k=1,2,3 , …, n. Setelah itu, dilakukanlah proses

iterasi dengan mensubstitusi nilai r = [0, 1] kedalam persamaan linear fuzzy baru sampai proses iterasi berhenti. Syarat pemberhentian proses iterasi yaitu jika nilai |xn−xn−1|<ε (ε= 10-4). Sedangkan Penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy menggunakan iterasi Gauss-Seidel yaitu mengubah persamaan linear fuzzy baru menjadi

r/iterasike n r = 1

x1 x2 x3 x4 error1 0.6667 1.1111 2.2778 -2.0926 3.35352 1.7130 0.7623 2.4522 -2.1507 1.11813 1.7420 0.7527 2.4570 -2.1523 0.0310594 1.7428 0.7524 2.4571 -2.1524 0.00086274

x i(k )= 1

aii(bi−∑

j=1

i−1

aij x j(k )− ∑

j=i+1

r

aij x j( k−1)), kemudian proses iterasi dengan mensubstitusi nilai

r = [0, 1] kedalam persamaan linear fuzzy baru hingga proses iterasi berhenti dengan syarat pemberhentian iterasi yaitu jika nilai |xn−xn−1|<ε (ε= 10-4).

2. Simulasi penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy menggunakan Metode iterasi Jacobi dan metode Gauss-Seidel dengan sofware Matlab R2015 diperoleh bahwa pada simulasi pertama bahwa Metode iterasi Gauss Seidel paling banyak 8 iterasi sedangkan Metode iteras Jacobi hanya mendapatkan 22 iterasi. Simulasi kedua Metode iterasi Gauss-Seidel medapatkan iterasi 5 iterasi sedangkan Metode iterasi Jacobi mendapatkan 15 iterasi.

3. Simulasi pertama dan kedua menunjukkan bahwa Metode iterasi Gauss-Seidel lebih baik dari pada Metode Iterasi Jacobi jika ditinjau dari jumlah iterasinya karena Metode Gauss-Seidel iterasinya lebih sedikit. Simulasi pertama dan kedua juga menunjukkan bahwa Metode Iterasi Gauss-Seidel errornya lebih cepat konvergen dibandingkan Metode iterasi Jacobi.

DAFTAR PUSTAKA

Abdi, Muhammad. 2008. Dasar-dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur. Makassar: Badan Penerbit UNM.

Anton, Howard. 1997. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.Anonim. http:/ntip/organization-irlan.htm. diakses 11 oktober 2017.Norita Beta.tanpa tahun,”Sistem Persamaan Linear “.Jurnal Matematika FMIPA

Universitas Diponegoro Semarang.Kholifah.2013.”Penyelesaian Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakan Metode

Gauss-Seidel”.Skripsi.: Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.Kusumadewi, Sri dan Hari Purnomo. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung

Keputusan, edisi Kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.Kwang F Lee, 2005, First course on Fuzzy Theory and Aplications,Springer, Germany.M.Matinfar, S.H Nasseri dan M.Sharabi.2008,”Solving Fuzzy Linear System of

Equations by Using Haouseholder Decomposition Method”.Applied Mathematical Sciences,Vol.2,No.52,2569-2575.India.

Niyyaka, Shella. 2016. Perbandingan Metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel Dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Menggunakan Simulasi Komputer. Skripsi.: Universitas Negeri Lampung.

Ravita, Elva & Evawati Alisah. 2012. Studi Tentang Persamaan Fuzzy. Jurnal Cauchy Vol 2086-0382 :Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Yogyakarta : Andi.Sivanandam, S.N., Sumanthi, S., and Deepa, S.N., (2007), Introduction to Fuzzy Logic

using Matlab,Springer, Berlin-Germany.T.Allahviranloo.,2004, “Numerical methods for fuzzy system of linear

equatons”Appl.Math.Comput.T.Allahviranloo.,(2005), ”The Adomian decomposition method for fuzzy system of

linear equations”,Appl Math Comput.Wibowo,Tanjung Ary. 2012. Penyelesaian Sistem Persamaan Fuzzy Non-Linear

dengan Menggunakan Metode Broyden. Skripsi: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.