STATISTIKA MATEMATIKA

Muhammad Subianto

STATISTIKA MATEMATIKA

Muhammad Subianto

The work in this book/modul was partially supported by Jurusan Matematika FMIPA Universitas SyiahKuala.

Printed by ...ISBN-10: XX–XXX–XXXX–XISBN-13: XXX–XX–XXX–XXXX–X

STATISTIKA MATEMATIKA

OLEH

Muhammad Subianto

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Syiah Kuala

2009

Kata Pengantar

This work would not have been possible to complete without the help of so many people.

v

Daftar Isi

Kata Pengantar v

Daftar Isi vii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xi

1 Peluang 11.1 Peristiwa dan Ruang Sampel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aljabar Peristiwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Ukuran Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Kaidah Perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Permutasi dan Kombinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Peluang Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Ketaktergantungan antar Peristiwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Peubah Acak 92.1 Distribusi Variabel Random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Variabel Random Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Distribusi Uniform Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Distribusi Hipergeometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Variabel Random Bernoulli dan Binom . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.5 Distribusi Geometrik dan Binom Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Variabel Random Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.1 Beberapa fungsi dan integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Variabel Random Uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Distribusi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.4 Distribusi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.5 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.6 Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Fungsi dari Variabel Random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

vii

viii Daftar Isi

3 Distribusi Bersama 113.1 Variabel Random Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Variabel Random Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Variabel Random Takbergantungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4.1 Kasus Diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.2 Kasus Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Daftar Gambar

2.1 This is a figure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

ix

Daftar Tabel

xi

Bab 1

Peluang

Kata peluang akan dipakai untuk mewakili kata probability dalam buku-buku teks yangbaku. Peluang berkaitan dengan adanya suatu mekanisme random (random mechanism) ataumekanisme alami (natural mechanism) yang realisasinya tidak dapat diatur sekehendak kita.Peluang yang ditinjau di sini khusus dibatasi pada lingkup bahasan teori dasar statistika,atau statistika matematik. Unsur kerandoman (randomness) memang datang secara alamiah(natural) seperti misalnya, jenis kelamin bayi yang ditunggu kelahirannya, sisi mata daduyang akan muncul pada lemparan pertama, ukuran curah hujan yang akan turun hari ini, dansebagainya.

1.1 Peristiwa dan Ruang Sampel

Kita berasumsi dulu tentang adanya peristiwa yang dalam khayalan kita dapat terulangi dalamkondisi umum yang sama. Setiap hasil yang terkhayalkan dari sebuah percobaan konseptualyang dapat diulang dalam kondisi serupa akan disebut sebuah titik sampel atau hasil elementeratau peristiwa elementer; totalitas dari hasil-hasil terangankan (atau titik sampel, peristiwaelementer), akan disebut ruang sampel. Sebuah himpunan bagian sebarang dari ruang sampel(dengan titik-titik sampel sebagai unsur-unsurnya) disebut sebuah peristiwa.

Contoh 1.1 Pelemparan dua buah coin secara serentak memberikan empat hasil terangankanyakni (g, g), (g, a), (a, g), (a, a), dengan g = gambar dan a = angka, sebagai kemungkinanhasil terangankan dari setiap coin baik coin pertama maupun coin kedua. Jadi ada empat titiksampel yang menjadikannya sebuah ruang sampel. Ruang sampel S di sini berupa sebuahhimpunan S = (g, g), (g, a), (a, g), (a, a). Peristiwa A = "coin pertama menghasilkan angka"dapat juga dinyatakan sebagai A = (a, g), (a, a); peristiwa B = "hanya satu angka dari keduacoin" ekivalen dengan B = (a, g), (g, a); peristiwa C = "tidak muncul satu angka pun darikedua coin" adalah sama dengan C = (g, g) atau peristiwa elementer (g, g).

Definisi 1.1 Himpunan S dari semua peristiwa elementer (hasil yang mungkin) dalam suatupercobaan tertentu disebut ruang sampel untuk percobaan itu.

Definisi 1.2 Suatu peristiwa itu sebuah himpunan dari beberapa hasil yang mungkin dari suatupercobaan, yaitu suatu himpunan bagian dari S (termasuk S sendiri).

1

2 Bab 1. Peluang

1.2 Aljabar Peristiwa

Dengan ruang sampel S sebagai universum atau himpunan totalitas semua peristiwa elementer,kita akan gunakan operasi aljabar dalam S sebagaimana halnya operasi aljabar dari himpunan.Pada umumnya akan digunakan huruf kecil a, b, c, . . . untuk menyatakan unsur-unsur atauperistiwa elementer atau hasil yang mungkin dari suatu percobaan; huruf besar A,B, . . . , Euntuk menyatakan peristiwa. Sementara a ∈ A menyatakan "a adalah unsur dalam A";A ⊂ B menyatakan "A adalah himpunan bagian dari B" atau ekivalen dengan B ⊃ A yangmenyatakan "B memuat A", kita perlu mendefinisikan secara formal relasi berikut ini.

A ⊂ B ⇔ x ∈ A⇒ x ∈ B pemuatan

A = B ⇔ [A ⊂ B dan B ⊂ A] kesamaan

Beberapa contoh aljabar:Uni: Uni (jumlahan atau gabungan) dari A dan B, ditulis A∪B, adalah himpunan unsur-unsurdari A atau B atau keduanya:

A ∪B = x ∈ S : x ∈ A atau x ∈ B

Interseksi: Interseksi (atau pertemuan) dari A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan unsur-unsur yang adalah sekaligus unsur dari kedua A dan B.

A ∩B = x ∈ S : x ∈ A dan x ∈ B

Komplemen: Komplemen dari A, ditulis Ac, adalah himpunan semua unsur yang di luar A.

Ac = x ∈ S : x 6∈ A

Komplemen relatif: Komplemen dari A relatif terhadap B, ditulis B − A, adalah himpunansemua unsur dari B yang di luar A.

B −A = x ∈ S : x ∈ B, x 6∈ A

Jelas bahwa B −A = B ∩Ac, sebagaimana B ∩A dapat ditulis sebagai BA.

Contoh 1.2 Pandang percobaan mencabut satu kartu dari tumpukan kartu bridge, dan mencatatciri gambarnya yang mungkin sebagai peristiwa: keriting (K), berlian (B), hati (H), ataugunungan (G). Ruang sampelnya adalah S = K ∪ B ∪ H ∪ G. Sebagai peristiwa yangmungkin misalnya

A = K ∪B dan C = B ∪H ∪G

Dari peristiwa-peristiwa ini dapat dibentuk

A ∪ C = K ∪B ∪H ∪G = S,A ∪ C = B,Ac = H ∪G,Cc = KC −A = H ∪G = Ac

1.3. Ukuran Peluang 3

Sifat-sifat operasi aljabar peristiwa diberikan sebagai berikut ini.

Dalil 1.1 Untuk peristiwa sebarang A,B,C ⊂ S, berlaku sifat-sifat

1. KomutatifA ∪B = B ∪A,A ∩B = B ∩A;

2. AsosiatifA ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C,A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C;

3. DitributifA ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C);

4. De Morgan(A ∪B)c = Ac ∩Bc,(A ∩B)c = Ac ∪Bc.

Definisi 1.3 Dua peristiwa A dan B dikatakan tak bertemu atau saling asing (disjoint ataumutually exclusive) apabila A ∩ B = ∅. Peristiwa-peristiwa A1, A2, . . . adalah saling asingapabila Ai ∩Bj = ∅, untuk i 6= j.

Definisi 1.4 Apabila A1, A2, . . . adalah peristiwa-peristiwa saling asing dan⋃∞

i=1Ai = S,maka A1, A2, . . . membentuk suatu partisi dari S.

1.3 Ukuran Peluang

Kita mulai dahulu dengan ruang sampel yang unsurnya tercacah, dan terbatas, katakan Smemuat n titik sampel. Definisikan fungsi pencacah unsur peristiwa c(.), yaitu untuk peristiwaA ⊂ S maka c(A) = banyaknya unsur dalam A. Jadi, c(∅) = 0, c(S) = n,⇒ 0 ≤ c(A) ≤ n.Dengan menggunakan fungsi pencacah unsur ini dapat didefinisikan peluang a priori sebagaiberikut:

Definisi 1.5 Peluang a priori dari peristiwa A ⊂ S dinotasikan sebagai P (A), yang ukurannyaialah P (A) = c(A)

c(S)

Contoh 1.3 Dari pelemparan dua buah coin yang ’imbang’, akan dihitung peluang bahwa (a)coin pertama menampakkan angka, (b) hanya muncul satu angka, (c) tak satu angka pun yangmuncul.

Karena kedua coin itu ’imbang’, maka diasumsikan keempat titik sampel dari S =(g, g), (g, a), (a, g), (a, a) pada contoh 1.1 mempunyai ’kesempatan sama’ untuk muncul,masing-masing dengan peluang 1

4 = 1c(S) .

(a) Peristiwa ’coin pertama angka’ adalah A = (a, g), (g, a), sehingga P (A) = c(A)c(S) = 2

4 =12

4 Bab 1. Peluang

(b) Peristiwa ’hanya satu angka’ adalah B = (g, a), (a, g), dan P (B) = c(B)c(S) = 2

4 = 12

(c) Peristiwa ’tak muncul angka’ adalah C = (g, g), dan P (C) = c(C)c(S) = 1

4

Selanjutnya, tanpa harus membatasi diri pada ruang sampel tercacah dan terbatas, secaraumum ukuran peluang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 1.6 Sebuah ukuran peluang pada ruang sampel S adalah sebuah fungsi dari S kebilangan nyata yang memenuhi aksioma berikut ini:

1. P (S) = 1

2. Jika A ⊂ S maka P (A) ≥ 0

3. Jika A dan B tak-bertemu (disjoint, mutually exclusive), makaP (A ∪B) = P (A) + P (B).

Secara lebih umum, jika A1, A2, . . . An tak saling bertemu, makaP (

⋃∞i=1Ai) =

∑∞i=1 = P (Ai)

Sifat-sifat berikut ini adalah konsekuensi dari aksioma peluang di atas:

S1 P (Ac) = 1− P (A). Sifat ini didapat dari A dan Ac tak bertemu dengan A ∪ Ac = S dankarenanya dari aksioma pertama dan ketiga, P (A) + P (Ac) = 1.

S2 P (∅) = 0. Sifat ini sebagai akibat dari S1 karena ∅ = Sc.

S3 Jika A ⊂ B, maka P (A) ≤ P (B). Sifat ini berlaku karena B dapat dinyatakan sebagaiuni dari dua peristiwa tak-bertemu:

B = A ∪ (B −A)

dan dari aksioma ketiga,

P (B) = P (A) + P (B −A)

atau

P (A) = P (B)− P (B −A) ≤ P (B)

S4 Hukum Jumlahan P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). Untuk melihat ini,

Pertama, pandang B sebagai uni dari dua peristiwa tak-bertemu, B − A dan A ∩ B,sehingga

P (B) = P (B −A) + P (A ∩B)⇒ P (B −A) = P (B)− P (A ∩B) (1.1)

1.4. Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan 5

Kedua, pandang A ∪ B sebagai uni dari dua buah peristiwa tak-bertemu, A dan B − A,sehingga

P (A ∪B) = P (A) + P (B −A) (1.2)

Substitusi (1.1) pada (1.2) memberikan hasil yang diharapkan.

1.4 Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan

Untuk menghitung peluang pada situasi yang agak komplek, perlu dikembangkan carasistematik dalam mencacah unsur peristiwa.

1.4.1 Kaidah Perkalian

Berikut adalah kaidah perkalian yang sangat bermanfaat.KAIDAH PERKALIAN:

Jika sebuah percobaan mempunyai m hasil dan sebuah percobaan lainnya mempunyai n hasil,maka ada mn hasil yang mungkin (titik sampel) untuk pasangan kedua percobaan itu.Bukti: Nyatakan percobaan pertama sebagai A = (a1, a2, . . . , an) dan percobaan keduasebagai B = (b1, b2, . . . , bn), maka pasangan dari kedua percobaan itu adalah

E = A×B =

(a1, b1) (a1, b2) . . . (a1, bn)

(a2, b1) (a2, b2) . . . (a2, bn)

. . . . . . . . . . . .

(am, b1) (am, b2) . . . (am, bn)

Pengaturan unsur-unsur (titik sampel) percobaan E dalam susunan m baris dan n kolom ini

memperlihatkan bahwa c(E) = c(A)× c(B) = mn.Cara lain juga dapat ditempuh dengan membuat diagram cabang, yaitu untuk setiap cabang

(dari m cabang) percobaan pertama barcabang menjadi n cabang lagi untuk percobaan kedua.Banyaknya ujung cabang akhir adalah mn.

Contoh 1.4 Suatu kelas terdiri atas 12 siswa laki-laki (siswa) dan 13 siswa perempuan (siswi).Guru menunjuk seorang siswa dan seorang siswi untuk mewakili kelas tersebut ke pertemuanantar kelas. Untuk itu guru mempunyai sebanyak 13× 12 = 156 cara memilih wakil kelasnya.

PERLUASAN KAIDAH PERKALIAN:Sebuah percobaan merupakan gabungan dari p buah percobaan komponen. Komponenpercobaan pertama mempunyai n1 hasil yang mungkin, percobaan kedua mempunyai n2, . . . ,komponen percobaan ke-p mempunyai np hasil yang mungkin dari percobaan itu.

Contoh 1.5 Sebuah kata biner 8-bit merupakan barisan 8 digit, yang masing-masing digitnyadapat bernilai 0 atau 1. Berapa macamkah dapat dibentuk kata biner 8-bit.

Jawab:Ada 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 28 = 256 macam.

6 Bab 1. Peluang

1.4.2 Permutasi dan Kombinasi

Suatu permutasi itu suatu pengaturan beberapa obyek secara berurutan. Misalnya, tersedian = 5 potong kertas yang sama dan sebangun berbentuk empat persegi panjang namun dalamwarna yang berbeda, yaitu M(merah), B(biru), K(kuning), H(hijau), dan N(nila). Kemudiansebuah bendera harus dibuat dengan menyusun k = 3 potong di antara kertas warna yangtersedia itu (dalam susunan vertikal dari atas ke bawah). Pertanyaan: Berapa macam benderayang mungkin dapat dibuat?

Salah satu cara pandang adalah melihat ini sebagai sebuah percobaan dengan 3 tingkatkomponen percobaan: pertama, untuk menetapkan warna lapis atas, ada tersedia 5 pilihan (M,B, K, H, atau N); kedua, untuk menetapkan lapis kedua hanya tinggal 4 pilihan warna; ketiga,untuk menentukan warna lapis bawah hanya tinggal 3 pilihan lagi. Sehingga dengan kaidahperkalian, didapat 5× 4× 3 = 60 cara yang mungkin untuk membuat bendera dalam susunanseperti dikehendaki.

Untuk bilangan cacah c > 0, notasi c! dibaca c-faktorial, untuk menyatakan c! = c(c −1)(c− 2) . . . (2)(1), dengan definisi 0! = 1.

Hasil 60 = 5× 4× 3 di atas sama dengan 5!2 = 5!

(5−3)! . Dikatakan bahwa pengaturan berurut3 obyek dari 5 obyek yang tersedia dapat dilakukan dalam permutasi 3 dari 5 atau P (3, 5) =

5!(5−3)! = 60. Secara umum, untuk 0 ≤ k ≤ n, permutasi k dari n ialah P (k, n) = n!

(n−k)!Aturan ABanyaknya ragam pengaturan berurut k obyek dari n obyek yang ada ialah permutasi k dari n,yaitu P (k, n) = n!

(n−k)!Akibat ABanyaknya ragam pengaturan berurut n obyek yang ada ialah permutasi n obyek, yaitu P (n) =P (n, n) = n! [Catatan: penyebut (n, n)! = 0! = 1 dapat tidak dituliskan ].

Contoh 1.6 Anggaplah bahwa nomor plat mobil di suatu daerah dibedakan oleh susunan daridua huruf dan diikuti oleh tiga digit. Berapakah peluang bahwa nomor plat sebuah mobil tidakmemuat huruf atau tiga digit berulang?

Sebut A adalah peristiwa ’nomor plat mobil tidak memuat huruf atau digit berulang’ dariruang sampel S yang memuat semua susunan 2 huruf dan diikuti 3 digit.

Jelaslah c(S) = (26).(10) = 676000, sedangkan c(A) = P (2, 26).P (3, 10) = 26!24! .

10!7! =

(26× 25)× (10× 9× 8) = 468000Sehingga, P (A) = c(A)

c(S) = 468000676000 = 0.6923

Contoh 1.7 [Persoalan Ultah] Misalkan di suatu kamar asrama tinggal n orang mahasiswa.Berapa peluang bahwa sekurang-kurangnya dua diantara mereka mempunyai hari ulang tahunsama?

Misalkan A adalah peristiwa dimaksud. Maka komplemennya, Ac, adalah peristiwa bahwakesemua n orang itu berhari ulang tahun berbeda. Banyaknya unsur S yaitu banyaknya hariulang tahun yang mungkin untuk n orang, yaitu c(S) = 365. Peristiwa Ac dapat terjadi dalamP (n, 365) = 365× 364× . . .× (365− n+ 1). Jadi

P (Ac) =c(Ac)c(S)

=365× 364× . . .× (365− n+ 1)

365n

1.4. Menghitung Peluang: Teknik Pencacahan 7

dan

P (A) = 1− P (Ac) = 1− 365× 364× . . .× (365− n+ 1)365n

Tabel berikut mempelihatkan peluang dimaksud untuk berapa nilai n yang mungkin

n 4 16 23 32 40 56

P (A) 016 284 507 753 891 988

Dari tabel di atas ternyata bila n = 23 orang, peluang bahwa ada hari lahir beradu ialahP (A) > 0, 5.

Sekarang sebagai pengganti dari 5 potong kertas berwarna, tersedia 5 botol tinta berbedawarna yaitu M(erah), B(iru), K(uning), H(ijau) and N(ila). Apabila 3 botol di antaranyadicampur isinya menjadi satu, hasilnya akan memberi warna tertentu tidak tergantung padaurutan ketiga warna dimaksud. Jadi untuk setiap3! ragam bendera yang dapat disusun dengantiga warna kertas, kini berhubungan dengan hanya 1 ragam warna tinta (dari hasil campuran3 warna serupa). Oleh karena penyusunan berurut 3 warna dari5 warna yang ada dalampembuatan bendera menghasilkan P (3, 5) = 5!/(32)!, maka dalam pencampuran 3 warna tintadari 5 warna tinta yang tersedia akan menghasilkan P (3, 5)/3! = 5!/[(53)!(3!)] = 10 ragamkombinasi warna. Kombinasi k dari n adalah banyaknya cara penggabungan k obyek dari nobyek yang tersedia (tanpa memperhatikan susunan urutan).Aturan BBanyaknya ragam gabungan k dari n obyek yang tersedia ialah kombinasi k dari n, yaitu n

k

=n!

(n− k)!k!=n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

Bilangan

n

k

disebut koefisien binom, yang muncul dalam ekspansi

(a+ b)n =n∑

k=0

n

k

akb(n−k)

Beberapa sifat koefisien binom yang bermanfaat adalah:

S1 Khususnya, apabila untuk a = b = 1.2n =∑n

k=0

n

k

Hasil terakhir ini dapat diinterpretasikan sebagai banyaknya himpunan bagian darihimpunan n obyek. Ini didapat dengan menjumlahkan banyaknya himpunan bagiandengan 2 obyek, dst.

S2

n

k

=

n

n− k

8 Bab 1. Peluang

S3

n

k

=

n− 1

k − 1

+

n− 1

k

1.5 Peluang Bersyarat

1.6 Ketaktergantungan antar Peristiwa

Bab 2

Peubah Acak

2.1 Distribusi Variabel Random

2.2 Variabel Random Diskret

2.2.1 Distribusi Uniform Diskret

2.2.2 Distribusi Hipergeometrik

2.2.3 Variabel Random Bernoulli dan Binom

2.2.4 Distribusi Poisson

2.2.5 Distribusi Geometrik dan Binom Negatif

2.3 Variabel Random Kontinu

2.3.1 Beberapa fungsi dan integral

2.3.2 Variabel Random Uniform

2.3.3 Distribusi Eksponensial

2.3.4 Distribusi Gamma

2.3.5 Distribusi Normal

2.3.6 Distribusi Beta

2.4 Fungsi dari Variabel Random

Definisi 2.1 Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri atau karakteristikpopulasi.

Sudah menjadi kebiasaan untuk melambangkan parameter dengan huruf Yunani. Untuk rata-rata populasi dilambangkan dengan µ.

Definisi 2.2 Statistik merupakan sembarang nilai yang menjelaskan ciri atau karakteristiksuatu sampel.

9

10 Bab 2. Peubah Acak

Gambar 2.1: This is a figure.

Statistik biasanya dinyatakan dalam huruf kecil biasa. Bila statistik itu berupa rata-ratasampel, kita melambangkan dengan x̄. Karena dari populasi yang sama banyak sekalikemungkinan sampel acak yang dapat diambil, tentunya kita dapat membayangkan bahwastatistik itu bervariasi dari sampel satu ke sampel lainnya. Dengan kata lain, jika diambil lagisebuah sampel acak dari populasi yang sama dan kemudian dihitung, maka nilai yang terbesarmungkin saja 5 bukan 4 dan rata-rata hitungnya tidak lagi 1,5 meskipun sangat dekat denganitu.

Bab 3

Distribusi Bersama

3.1 Variabel Random Diskret

3.2 Variabel Random Kontinu

3.3 Variabel Random Takbergantungan

3.4 Distribusi Bersyarat

3.4.1 Kasus Diskret

3.4.2 Kasus Kontinu

11