teknik edisi 5

Komputasi untuk Sains dan Teknik-Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi Pertama

Revisi terakhir tgl: 24 Oktober 2014

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Univeristas Indonesia

2014

Untuk

Muflih Syamil

Hasan Azmi

Farah Raihana

Nina Marliyani

Usia bukan ukuran kedewasaan

Ketekunan adalah jalan terpercaya menuju kesuksesan

Kata Pengantar

Segala puji saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kesempatan yang telah Dia dibe-

rikan untuk menulis Buku Komputasi untuk Sains dan Teknik. Buku ini disusun dengan tujuan

yaitu, pertama, untuk memperkenalkan sejumlah metode komputasi numerik kepada maha-

siswa sarjana ilmu sika; kedua, memperkenalkan tahap-tahap pembuatan program komputer

(script) dan logika pemrograman dalam bahasa Matlab untuk memecahkan problem sika seca-

ra numerik. Rujukan utama buku adalah pada buku teks standar yang sangat populer di dunia

komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul

Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-

demic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh

script yang mudah dipahami oleh programmer pemula.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, semoga ia dapat memberikan sumbangan

yang berarti untuk peningkatan kapasitas dan kompetensi anak bangsa generasi penerus. Bagi

yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email:

[email protected]

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Dju-

hana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku

ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih

kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Nu-

merik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama

kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia

juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku

ini. Tak lupa saya ingin sampaikan rasa terima kasih kepada Dikti, Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan, RI atas segala dukungan dan apresiasi terhadap penerbitan buku ini.

Depok, 24 Oktober 2014

Supriyanto Suparno

iii

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xiii

1 Pendahuluan 1

1.1 Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Mengenal cara membuat grak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Gerak mobil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Osilasi teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Membuat 2 grak dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Matriks dan Komputasi 15

2.1 Mengenal matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Macam-macam matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 matriks transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 matriks bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.4 matriks diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.5 matriks identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.6 matriks upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.7 matriks lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.8 matriks tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.9 matriks diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.10 matriks positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

v

vi

2.5.3 Perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.4 Komputasi perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Fungsi 41

3.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Fungsi eksternal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Aplikasi dalam Sains 55

4.1 Metode gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Mencari Solusi Satu Variabel 65

5.1 Denisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Script Matlab metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1 Contoh 1: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2 Script metode Newton untuk contoh 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.3 Contoh 2: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Integral Numerik 79

6.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3 Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

vii

7 Diferensial Numerik 89

7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4.1 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.7.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.8.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.9 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.9.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Metode Iterasi 141

8.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.1 Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.2 Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3.1 Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3.2 Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9 Metode Eliminasi Gauss 171

9.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

viii

9.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.2.2 Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.2 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.1 Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.4.3 Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.4 Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.4.5 Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.4.6 Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.4.7 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.6 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.2 Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 205

10.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11 Metode LU Decomposition 223

11.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12 Interpolasi 233

12.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

13 Solusi Sistem Persamaan Non Linear 247

13.1 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.2 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.3 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.4 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.6 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

ix

14 Metode Monte Carlo 257

14.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15 Inversi 261

15.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

15.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16 Lampiran 267

16.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

16.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Indeks 269

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . . . 4

1.3 Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam . . . . . . . . . . 5

1.4 Grak gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik . 7

1.5 Grak yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . . 8

1.6 Grak yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Dua buah grak dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Tiga buah grak dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan

bolak-balik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol() . . 43

4.1 Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat

bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi . . . . . . . . . . . 57

4.3 Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal . . . . . . 63

5.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu

pada x = 2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, ya-

itu pada x = 1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 Fungsi kuadrat yang memiliki 2 akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Awal perhitungan: batas kiri adalah a = 0, batas kanan adalah b = 1; sementara

p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Iterasi kedua: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 1; sementara p

adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Iterasi ketiga: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 0,75; sementara

p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Perubahan f(p) dan p terhadap bertambahnya iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8 Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x . . . 72

xi

xii DAFTAR GAMBAR

6.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara meto-

de Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana

luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a

dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas

garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung

luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. . . . . . . . . . . 80

6.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara me-

tode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f(x)

dibagi 2 dalam batas interval a x1 dan x1 b dengan lebar masing-masing adalah h . . 816.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a

dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-

masing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1 Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar

h. Pasangan t1 adalah y(t1), pasangan t2 adalah y(t2), begitu seterusnya. Kanan: Garis

singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung

tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan

y(t1) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu

nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta

orde 4, yaitu nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x0 = a hingga batas atas

x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.8 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 115

7.9 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.10 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Ja-

rak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.11 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . . 124

7.12 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-

difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 125

DAFTAR GAMBAR xiii

10.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 209

10.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 214

10.4 Grak data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.5 Grak hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.1 Kurva hasil interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.2 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-

liki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . . 238

12.4 Sejumlah polinomial cubic yaitu S0, S1, S2... dan seterusnya yang saling sambung-

menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 238

12.5 Prol suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.6 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.7 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

12.8 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

13.1 Koordinat sumber sinyal berada pada x = 4 dan y = 8 . . . . . . . . . . . . . 251

14.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

14.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 258

14.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 259

xiv DAFTAR GAMBAR

Daftar Tabel

5.1 Perubahan nilai f(p) dan p hingga iterasi ke-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti) serta selisih

antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact

y(ti) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan

hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16) . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah

solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Ko-

lom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . 128

7.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-

difference dimana k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan

metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 205

10.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 210

10.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.1 Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.2 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

xv

xvi DAFTAR TABEL

Bab 1

Pendahuluan

Objektif :

Mengenal cara inisialisasi variabel. Mengenal operasi matematika. Mengenal fungsi-fungsi dasar. Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel da-

lam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses per-

hitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.

Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan

kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol , lalu me-nekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya yaitu

angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfa-

atkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan angka

2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3,

misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6.Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya

kita ketikkan C = A B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variabelC. Skrip2 Matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut

A = 2;B = 3;C = A * B

1inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel2Skrip atau dalam bahasa Inggris ditulis Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-

eksekusi) oleh komputer

1

2 BAB 1. PENDAHULUAN

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.

Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, denganm adalah massa,

a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script Matlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2;percepatan = 3;gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua

kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Perhatikan contoh berikut

besar_arus = 2;beda_potensial = 3;nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan kom-

puter dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam Matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel

t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya

sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir.

Contoh lainnya, jika Anda hanya menginginkan bilangan genap, cukup ketikkan

t = 0:2:10;

angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yang muncul

adalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Urutan angka dapat dibalik dengan mengetikkan

t = 10:-2:0;

sehingga angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan

meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.

Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini,

maka kita dimudahkan dalam melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita

ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2

m/s2. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

v = vo + at (1.1)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama di saat se-

dang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu

pada t = 1 v1 = (0) + (2)(1) 2m/spada t = 2 v2 = (0) + (2)(2) 4m/spada t = 3 v3 = (0) + (2)(3) 6m/spada t = 4 v4 = (0) + (2)(4) 8m/spada t = 5 v5 = (0) + (2)(5) 10m/s

skrip Matlab untuk tujuan di atas adalah

a = 2;t = 1:5;vo = 0;v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

s = vot+1

2at2 (1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, skrip sebelumnya mesti ditambah satu

baris lagi

1 a = 2;2 t = 1:5;3 vo = 0;4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik

pada t.2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t harus di-

kuadratkan. Jika Anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t2, maka skrip tersebut

tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

1.3.1 Gerak mobil

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam

bentuk grak. Pada contoh mobil balap di atas, kita bisa menggambar data perubahan kece-

patan mobil terhadap waktu dengan menambahkan perintah plot seperti ditunjukkan oleh skrip

dibawah ini

1 a = 2;2 t = 1:5;3 vo = 0;4 v = vo + a * t

5 plot(t,v,o)


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

Jika skrip tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar,

beberapa baris perlu ditambahkan

1 a = 2;2 t = 1:5;3 vo = 0;4 v = vo + a * t;

5 plot(t,v,o);6 xlabel(Waktu (s));7 ylabel(Kecepatan (m/s))8 title(Data Kecepatan vs Waktu)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Waktu (s)

Kece

pata

n (m

/s)

Data Kecepatan vs Waktu

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 5

1.3.2 Osilasi teredam

Gerak dari suatu benda yang mengalami osilasi teredam (damped oscillations) memenuhi persa-

maan berikut:

y = Ae(b/2m)tcos(t+ ) (1.3)

dengan A = amplitudo, b = faktor redaman (damping factor), m = massa benda, = frekuensi

angular dan t = waktu. Adapun frekuensi angular () dirumuskan oleh

=

k

m+

(b

2m

)2(1.4)

dengan k = kontanta pegas.

Diketahui suatu benda bermassa 10,6 kg, digantung pada ujung pegas yang memiliki kon-

stanta pegas sebesar 2,05104 N/m serta faktor redaman sebesar 63,50 N.s/m. Jika efek gravi-tasi diabaikan dan benda diberi simpangan awal sebesar 0,1 m, maka gerak osilasi benda akan

nampak seperti Gambar 1.3.

0 0.5 1 1.5 20.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Waktu (detik)

Sim

pang

an (m

eter)

Gambar 1.3: Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam

Skrip Matlab untuk menghasilkan Gambar 1.3 adalah

1 m = 10.6;2 k = 2.05e4;3 b = 63.50;4 A = 0.1;5 theta = 0;6 t = 0:0.001:2;7

8 w = sqrt((k/m)+(b/(2*m))^2);9 y = A*exp((-b/(2*m))*t).*cos(w*t+theta);

10

11 plot(t,y)


12 xlabel(Waktu (detik));13 ylabel(Simpangan (meter));

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika Anda membuat skrip di komputer, Anda mesti menyadari bahwa skrip yang sedang Anda

buat akan memodikasi isi memory komputer. Oleh karena itu disarankan agar sebelum kom-

puter menjalankan skrip, maka pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara

membersihkan memory komputer, di dalam Matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear.

Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud

ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulis-

an di layar monitor, tambahkan perintah clc. Ketiga perintah tersebut disarankan ditulis pada

baris-baris pembuka suatu skrip Matlab, seperti contoh berikut

1 clear2 close3 clc4

5 a = 2;6 t = 1:5;7 vo = 0;8 v = vo + a * t;9 plot(t,v,o);

10 xlabel(Waktu (dt));11 ylabel(Kecepatan (m/dt))12 title(Data Kecepatan vs Waktu)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

y = A sin(2ft+ ) (1.5)

dengan A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; = sudut fase gelombang. Jika suatu

gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka skrip

untuk membuat grak gelombang tersebut adalah

1 clc2 clear3 close4

5 A = 1; % amplitudo6 f = 5; % frekuensi7 theta = 0; % sudut fase gelombang8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.0019 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 1.4: Grak gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik

Grak di atas muncul karena ada perintah plot(t,y) yang diletakkan di baris paling akhir pada

skrip. Kata atau kalimat yang ditulis setelah tanda % tidak akan dikerjakan oleh komputer.

Modikasi skrip perlu dilakukan untuk memberi keterangan pada sumbu-x dan sumbu-y serta

menambahkan judul grak


5 A = 1; % amplitudo6 f = 5; % frekuensi7 theta = 0; % sudut fase gelombang8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.0019 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang12 xlabel(Waktu, t (detik)); % melabel sumbu-x13 ylabel(Amplitudo); % melabel sumbu-y14 title(Gelombang berfrekuensi 5 Hz); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grak, tambahkan kata fontsize{14} pada title(), contohnya

title(\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz); % judul grafik

Untuk menggambar dua buah grak, contoh skrip berikut ini bisa digunakan


5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.0016

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.5: Grak yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo


Gambar 1.6: Grak yang dilengkapi dengan font judul 14pt

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 19 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 111

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 213 f2 = 3; % frekuensi gelombang 214 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 215 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 216

17 figure18

19 subplot(2,1,1)20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 121 xlabel(Waktu, t (detik));22 ylabel(Amplitudo);23 title(\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz);24

25 subplot(2,1,2)26 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 227 xlabel(Waktu, t (detik));28 ylabel(Amplitudo);29 title(\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Gambar 1.7: Dua buah grak dalam sebuah gambar

Sekarang, jika ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka skrip berikut

ini bisa digunakan


5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.0016

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 18 f1 = 5; % frekuensi gelombang 19 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1


10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 111

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 213 f2 = 3; % frekuensi gelombang 214 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 215 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 216

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang18

19 figure20

21 subplot(3,1,1)22 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 123 xlabel(Waktu, t (detik));24 ylabel(Amplitudo);25 title(\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz);26

27 subplot(3,1,2)28 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 229 xlabel(Waktu, t (detik));30 ylabel(Amplitudo);31 title(\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4);32

33 subplot(3,1,3)34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang35 xlabel(Waktu, t (detik));36 ylabel(Amplitudo);37 title(\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo


0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

Waktu, t (detik)

Ampl

itudo

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

Gambar 1.8: Tiga buah grak dalam sebuah gambar

1.6. LATIHAN 11

1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/s2 dari posisi diam di-

tentukan oleh rumus berikut

s = vot+1

2at2

Buatlah skrip untuk menggambarkan grak jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t

= 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki daerah yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti Gambar

1.9

Gambar 1.9: Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet

diketahui besar muatan elektron = 1,61019 C, massa elektron = 9,111031 kg, kece-patan v = 3106 m/s, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat = 0,1 meter.Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

x = vt y = 12

eE

mt2 dengan percepatan a =

eE

m

Buatlah skrip untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai

dari t = 0 detik hingga t = 3,33108 detik dengan interval waktu 3,331010 detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang

yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu ber-

gerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/s2.

(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 hing-

ga 60 dengan interval 5. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum ada-

lah

hmaks =v2o sin

2

2g

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 hing-

ga 60 dengan interval 5. Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum ada-


lah

xmaks =v2o sin 2

g

4. Tuliskan sebuah skrip untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9

gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82

Hz.

5. Sebuah kapasitor 8 F dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan

ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz seperti terlihat pada

Gambar 1.10

Gambar 1.10: Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan

bolak-balik

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada

rangkaian (b).

(b) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (a); kemudian plot gambar kurva-nya.

(c) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (b); kemudian plot gambar kurva-nya.

6. Muatan Q1 sebesar 4C terletak pada x = -1; sementara Q2 = 20C terletak pada x = 1.

Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dima-

nakah posisi yang medannya NOL ?)

(c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 < x < 1

(d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000

7. Muatan Q1 sebesar 4C terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4C terletak pada x = 1.


(a) menghitung potensial listrik pada x = -2

1.6. LATIHAN 13

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan

point pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1

(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan

nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)

(f) menghitung potensial listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika

mendekati x = -1)

(h) menghitung potensial listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mende-

kati x = 1)

(j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

8. Muatan Q1 sebesar 4C terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20C terletak pada x = 1.


(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

9. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur

pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan

memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola

(b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?

(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola

(d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola

(e) Buatlah skrip Matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak

mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter

Bab 2

Matriks dan Komputasi

Objektif :

Mengenalkan matriks, vektor dan jenis-jenis matriks. Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer. Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Membuat skrip operasi matriks.

2.1 Mengenal matriks

Notasi suatu matriks berukuran n m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnyaAnm. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matriks tersusun

atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks,

misalnya aij. Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom

ke-j.

A = (aij) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

(2.1)

Pada matriks ini, a11, a12, ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Se-

mentara a12, a22, ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.

Contoh 1: Matriks A23

A =

[3 8 5

6 4 7

]

dengan masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23 = 7.

15

16 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Contoh 2: Matriks B32

B =

1 3

5 9

2 4

dengan masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan

b32 = 4.

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matriks dina-

makan vektor-baris berukuranm, bila hanya memiliki satu baris danm kolom, yang dinyatakan

sebagai berikut

a =[a11 a12 . . . a1m

]=[a1 a2 . . . am

](2.2)

Sedangkan suatu matriks dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom

dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut

a =

a11

a21...

an1

=

a1

a2...

an

(2.3)

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, disarankan agar Anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-

file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua skrip yang terdapat dalam

buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun

dalam upaya membiasakan diri menulis skrip di m-file, sangat dianjurkan Anda menulis ulang

semuanya.

Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matriks. Cara pertama1, sesuai dengan Contoh 1,

adalah

1 clear all2 clc3

4 A(1,1) = 3;5 A(1,2) = 8;6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;8 A(2,2) = 4;9 A(2,3) = 7;

10 A

Sedangkan untuk matriks B32, sesuai Contoh 2 adalah

1Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan caraketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 17

1 clear all2 clc3

4 B(1,1) = 1;5 B(1,2) = 3;6 B(2,1) = 5;7 B(2,2) = 9;8 B(3,1) = 2;9 B(3,2) = 4;

10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriksnya, dengan

jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all2 clc3

4 A=[ 3 8 55 6 4 7 ];6

7 B=[ 1 38 5 99 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matriks lantaran ditulis ha-

nya dalam satu baris.

1 clear all2 clc3

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

2.4 Macam-macam matriks

2.4.1 matriks transpose

Operasi transpose terhadap suatu matriks akan menukar elemen-elemen kolommenjadi elemen-

elemen baris. Notasi matriks tranpose adalah AT atau At.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matriks A

A =

[3 8 5

6 4 7

]AT =

3 6

8 4

5 7

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal

di depan nama matriksnya

1 clear all2 clc


3

4 A=[ 3 8 55 6 4 7 ];6

7 AT = A;

2.4.2 matriks bujursangkar

matriks bujursangkar adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matriks bujursangkar

orde 3

A =

1 3 8

5 9 7

2 4 6

2.4.3 Matrik simetrik

matriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen matriks transpose-nya ber-

nilai sama dengan matriks asli-nya.

Contoh 5: matriks simetrik

A =

2 3 7 13 5 6 27 6 9 8

1 2 8 10

AT =

2 3 7 13 5 6 27 6 9 8

1 2 8 10

2.4.4 matriks diagonal

matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: matriks diagonal orde 3

A =

11 0 0

0 29 0

0 0 61

2.4.5 matriks identitas

matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: matriks identitas orde 3

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 19

2.4.6 matriks upper-triangular

matriks upper-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-

agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: matriks upper-triangular

A =

3 6 2 1

0 4 1 5

0 0 8 7

0 0 0 9

2.4.7 matriks lower-triangular

matriks lower-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-

nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: matriks lower-triangular

A =

12 0 0 0

32 2 0 08 7 11 0

5 10 6 9

2.4.8 matriks tridiagonal

matriks tridiagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada

disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: matriks tridiagonal

A =

3 6 0 0

2 4 1 00 5 8 70 0 3 9

2.4.9 matriks diagonal dominan

matriks diagonal dominan adalah matriks bujursangkar yang memenuhi

|aii| >n

j=1,j 6=i

|aij| (2.4)

dengan i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matriks-matriks berikut ini

A =

7 2 0

3 5 10 5 6

B =

6 4 34 2 03 0 1


Pada elemen diagonal aii matriks A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|1|, dan |6| > |5|+|0|. Makamatriks A disebut matriks diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matriks B,

|6| < |4| + | 3|, | 2| < |4| + |0|, dan |1| < | 3| + |0|. Dengan demikian, matriks B bukanmatriks diagonal dominan.

2.4.10 matriks positive-definite

Suatu matriks dikatakan positive-definite bila matriks tersebut simetrik dan memenuhi

xTAx > 0 (2.5)

Contoh 11: Diketahui matriks simetrik berikut

A =

2 1 01 2 10 1 2

untuk menguji apakah matriks A bersifat positive-definite, maka

xTAx =[x1 x2 x3

]2 1 01 2 10 1 2

x1

x2

x3

=[x1 x2 x3

]2x1 x2

x1 + 2x2 x3x2 + 2x3

= 2x21 2x1x2 + 2x22 2x2x3 + 2x23= x21 + (x

21 2x1x2 + x22) + (x22 2x2x3 + x23) + x23

= x21 + (x1 x2)2 + (x2 x3)2 + x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat positive-definite, karena memenuhi

x21 + (x1 x2)2 + (x2 x3)2 + x23 > 0

kecuali jika x1=x2=x3=0.

2.5 Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan pada dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila kedua matriks tersebut

berukuran sama. Misalnya matriks C23

C =

[9 5 3

7 2 1

]

2.5. OPERASI MATEMATIKA 21

dijumlahkan dengan matriks A23, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriks D23

D = A+ C

D =

[3 8 5

6 4 7

]+

[9 5 3

7 2 1

]

=

[3 + 9 8 + 5 5 + 3

6 + 7 4 + 2 7 + 1

]

=

[12 13 8

13 6 8

]

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi penjumlahan antara

matriks A23 dan C23, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks

tersebut, yaitu [d11 d12 d13

d21 d22 d23

]=

[a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13

a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

]

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13 (2.6)

d21 = a21 + c21

d22 = a22 + c22

d23 = a23 + c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matriks

dij = aij + cij (2.7)

dengan i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 semen-

tara batas j sampai angka 3. Kemampuan Anda dalam menentukan batas indeks sangat

penting dalam dunia programming.

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat

berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13


Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3.

Hal ini membawa konsekuensi pada skrip pemrograman, dengan looping untuk indeks j harus

diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat

harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya

paling jarang berubah.

Bila Anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan con-

toh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita

mulai dari source code paling mentah berikut ini.

1 clear all2 clc3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B7

8 % ---proses penjumlahan matriks----9 D(1,1)=A(1,1)+C(1,1);

10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2);11 D(1,3)=A(1,3)+C(1,3);12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1);13 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2);14 D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);15

16 % ---menampilkan matriks A, C dan D----17 A

18 C19 D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan

tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin Anda paham dengan logika yang ada pada bagian %

proses penjumlahan matriks- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen

d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11, sesuai dengan baris pertama Persamaan

2.6.

Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for -

end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi

1 clear all2 clc3



8 % ---proses penjumlahan matriks----9 for j=1:3

10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j);11 end12

13 for j=1:314 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j);15 end


16


19 C20 D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dengan j bergerak dari

1 sampai 3. Coba Anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3?

Modikasi tahap kedua adalah sebagai berikut

1 clear all2 clc3



8 % ---proses penjumlahan matriks----9 i=1

10 for j=1:311 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);12 end13

14 i=215 for j=1:316 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);17 end18


21 C22 D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2.

Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan

ke-16. Nah sekarang coba Anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama

persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan

kedalam sebuah looping yang baru dengan i menjadi nama indeksnya.

1 clear all2 clc3



8 % ---proses penjumlahan matriks----9 for i=1:2

10 for j=1:311 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);12 end13 end14



17 C18 D

Coba Anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2?

Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodikasi lagi, namun ada sedikit saran

untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok

kedalam seperti berikut ini

1 clear all2 clc3



8 % ---proses penjumlahan matriks----9 for i=1:2

10 for j=1:311 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);12 end13 end14


17 C18 D

Sekarang Anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping

indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang lo-

oping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah

looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak

lebih cepat dibanding looping indeks i.

2.5.3 Perkalian matriks

Operasi perkalian dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matriks pertama

sama dengan jumlah baris matriks kedua. Jadi kedua matriks tersebut tidak harus berukuran

sama seperti pada penjumlahan dua matriks. Misalnya matriks A23 dikalikan dengan matriks

B32, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriks E22

E22 = A23.B32


E =

[3 8 5

6 4 7

]1 3

5 9

2 4

=

[3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4

]

=

[53 101

40 82

]

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemenmasing-masing matriks, operasi perkalian antara ma-

triks A23 dan B32, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks ter-

sebut, yaitu

[e11 e12

e21 e22

]=

[a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32

a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32

]

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matriks E22 adalah

e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (2.8)

e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (2.9)

e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (2.10)

e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan peru-

bahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini

e1.. = ..

e1.. = ..

e2.. = ..

e2.. = ..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks yang


polanya sama

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

dengan i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b,

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang

polanya sama

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j




dengan j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati

pola sebagai berikut

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j




Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama,


dengan k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj




Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij =

3k=1

aikbkj (2.13)

dengan i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matriks Anm yang dikalikan dengan ma-

triks Bmp, akan didapatkan matriks Enp dengan elemen-elemen matriks E memenuhi

eij =mk=1

aikbkj (2.14)

dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matriks

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matriks sesuai dengan

contoh di atas.

1 clear all2 clc3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B6

7 % ---proses perkalian matriks----8 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);9 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

10 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);11 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);12

13 % ---menampilkan matriks A, B dan E----14 A

15 B

16 E


Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matriks yaitu

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.15)

Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat:

elemen e memiliki indeks i dan indeks j dengan indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi

penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k

selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat berubah diban-

ding indeks i dan indeks j.

elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks j.

Tahapan modikasi source code perkalian matriks tidak semudah penjumlahan matriks. Dan

mengajarkan logika dibalik source code perkalian matriks jauh lebih sulit daripada sekedar me-

modikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau

harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.

Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung

nilai E(1, 1)

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali9 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);17


20 B

21 E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan

adalah


1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali9 E(1,1)=0;

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);12 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);13



21 B

22 E

Dari sini kita bisa munculkan indeks k

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 E(1,1)=0;9 for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);11 end12



20 B

21 E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1, 2), E(2, 1), dan E(2, 2). Anda mesti cermat dan

hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!

1 clear all2 clc3



7 % ---proses perkalian matriks----8 E(1,1)=0;9 for k=1:3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);11 end12

13 E(1,2)=0;14 for k=1:315 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);16 end17

18 E(2,1)=0;19 for k=1:320 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);21 end22

23 E(2,2)=0;24 for k=1:325 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);26 end27


30 B

31 E

Inisialisasi elemen-elemen matriks E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian

yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 29 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;11 end12 end13

14 for k=1:315 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);16 end17

18 for k=1:319 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);20 end21

22 for k=1:323 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);24 end25

26 for k=1:327 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);28 end29



32 B

33 E

Sekarang coba Anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks

i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j.

Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j

1 clear all2 clc3



10 E(i,j)=0;11 end12 end13

14 j=1;15 for k=1:316 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);17 end18


24 for k=1:325 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);26 end27

28 for k=1:329 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);30 end31


34 B

35 E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2


9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 210 E(i,j)=0;11 end12 end13

14 for j=1:215 for k=1:316 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);17 end18 end19

20 for k=1:321 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);22 end23

24 for k=1:325 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);26 end27


30 B

31 E

Sekarang coba sekali lagi Anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingk-

an indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap

indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana

1 clear all2 clc3



10 E(i,j)=0;11 end12 end13






32 B

33 E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all2 clc3



10 E(i,j)=0;11 end12 end13




28 B

29 E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22.

Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan

1 clear all2 clc3



10 E(i,j)=0;11 end12 end13

14 i=1;15 for j=1:2


16 for k=1:317 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);18 end19 end20

21 i=2;22 for j=1:223 for k=1:324 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);25 end26 end27


30 B

31 E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks----8 for i=1:29 for j=1:2

10 E(i,j)=0;11 end12 end13

14 for i=1:215 for j=1:216 for k=1:317 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);18 end19 end20 end21


24 B

25 E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses

optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan

kesalahan, terutama jika Anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu

memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah

meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar Anda

mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan

tanpa bantuan orang lain. Kalau Anda gagal, cobalah berkir lebih keras untuk mencari jalan

keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk mencari


tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa

menyatu pada diri Anda.

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matriks dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-

tara dua matriks. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dengan

m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matriks A, pa-

da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan

mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y

y = Ax

y =

[3 8 5

6 4 7

]2

3

4

=

[3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4

]

=

[50

52

]

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara

matriks A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

[y1

y2

]=

[a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

]

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah

y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi =

3j=1

aijxj

dengan i=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matriks A berukuran n x m yang dikalikan

dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1


dengan elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi

yi =

mj=1

aijxj (2.16)

dengan i=1,2,. . . ,n.

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matriks dan

vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas

1 clear all2 clc3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);9 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10


13 x

14 y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matriks dan vektor-kolom yaitu

yi1 = aij.xj1 + aij.xj1 + aij .xj1 (2.17)

Dari sana ada 3 point yang perlu dicatat:

elemen y dan elemen x sama-sama memiliki indeks i yang berpasangan dengan angka 1.

pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi

penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j sela-

lu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

elemen a memiliki indeks i dan indeks j dengan indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung

nilai y(1, 1)

1 clear all2 clc3



7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1);9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);11

12 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);13


16 x

17 y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan

adalah

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 y(1,1)=0;9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);11 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);14


17 x

18 y

Dari sini kita bisa munculkan indeks j

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 y(1,1)=0;9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);11 end12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);14


17 x

18 y


Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodikasi menjadi

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 y(1,1)=0;9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);11 end12

13 y(2,1)=0;14 for j=1:315 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);16 end17


20 x

21 y

Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus me-

munculkan indeks i

1 clear all2 clc3


7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----8 for i=1:29 y(i,1)=0;

10 end11

12 for j=1:313 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);14 end15

16 for j=1:317 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);18 end19


22 x

23 y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeks i kembali dimun-

culkan

1 clear all2 clc

2.6. PENUTUP 39

3



10 end11

12 i=1;13 for j=1:314 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);15 end16

17 i=2;18 for j=1:319 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);20 end21


24 x

25 y

Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut

1 clear all2 clc3



10 end11

12 for i=1:213 for j=1:314 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);15 end16 end17


20 x

21 y

2.6 Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matriks dasar dan operasi pen-

jumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Se-

muanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan

datang.


2.7 Latihan

1. Diketahui matriks A, matriks B, dan vektor x sebagai berikut

A =

1 3 6 25 9 7 5.6

2 4 8 12.3 1.4 0.8 2.3

B =

8 1 4 21

3 10 5 0.1

7 2 9 52.7 12 8.9 5.7

x =

0.4178

2.958756.3069

8.1

(a) Buatlah skrip untuk menyelesaikan penjumlahan matriks A dan matriks B.

(b) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks A dan matriks B.

(c) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks A dan vektor x.

(d) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks B dan vektor x.

Bab 3

Fungsi

Objektif :

Mengenalkan fungsi internal. Membuat fungsi ekstenal. Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik. Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik.

3.1 Fungsi internal

Fungsi internal adalah fungsi bawaan yang sudah tersedia di dalam Matlab; contohnya: sqrt(),

sind() dan log10(). Ketika kita hendak mencari akar kuadrat dari angka 49, maka cukup dengan

mengetikkan

>> sqrt(49)

ans =

7

Untuk mencari nilai sinus dari 30C

>> sind(30)

ans =

0.5000

dan untuk mendapatkan nilai logaritma berbasis 10 dari angka 10000

>> log10(10000)

ans =

4

Selain sqrt(), sind() dan log10(), masih banyak lagi fungsi internal yang dimiliki Matlab. Adanya

fungsi internal sangat memudahkan kita dalam membuat script dengan Matlab.

41

42 BAB 3. FUNGSI

3.2 Fungsi eksternal

Fungsi-fungsi yang tidak tersedia di matlab dapat dibuat sendiri sebagai fungsi eksternal. Ca-

ra membuat fungsi eksternal tidak sulit. Misalnya kita ingin membuat fungsi eksternal untuk

menghitung jarak vertikal dari gerak jatuh bebas yang persamaannya adalah

h =1

2gt2 (3.1)

dimana h= adalah jarak vertikal, t adalah waktu (detik) dan konstanta gravitasi g = 9, 8m/dt2.

Bukalah window Matlab editor, kemudian ketik script berikut

1 function y = gjb(t)2

3 g = 9.8;4 y = 0.5*g*t^2;

lalu simpan dengan nama gjb.m. Sampai disini, kita sudah selesai membuat fungsi eksternal

dengan nama gjb(). Sebagai bukti, misalnya kita ingin hitung jarak jatuh setelah 2 detik, coba

jalankan perintah berikut di window command

>> gjb(2)

ans =

19.6000

diperoleh jawaban sebesar 19,6 meter.

Contoh lain, persamaan lintasan gerak parabola adalah sebagai berikut

y = (tan o)x gx2

2(vo cos o)2(3.2)

Jika vo = 5 m/dt dan o = 30 sementara variabel x berubah-ubah, maka fungsi eksternal-nya

dapat ditulis sebagai berikut

1 function y = parabol(x)2

3 vo = 5;4 g = 9.8;5 tetha = 30;6

7 y = tand(tetha)*x - (g*x.^2)/(2*(vo*cosd(tetha))^2);

Sekarang fungsi eksternal parabol() siap digunakan

>> x = 1.2;>> parabol(x)

ans =

0.3165

3.2. FUNGSI EKSTERNAL 43

Seperti fungsi lainnya, ia bisa menerima input berupa angka yang banyak, misalnya

>> x=0:0.01:2;>> y=parabol(x);>> plot(x,y)>> xlabel(Jangkauan (meter));>> ylabel(Tinggi (meter));>> title(Lintasan Gerak Parabola)

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Jangkauan (meter)

Ting

gi (m

eter)

Lintasan Gerak Parabola

Gambar 3.1: Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol()

Dalam contoh di atas, fungsi parabol() dibuat hanya bisa menerima sebuah input, yaitu x. Jika

inputnya mau dimodikasi dengan memasukkan faktor sudut awal dan kecepatan awal, maka

fungsi eksternal diubah menjadi

1 function y = parabol(x,vo,theta)2

3 g = 9.8;4

5 y = tand(theta)*x - (g*x.^2)/(2*(vo*cosd(theta))^2);

Contoh pemanfaatan fungsi eksternal yang telah dimodikasi tersebut adalah

>> vo = 5;>> theta = 30;>> x=0:0.01:2;>> y=parabol(x,vo,theta);>> plot(x,y)>> xlabel(Jangkauan (meter));>> ylabel(Tinggi (meter));>> title(Lintasan Gerak Parabola)

44 BAB 3. FUNGSI

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik

Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengan source

code akhir seperti ini

1 clear all2 clc3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A5 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B6

7 % ---proses penjumlahan matrik----8 for i=1:29 for j=1:3

10 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);11 end12 end13

14 % ---menampilkan matrik A, C dan D----15 A

16 C17 D

Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk me-

nyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya

D = A+ C

D =

4 3 8 6

5 1 2 3

6 7 9 1

+

2 6 7 2

9 1 3 8

5 8 4 7

Tentu saja bisa, asal indeks i bergerak dari 1 sampai 3 dan indeks j bergerak dari 1 sampai 4.

Lihat source code berikut

1 clear all2 clc3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B6

7 % ---proses penjumlahan matrik----8 for i=1:39 for j=1:4

10 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);11 end12 end13


16 C17 D

3.3. FUNGSI EKSTERNAL PADA OPERASI MATRIK 45

Walaupun bisa digunakan, namun cara modikasi seperti itu sangat tidak eksibel dan beresiko

salah jika kurang teliti. Untuk menghindari resiko kesalahan dan agar lebih eksibel, source

code tersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi

1 clear all2 clc3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B6

7 % ---proses penjumlahan matrik----8 dim=size(A);9 n=dim(1);

10 m=dim(2);11 for i=1:n12 for j=1:m13 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);14 end15 end16


19 C20 D

Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara

baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud

mendeklarasikan variabel dim untuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama

size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna untuk menghitung

jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris dan

dim(2) untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabel n dideklarasikan untuk menerima infor-

masi jumlah baris dari dim(1), sementara variabel m diisi dengan informasi jumlah kolom dari

dim(2) pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks batas

atas, masing-masing menjadi n dan m.

Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahanmatrik dari contoh sebelumnya yang

berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini

1 clear all2 clc3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A5 C=[9 5 3; 7 2 1]; %

teknik edisi 5

Documents