MODUL STATISTIKA MATEMATIKA I(MA493530)Oleh :I Wayan Sumarjaya, S.Si.JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS UDAYANA2010KATA PENGANTARModul singkatini membahastentangperkuliahanStatistikaMatematikaI(MA493530)yangmembahas tentang peubah acak dan distribusinya, fungsi peubah acak, sifat peubah acak, limitdistribusi, danstatistikdandistribusipengambilansampel. Matakuliahinimerupakanpen-dalaman terhadap mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang plus tambahan-tambahan tentang fungsipembangkit momen dan distribusi pengambilan sampel.Akhir kata semoga modul singkat ini dapat bermanfaat. Segala kritik dan saran guna per-baikan modul ini harap dikirim via email ke sumarjaya@gmail.com atau sumarjaya@yahoo.com.Bukit Jimbaran, Februari 2009PenulisiDAFTAR ISIKata Pengantar iDAFTAR ISI iiDAFTAR GAMBAR ivDAFTAR TABEL vBAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 11.1 Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Peubah Acak Diskrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Peubah Acak Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Beberapa Sifat Nilai Harapan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Batas-batas Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Momen dan Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 42.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Distribusi Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Distribusi Hipergeometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Distribusi Geometrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5 Distribusi Binomial Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.6 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.7 Distribusi Seragam Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Distribusi-distribusi Kontinu Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Distribusi Seragam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Distribusi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Distribusi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Distribusi Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.6 Fungsi pembangkit momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 233.1 Distribusi Bersama dan Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1 Distribusi Diskrit Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Distribusi Hypergeometrik yang Diperluas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 Distribusi Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.4 Distribusi Kontinu Bersama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Peubah Acak Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30iiDAFTAR ISI iii3.3.1 Distribusi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32BAB 4. SIFAT-SIFAT PEUBAH ACAK 334.1 Sifat-sifat Nilai Harapan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Kovarians dan Korelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Harapan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Distribusi Normal Bivariat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Fungsi Pembangkit Momen Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Latihan Soal Teoretis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 455.1 Teknik Fungsi Distribusi Kumulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Metode Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1 Transformasi Satu-satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.3 Transformasi Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 Jumlah Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.1 Formula Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.2 Metode Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Statistik Terurut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.1 Penarikan Sampel Tersensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.2 Pengambilan Sampel Tersensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 706.1 Barisan Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2 Teorema Limit Pusat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Pendekatan Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Distribusi Normal Asimtotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5 Sifat-sifat Konvergensi Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6 Teorema-teorema Limit Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 787.1 Statistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.1 Kombinasi Linear Peubah-peubah Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.2 Distribusi Khi Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.3 Distribusi Student t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.4 Distribusi SnedecorF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2.5 Distribusi Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3 Pendekatan-pendekatan Sampel Besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84DAFTAR PUSTAKA 87DAFTAR GAMBARivDAFTAR TABELTabel 3.1 Nilai fungsi densitas bersma dua peubah acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30vBAB 1PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYAKompetensi DasarMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.Indikator PencapaianMenggunakan konsep-konsep ilmu peluang.Materi Pokok1.1Peubah Acak1.1.1Peubah Acak Diskrit1.1.2Peubah Acak Kontinu1.1.3Beberapa Sifat Nilai Harapan1.1.4Batas-batas Peluang1.2Momen dan Fungsi Pembangkit MomenBab ini meninjau kembali konsep tentang peluang dan distribusinya seperti yang telah dipelajaripada mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.1.1 Peubah AcakDenisi1.1. Suatu peubah acak, katakanlahX, adalah suatu fungsi yang didenisikan padaruang sampel , yang mengasosikan suatu bilangan real, X() = x, dengan masing-masing hasilyang mungkin di.1.1.1 Peubah Acak DiskritDenisi 1.2. Jika himpunan semua hasil yang mungkin dari peubah acakX adalah himpunanterhitungx1, x2, . . . , xn ataux1, x2, . . . ,, makaXdisebut peubah acak diskrit.Denisi 1.3. FungsifX(x) = P(X= x), x = x1, x2, . . . (1.1)yang menugaskan peluang untuk masing-masing nilai yang mungkinx disebut fungsi densitaspeluang diskrit.1BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 2Teorema1.1. Suatu fungsi fX(x) adalah fungsi densitas peluang diskrit jika dan hanya jikauntuk paling banyak himpunan tak berhingga terhitung (countably innite) x1, x2, . . .memenuhikedua sifat berikut:1. untuk semuaxi, fungsifX(xi) 0,2. untuk semuaxi, fX(xi) = 1.Denisi 1.4. Fungsi distribusi kumulatif peubah acakXdidenisikan untuk semua bilanganrealx sebagaiFX(x) = P(X x). (1.2)Teorema1.2. Suatu fungsiFX(x) adalah fungsi distribusi kumulatif untuk beberapa peubahacakXjika dan hanya jika memenuhi sifat:(a). limxFX(x) = 0,(b). limxFX(x) = 1,(c). limh0+ FX(x +h) = FX(x),(d). jikaa < b makaFX(a) FX(b).Denisi1.5. JikaXadalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas peluangfX(x), makanilai harapanXdidenisikan sebagaiE(X) =

xxfX(x). (1.3)1.1.2 Peubah Acak KontinuDenisi 1.6. Suatufungsi fX(x)dikatakanfungsi densitaspeluanguntukbeberapapeubahacak kontinuXjika dan hanya jika ia memenuhi sifatfX(x) 0 (1.4)untuk semuax, dan_fX(x) dx = 1. (1.5)Denisi 1.7. Fungsi distribui kumulatif peubah acak kontinuXdinyatakan sebagaiFX(x) =_xfX(x) dx. (1.6)Denisi 1.8. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang fX(x), makanilai harapanXdidenisikan sebagaiE(X) =_xfX(x) dx. (1.7)1.1.3 Beberapa Sifat Nilai HarapanDenisi 1.9.Momen ke-k di sekitar titik asal (moment about the origin) peubah acak X adalah

k= E(Xk), (1.8)dan momen ke-k di sekitar rata-rata (moment about the mean) adalahk= E[X E(X)]k= E(X )k. (1.9)Denisi 1.10. Variansi peubah acakXdidenisikan sebagaivar(X) = E[(X )2] (1.10)BAB 1. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 31.1.4 Batas-batas PeluangTeorema1.3. JikaXadalah suatu peubah acak danu(x) adalah fungsi bernilai non-negatif,maka untuk sembarang konstanta positifc > 0,P(u(X) c) E(u(X))c. (1.11)Teorema 1.4 (Ketidaksamaan Chebychev).Jika X adalah suatu peubah acak dengan rata-rata dan variansi2, maka untuk sembarangk > 0,P(|X | k) 1k2. (1.12)1.2 Momen dan Fungsi Pembangkit MomenDenisi 1.11. MisalXadalah peubah acak, maka nilai harapanMX(t) = E(etX) (1.13)disebut fungsi pembangkit momen dariXjika nilai harapan ini ada untuk semua nilait dalambeberapa interval dengan bentuk h < t < h untuk beberapah > 0.Teorema 1.5. Jika fungsi pembangkit momen peubah acakXada, makaE(Xr) = MrX(0), untuk semua r = 1, 2, . . . (1.14)danMX(t) = 1 +

r=1E(Xr)trr!. (1.15)BAB 2DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUSKompetensi DasarMembedakan peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, dan distribusi keluarga eksponen-sial.Indikator PencapaianMampu memisahkan peubah acak diskrit, kontinu, dan distribusi keluarga eksponensial.Materi Pokok2.1Distribusi-distribusi Diskrit Khusus2.2Distribusi-distribusi Kontinu Khusus2.3Latihan Soal2.4Latihan Soal TeoretisBab ini membahas beberapa distribusi khusus, baik diskrit maupun kontinu, yang telah dipela-jari dalam mata kuliah Pengantar Ilmu Peluang.2.1 Distribusi-distribusi Diskrit Khusus2.1.1 Distribusi BernoulliDalamsuatupercobaantunggal terdapatduakejadianyangmenjadi dayatarik, katakanlahKandkomplemennyaK

. KejadianKdanK

menyatakankejadianmunculnyamuka ataubelakang pada pelemparan satu mata uang atau rusak atau bagus pada barang yang dipro-duksi atau sukses atau gagal pada kejadian lainnya. Misal peluang K terjadi dengan peluangP(K) = p danK

terjadi dengan peluangP(K

) = q= 1 p.Suatu peubah acak, X, yang menganggap hanya nilai 0 atau 1 disebut peubah Bernoulli, danpercobaadenganduahasilyangmungkindisebutpercobaanBernoulli(Bernoullitrial ). Jikasuatupercobaanmenghasilkanhanyasukses (K)dangagal (K

), makapeubahBernoulliyang bersesuaian adalahX(k) =_1, jika k K;0, jika k K

.(2.1)Fungsi densitas (massa) peluangXdiberikan olehfX(0)=qdanfX(1)=p. Distribusi yangbersesuaian, disebut distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution), dan fungsi densitasnya dapat4BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 5dinyatakan sebagaifX(x) = pxq1x, x = 0, 1. (2.2)2.1.2 Distribusi BinomialApabila percobaan Bernoulli dilakukan secara bebas sebanyakn kali dengan peluang suksesppadamasing-masingpercobaan, danpeubahacakXmenyatakanbanyaknyasukses. Fungsidensitas peluang diskritXdiberikan olehfX(x; n, p) =_nx_pxqnx, x = 0, 1, . . . , n; 0 < p < 1; q= 1 p. (2.3)PeubahacakXberdistribusi binomial denganparameter ndanpdinotasikansebagai XBIN(n, p). Distribusi Bernoulli yang merupakan kejadian khusus dari distribusi binomial dino-tasikan sebagaiX BIN(1, p).Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi BinomialBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = np;2. Variansi: var(X) = npq;3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = (p et+q)n, < t < .2.1.3 Distribusi HipergeometrikMisal suatu populasi terdiri dari beberapa jumlah item tertentu,katakanlahN,dan terdapatMitemtipe1dansisanyaN Mitembertipe2. Misal nitemdiambil secaraacaktanpapengembalian, dan misal Xmenyatakan banyaknya item tipe 1 yang diambil. Fungsi densitaspeluang diskritXdiberikan olehfX(x; n, M, N) =_Mx__N Mn x__Nn_ ; x = 0, 1, . . . , n; n = 1, . . . , N; M= 0, 1, . . . , N. (2.4)Bentuk Persamaan (2.4) merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi hipergeometrik, dino-tasikanX HYP(n, M, N).Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi HipergeometrikBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan:E(X) =nMN; (2.5)2. Variansi:var(X) = nMN_1 MN__N nN 1_; (2.6)3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = (p et+q)n, < t < .BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 62.1.4 Distribusi GeometrikMisal kita tertarik untuk mengetahui banyaknya percobaan yang diperlukan untuk memperolehsukses pertama dan notasikan ini dengan X, maka fungsi densitas peluang diskritnya dinyatakanolehfX(x; p) = pqx1, x = 1, 2, 3, . . .; 0 < p < 1; q= 1 p. (2.7)BentukPersamaan(2.7)merupakanfungsi densitaspeluangdari distribusi geometrik, dino-tasikanX GEO(p).Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi GeometrikBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = 1/p.2. Variansi: var(X) = q/p2.3. Fungsi pembangkit momen : MX(t) = p et/(1 q et).2.1.5 Distribusi Binomial NegatifDalampercobaanBernouli bebas yangdiulang, misal Xmenyatakanbanyaknyapercobaanyang diperlukan untuk memperolehrsukses. Distribusi peubah acakXmerupakan distribusibinomial negatif (negative binomial ) yang diberikan olehfX(x; r, p) =_x 1r 1_prqxr; (2.8)denganx = r, r +1, . . . , ; 0 < p < 1; q= 1 p. Bentuk Persamaan (2.8) dapat pula dinotasikanX NB(r, p).Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Binomial NegatifBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = r/p.2. Variansi: var(X) = rq/p2.3. Fungsi pembangkit momen :MX(t) =_p et1 q et_r. (2.9)2.1.6 Distribusi PoissonSuatupeubahacakdiskritXdikatakanmemiliki distribui Poissondenganparameter>0,dinotasikanX POI() apabila ia memiliki fungsi densitas (massa) peluang dengan bentukfX(x; ) =exx!; x = 1, 2, . . .. (2.10)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 7Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi PoissonBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = .2. Variansi: var(X) = .3. Fungsi pembangkit momen :MX(t) = exp((exp(t) 1)). (2.11)Teorema2.1. JikaX BIN(n, p), maka untuk setiap nilai x=0, 1, 2, . . . , dan sebagaimanap 0 dengannp = konstan, makalimn_nx_px(1 p)nx=exx!. (2.12)2.1.7 Distribusi Seragam DiskritSuatupeubahacakdiskritXdikatakanmemilikidistribusiseragamdiskrit, dinotasikanX DU(N), jika untuk setiap bilangan bulat 1, 2, . . . , Nia memiliki fungsi densitas peluang denganbentukfX(x) =1N, 1, 2, . . . , N. (2.13)Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi PoissonBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = (N+ 1)/2.2. Variansi: var(X) = (N21)/12.3. Fungsi pembangkit momen :MX(t) =1Nete(N+1)t1 et. (2.14)2.2 Distribusi-distribusi Kontinu KhususPada sub bab ini akan dibicarakan beberapa distribusi kontinu khusus.2.2.1 Distribusi SeragamSuatupeubahacakXdikatakanmemiliki distribusi seragampadaselang(a, b), dinotasikanX UNIF(a, b), dengan fungsi densitas peluangfX(x; a, b) =___1b a, untuk a < x < b;0, untuk x lainnya.(2.15)Fungsi distribusi kumulatifX UNIF(a, b) memiliki bentukFX;a,b=___0, jika x a;x ab a, jika a < x < b;1, jika b x.(2.16)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 8Rata-rata, Variansi, dan Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Seragam KontinuBeberapa hasil penting:1. Nilai harapan: E(X) = (a +b)/2.2. Variansi: var(X) = (b a)2/12.3. Fungsi pembangkit momen :MX(t) =ebteat(b a)t. (2.17)2.2.2 Distribusi GammaDenisi 2.1(Bain and Engelhardt (1992)). Fungsi gamma,dinotasikan() untuk semua > 0, didenisikan sebagai() =_0t1etdt. (2.18)Jika = 1 maka(1) =_0etdt= et0= e(e0)= 0 + 1= 1. (2.19)Fungsi gamma dan sifat-sifatnya dapat dilihat pada teorema berikut.Teorema 2.2. Fungsi gamma memiliki sifat-sifat berikut:1. () = ( 1)( 1), untuk k > 1;2. (n) = (n 1)!, untuk n = 1, 2, . . . ;3. (1/2) =.Bukti: Akanditunjukkansifat1denganintegral bagian. Misal u=t1, du=( 1)t2,dv= exp(t) danv= exp(t). Sehingga() = ( 1)( 1), untuk k > 1 (2.20)menjadi() = t1(et) _0(et)( 1)t2dt= t1et0+_0et( 1)t2dt= 0 + ( 1)_0t2etdt= ( 1)( 1), > 1.BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 9Selanjutnya akan ditunjukkan sifat 2. Bilan adalah bilangan bulat maka(n) = (n 1)(n 1)= (n 1)(n 2)(n 2)= = (n 1)(n 2) 3 2 1(1)= (n 1)(n 2) 3 2 1= n!.Kemudian akan ditunjukkan sifat 3.(1/2) =_0t1/21etdt=_0t1/2etdt. (2.21)(2.22)Misal x=t1/2, dx=(1/2)t1/2dtataudt=2t1/2dx=2xdx. Dengansubstitusiini, makaPersamaan (2.21) menjadi(1/2) =_0x1ex22xdx=_02 ex2dx. (2.23)(2.24)Menggandakan Persamaan (2.23) diperoleh[(1/2)]2=__02 ex2dx___02 ey2dy_=_0_04 e(x2+y2)dxdy (2.25)Untukmenyelesaikanintegral padaPersamaan(2.25), lakukantransformasi koordinatkutub.Misal x = r cos dan y= r sin ; sehingga x2+y2= r2cos2+r2sin2 = r2(cos2+sin2) = r2.Kemudian turunan parsial masing-masing peubah terhadapr dan adalah sebagai berikutxr= cos ,x= r sin ,yr= sin ,y= r cos .Dengan demikian diperoleh Jacobian,J=cos r sin sin r cos = r cos2+r sin2= r.Sehingga integral Persamaan (2.25) menjadi[(1/2)]2=_/20_04 er2rdr d.BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 10Untuk menyelesaikan integral ini, misalkanu = r2,du = 2r dr. Dengan demikian[(1/2)]2= 2_/20_0eudud= 2_/20_eu0_d= 2_/20(e +e0) d= 2_/20d= 2/20= 0= .Jadi diperoleh(1/2) =.Suatu peubah acak kontinuXdikatakan berdistribusi gamma dengan parameter> 0 dan > 0 jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentukfX(x; , ) =___1()x1ex/, untuk 0 < x < ;0, untuk x lainnya;(2.26)dan dinotasikanX GAM(, ). Bentuk (2.26) juga dapat direparameterisasi sebagaifX(x; , ) =___()x1ex, untuk 0 < x < ;0, untuk x lainnya;(2.27)Lihat Rice (2007), halaman 53 untuk bentuk fungsi densitas peluang persamaan(2.27).Diskusi: Tunjukkan bahwa persamaan(2.27) adalah fungsi densitas peluang.Parameter disebut parameter bentuk (shape parameter) karena menentukan bentuk dasargrakfungsidensitaspeluang. Secaraumumadatigabentukdasarbergantungpadaapakah < 1, = 1, atau > 1. Sementara itu, parameter disebut parameter skala (scale parameter).Mengubahnilai bersesuaiandenganmengubah-ubahunit-unitpengukuran(katakanlahdaridetik ke menit).Untuk memeriksa apakah integral persamaan (2.26) adalah fungsi densias peluang gunakanteknik substitusi. Dengan kata lain, untuk memeriksa_01()x1ex/dx = 1 (2.28)lakukansubstitusi dengant =x/, dt =(1/) dx, denganbatas-bataspengintegralantidakberubah. Sehingga_01()x1ex/dx =_0()(t)1etdt=_01()1t1et dt=1()()= 1. (2.29)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 11Fungsi Distribusi KumulatifFungsi distribusi kumulatifX GAM(, ) adalahFX(x; , ) =_x01()x1ex/dt. (2.30)Integral bentuk (2.30) secara umum tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, namun bilaadalahbilanganbulatpositif, katakanlah=n, makaintegralnyadapatdinyatakansebagaipenjumlahan.Teorema 2.3. Jika X GAM(, n), dengan n adalah bilang bulat positif maka fungsi distribusikumulatifnya dapat ditulisFX(x; , n) = 1 n1

i=0(x/)ii!ex/2. (2.31)Bukti: Stone (1996) Akan ditunjukkan Persamaan (2.31) dengan induksi. Untukn = 1:FX(x; , 1) = 1 ex/0

i=0(x/)00!= 1 ex/. (2.32)[Catatan: jika jikan = 1 makaX EXP(), sehinggaFX(x) = 1 exp(x/)].Selanjuntya akan ditunjukkan benar untukn + 1:FX(x; , n + 1) =_x0tn+11n+1(n + 1) et/dt=_x0tnn+1(n + 1 1)! et/dt=_x0tnn+1n! et/dt=_x0tnnn! d_et/_= tnnn! et/t=xt=0+_x0ntn1nn!et/dt= xnex/nn!0 +_x0ntn1nn!et/dt=_x0ntn1nn!et/dt xnex/nn!. (2.33)Dengan hipotesis induksiFX(x; , n) = 1 n1

i=0(x/)ii!ex/2xnex/nn!= 1 n

i=0(x/)ii!ex/2. (2.34)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 12Rata-rata dan VariansNilai tengah atau rata-rata dariX GAM(, ) diperoleh sebagai berikut:E(X) =_0x1()x1ex/dx=1()_0x(1+)1ex/dx=1+(1 +)()_0x(1+)11+(1 +) ex/dx=1+(1 +)()=()()= . (2.35)danE(X2) =_0x21()x1ex/dx=1()_0x(2+)1ex/dx=2+(2 +)()_0x(2+)12+(2 +) ex/dx=2+(2 +)()=2(1 +)(1 +)()=2(1 +)()()= 2(1 +). (2.36)Dengan demikianvar(X) = E(X2) [E(X)]2= 2(1 +) []2= 2(2+) 22= 22+2 22= 2. (2.37)Fungsi pembangkit momenFungsi pembangkit momenX GAM(, ) dapat dihitung sebagai berikut.MX(t) =_0etxx1()ex/dx=_0x1ex(1t)/()dx (2.38)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 13Untukmenyelesaikanintegral persamaan(2.38) lakukansubstitusi u=x(1 t)/dengant < 1/ ataux = u(1 t) sehinggadx = (/(1 t)) du. Dengan demikianMX(t) =_0()(1 t)_u1 t_1eudu=_01u1()(1 t)(1 t)1eudu=_0u1()(1 t)eudu=1(1 t)_0u1()eudu=1(1 t)()()=1(1 t)= (1 t), t < 1/. (2.39)Dengan mengetahui fungsi pembangkit momen, kita juga dapat menghitung momen pertamadan kedua, yakniE(X) danE(X2). Menurunkan persamaan (2.39) terhadapt diperolehM

X(t) = ()(1 t)1() (2.40)danM

X(t) = ()( 1)(1 t)2()(). (2.41)SelanjutnyaE(X) = M

X(0) = ()(1 0)1()= (2.42)dan(2.43)E(X2) = M

X(0) = ()( 1)(1 0)2()()= ()( 1)2= ( + 1)2= 2( + 1). (2.44)Denganmenggunakanhasil dari Persamaan(2.42)dan (2.44)makaakandiperolehvariansseperti pada Persamaan (2.37).Turunan ke-r dapat dihitung sebagai berikutM(r)X(t) = ( +r 1) ( + 1)(1 t)r=( +r)()r(1 t)r. (2.45)Momen ke-r dihasilkan dariM(r)X(0), yakniE(Xr) =( +r)()r(1 0)r=( +r)()r. (2.46)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 14Sebagai contoh momen ketiga, yakniE(X3) =( + 3)3()=( + 2)( + 1)()3()= ( + 2)( + 1)2(2.47)Diskusi:Bagaimana cara menghitung fungsi gamma?ProgramRmemiliki fungsi gammauntukmenghitungfungsi gamma, baikuntukbilanganbulat maupun pecahan. Perhatikan contoh berikut:>gamma(4)[1]6>gamma(5/3)[1]0.9027453Distribusi gamma dengan parameter=2 dan=1 disebut distribusi khi kuadrat (chi-square). Distribusi ini banyak berperan dalam teknik pengambilan sampel. Selanjunya apabilaX GAM(, 1) makaXdikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter, dinotasikanX EXP().AplikasiMenurutRice(2007), Wackerlyetal. (2002), danHoggandCraig(1995)distribusi gammacocokdigunakanuntukmemodelkanpeubahacaknonnegatif. LebihlanjutWackerlyetal.(2002) menambahkanbahwadistribusi ini cenderungmiring(skewed) kekanan. Distribusigammabiasanyadigunakanuntukmemodelkanlamawaktuantarakerusakan(malfunction)mesin pesawat terbang, memodelkan antrian pada saat pembayaran di kasir supermarket, danlama waktu perawatan (maintenance) mobil. Selanjutnya Rice (2007) mencontohkan pencarianpoladalampenentuangempabumi dalamkaitannyadenganwaktu, ruang, danmagnitudo.SelainituHoggandCraig(1995) menambahkanbahwadistribusi gammaseringdigunakansebagai model untuk waktu tunggu (waiting time) dalam reliabilitas.2.2.3 Distribusi EksponensialSuatu peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter > 0, dinotasikanX EXP() jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentukfX(x; ) =___1 ex/, jika 0 < x; 0 < ;0, jika x lainnya.(2.48)Distribusi eksponensial denganparameter , yakni EXP() adalahkejadiankhusus daridistribusi gammadenganparameter =1, yakni GAM(, 1). Dengandemikiansifat-sifatdistribusi gamma berlaku untuk distribusi eksponensial.Fungsi distribusi kumulatifFungsi distribusi kumulatifXdapat dinyatakan sebagaiFX(x; ) = 1 ex/, jika 0 < x. (2.49)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 15Hasil ini diperolehdari Teorema2.3dengankasus n=1ataudenganmenghitunglangsungintegral persamaan (2.49), yakniFX(x) =_x01 et/dt=_x01 d_et/_=_x0d_et/_= et/x0= ex(e0)= 1 ex/. (2.50)Rata-rata dan variansRata-ratadanvarians jugamerupakanhasil khusus dari distribusi GAM(, 1). Lihat Per-samaan (2.35) dan (2.37) untuk rata-rata dan varians distribusi gamma. Dengan memanfaatkankeduahasil ini sertamensubstitusikan=1makadiperolehE(X) == 1 =danvar(X) = 2 = 2 1 = 2.Diskusi:CarilahE(X),E(X2), danvar(X) dengan mengintegralkan secara langsung kemudianbandingkan hasilnya.Fungsi pembangkit momenDengan analogi yang sama maka fungsi pembangkit momen untuk distribusi eksponensial adalahfungsi pembangkit momen dari distribusiGAM(, 1) sehingga diperolehMX(t) = (1 t)1. (2.51)Diskusi: CarilahMX(t) dengan mengintegralkan secara langsung.2.2.4 Distribusi NormalDistribusi normal pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 sebagaisuatu pendekatan terhadap distribusi jumlah peubah acak binomial.Suatu peubah acakXdikatakan berdistribusi normal (atau Gauss) dengan rata-rata danvarians2, dinotasikanX N(, 2) jika ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentukfX(x; , ) =12e(x )222, < x < , < < , 0 < < . (2.52)Misal didenisikanI=_0fX(x; , ) dx=_012e[(x)/]2/2dx (2.53)Untukmemeriksaapakahfungsi integral fungsi densitaspeluangini samadengan1, gu-nakantekniksubstitusi, misal z =(x )/dengandx= dz. Perhatikanbahwaf(z) =BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 16(1/sqrt 2) exp(z2) adalah fungsi genap, yaknif(z) = f(z). Dengan demikianI=_f(x; , ) dx=_12ez2/2dz= 2_012ez2/2dz. (2.54)Apabila dimisalkanw = z2/2, makaz=2w dandz= (w1/2/2), sehinggaI=_0w1/222ewdw=_0w1/2ewdw=(1/2)=()()= 1. (2.55)Lihat kembali sifat-sifat fungsi gamma untuk memahami hasil integral pada persamaan (2.55).Fungsi distribusi kumulatif normal standarIntegran yang diperoleh dengan substitusi z= (x)/ disebut fungsi densitas peluang normalstandar, dinotasikan(z), yakni(z) =12ez2/2, < z< . (2.56)Jika peubah acakZ memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk (2.56), makaZ N(0, 1).Fungsi distribusi kumulatif normal standar diberikan oleh(z) =_z(t) dt. (2.57)Berikut ini sifat-sifat geometrik fungsi densitas peluang normal standar.1. Untuk semua bilangan real z, fungsi (z) adalah fungsi genap, yakni (z)=(z). De-ngan kata lain distribusi normal standar simetrik padaz= 0.2. Berdasarkan sifat khusus pada sifat 1, diperoleh

(z) = z(z) (2.58)dan

(z) = (z21)(z). (2.59)3. Sebagai konsekuensi (z) memiliki nilai maksimum tunggal (unique maximum) pada z= 0dan titik ineksi padaz= 1. Perhatikan juga bahwa(z) 0 dan

(z) =z2 exp(z2/2)0 (2.60)sebagaimanaz .BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 17Rata-rata dan variansDengan menggunakan sifat-sifat penting fungsi densitas peluang normal standar dapat dihitungE(Z) danE(Z2):E(Z) =_z(z) dz= _

(z) dz= (z)= 0, (lihat sifat 3) (2.61)danE(Z2) =_z2(z) dz=_[

(z) +(z)] dz=

(z)+_(z) dz= 0 + 1= 1. (2.62)Dengan demikianvar(Z) = E(Z2) [E(Z)]2= 1 0 = 1. Selanjutnya untukX N(, 2)makaE(X) danE(X2) juga dapat dihitung dengan terlebih dahulu melakukan substitusi z=(x )/ ataux = z + sehinggadx = dz. Kita perolehE(X) =_x2exp_12_x _2_dx=_(z +)2exp(z2/2) dz=_(z +)2exp(z2/2) dz=_(z +)(z) dz=_z(z) dz +_(z) dz= _z(z) dz +_(z) dz= 0 + 1= . (2.63)BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 18SelanjutnyaE(X2) =_x22exp_12_x _2_dx=_(z +)22exp(z2/2) dz=_(z +)22exp(z2/2) dz=_(z +)z(z) dz=_(2z2+ 2z +2)(z) dz=_2z2(z) dz +_2z(z) dz +_2(z) dz= 2_z2(z) dz + 2_z(z) dz +2_(z) dz= 2 1 + 0 +2 1= 2+2. (2.64)Dengan demikian diperolehvar(X) = E(Z2) [E(Z)]2= 2+22= 2. (2.65)Teorema 2.4. JikaX N(, 2), maka(a). peubah acakZ= (X )/ N(0, 1),(b). fungsi distribusiXFX(x) = _x _. (2.66)Bukti: Akan dibuktikan sifat (a) menggunakan denisi fungsi distribusiFZ(z) = P(Z z)= P_X z_= P(X +z)=_+z12exp_12_x __dx.Dengan substitusiw= (x )/ ataux = + 2 diperoleh batas-batas untukx = makaw = dan untukx = +z diperolehw = z. SehinggaFZ(z) =_z12ez2/2 dz=_z12ez2/2dz=_z(z) dz= (z).BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 19DenganmenurunkanfZ(z) =F

Z(z) =(2)1ez2/2. Jadi Z =(X )/N(0, 1).Selanjutnya untuk sifat (b)FX(x) = P(X x)= P_X x _= _x _Fungsi pembangkit momenUntukmenentukanfungsi pembangkitmomendistribusi normal terlebihdahuludiperhatikanfungsi pembangkit momen distribusi normal standar.MZ(t) =_12exp(tz) exp(z2/2) dz=_12exp[(z t)2/2 +t2/2] dz= exp(t2/2)_12exp[(z t)2/2] dz= exp(t2/2) 1= exp(t2/2). (2.67)Kita tahu bahwaZ= (X )/ N(0, 1) sehinggaX= Z +. Dengan demikianMX(t) = MZ+(t)= exp(t)MZ(t)= exp(t) exp[(t)2/2]= exp[t + (2t2)/2] (2.68)2.2.5 Distribusi WeibullDistribusi Weibull merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam bidang pengu-jian tahan hidup benda. Distribusi ini diberi nama setelah sikawan W. Weibull, menyarankanpenggunaannya pada berbagai aplikasi, terutama uji kelelahan dan kekuatan material.Peubah acak kontinuXdikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter> 0 dan> 0 untuk x > 0, dinotasikan WEI(, ), bila memiliki fungsi densitas peluang dengan bentukfX(x; , ) =___x1e(x/), jika x > 0;0, jika x lainnya.(2.69)Parameterdisebutparameterbentuk(shapeparameter). Sepertihalnyapadadistribusigamma, maka akan ada tiga bentuk dasar bergantung pada< 1,= 1, atau> 1.Fungsi distribusi kumulatifRata-rata dan variansUntuk menghitungE(X) danE(X2) dapat memanfaatkan sifat-sifat fungsi gamma.BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 20E(X) =_0xx1e(x/)dx=_0x(1+)1e(x/)dx (2.70)Untuk menyelesaikan Persamaan (2.70) lakukan substitusi (x/)= u, sehingga dx = [(u1/21)/] du.Dengan demikianE(X) =_0(u1/)1+1euu1/1du=_0(u1/)euu1/1du=_0ueuu1/1du= _0u(1+1/)1eudu= _1 +1_. (2.71)Selanjutnya untuk menghitung E(X2) lakukan substitusi seperti pada waktu menghitung E(X).E(X2) =_0x2x1e(x/)dx=_0x(2+)1e(x/)dx=_0(u1/)+1euu1/1du=_0(+1u(1+1/)) euu(1/1)du= 2_0u(2/beta+1)1eudu= 2_1 +2_. (2.72)Berdasarkan Persamaan (2.70) dan (2.72) diperolehvar(X) = E(X2) [E(X)]2= 2_1 +2___1 +1__2= 2__1 +2_2_1 +1__. (2.73)2.2.6 Fungsi pembangkit momenFungsi pembangkitmomendistribusi Weibull menghasilkanbentukyangtidakterlacak(nottractable).2.3 Latihan Soal2-1Waktutahanhidup(survival time)dalamhari suatutikusputihyangbergantungpadatingkat radiasi sinar X adalah peubah acakX GAM(5, 4). Hitunglah:BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 21a) P(X 15);b) P(15 < X< 20);c) Nilai harapan tahan hidup,E(X).[Petunjuk: gunakan teorema tentang sifat fungsi distribusi gamma]2-2Waktu (dalam menit) sampai pelanggan ketiga memasuki supermarket adalah peubah acakX GAM(1, 3). Jika toko buka jam 08.00, hitunglah peluang bahwa:a) pelanggan ketiga datang antara jam 08.05 dan 08.10;b) pelanggan ketiga datang setelah jam 08.10.2-3JikaX GAM(1, 2) hitunglah modusnya.2-4Misal peubah acakXberdistribusi gamma dengan fungsi densitas peluangfX(x; ) =___12xex/, untuk 0 < x < ;0, untuk x lainnya.Jikax = 2 adalah modus tunggal (unique mode) dari distribusi, hitunglah parameter.2-5Jika fungsi pembangkit momen peubah acakWadalahMW(t) = (1 7t)20,carilah fungsi densitas peluangnya, nilai tengah (rata-rata), dan variansW.2-6MisalX N(10, 16). Hitunglah:a) P(X 14);b) P(4 X 18);c) P(2X 10 18);2-7Misal suatuLCDproyektormenghasilkanjumlahcahaya(dalamlumens)dandianggapberdistribusi normal dengan rata-rata = 350 dan varians2= 400.a) HitunglahP(325 < X< 363).b) Carilahnilai csehinggajumlahcahayayangdihasilkan90%cahayaLCDmelebihi clumens.2-8MisalX N(1, 2).a) HitungE(X 1)4.b) HitungE(X4).2.4 Latihan Soal Teoretis2-1*Jika > 1, tunjukkan bahwa densitas gamma memiliki nilai maksimum pada( 1)/.2-2*Fungsi gamma adalah fungsi faktorial yang diperumum (generalized factorial function).a) Tunjukkan bahwa(x + 1) = x(x).BAB 2. DISTRIBUSI-DISTRIBUSI PELUANG KHUSUS 22b) Gunakan fakta bahwa (1/2) = untuk menunjukkan bahwa jika n adalah bilanganbulat ganjil maka(n/2) =(n 1)!2n1_n 12_!.2-3*Tunjukkan dengan teknik pengubahan variabel (change of variable) bahwa(x) = 2_0t2x1et2dt=_exteetdt.BAB 3PEUBAH ACAK BERGANDAKompetensi DasarMembedakan sifat-sifat nilai harapan dan fungsi pembangkit momen.Indikator PencapaianMampumemisahkansifat-sifatnilai harapan, harapanbersyarat, danfungsi pembangkitmomen.Materi Pokok3.1Distribusi Bersama dan Marginal3.2Peubah Acak Bebas3.3Distribusi Bersyarat3.4Latihan SoalDalambanyakaplikasi biasanyaterdapat lebihdari satupeubahacakyangmenjadi objekpenelitian, katakanlahX1, . . . , Xk. Secara matematis akan lebih mudah mengganggap peubah-peubahini sebagai komponendari vektor dimensi k, X=X1, . . . , Xk, danjuganilai-nilaix = (x1, . . . , xk) dalam ruang Euclid berdimensik. Nilai amatanx dapat merupakan hasil daripengukuran karakteristik-karakteristik sebanyak k, atau hasil dari pengukuran satu karakteristiksebanyakk kali (hasil darik kali percobaan yang diulang pada satu peubah saja).3.1 Distribusi Bersama dan Marginal3.1.1 Distribusi Diskrit BersamaDenisi 3.1 (Fungsi densitas peluang bersama).Fungsi densitas peluang bersama (joint proba-bility distribution function) dari peubah acak diskrit dimensi k, X = (X1, . . . , Xk), didenisikansebagaifX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = P(X1= x1, X2= x2, . . . , Xk= xk)untuk semua nilai yang mungkinX = (x1, . . . , xk) dariX.Dalam konteks ini,notasi (X1=x1, X2=x2, . . . , Xk=xk) menyatakan irisankkejadian(X1= x1), (X2= x2) (Xk= xk).Contoh3.1. Sebuahkotakberisi 1000bola, 500berwarnamerah, 400berwarnaputih, dan100berwarnabiru. Jikasepuluhboladipilihsecaraacaktanpapengendalian, makajumlah23BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 24bolamerah, X1, danjumlahbolaputih, X2, dalamsampel adalahpeubahacakdiskrityangberdistribusi bersama. Fungsi densitas bersama pasangan(X1, X2) dinyatakan olehfX1,X2(x1, x2) =_500x1__400x2__10010 x1x2__100010_untuk semua0 x1,0 x2, danx1 +x2 10.3.1.2 Distribusi Hypergeometrik yang DiperluasMisal suatu koleksi terdiri dari suatu jumlah item tertentu N, dan terdapat k +1 jenis berbeda;M1jenis1, M2jenis2, danseterusnya. Pilihnitemsecaraacaktanpapengembalian, danmisal Xiadalahjumlahitemjenis i yangterpilih. Vektor X=(X1, . . . , Xk) berdistribusihipergeometrik diperluas (extended hypergeometric distribution) dengan fungsi densitas peluangdalam bentukfX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =_M1x1__M2x2_ _Mkxk__Mk+1xk+1__Nn_untuksemua0 xi Mi, denganMk+1=N

ki=1Midanxk+1=n

ki=1xi. Notasikhusus untuk distribusi ini adalahX HYP(n, M1, M2, . . . , Mk, N).Apabila pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, maka vektorX akan berdis-tribusi multinomial.3.1.3 Distribusi MultinomialMisal terdapat k+1 kejadian saling lepas (mutually exclusive) dan exhaustive, yakni, E1, E2, . . . , Ek, Ek+1,yangdapatterjadi padasetiappercobaan, danmisal pi=P(Ei)untuki =1, 2, . . . , k+ 1.Padasetiap nkali percobaanbebas, misalkan Xiadalahbanyaknyakejadian Ei. VektorX=(X1, . . . , Xk) dikatakan memiliki distribusi multinomial,dengan fungsi densitas bersamadalam bentukfX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =n!x1!x2! xk+1!px11px22 pxk+1k+1(3.1)untuk semua0 xi n, dimanaxk+1=n

ki=1xidanpk+1=1

ki=1pi. Notasi untukdistribusi ini adalahX MULT(n, p1, p2, . . . , pk).Persamaan (3.1) mirip dengan distribusi binomial. Untuk terjadinya Ei sebanyak xi kali, diper-lukan permutasiE1 sebanyakx1,E2 sebanyakx2, dan seterusnya. Banyaknya permutasi untukkejadian-kejadian tersebut adalahn!(x1!)(x2!) (xk+1!),dan masing-masing permutasi terjadi dengan peluangpx11px22 pxk+1k+1 .Contoh3.2. Sebuahdadubermataempat dilemparkansebanyak20kali, danmunculnyamasing-masingsisi dicatat. Peluangmendapatkanempatmata1, enammata2, limamata3, dan lima mata 4 serta nilaipi= 0,25 adalah20!(4!)(6!)(5!)(5!)(0,25)20= 0,0089.BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 25Teorema 3.1.Suatu fungsi fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) adalah fungsi densitas peluang bersama untukbeberapa peubah acak bernilai vektorX=(X1, . . . , Xk) jika dan hanya jika sifat-sifat berikutdipenuhi:fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) 0 untuk semua nilai yang mungkin (x1, . . . , xk)dan

x1

xkf(x1, . . . , xk) = 1.Dalam kasus dua dimensi, akan lebih mudah menyajikan fungsi densitas bersama dalam ben-tuk tabel, lebih khusus lagi, jika bentuk fungsional untuk fungsi densitas bersama fX1,X2(x1, x2)tidak diketahui. Misal(X1, X2) MULT(3; 0,4,0,4). Bentuk tabel untuk nilai fungsi densitas-nya adalah sebagai berikut:x20 1 2 30 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216x11 0,048 0,192 0,192 0,000 0,4322 0,096 0,192 0,000 0,000 0,2883 0,064 0,000 0,000 0,000 0,0640,216 0,432 0,288 0,064 1Denganmelihat tabel diatas, kitatertarikuntukmenghitungpeluang"marjinal", yakniP(X1= 1), tanpa memperhatikan nilaiX2. Relatif terhadap ruang sampel bersama,X2 mem-punyaipengaruhpadapartisikejadian, katakanlahA, bahwaX1=1; penghitunganpeluangmarjinalP(A) = P(X1= 1) menjadiP(A) =3

j=0P(X1= 1, X2= j)=3

j=0fX1,X2(1, j)=

x2f(1, x2)= 0,432.Denisi 3.2 (Fungsi densitas marjinal). Jika pasangan peubah acak diskrit(X1, X2) memilikifungsi densitas bersama fX1,X2(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 dan X2 adalahfX1(x1) =

x2fX1,X2(x1, x2)danfX2(x2) =

x1fX1,X2(x1, x2).BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 26Contoh 3.3. Misal(X1, X2) MULT(n, p1, p2), maka fungsi densitas marjinalX1 adalahfX1(x1) =

x2fX1,X2(x1, x2)=nx1

x2=0fX1,X2(x1, x2)=n!x1!(n x1)!px11nx1

x2=0(n x1)!px22[(1 p1) p2](nx1)x2x2![(n x1) x2]!=n!x1!(n x1)!px11nx1

x2=0_n x1x2_px22[(1 p1) p2](nx1)x2=_nx1_px11[p2 + (1 p1) p2]nx1=_nx1_px11(1 px1)nx1. (3.2)Persamaan (3.2) merupakan bentuk distribusi dari binomial(n, p1), dengan kata lainX1 binomial(n, p1).Denisi 3.3 (Fungsi distribusi kumulatif bersama). Fungsi distribusi kumulatif bersama kpeubah acakX1, . . . , Xkadalah fungsi yang didenisikan olehFX1,...,Xk(x1, . . . , xk) = P(X1 x1, X2 x2, . . . , Xk xk).Teorema 3.2 (Fungsi distribusi kumulatif bivariat). Suatu fungsiFX1,X2(x1, x2) adalah fungsidistribusi kumulatif bivariat jika dan hanya jika:(i) limx1FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(, x2) = 0 untuk semua x2;(ii) limx2FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(x1, ) = 0 untuk semua x1;(iii) limx1x2FX1,X2(x1, x2) = FX1,X2(, ) = 1;(iv) Untuk semuaa < b danc < d berlaku: F(b, d) F(b, c) F(a, d) +F(a, c) 0;(v) limh0+ FX1,X2(x1+ h, x2)=limh0+ FX1,X2(x1, x2+ h)=FX1,X2(x1, x2)untuksemuax1 danx2.Contoh 3.4. Misal suatu fungsi didenisikan sebagai berikut:FX1,X2(x1, x2) =_0, jika x1 +x2< 1;1, jika x1 +x2 1.Jikaa = c = 1 danb = d makaF(1, 1) F(1, 1) F(1, 1) +F(1, 1) = 1 1 1 + 0 = 1.Dengan kata lain sifat (iv) dalam Teorema 3.2 tidak dipenuhi.BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 273.1.4 Distribusi Kontinu BersamaDenisi 3.4 (Fungsi peluang bersama kontinu). Suatu vektor peubah acak berdimensik,X =(X1, . . . , Xk)dikatakankontinujikaterdapatsuatufungsi fX1,...,Xk(x1, . . . , xk)disebutfungsidensitasbersamadari X, sedemikian hingga fungsi distribusi kumulatif bersama dapat ditulissebagaiFX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =_xk _x1fT1,T2,...,Tk(t1, . . . , tk) dt1 dtk(3.3)untuk semuax = (x1, . . . , xk).Seperti halnya dalam kasus satu dimensi, fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsidistribusi kumulatif bersama dengan menurunkanFX1,...,Xk(x1, . . . , xk) pada Persamaan (3.3),yaknifX1,...,Xk(x1, . . . , xk) =kx1 xkFX1,...,Xk(x1, . . . , xk).bilamana turunan parsialnya ada.Teorema 3.3 (Syarat fungsi densitas bersama). Sembarang fungsifX1,...,Xk(x1, . . . , xk) adalahfungsi densitas bersama dari peubah acak berdimensik jika dan hanya jikafX1,...,Xk(x1, . . . , xk 0) untuk semua x1, . . . , xkdan_ _fX1,...,Xk(x1, . . . , xk) dx1 dxk= 1.Contoh3.5. Misal X1menyatakankonsentrasi substansi dalamsuatupercobaanpertamadanX2menyatakankonsentrasisubstansidalampercobaankedua. Dianggapfungsidensitasbersama diberikan olehfX1,X2(x1, x2) =_5x1x2untuk 0 < x1< 1, 0 < x2< 1;0 untuk x yang lain.Fungsi distribusi kumulatif bersama diberikan olehFX1,X2(x1, x2) =_x2_x1fT1,T2(t1, t2) dt1 dt2=_x20_x105t1t2 dt1 dt2=_x20_52t21x10_t2dt2=52x21_x20t2 dt2=52x21_12t21x20_=52x2112x22=54x21x22untuk0 < x1< 1, 0 < x2< 1.Menghitung peluang bersama dengan mengintegralkan fungsi densitas bersama peluang padadaerahyangbersesuaianjugadimungkinkan. Misalnya, kitaakanmenghitungpeluanguntukkedua percobaan, bahwa "rata-rata konsentrasi kurang dari 0,5". Kejadian ini dapat dinyatakanBAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 28oleh [(X1+X2)/2 < 0,5], atau apabila himpunan A = {(x1, x2) : (x1+x2)/2 < 0,5} maka dapatdinyatakan sebagai[(X1 +X2) A]. Denga demikian,P[(X1 +X2)/2 < 0,5] = P[(X1, X2) A]=_ _AfX1,X2(x1, x2) dx1 dx2=_10_1x205x1x2 dx1 dx2=_10x2_52x211x20_dx2=_1052x2(1 x2)2dx2=_1052x2(1 2x2 +x22) dx2=_1052(x22x22 +x32) dx2=52_12x223x32 +14x4_10=52_12 23+14_=524.Secara umum untuk peubah acak kontinuX = (X1, . . . , Xk) dimensik dan kejadianA dimensik kita punyaP(X A) =_ _AfX1,...,Xk(x1, . . . , xk) dx1 dxk.Denisi 3.5 (Fungsi densitas marjinal).Jika pasangan peubah acak kontinu (X1, X2) memilikifungsi densitas peluang bersamafX1,X2(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marjinal X1 danX2 adalahfX1(x1) =_fX1,X2(x1, x2) dx2danfX2(x2) =_fX1,X2(x1, x2) dx1.Jika kita tinjau lagi Contoh 3.5, maka fungsi densitas marjinalX1 adalahfX1(x1) =_105x1x2 dx2= 5x1_10x2 dx2= 5x1_12x2210_=52x1,untuk setiap0 < x1< 1 dan nol untuk yang lain.BAB 3. PEUBAH ACAK BERGANDA 29Denisi 3.6(Fungsi distribusi kumulatif marjinal). JikaX=(X1, . . . , Xk)adalahpeubahacakdimensi kdenganfungsidistribusibersamaFX1,...,Xk(x1, . . . , xk), makafungsidistribusikumulatif marjinalXjadalahFXj(xj) = limxjsemua i=jFX1,...,Xk(x1, . . . , xj, . . . , xk).Lebih lanjut, jika peubah acakXdiskrit, maka fungsi densitas peluang marjinalnya adalahfXj(xj) =

semua i=jfX1,...,Xkf(x1, . . . , xj, . . . , xk)dan jikaXkontinu makafXj(xj) =_ _semua i=jfX1,...,Xkf(x1, . . . , xj, . . . , xk) dx1 dxk.Contoh 3.6.Misal X1,X2, dan X3 adalah peubah-peubah acak kontinu dengan fungsi densitasbersama dalam bentukfX1,X2,X3(x1, x2, x3) =_c, untuk 0 < x1< x2< x3< 1,0, untuk x yang lain,(3.4)Nilai konstantac dapat dihitung berdasarkan Teorema 3.3, yaknic = 6. Dengan demikianfX3(x3) =_x30_x206 dx1 dx2= 6_x30_x1x20_dx2= 6_x30x2 dx2=62_x22x20_= 3x23,jika0 < x3< 1 dan nol untuk yang lain.3.2 Peubah Acak BebasDenisi 3.7 (Peubah acak bebas).Peubah-peubah acak X1, . . . , Xk dikatakan bebas jika untuksetiapai< biP(a1 X1 b1, . . . , ak Xk bk) =k

i=1P(ai Xi bi). (3.5)Pernyataan pada sisi kanan Persamaan (3.5) merupakan perkalian peluang marjinalP(a1 X1 b1), . . . , P(ak Xk bk). Dalam konteks ini disebut pula bebas secara stokastik (stochas-ticallyindependent). JikasyaratpadaPersamaan(3.5)tidakdipenuhi untuksemuaai0} , adalah produk Cartesius, A B,dan(ii) fungsi densitas bersama dapat difaktorkan menjadi produk dari fungsi-fungsi x1danx2,fX1,X2(x1, x2) = gX1(x1)hX2(x2).Contoh 3.8. Fungsi densitas bersama dari pasangan peubah acakX1 danX2 dinyatakan olehfX1,X2(x1, x2) =_8x1x2untuk0 < x1< x2< 1;0 untukx lainnya.Dalam kasus ini himpunan pendukungnya adalah {(x1, x2)|0 0}.Bukti: Fungsi densitasFY (y) = P(Y= y)= P(u(X) = y)= P(X= w(y))= fX(w(y)). (5.16)Contoh 5.5. Misal peubah acak diskritX GEO(p), dengan fungsi densitas peluangfX(x) = pqx1,x = 1, 2, 3, . . .. (5.17)Misal kita tertarik dengan peubah acakY= X 1. Dalam hal ini y= u(x) = x 1, sementaraitu diperoleh solusix = w(y) = y + 1. Dengan demikianfY (y) = fX(y + 1)= pq(y+1)1= pqy,y= 0, 1, 2, . . .. (5.18)Contoh5.6. Misal peubahacakdiskritX BIN(r, p). AndatertarikdenganpeubahacakY= X r. Fungsi densitas peluangXdinyatakan sebagai berikutfX(x) =_x 1r 1_prqr1,x = r, r + 1, . . .. (5.19)Dalam hal iniy= u(x) = x r sehingax = w(y) = y +r. Kita perolehfY (y) = fX(y +r) (5.20)=_(y + 1) 1r 1_prq(y+r)r(5.21)=_(y + 1) 1r 1_prqy,y= 0, 1, 2, . . .. (5.22)Teorema5.3(KasusKontinu). Misal Xadalahpeubahacakkontinudenganfungsi densi-taspeluangfX(x)dananggapY =u(X)mendenisikansuatutransformasi satu-satudariA=x : fX(x) > 0keB=x : fY (y) > 0dengantransformasiinversx=w(y). Jikaturunan(d/dy)w(y) adalah kontinu dan tak nol padaB, maka fungsi densitas peluangYadalahfY (y) = fX(w(y))ddyw(y),y B. (5.23)BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 50Bukti: Jikay=u(x) adalah satu-satu,makaynaik monoton atau turun monoton. Pertama,kita asumsikan naik, makau(x) y jika dan hanya jikax w(y). Dengan demikianFY (y) = P(u(X) y)= P(X w(y))= FX(w(y)),sehingga fungsi densitasnya menjadifY (y) =ddyFX(w(y))=ddw(y)FX(w(y))ddyw(y)= fX(w(y))ddyw(y).Dalam hal ini (d/dy)w(y)>0 karenaymonoton naik. Sekarang, dalam kasus monoton turunu(x) y jika dan hanya jikaw(y) x. Dengan demikianFY (y) = P(u(X) y)= P(X w(y))= 1 P(X w(y))= 1 FX(w(y)),sehingga fungsi densitasnya menjadifY (y) =ddy[1 FX(w(y))]=ddy(1) ddyFX(w(y))= 0 ddw(y)FX(w(y))ddyw(y)= fX(w(y))ddyw(y)= fX(w(y))ddyw(y).Dalam hal ini(d/dy)w(y) < 0 karenay monoton turun.Dalamkontekskasuskontinu, turunanw(y)disebutJacobiandaritransformasidandino-tasikanJ=ddyw(y). (5.24)Contoh 5.7. Misal peubah acak kontinuXmemiliki fungsi densitas peluangfX(x) = 2 e2x, 0 < x < . (5.25)Kitatertarikuntukmencari fungsi densitaspeluangY =eX. Dengantransformasi inversediperolehx = w(y) = ln y, dan JacobianJ= w(y)=ddyw(y)=ddy ln y=1y.BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 51Dengan demikian fungsi densitas peluangYadalahfY (y) = fX(ln y)1y= 2 e2 ln y_1y_= 2 eln y2y1= 2y2y1= 2y3, y B= (1, ).Dalammasalahtransformasi, sangatlahpentinguntukmengidentikasi himpunanBdimanafY (y) > 0, dalam contoh iniB= (1, ) karenaex> 1 saatx > 0.Contoh 5.8.Misal peubah acakk kontinu X N(, 2) dan kita tertarik dengan peubah acakY= eX. Fungsi densitas peluangXdapat dinyatakan sebagaifX(x) =12e12(x )22, < x < , < < , 0 < < . (5.26)Dengantransformasiinversdiperolehx=w(y)=ln ydanJacobianJ=(d/dy)w(y)=1/y.Dengan demikian fungsi densitas peluangYadalahfY= fX(ln y)1y=12exp_12(ln y )22_, 0 < y< =12yexp_12(ln y )22_, y B= (0, ). (5.27)Fungsi densitas peluang persamaan (5.27) adalah bentuk dari distribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi2, ditulisLOGN(, 2).Contoh5.9. Misal peubahacakkontinuX EXP(). Kitatertarikdengandistribusidaripeubah acakY= exp(X/). Fungsi densitas peluangXdapat dinyatakan sebagaifX(x) =1 ex, 0 < x < . (5.28)Dengan transformasi invers diperoleh x = w(y) = ln y sehingga Jacobian (d/dy)( ln y) =/y. Kita peroleh fungsi densitas peluangYfY (y) = fX( ln y)y=1 exp_ ln y_y=1yy, 0 < y< 1= 1, y B= (0, 1). (5.29)Bentukpersamaan(5.29)adalahfungsi densitaspeluangdari distribusi seragampadaselang(0, 1), yakniY UNIF(0, 1).BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 52Teorema5.4(PeluangTransformasi Integral). JikaXadalahpeubahacakkontinudenganfungsi distribusi kumulatifFX(x), makaU=FX(X) UNIF(0, 1). Sebaliknya, jikaUberdis-tribusi secara seragam sepanjang interval (0, 1),makaX=F1X(U) memiliki fungsi distribusikumulatifFX().Bukti: Akan dibuktikan untuk kasusFX(x) adalah satu-satu sehingga inversF1X(u) ada.FU(u) = P(U u)= P(FX(X) u)= P(X F1X(u))= FX(F1X(u))= u.Karena0 FX(x) 1, kita perolehFU(u) =_0, jika u 0;0, jika u 1.Sebaliknya,FX(x) = P(X x)= P(F1X(U) x)= P(U FX(x))= FX(x).Teorema5.5. MisalFX(x) adalah suatu fungsi distribusi kumulatif danGU(u) adalah fungsiyang didenisikan olehG(u) = min{x : u FX(x)}, 0 u 1. (5.30)JikaU UNIF(0, 1), makaX= GU(U) FX(x).Teorema(5.5)bergunauntukmembangkitanbilanganacakdari distribusi denganfungsidistribusi kumulatifFX(x).5.2.2 Transformasi yang Tidak Satu-satuMisal fungsi u(x) tidaklah satu-satu sepanjang himpunanA= {x:fX(x)}. Meskipun hal iniberarti tidak terdapat penyelesaian tunggal pada persamaan y= u(x), namun biasanya mungkinuntukmempartisi himpunanAmenjadi himpunanbagiantakbersama(disjoint) A1, A2, . . .sedemikian hinggau(x) adalah satu-statu sepanjangAj. Untuk setiapydi dalam rangeu(x),persamaany= u(x) memiliki penyelesaian tunggalxj= wj(y) sepanjang himpunanAj. Untukkasusdiskrit, Teorema(5.2)dapatdiperluasuntuksuatufungsiyangtidaksatu-satudenganmengganti persamaan yang tidak satu-satu pada persamaan (5.15) denganfY (y) =jfX(wj(y)). (5.31)Dalam hal inifY (y) =j fX(xj) dimana jumlah keseluruhan sepanjangxjsedemikian hinggau(xj) = y. Sementara, dalam kasus kontinu, untuk fungsi yang tidak satu-satu diperoleh denganmemperluas persamaan (5.23) menjadifY (y) =jfX(wj(y))ddywj(y). (5.32)BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 53Untuk transformasiY= u(X), penjumlahan sepanjang nilaij yang manau(xj) = y, meskipunJacobiannya masuk ke persamaan untuk kasus kontinu.Contoh 5.10. Suatu peubah acak diskritXmemiliki fungsi densitas peluangfX(x) =431_12_x; x = 2, 1, 0, 1, 2. (5.33)Misal kita tertarik dengan peubah acakY= |X|. Dalam hal ini himpunanB= {0, 1, 2} sertafY (0) = fX(0) =431_12_0=421; (5.34)fY (1) = fX(1) +fX(1) =431_12_1+431_12_1=831+231=1031; (5.35)fY (2) = fx(2) +fX(2) =431_12_2+431_12_2=1631+131=1731. (5.36)Cara lain untuk menyatakan fungsi densitas peluang ini adalahfY (y) =___431, untuk y= 0;431__12_y+_12_y_, untuk y= 1, 2.(5.37)Jika kita lihat kembali Contoh (5.2), yakni teknik fungsi distribusi kumulatif, jikaX adalahpeubah acak kontinu sertaY= X2, makaFY (y) = FX(y) FX(y); (5.38)dengan menurunkan diperolehfY (y) =12y[fX(y) +fX(y)]. (5.39)Contoh5.11. Misal peubahacakXUNIF(1, 1)danmisalkanpulaY =X2. Fungsidensitas peluangXdapat dinyatakan sebagai berikutfX(x) =11 (1)=12, 1 < x < 1. (5.40)Jikakitapartisi himpunanA=(1, 1)menjadi A1=(1, 0)danA2=(0, 1)makay=x2memiliki penyelesaian tunggal, yakni x1= w1(y) = y dan x2= w2(y) =y sepanjang selangini. Kita dapat mengabaikan titikx = 0 dalam partisi ini karenax kontinu. Dengan demikianBAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 54fungsi densitas peluangYadalahfY (y) =2j=1fX(wj(y))ddywj(y)= fX(w1(y))ddyw1(y)+fX(w2(y))ddyw2(y)= fX(y)ddy(y)+fX(y)ddy(y)= fX(y)12y+fX(y)12y=1212y+1212y=2212y=12y=12y, y B= (0, 1).Contoh 5.12. Suatu peubah acak kontinuXmemiliki fungsi densitas peluangfX(x) =___x23, jika 1 < x < 2;0, jika x lainnya.(5.41)Misal kita tertarik dengan peubah acak Y= X2.Kita peroleh transformasi inverse x1= w1(y) =y untukx0. Namun, untuk0 0. (5.55)Dari persamaan (5.55) diperolehY1 DE(1, 0) danY2 GAM(1, 2).Untuk transformasi yang tidak satu-satu Teorema (5.7) juga dapat dipeluas. Jika persamaany = u(x) dapat diselesaikan secara tunggal sepanjang setiap himpunan pada partisi A1, A2, . . . ,danmenghasilkanpenyelesaian, danjikapenyelesaianini memiliki Jacobiankontinutaknol,makafY(y1, . . . , yk) =ifX(x1i, . . . , xki)|Ji|, (5.56)dimanaJi adalah Jacobian dari penyelesian sepanjang himpunanAi.5.3 Jumlah Peubah Acak5.3.1 Formula KonvolusiMisal X1 dan X2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas peluang bersama fX1,X2(x1, x2)dan jika kita hanya tertarik pada fungsi densitas peluang dari suatu jumlah S= X1 +X2 makakita dapat menggunakanfS(s) =_f(t, s t) dt. (5.57)JikaX1 danX2 saling bebas, maka kita akan memperoleh formula konvolusifS(s) =_fX1(t)fX2(s t) dt. (5.58)BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 59Contoh5.15. Misal X1danX2adalah peubah acak bebas dan berdistribusi seragam,yakniXi UNIF(0, 1),i = 1, 2. Misal pulaS= X1 +X2. Fungsi distribusi peluang bersamaX1 danX2 dapat dinyatakan sebagaifX1,X2(x1, x2) = 1, 0 < x1< 1; 0 < x2< 1. (5.59)DaerahB bersesuaian dengan transformasit = x1 dans = x1 +x2 adalahB= {(s, t) : 0 < t 0 pada a < x < b (a mungkin dan b mungkin ) makaBAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 64untukn = 3:gY1(y1) =_by1_by23!fY1(y1)fY2(y2)fY3(y3) dy3dy2= 3!fY1(y1)fY2(y2)_by1_by2fY3(y3) dy3dy2= 3!fY1(y1)fY2(y2)_by1__0y2fY3(y3) dy3 +_b0fY3(y3) dy3_dy2= 3!fY1(y1)fY2(y2)_by1__b0fY3(y3) _y20fY3(y3) dy3 dy3_dy2= 3!fY1(y1)fY2(y2)_by1_F(b) F(y2)_dy2= 3!fY1(y1)_by1fY2(y2)_F(b) F(y2)_dy2= 3!fY1(y1)[1 FY2(y2)]22y2=by2=y1= 3fY1(y1)[1 FY1(y1)]2, a < y1< b.Teorema 5.10.Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari fungsi densitas peluangkontinufX(x), dimanafX(x)>0untuka y1)= 1 [1 FY1(y1)]n;sementara untuk nilai amatan maksimumGn(yn) = P(Yn yn)= P(semua Xi yn)= [FYn(yn)]n.Denganargumentasi yangsamadiperolehfungsi distribusi kumulatif untukstatistikterurutke-k.Teorema5.11. Untuk suatu sampel acak berukurann dari suatu fungsi distribusi kumulatifdiskrit atau kontinu FX(x), maka fungsi distribusi kumulatif marjinal dari statistik terurut ke-kdiberikan olehGk(yk) =nj=k_nj_[FYk(yk)]j[1 FYk(yk)]nj. (5.74)Contoh 5.20. Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi densitaspeluangfX(x) = 2x,0 < x < 1 dan fungsi distribusi kumulatifFX(x) = x2; 0 < x < 1. (5.75)BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 66Fungsi densitas peluang untuk sampel minimum dan maksimum diperolehg1(y1) = n[1 FY1(y1)]n1fY1(y1)= n(1 y21)n12y1= 2ny1(1 y21)n1, 0 < y1< 1,dangn(yn) = n(y2n)n12yn= 2nyn(y2n)n1= 2ny2n1n, 0 < yn< 1.Untuk fungsi distribusi kumulatifnya diperolehG1(y1) = 1 [1 FY1(y1)]n= 1 [1 y21]n;sedangkan untuk fungsi distribusi maksimum diberikan olehGn(yn) = [FYn(yn))]n= [y2n]n= y2nn.Contoh 5.21. Misal kita tertarik pada fungsi densitas peluang dari rentang sampel R = YnY1.Fungsi densitas peluang bersamaY1 danYn diberikan olehg1,n(y1, yn) =n!(1 1)!(n 1 1)!(n n)![FY1(y1)]11fY1(y1)[FYn(ynFYn(y1))]n11[1 FYn(yn)]nnfYn(yn)=n!0!(n 2)!0![FY1(y1)]0fY1(y1)[FYn(yn) FY1(y1)]n2[1 FYn(yn)]0fYn(yn)=n!(n 2)!(2y1)[y2ny21]n2(2yn)=n!(n 2)!2y1[y2ny21]n22yn=n!(n 2)!4y1yn(y2ny21)n2, 0 < y1< yn< 1.Dengan membuat transformasi R = YnY1, dan S= Y1 transformasi invers y1= s, yn= r +s,danJ=sy1synry1ryn=1 10 1= 1 0= 1.BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 67Dengan demikian, fungsi densitas peluang bersamaR danS adalahhR,S(r, s) =n!(n 2)!4s(r +s)[(r +s)2s2]n2=4n!(n 2)!s(r +s)[r2+ 2rs +s2s2]n2=4n!(n 2)!s(r +s)(r2+ 2rs), 0 < s < 1 r, 0 < r < 1.Fungsi densitas peluang marjinal rentang diberikan olehhR(r) =_1r0h(r, s) ds (5.76)danhS(s) =_10h(r, s) dr. (5.77)Misal untukn = 3 kita perolehhR(r) =_1r04 3!(3 2)!s(r +s)[r + 2rs]32ds=_1r04 3!1!s(r +s)[r + 2rs]32ds=_1r024s(r +s)(r + 2rs) ds= 24_1r0(sr2+ 2r2s2+rs2+ 2rs3) ds= 24_12s2r2+23r2s3+r3s3+12s4r_s=1rs=0= 24s2r_12r +23rs +13s +12s2_s=1rs=0= 24(1 r)2r_12r +23r(1 r) +13(1 r) +12(1 r)20_= 24(1 r)2r_12r +23r 23r2+13 13r +12(1 2r +r2)_= 24_(1 r)2r_12r +23r 23r2+13 13r +12 r +r22)__= 24_(1 r)2r_12r +23r 13r r 23r2+r22+13+12)__= 24(1 r)2r_22r 23r 23r2+r22+56_= 24(1 r)2r_53r 16r2+56_.5.4.2 Pengambilan Sampel TersensorDalam beberapa maslah seperti percobaan uji hidup (life testing) untuk memperoleh informasireliabilitas benda, amtan terururut adalah hal yang terjadi secara alami. Dalam kasus seperti itupenghematan dalam waktu dan biaya dapat dilakukan dengan menghentikan percobaan setelahBAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 68r amatan terurut terjadi, dibandingkan menunggu sampai semua n amatan gagal terjadi. Hal inidisebut pengambilan sampel tersensor tipe II (Type II censored sampling). Pada kasus ini, fungsidensitas marjinal dari statistik terurut diperoleh dengan mengintegralkan sepanjang peubah.Teorema 5.12 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe II).Fungsi densitas bersama fungsi dari rstatistik terurur pertama dari suatu sampel acak berukuran n dari suatu fungsi densitas peluangkontinufX(x) diberikan olehgY1,...,Yr(y1, . . . , yr) =___n!(n r)![1 F(yr)]nrri=1f(yi), jika < y1< < yr< ;0, jika ylainnya.(5.78)Dalam pengambilan sampel tersensor tipe II, jumlah amatanradalah tetap,namun lamaeksperimen, Yradlahapeubahacakjikapelakupercobaanmenghentikanpercobaansetelahwaktu tertentut0, maka prosedur ini disebut pengambilan sampel tersensor tipe I (Type I cen-sored sampling).Teorema 5.13 (Pengambilan Sampel Tersensor Tipe I). JikaY1, . . . , Yr menyatakan nilai-nilaiamatan pada suatu sampel acak berukurann dari fX(x),yakni tersensor tipe I pada sebelahkanan saatt0, maka fungsi densitas peluang bersamaY1, . . . , Yrdiberikan olehfY1,...,Yr(y1, . . . , yr) =n!(n r)![1 F(t0)]nrni=1f(yi)[1 F(t0)]n, (5.79)jika< y1< < yr< t0 danr = 1, . . . , n.5.5 Latihan Soal5-1MisalXadalah peubah acak dengan dengan fungsi densitas peluangfX(x) =_4x3, jika 0 < x < 1;0, jika x lainnya.Gunakan teknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang darimasing-masing peubah acak berikut:a) Y= X4;b) W= eW;c) Z= ln X;d) U= (X 1/2)2;5-2Misal X adalah peubah acakyang berdistribusi secara seragam,Xi UNIF(0, 1). Gunakanteknik fungsi distribusi kumulatif untuk menentukan fungsi densitas peluang dari masing-masing peubah acak berikut:a) Y= X1/4;b) W= eX;c) Z= 1 eX;d) U= X(1 X).BAB 5. FUNGSI-FUNGSI PEUBAH ACAK 695-3Jika X berdistribusi Weibull, yakni X WEI(, ) , carilah fungsi distribusi kumulatif danfungsi densitas peluang dari peubah-peubah acak berikut:a) Y= (X/);b) W= ln X;c) Z= (ln X)2.5-4Kerjakan kembali Soal No. 1 dan 2 menggunakan metode transformasi.5-5MisalX BIN(n, p). Tentukan fungsi densitas peluangY= n X.5-6MisalX NB(r, p). Tentukan fungsi densitas peluangY= X r.5-7MisalXmemiliki fungsi densitas peluangfX(x) =___x224, jika 2 < x < 4;0, jika x lainnya.Carilah fungsi densitas peluang dariY= X2.5-8MisalXdanYmemiliki fungsi densitas peluang bersamafX,Y (x, y) =_4 e2(x+y), jika 0 < x < , 0 < y< ;0, x dan y lainnya.a) Carilah fungsi distribusi kumulatifW= X +Y .b) Carilah fungsi densitas peluang bersamaU= X/YdanV= X.c) Carilah fungsi densitas peluang marjinalU.5-9JikaX1danX2menyatakansampel acakberukuranduadari suatudistribusi Poisson,Xi POI(), carilah fungsi densitas peluang bersamaY= X1 +X2.BAB 6LIMIT DISTRIBUSIKompetensi DasarMenilai berdasarkan sifat konvergensi distribusi.Indikator PencapaianMemperbandingkan sifat-sifat konvergensi distribusi meliputi barisan peubah acak, teoremalimit pusat, distribusi normal asimtotis, sifat konvergen, dan teorema limit tambahan.Materi Pokok6.1Barisan Peubah Acak6.2Teorema Limit Pusat6.3Pendekatan Distribusi Binomial6.4Distribusi Normal Asimtotik6.5Sifat-sifat Konvergensi Stokastik6.6Teorema-teorema Limit Tambahan6.7Latihan SoalPadaBab5, kitatelahmembahasmetode-metodeumumuntukmendapatkandistribusi darisuatufungsi dari npeubahacak, katakanlahWn=u(X1, . . . , Xn). Dalambeberapakasus,fungsi densitas peuangWnmudah diperoleh, tetapi dalam beberapa kasus penting penurunandistribusi tidaklah terlacak (not tractable). Untuk mengatasi hal ini, sangatlah mungkin untukmemperoleh hasil-hasil yang mendekati yang bisa diterapkan saat n besar. Hasil ini berdasarkankonsep konvergensi dalam distribusi dan limit distribusi.6.1 Barisan Peubah AcakMisal suatubarisanpeubahacakW1, W2, . . . denganbarisandistribusi kumulatif yangbers-esuainG1(w), G2(w), . . . sedemikian hingga untuk setiapn = 1, 2, . . .Gn(w) = P(Wn w). (6.1)Denisi 6.1 (Konvergensi dalam Distribusi). JikaWn Gn(w) untuk setiapn = 1, 2, . . . , danjika untuk beberapa fungsi distribusi kumulatifG(w),limnGn(w) = G(w) (6.2)70BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 71untuksemuanilai wyangmanaG(w)adalahkontinu, makabarisanW1, W2, . . . dikatakankonvergen dalam distribusi (converge in distribution) keW G(w), dinotasikanWndW. (6.3)Distribusi yang bersesuaian dengan fungsi distribusi kumulatif G(w) disebut limit distribusidariWn (limiting distribution ofWn)Contoh6.1. MisalX1, . . . , Xnadalah sampel acak dari suatu distribusi seragam, yakniXi UNIF(0, 1) dan misal Wn= Xn:n adalah statistik terurut terbesar. Dari Bab 5 kita tahu bahwafungsi distribusi kumulatifWn adalahGn(w) =___0, jika w 0;wn, jika 0 < w < 1;1, jika w 1.(6.4)Pada saat0 0 karenaew/< 1 dalamhal ini. Dengan demikian limit ini nol jikaw0, yang bersesuaian dengandistribusi degenerasi pada nilaiw = 0.Denisi 6.3 (Konvergen Secara Stokastik). Suatu barisan peubah acakW1, W2, . . . , dikatakankonvergen secara stokastik (converge stochastically) ke suatu konstanc apabila memiliki suatulimit distribusi yang degenarasi padaw = c.Berikut ini limit yang penting untuk diketahui:limn_1 +cn_nb= ecb; (6.8)limn_1 +cn+d(n)n_nb= ecb, jika limnd(n) = 0. (6.9)Contoh6.4. Misal X1, . . . , XnadalahsuatusampelacakdarisuatudistribusiPareto,yakniXi PAR(1, 1), dan misal Wn= nX1:n. Fungsi distribusi kumulatif Xi diberikan oleh FX(x) =1 (1 +x)1,x > 0. Dengan demikian fungsi distribusi kumulatifWn adalahGn(w) = 1 [1 F(w/n)]n= 1 [1 (1 (1 +w/n)1)]n= 1 [1 1 + (1 +w/n)1]n= 1 [(1 +w/n)]n= 1 (1 +w/n)n, w > 0.Untukw>0 kita perolehlimnGn(w)=1 ewdan nol untukw lainnya. Ini merupakanfungsi distribusi kumlulatif dariEXP(1).Contoh 6.5. Jika kita lihat kembali Contoh 6.4 misalWn= Xn:n. Fungsi distribusi kumulatifWn= Xn:n. Fungsi distribusi kumulatifWn adalahGn(w) = [F(w)]n= [1 1/(1 +w)]n=_(1 +w) 1(1 +w)_n=_w1 +w_n, w > 0,dan nol untuk w lainnya. Mengingat w/(1+w) < 1 maka kita peroleh limnGn(w) = G(w) =0 untuk semuaw, yang tentu bukan suatu fungsi distribusi kumulatif karena tidak mendekatisatu sebagaimanaw .BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 73Contoh6.6. Lihat kembali Contoh 6.5. Jika sekarang Anda tertarik denganWn= (1/n)Xn:nmaka fungsi distribusi kumulatinyaGn(w) =_nw1 +nw_n=_1 +nwnw_n=_1nw+ 1_n=_1 +1nw_n.Kita perolehlimnGn(w) = e1/w. Ingat bahwalimn_1 +1nw_= e1/w(1)= e1/w, w > 0. (6.10)Jadi kita peroleh fungsi distribusi kumulatifG(w) = e1/w, w 0.6.2 Teorema Limit PusatDalam contoh sebelumnya, fungsi distribusi kumulatif yang pasti telah diketahui untuk setiapntertentu(terbatas), dandistribusi limitdiperolehsecaralangsungdairbarisanini. Salahsatu keuntungan limit distribusi adalah bahwa dimungkinkan untuk menentukan limit distribusitanpa mengetahui bentuk pasti dair fungsi distribusi kumulatif untuk n terbatas.Limit distribusimenyediakan informasi yang berguna apabila peluang eksak tidak tersedia.Teorema6.1. Misal W1, W2, . . . , adalah suatu barisan peubah acak dengan fungsi distribusikumulatif bersesuaian G1(w), G2(w), . . . , dari fungsi pembangkit momen M1(t), M2(t), . . . . JikaM(t)adalahfungsi pembangkitmomendari suatufungsi distribusi kumulatif G(w)danjikalimnMn(t) = M(t) untuk semua t dalam interval terbuka yang berisi nol, h < t < h, makalimnGn(w) = G(w) untuk semua titik-titik kontinu dariG(w).Contoh 6.7.Misal X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari suatu distribusi Bernoulli, yakniXi BIN(1, p), danmisalkanWn=ni=1Xi. Jikap 0sebagaimanan sedemikianhingganp = , maka untuk > 0 diperolehMn(t) = (p et+q)n= (p et+1 p)n=_etn+ 1 n_n=_1 +(et1)n_n.Dengan demikian diperolehlimnMn(t)=e(et1)yang merupakan fungsi pembangkit mo-men dari distribusi Poisson dengan rata-rata. Hal ini berarti WndW POI(). Contohini menyarankan bahwa peubah acak binomialWn BIN(n, p), jikan besar danp kecil, makaWn POI(np).Contoh6.8. LihatkembaliContoh6.7. Misalkitabuatptetap(xed)dananggapbarisanproporsi sampel Vn= pn= Wn/n. Dengan menggunakan ekspansi deret eu= 1+u+u2/2+ BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 74denganu = t/n, kita perolehMWn(t) = (p et/n+q)n= (p(1 +t/n +t2/2n2+ ) + (1 p))n= (p +p(t/n +t2/2n2+ ) + 1 p)n= (1 +pt/n +p(t2/2n2+ ))n= (1 +pt/n +d(n)/n)ndengan d(n) melibatkan suku-suku yang diabaikan dan d(n) 0 sebagaimana n , sehinggadiperolehlimnMWn(t) =eptyangmerupakanfungsi pembangkit momendari distribusidegenerasi padaw=p. Jadi pnkonvergen secara stokastik kep sebagaimanan mendekati takberhingga.Contoh 6.9. Sekarang kita lihat apabilaZn=Wnnpnpq. (6.11)Dengan menyederhanakan notasin=npq kita perolehZn= Wn/nnp/n. Menggunakanekspansi deret sebelumnya diperolehMZn(t) = E(exp(tZn))= E[exp{(Wn/nnp/n)}t]= exp(npt/n)E(exp(Wn/n)t)= exp(npt/n)MWn/n(t)= exp(npt/n)MWn(t/n)= exp(npt/n)[p e(t/n)+q]n=__1 ptn+p2t222n+ __1 +ptn+pt222n+ __=__1 +ptn+pt222n+ ptnpt222n+p2t222n+p3t322n__n=_1 +t22n+d(n)n_ndimanad(n) 0 sebagaimanan . SehinggalimnMZn(t) = et2/2, (6.12)yangmerupakanfungsi pembangkitmomendari distribusi normal standar. Jadi ZndZ N(0, 1). Contohini mengilustrasikanbahwauntuknbesardanptertentu(xed)makaWnmendekati normal yakniWn N(np, npq).Teorema 6.2 (Teorema Limit Pusat).Jika X1, . . . , Xn adalah suatu sampel acak dari distribusidengan rata-rata dan variansi2< , maka limit distribusi (limiting distribution) dariZn=ni=1Xinn(6.13)adalah normal standar, yakniZndZ N(0, 1) sebagaimanan .Bentuk persamaan (6.13) dapat juga dihubungkan dengan rata-rata sampel, yakniZn=Xn/n. (6.14)BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 756.3 Pendekatan Distribusi BinomialPendekatan binomial seperti pada contoh di atas akan bagus jikap dekat0,5, karena distribusibinomialsimetrissaatp=0,5. Akurasiyangdiperlukandalampendekatantergantungpadaaplikasi. Salahsatupanduanadalahmenggunakanpendekatannormal apabilanp 5dannq 5. Namun, sekali lagi, ini tergantung pada akurasi yang diperlukan.Contoh6.10. Peluang bahwa seorang pemain basket memasukkan bola adalahp=0,5. Jikaia mengambil 20 kali lemparan, berapakah peluang ia memasukkan bola paling tidak sembilankali?Peluang eksaknya adalahP(W20 9) = 1 P(W20 8)= 1 8w=0_20w_0,5w0,520w= 0,7483Pendekatan normalnya adalahP(W20 9) = 1 p(W20 8) 1 _8 105_ 1 (0,89) 0,8133.Ingat bahwaZn= (Wnnp)/(npq) dengann = 20,p = 0,5, danq= 0,5.Mengingatdistribusi binomial adalahdiskritdandistribusi normal adalahkontinu, makapendekatan dapat diperbaiki dengan membuat koreksi kontinuitas (continuity correction). Se-carakhususmasing-masingpeluangbinomial b(w, n, p)memilikinilaiyangsamasepertiareapersegi panjang dengan tinggi b(w, n, p) dan dengan interval [w0,5, w+0,5] sebagai dasarnya,karena panjang unitnya satu unit. Luas persegi panjang ini dapat didekati dengan area dibawahfungsi densita peluangW N(np, npq). Dengan menerapkan koreksi kontinuitas, kita perolehP(W20 9) = 1 P(W20 8) 1 _8,5 105_ 1 (0,67) 0,7486,yang lebih mendekati hasil eksaknya dibandingkan tanpa koreksi kontinuitas. Secara umum, jikaWn BIN(n, p) dana b adalah bilangan-bilangan bulat, makaP(a Wn b) _b + 0,5 npnpq__a 0,5 npnpq_. (6.15)6.4 Distribusi Normal AsimtotikDenisi 6.4 (Distribusi Normal Asimtotik). Jika W1, W2, . . . adalah suatu barisan peubah acakdanm sertac adalah konstanta sedemikian hinggaZn=Wnmc/ndZ N(0, 1) (6.16)bilamana n , maka Wn dikatakan memiliki distribusi normal asimtotik (asymptotic normaldistribution) dengan rata-rata asimtotikm dan variansi asimtotikc2/n.BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 766.5 Sifat-sifat Konvergensi StokastikDalamcontoh-contohsebelumnyakitamenemukanbahwabarisanpeubahacakkonvergense-cara stokastik ke suatu konstanta. Teorema berikut memberikan kriteria alternatif untuk me-nunjukkan konvergensi stokastik.Teorema6.3(Konvergen dalam Peluang). BarisanW1, W2, . . . konvergen secara stokastik kec jika dan hanya jika untuk setiap > 0,limnP(|Wnc| < ) = 1. (6.17)Suatu barisan peubah acak yang memenuhi Teorema 6.3 disebut juga konvergen dalam pelu-ang ke konstantac, dinotasikanWnp c.Contoh6.11. Dalam contoh Hukum Bernoulli Bilangan Besar (Bernoulli Law of Large Num-bers), diperoleh rata-rata dan variansi dari pn adalahE( pn) = p danvar( pn) = pq/n sehinggaP(| pnp| < ) 1 pq2n(6.18)untuk setiap > 0. JadilimnP(| pnp| < ) = 1.Teorema6.4(Hukum Bilangan-Bilangan Besar). JikaX1, . . . , Xnadalah suatu sampel acakdari suatu distribusi dengan rata-rata terbatas (nite) dan variansi 2, maka barisan rata-ratasampel konvergen dalam peluang ke, yakniXnp . (6.19)Teorema 6.4 ini menunjukkan bahwa rata-rata sampel memberikan suatu pendugaan yangbagus dari rata-rata populasi, dalam hal bahwa peluang mendekati 1 sebagaimana secara per-lahanXn dekat bilan .Teoremaberikutmenunjukkanbahwasuatubarisanpeubahacakyangnormal asimtotiskonvergen dalam peluang ke rata-rata asimtotis.Teorema 6.5. JikaZn=n(Wnm)/cdZ N(0, 1), makaWnp m.6.6 Teorema-teorema Limit TambahanDenisi 6.5(Konvergensi dalamPeluang). BarisanpeubahacakWndikatakankonvergendalam peluang keW, ditulisWnp WjikalimnP(|WnW| < ) = 1. (6.20)Konvergensi dalam peluang memiliki sifat yang lebih kuat dibandingkan konvergensi dalamdistribusi.Teorema 6.6. Untuk suatu barisan peubah acak, jikaWnp WmakaWndW.Kasus khusus untuk Teorema 6.6, jikaW= c maka limit distribusi adalah distribusi degen-erasiP(W= c) = 1.BAB 6. LIMIT DISTRIBUSI 776.7 Latihan Soal6-1Misal suatu sampel acak berukurann dari suatu distribusi dengan fungsi distribusiFX(x) =___1 1x, jika 1 x ;0, x lainnya.a) Carilah fungsi distribusi dari statistik terurut minimum,X1:n.b) Carilah limit distribusiX1:n.c) Carilah limit distribusiXn1:n.6-2Misal suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi dengan fungsi distribusi FX(x) =(1 + ex)1untuk semua bilangan realx.a) Apakah statistik terurut terbesarXn:n memiliki limit distribusi?b) ApakahXn:nln n memiliki limit distribusi?Jika demikian, apa limit distribusinya?6-3Misal suatu sampel acak berukuran n berasal dari distribusi dengan fungsi distribusi FX(x) =1x2jika x > 1 dan nol untuk x lainnya. Periksalah apakah barisan-barisan berikut memi-liki limit distribusi; jika demikian, berikan distribusi limita) X1:n.b) Xn:n.c) n1/2Xn:n6-4Misal Zi N(0, 1) dan Z1, Z2, . . . saling bebas. Gunakan fungsi pembangkit momen untukmencari limit distribusi ni=1(Zi + 1/n)/n.6-5MisalXnmenyatakanrata-ratadarisuatusampelacakdaridistribusi N(, 2). Carilahlimit distribusiXn.6-6Misal X1, . . . , Xnadalahsampel acakberukuranndari distribusi N(, 2). Tunjukkanbahwa jumlahVn=ni=1Xi tidak memiliki limit distribusi.6-7Misal suatu sampel acak berasal dari distribusi Poisson, yakniXi POI().a) Tunjukkan bahwaYn= e Xnkonvergen secara stokastik keP(X= 0) = e.b) Carilah distribusi normal asimtotis dariYn.c) Tunjukkan bahwaXn exp(Xn) konvergen secara stokastik keP(X= 1) = e.6-8Misal S2n menyatakan varians of sampel acak berukuran n dari distribusi N(, 2). BuktikanbahwanS2n/(n 1) konvergen dalam peluang ke2.6-9MisalXn berdistribusi gamma dengan parameter = n dan, dengan bukan fungsi darin. MisalVn= Xn/n. Carilah limit distribusiVn.6-10MisalXn berdistribusi2(n) dan dan misalVn= Xn/n2. Carilah limit distribusiVn.BAB 7STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILANSAMPELKompetensi DasarMenilai berdasarkan sifat teori pengambilan sampel.Indikator PencapaianMembandingkan sifat-sifat sampel acak, statistik dan distribusi pengambilan sampel,distribusi t, distribusi F, distribusi beta, pendekatan sampel besar, dan statistik terurut.Materi Pokok7.1Statistik7.2Distribusi-distribusi Pengambilan Sampel7.3Pendekatan-pendekatan Sampel Besar7.4Latihan SoalKonsep sampel acak telah diperkenalkan pada bab-bab sebelumnya. Kemudian konsep tentangfungsi distribusi empiris dikenalkan untuk kemudian digunakan untuk mencari informasi tentangrata-rata sampel dan varians sampel sebagai penduga yang intuitif untuk rata-rata dan variansdistribusi populasi.Bab ini akan membicarakan tentang konsep statistik yang menyertakan rata-rata sampel danvarians sampel. Sifat-sifat statistik dan distribusinya akan dibahas secara mendalam, terutamasifat-sifat distribusi normal dan turunannya.7.1 StatistikPada bagian ini akan dibahas pengertian statistik beserta contoh-contohnya.Denisi 7.1. Suatufungsi dari peubahacakyangteramati, T =(X1, . . . , Xn), yangtidakbergantung pada parameter yang tidak diketahui, disebut statistik.Pada Denisi 7.1, huruf adalah fungsi yang diterapkan padaX1, . . . , Xnuntuk menden-isikan statistik, yang dinotasikan oleh huruf kapitalT.Contoh7.1. Misal X1, . . . , Xnmenyatakansuatusampel acakdari suatupopulasi denganfungsi densitas peluangfX(x). Rata-rata sampel merupakan salah satu contoh statistik yang78BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 79didenisikanolehfungsi (x1, . . . , xn)=(x1+ + xn)/n. StatistikinibiasanyadinotasikanolehX=ni=1Xin. (7.1)Apabila suatu sampel acak teramati, maka nilaiX dihitung dari data yang biasanya dinotasikanoleh x.Sifat-sifat rata-rata sampel dan varians dapat dilihat pada teorema berikut.Teorema7.1. JikaX1, . . . , Xnmenyatakan suatu sampel acak dari fX(x) denganE(X)=danvar(X) = 2, makaE( X) = (7.2)danvar( X) =2n. (7.3)Bukti: Untuk menunjukkan Persamaan (7.2), gunakan sifat-sifat nilai harapan sampel acak.E( X) = E_1nni=1Xi_=1nE_ni=1Xi_=1n(E(X1) + +E(Xn))=1n(nE(X))=1n(n)= .Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan Persamaan (7.3), gunakan sifat-sifat varians untuksampel acak, yaknivar(ni=1aiXi) =ni=1a2ivar(Xi).var( X) = var_1nni=1Xi_=1n2var_ni=1Xi_=1n2ni=1var(Xi)=1n2ni=1var(X)=1n2nvar(X)=1n2=2n.BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 80Contoh 7.2.Fungsi (x1, . . . , xn) = [(x1 x)2+ +(xn x)2]/(n1) ketika diterapkan padadata bersesuaian dengan varians sampel. Lebih khusus lagi hal ini dinyatakan sebagaiS2=ni=1(XiX)2(n 1). (7.4)Teorema 7.2.Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak berukuran n dari fX(x) denganE(X) = danvar(X) = 2, makaE(S2) = 2(7.5)danvar(S2) =_4n 3n 14_n, n > 1. (7.6)7.2 Distribusi-distribusi Pengambilan SampelStatistikjugamerupakansuatupeubahacak, distribusiyangbergantungpadadistribusidarisuatu sampel acak dengan bentuk fungsi (x1, . . . , xn). Distribusi dari suatu statistik disebutdistribusi turunan (derived distribution) atau distribusi pengambilan sampel (sampling distribu-tion).7.2.1 Kombinasi Linear Peubah-peubah NormalTeorema 7.3. JikaXi N(i, 2i),i = 1, . . . , n menyatakan peubah normal bebas, makaY=ni=1aiXi N_ni=1aii,ni=1a2i2i_. (7.7)Bukti:MY (t) = Mni=1aiXi(t)=ni=1MXi(ait)=ni=1exp(aiit +a2it22i/2)= exp_tni=1aii +t2ni=1a2i2i/2_,yang merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak normal dengan rata-ratani=1aiidan varians ni=1a2i2i .Korolari 1. Jika X1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N(, 2), makaX N(, 2/n).7.2.2 Distribusi Khi KuadratMisalsuatudistribusigammakhususdengan=2dan=v/2. PeubahacakY dikatakanberdisttribusi khi kuadrat(chi-square)denganderajatkebebasanvjikaY GAM(2, v/2),dinotasikan sebagaiY 2(v). (7.8)BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 81Teorema 7.4. JikaY 2(v), makaMY (t) = (1 2t)v/2, (7.9)E(Yr) = 2r(v/2 +r)(v/2), (7.10)E(Y ) = v, (7.11)danvar(Y ) = 2v. (7.12)Bukti: Mengingat YGAM(2, v/2), makasifat-sifatdistribusi gammapunberlaku. UntukmembuktikanPersamaan(7.9), diketahuibahwafungsipembangkitmomendistribusigammaadalah(1 t)untukt < 1/. Sehingga untuk = 2 dan = v/2MY (t) = (1 2t)v/2.Untukekspektasi ke-rpadaPersamaan(7.10)jugaberdasarkanhasil dari distribusi gamma.JikaX GAM(, ) makaE(Xr) = r( +r)().Untuk = 2 dan = v/2, ekspektasi ke-r menjadiE(Yr) = 2r(v/2 +r)(v/2).Selanjutnya untuk menunjukkan Persamaan (7.11), diketahui bahwa jika X GAM(, ) makaE(X) = . Dengan demikian,E(Y ) = 2(v/2) = v.Untuk menghitung varians pada Persamaan (7.12), gunakan varians dariX, yaknivar(X) = 2.Sehingga, untuk = 2 dan = v/2var(Y ) = 22(v/2)= 4(v/2)= 2v.Persentil (percentiles),2(v), adalah nilai yang didenisikan sebagaiP(Y 2(v)) = . (7.13)Teorema 7.5. JikaX GAM(, ), makaY= 2X/ 2(2).Bukti: Akandigunakanteknikfungsi pembangkit momenuntukmenentukandistribusi dariY= 2X/.MY (t) = M2X/(t)= MX(2t/)= (1 2t)2/2,yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajatkebebasan2.BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 82Teorema 7.6. JikaYi 2vi;i = 1, . . . , n adalah peubah-peubah acak khi kuadrat yang bebas,makaV=ni=1Yi 2_ni=1vi_. (7.14)Bukti: Akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen untuk menentukan distribusi dariV .MV (t) = Mni=1Yi(t)= (1 2t)v1/2 (1 2t)vn/2= (1 2t)ni=1vi/2,yang merupakan fungsi pembangkit momen dari2_ni=1vi_.Teorema berikut memberikan hubungan antara peubah acak normal standar dengan peubahacak khi kuadrat.Teorema 7.7. JikaZ N(0, 1), makaZ2 2(1).Bukti:MZ2(t) = E(etZ2)=_12etz2z2/2dz=11 2t_1 2t2ez2(12t)/2dz= (1 2t)1/2,yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasansatu, yakni2(1).Korolari 2. JikaX1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N(, 2), makani=1(Xi)22 2(n),dann( X )22 2(1).Teorema 7.8. JikaX1, . . . , Xn menyatakan suatu sampel acak dari N(, 2), maka1. statistikXdan suku-sukuXiX;i = 1, . . . , n adalah saling bebas;2. statistikXdanS2saling bebas;3. kuantitas(n 1)S2/2 2(n 1).BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 837.2.3 Distribusi Student tKita tahu bahwaS2dapat digunakan untuk membuat inferensi tentang parameter2di dalamsuatu distribusi normal. Demikian pulaX yang berguna untuk parameter . Namun, distribusiXjuga bergantung pada parameter2. Hal ini berarti bahwa tidaklah mungkin menggunakanXuntukprosedurstatistikatertentutentangrata-rataapabila2tidakdiketahui. Sehingga,jika digantikan S pada kuantitasn( X)/, maka distribusinya tidak lagi normal (namun,tetap tidak bergantung pada).Teorema 7.9.Jika peubah acak Z N(0, 1) dan V 2(v) saling bebas, maka distribusi dariT=Z_V/v(7.15)disebut distribusi Student t dengan derajat kebebasanv, dinotasikan sebagaiT t(v). Fungsidensitas peluangnya diberikan olehf(t, v) =((v + 1)/2)(v/2)1v(1 + (t2/v))(v+1)/2.Teorema 7.10. JikaT t(v), maka untukv> 2r,E(T2r) =((2r + 1)/2)((v 2r)/2)(1/2)(v/2)vr; (7.16)E(T2r1) = 0, r = 1, 2, . . .; (7.17)var(T) =vv 2, 2 < v. (7.18)Teorema 7.11. JikaX1, . . . , Xn menyatakan sampel acak dari N(, 2), makaX S/n t(n 1). (7.19)7.2.4 Distribusi SnedecorFTeorema7.12. Jikapeubah-peubahacakV1 2(v1)danV2 2(v2)salingbebasmakapeubah acakX=V1/v1V2/v2(7.20)berdistribusi Snedecor Fdenganderajatkebebasanv1danv2, dinotasikan F(v1, v2), denganfungsi densitas peluang untukx > 0f(x; v1, v2) =_v1 +v22__v12__v22__v1v2_v1/2x(v1/2)1_1 +v1v2x_(v1+v2)/2(7.21)Teorema 7.13. JikaX F(v1, v2), makaE(Xr) =_v2v1_r_v12+r__v22 r__v12__v22_ , v2> 2r; (7.22)E(X) =v2v22, 2 < v2; (7.23)var(X) =2v22(v1 +v22)v1(v22)2(v24), 4 < v2. (7.24)BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 84PersentilX F(v1, v2), yakni,f(v1, v2) adalah suatu nilai yang didenisikan sebagaiP(X f(v1, v2)) = . (7.25)JikaX F(v1, v2), makaY= 1/X F(v2, v1). Dengan demikian1 = P(X< f1(v1, v2))= P_Y>1f1(v1, v2)_= 1 P_Y 1f1(v1, v2)_; (7.26)sehingga1f1(v1,v2)= f(v2, v1) (7.27)atauf1(v1, v2) =1f(v2, v1). (7.28)7.2.5 Distribusi BetaTeorema 7.14. Jika peubah acakX F(v1, v2), maka peubah acakY=(v1/v2)X1 + (v1/v2)X(7.29)berdistribusi beta, dinotasikanBETA(a, b)untuka>0danb >0, denganfungsi densitaspeluangf(y; a, b) =(a +b)(a)(b)ya1(1 y)b1, 0 < y< 1; (7.30)dengana = v1/2 danb = v2/2.Persentil distribusi beta dapat dinyatakan dalam persentil distribusi Fsebagaiy(a, b) =af(2a, 2b)b +af(2a, 2b). (7.31)7.3 Pendekatan-pendekatan Sampel BesarTeorema 7.15. JikaYv 2(v), makaZv=Yvv2vdZ N(0, 1) (7.32)sebagaimanav .7.4 Latihan Soal7-1MisalXmenyatakan berat dalam kg suatu tepung terigu denganX N(101, 4).7-2Misal X1, . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari suatu distribusi normal, yakni Xi N(, 2) dan denisikanU=ni=1Xi danW=ni=1X2i .BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 85a) Carilah suatu statistik yang merupakan fungsi U dan Wdan tak bias untuk parameter = 2 52.b) Carilah suatu statistik yang tak bias untuk2+2.7-3Misal X1 dan X2 adalah peubah acak normal bebas,Xi N(, 2), dan misal Y1= X1+X2danY2= X1X2. Tunjukkan bahwaY1 danY2 saling bebas dan berdistribusi normal.7-4Suatukomponenmesinbarusedangdiservisdansembilansukucadangtersedia. Waktumenuju kegagalan dalam hari adalah peubah acak eksponensial bebas,Ti EXP(100).a) Apakah distribusi dari 10i=1Ti?b) Berapakahpeluangbahwaoperasiyangsuksesdapatdipeliharasampaipalingtidak1,5 tahun?c) Berapa banyak suku cadang yang diperlukan agar yakin 95% yakin operasi sukses untukpaling tidak dua tahun?7-5Misal Xi N(, 2), i =1, . . . , ndanZi N(0, 1), i =1, . . . , kdansemuapeubahnyasalingbebas. Tentukandistribusi dari peubah-peubahacakberikutapakahberasal daridistribusi yang diketahui (bernama) atau tidak diketahui.(a) X1X2(b) X1 + 2X3(c)X1X2SZ2(d)X1X2(e)X1 +X2X3(f) Z2i(g)n( X )SZ(h) Z21+Z22(i) Z21 Z22(j)Z1_Z22(k)Z1Z2(l)XZ(m)nk( X )_ki=1Z2i(n)ni=1(Xi)22+ki=1(ZiZ)(o)X2+ki=1Zik(p) k Z2BAB 7. STATISTIK DAN DISTRIBUSI PENGAMBILAN SAMPEL 86(q)(k 1)ni=1(XiX)2(n 1)2ki=1(ZiZ)27-6Misal X 2(m), Y2(n), danXsertaY salingbebas. ApakahY X 2jikan > m?7-7MisalX 2(m),S= X +Y 2(m+n), danXsertaYsaling bebas. Gunakan teknikfungsi pembangkit momen untuk menunjukkan bahwaS X 2(n).7-8JikaT t(v), tentukanlah distribusi dariT2.DAFTAR PUSTAKALeeJ. BainandMaxEngelhardt. IntroductiontoProbabilityandMathematical Statistics.Duxbury Press, California, second edition, 1992. ISBN 0-534-92930-3.RobertV. HoggandAllenT. Craig. IntroductiontoMathematical Statistics. PrenticeHall,Inc., New Jersey, fth edition, 1995. ISBN 0-02-355722-2.John A. Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis. Duxbury, Belmont, California, thirdedition, 2007.Dennis D. Wackerly, William Mendenhall III, and Richard L. Scheaer.Mathematical Statisticswith Applications. Duxbury Press, sixth edition, 2002.87