UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN

NOR WAHIDA DERAMAN.

IPM 2007 1

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN

Oleh

NOR WAHIDA DERAMAN

Tesis Ini Dikemukakan Kepada Sekolah Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia, Sebagai Memenuhi Keperluan Untuk Ijazah

Master Sains

Mac 2007

Salam kasih dun sayang buat

Hj. Deraman B. Yusog Hjh. Hamidah Bt. Mamat,

Fadzlirahimi B. Ismail

Dan

Anis Sulwani Bt. Fadzlirahimi

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN

Oleh

NOR WAHIDA DERAMAN

Mac 2007

Pengerusi : Profesor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD

Institut : Penyelidikan Matematik

Katakan x = ( XI, xz, ... , x,, ) suatu vektor dalam ruang Zfi dengan Z

menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan f suatu

polinomial dalam 5 berpekali unsur dalam Z. Hasil tambah eksponen yang

2idfCx) dihubungkan dengan f ditakrifkan sebagai, S(f;q) = z e , dengan x_

mengambil nilai dalam sistem reja terkecil modulo q.

Seperti yang telah ditunjukkan sebelum ini, kebanyakan anggaran adalah

bersandar kepada suatu nilai malar yang dihubungkan dengan polinomial

yang berkaitan secara tersirat. Penyelidikan ini tertumpu kepada mencari

anggaran hasil tambah eksponen, SEq) dengan fO polinomial kuadratik

dua, tiga dan empat pembolehubah berpekali dalam gelanggang integer p-

adic, 2,. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan meneliti dan menguji set

penyelesaian Persamaan Diofantus Linear yang dihubungkan dengan

terbitan separa A&). Daripada kajian yang kami lakukan, keputusan yang

diperolehi adalah seperti berikut:

Pertama, katakan,f(~,~)=ax~ + bxy + cy2 + rx + sy + t. Biarkan, CY suatu

integer positif, 0 = - dan ul = min{ordp (4ac-bZ),6) atau ul = l+k dengan 13 1 i min{ord, 2a,ordp b) dan k < minford, b,ordp 2c). Jika N(f(x,y), pe) <

put , maka anggaran hasil tambah eksponen bagi f (x, y) ialah,

p(f; pa 5 P ~ ( a - ~ ) + u ,

Biarkan,

Kedua, katakan, f ( ~ , ~ , z ) = a,x2 + a, y2 + a3z2 + bpy + b2yz + b3xz + c,x +

c2y+c3z+d. (2a1b2-blb3)=a117 (b1b2-2a2b3)=a,27

2 (2a3b1 -b2b,)= a,, , (4a2a3 -b2 )=a,. Katakan, u2 I rnin {ordp 2a3, ord,

b2, ord, b3), u1= min{ordp (alla22-a12a21),8) atau ul = I+k dengan I I

min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 2 min{ord, al2, ord, an). Jika N(f(x,y,z), pe )

i pu1+"2, maka anggaran h a d tarnbah eksponen bagi f (x, y, z) ialah, -

;pa] 5 p3b-eh+W.

Ketiga, Katakan, f(x,y,z,t) = a,x + a2y2 + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz +

b3xt + b4yz + b5yt + b6zt + c,x + c2y + c3z + c4t + e. Biarkan, (2a1b5 - blb3) =CII,

ord, b3, ordp b5, ord, b6f7 u2 I min(ord, c13,0rd, C23, ordp ~33) u~ =

min{ord~ (a,,a2, -a12a2, ), 8 ) atau ul = l+k, dengan 1 I min{ordp all, ord,

a21) dan k I min{ord, al2, ord, an) . Jika NV(X,~,Z,~),~~) 5 put+u2+' , maka

anggaran hasil tarnbah eksponen bagif(x,y,z,t) ialah,

IS(f; pa 1 < p 4 ( a - e h + u 2 + u 3

Abstract of thesis presented to Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

SOLUTION OF LINEAR DIOFANTUS EQUATION AND EXPLICIT ESTIMATION OF EXPONENTIAL SUM

NOR WAHIDA DERAMAN

March 2007

Chairman : Professor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD

Institute : Mathematical Research

Let x_ = ( XI, XZ, . . . , x,, ) be a vector in a space Z" with Z the ring of integers

and let q be a positive integer and f a polynomial in g with coefficients in Z.

The exponential sum associated with f is defined as, SEq) =

2nif(x)

z e ,where the sum is taken over a set of least residues modulo q.

As has been shown previously, most of these estimates depend on a

constant value that is related to the polynomial implicitly. This research

concentrates on finding estimates to the exponential sum, SEq) where fO-

are two, three and four variables quadratic polynomials with coefficients in

the ring ofp-adic integers, 2,. The approach is by observing and examining

the sets of solutions of Linear Diophantine Equation associated with partial

derivatives of A&). In our work, we found that:

First, let,f(xry)=ax2 + bxy + cy2 + m + sy + t. Let a is the positive integer,

8 = - and ul = min {ord, (4ac-b2),6} or u1 = l+k with, 1 5 min{ord, 20, 13 ord, b} and k 5 min{ord, b, ord, 2c). If N(Ax,y), 5 p Y 1 , then the

estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y) as

follows:

Second, let, f ( ~ , ~ , z ) = a , x ~ +aZy2 +a3z2 +b,xy+b,yz+b3xz+c,x+c,y+c3z

+d. Let, (2a,b2 - blb3) = a,, , (b,b, - 2a24) = a,, , (2a3b1 - 463) = a,, ,

(4a2a3 - b22)= a22. Let, u2 5 min ford, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ord,

(alla22-a12a21),8) or ul = Z+k with, I I min{ord, all, ord, azl} and k 5

min{ord, 012, ord, an}. If N(&,y,z), pe) 5 pu1'"2, then the estimation of the

exponential sum associated with polynomial fix,y,z) as follows:

p(f ;pa) 5 P 3(a-e)tu1+u2

Third, let, j(x,y,z,t) = a,x + + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz + b3xt + b,yz

+b5yt + b6zt + c,x + c2y + c,z + c4t + e. Let, (%b5 - 44) = cl17

(b1b5 -2a2b3)= c12 7 @2b5 - 464) = c13 9 @lb6 - b2b5 ) = c21,

vii

(cI2cz3 -c22c13)= ( ~ 2 1 ~ 3 3 -~31 '23 )= a21 , ( ~ 2 2 ~ 3 3 - ~ 3 2 ~ 2 3 ) = a22. Let, u3 ' rnin{ordp2a4, ord, b3, ord, bg, ordp bh}? u2 5 min{ord, c13,0rdp ~23, 0rdp '33)

and ul = min{ord, (a,,a,, - a,,a2, ), 8) or ul = l+k, with 1 5 min{ord, all,

U , + U 2 + U 3

ord, azl } and k 5 min {ord, a u , ord, a22). If NMx, y,z.t), pe) 5 p , then

the estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y,z,t)

as follows:

... Vlll

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani.

Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah

kurnia-Nya dapat saya menyiapkan tesis ini.

Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi

Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Prof. Dato' Dr. Hj. Kame1 Ariffin Bin Mohd

Atan di atas segala kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan

beliau dapat saya menyiapkan tesis ini.

Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Prof. Madya Dr. Mohamad

Rushdan Bin Mohd Said dan Prof. Madya Dr. Bekbaev Ural Djumaevich

kerana bantuan dan tunjukajar yang telah mereka berikan sepanjang saya

menyelesaikan tesis ini.

Akhir kata, saya ingin merakamkan penghargaan buat ahli keluarga

terutamanya ibu, ayah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi

dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.

Saya mengesahkan bahawa satu Jawatankuasa Pemeriksa telah berjumpa pada 21 Mac 2007 untuk menjalankan peperiksaan akhir bagi Nor Wahida binti Deraman untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Penyelesaian Persamaan Diofantus Linear dengan Anggaran Eksplisit Hasil Tambah Eksponen" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 1980 dan Peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 198 1. Jawatankuasa Pemeriksa tersebut telah memperakukan bahawa calon ini layak dianugeri ijazah berkenaan.

Ahli Jawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut:

Noor Akma Ibrahim, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)

Mat Rofa Ismail, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam)

Nik Mohd Airi Nik Long, PhD Pens yarah Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Perneriksa Dalam)

Hj. Ismail Abdullah, PhD Profesor Madya Pusat Kemahiran Komunikasi dan Keusahawanan Universiti Malaysia Perlis (Pemeriksa Luar)

Sekolah pengaji% Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tarikh: 2 1 JUN 2007

Tesis ini telah dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Penyeliaan adalah seperti berikut:

Dato' Kame1 Ariffin Mohd Atan, PhD Profesor Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)

Mohamad Rushdan Md. Said, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli)

Bekbaev Ural Djumavich, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli)

AINI IDERIS, PhD Profesor d m Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tarikh: 17 Julai 2007

PERAKUAN

Saya memperakui bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang tiap-tiap satunya telah dijelaskan sumbernya. Saya juga memperakui bahawa tesis ini tidak pernah dimajukan sebelum ini, dan tidak dimajukan serentak dengan ini, untuk ijazah lain sama ada di Universiti Putra Malaysia atau institusi lain.

Tarikh: 21 Mei 2007

xii

JADUAL KANDUNGAN

DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN PENGESAHAN PERAKUAN SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

BAB

PENGENALAN 1.1 Ringkasan Penyelidikan 1.2 Sorotan Literatur 1.3 Kepentingan Kajian 1.4 Pennasalahan

Muka Surat

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DENGAN BENTUK NORMAL SMITH 2.1 Pengenalan 2.2 Bentuk Normal Smith 2.3 Kesimpulan

SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DUA PEMBOLEHUBAH 3.1 Pengenalan 3.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada

Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Dua Pembolehubah,f(x,y).

SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR TIGA PEMBOLEHUBAH 4.1 Pengenalan 4.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada

Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Tiga Pembolehubah, f(x,y,z).

... X l l l

PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN SEPUNYA KEPADA SISTEM PERSAMAAN TERBITAN SEPARA BAG1 POLINOMIAL KUADRATIK n-PEMBOLEHUBAH,f(xlq2,. . .& 66 5.1 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada

Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Empat Pembolehubah,f(x,y,z,t) 66

5.2 Penganggaran Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik n-Pembolehubah,f(xl ,x2,. . . ,xn)

PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN 6.1 Pengenalan 6.2 Hasil Tambah Eksponen

6.3 Pengaggaran /~(f; 1 bagi polinomial kuadratik dua

pernbolehubah, f (x, y)

6.4 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik tiga

pembolehubah, f (x, y, z)

6.5 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik empat

pembolehubah, f (x, y, z, t )

KESIMPULAN DAN CADANGAN 7.1 Hasil Kajian 7.2 Kesimpulan 7.3 Cadangan

BIBLIOGRAFI APENDIKS BIODATA PELAJAR

xiv

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

mod

diag

col

rank

gcd

Nombor Perdana

Gelanggang Integer

Medan Nombor Nisbah

Gelanggang Integer p-adic

Medan Nombor Nisbahp-adic

n-rangkap pembolehubah (xl, x2, . . ., x,), n 2 1

m-rangkap polinomial V;,fi, . . ., fm), m 2 1

Hasil Tambah

Hasil Tarnbah Eksponen

Set (3 mod pa : f = 0 mod pa)

Kekardinalan bagi Set V%pa)

a Membahagi b

Penentu atau bilangan unsur bagi Matriks A

Matriks Transposisi bagi Matriks A

Modulo

Pepenjuru (diagonal)

Lajur (column)

Pangkat

Pembahagi Sepunya Terbesar

Kuasa tertinggi p yang membahagi a.

BAB 1

PENGENALAN

1.1 : Ringkasan Penyelidikan

Penyelidikan kami ditumpukan kepada masalah menentukan kekardinalan

sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan A&), polinomial

kuadratik n-pembolehubah, dengan n = 2, 3 dan 4. hi merupakan salah satu

masalah yang telah dikaji oleh pengkaji-pengkaji terdahulu dalam usaha

untuk mencari anggaran terbaik kepada kekardinalan ini, umpamanya

Mohd. Atan (1989). Beliau telah menunjukkan bahawa, bagi sebarang

polinomial kuadratik banyak pembolehubah, &) dengan pekali dalam 2,

nilai IS(^; pa bagi p perdana dan a > 0 bergantung kepada ~ ( f ; pe )

dengan 0 = - . Iaitu, El

dengan ~ ( f ; pe ) rnenandakan kekardinalan bagi vlf; pe). Katakan

0 > 0 danf= Vi,fi, ..., fn), n-rangkap polinomial dalam gelanggang integer

p-adic Z&] dengan x = (xl, xr, ..., x,), kita pertimbangkan set

Kajian yang telah kami jalankan adalah dengan memerhatikan kekardinalan,

~ ( f 20) b agi sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan

polinomial kuadratikfi~) dua, tiga dan empat pembolehubah.

Dalam Bab 2, kajian dimulakan dengan menyelesaikan sistem persamaan

terbitan separa fix) dengan menggunakan kaedah penurunan matriks ke

bentuk normal Smith. Penyelesaian diperolehi melalui perisian MAPLE9.

Walaupun kaedah ini lebih mudah dm cepat, namun keputusan yang

diperolehi kurang tepat dan penyelesaian bukan dalam bentuk (xl, xz, ..., x,).

Jadi, kajian diteruskan dengan menggunakan kaedah Cramer seperti yang

diterangkan dalarn Bab 3, Bab 4 dan Bab 5.

Dalam Bab 3, kajian dimulakan dengan polinomial kuadratik dua

pembolehubah,

~ ( x , ~ ) = a r ~ + bxy + cy2 + + sy + t

dengan pekali di dalarn set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah

penyelesaian secara langsung menggunakan Petua Cramer. Seterusnya,

kekardinalan bagi set v C ~ , , f,, ; p a ) dapat ditentukan.

Dari polinomial J(x,y) di atas, didapati h g s i terbitan separanya terhadap x

dan y, yang ditandakan olehf, danf, adalah seperti berikut:

fx (x,y) = 2ax + by + r

Katakan, m integer positif. Dari persamaan (1.2), sistem persamaan

kongruen linear modulo m yang akan diteliti adalah berbentuk:

2ax + b y + r - 0 (modm)

bx + 2cy + s = 0 (modm).

Dalam Bab 4 pula, kajian diteruskan dengan polinomial kuadratik tiga

pembolehubah,

f(x,y,z)=a1x2 + a, y2 + a3z2 + blxy + b2 yz + b3xz + clx + c2 y + c3z + d

dengan pekali dalam set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah sama

seperti dalam bab sebelumnya dan kekardinalan bagi set v(fX, fy , fz ; pa )

dapat ditentukan dengan fungsi terbitan separa f(x,y,z) terhadap x, y dan z

yang ditandakanf, f , danf, adalah seperti berikut:

Dari persamaan (1.2), sistem persamaan kongruen modulo m yang diteliti

adalah berbentuk:

(mod m)

(mod m)

(mod m).

Sementara itu dalam Bab 5 pula, bagi polinomial kuadratik empat

pembolehubah yang dikaji berbentuk,

f(x.y,z,t) = alx2 + aZy2 + a3z2 + a,t2 + blny + b2xz + b3xt + b4yz +

b,yt + b6zt + qx + c2y + c3z + c4t +e.

Dengan polinomial fix,y,z,t) ini, didapati fungsi terbitan separanya adalah

seperti berikut :

Sistem persamaan kongruen linear modulo m yang diteliti adalah terdiri

daripada polinomial separa yang dikaitkan dengan persarnaan f(x,y,z,t),

iaitu berbentuk:

(mod m)

(mod m)

(mod m)

(mod m).

Daripada penyelidikan kami, kekardinalan yang diperolehi dapat

menganggar hasil tarnbah eksponen bagi polinomial-polinomial yang

diperhatikan. Dalarn kes polinomial kuadratik dua pembolehubah, biarkan p

perdana, a > 0 dane = - . Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi [;I p(f ; p a ] 5 P 2(a-e)tu,

dengan ul = min ( 0 4 (4ac-b2)J) atau ul = I+k dengan I i min{ord, Pa,

ord, b) dan k 5 min (0% b, ord, 2c).

Seterusnya, bagi polinomial kuadratik tiga pembolehubah yang dikaji,

katakan p perdana, a! > 0 dan 8 = - . Maka anggaran h a d tarnbah ll eksponen bagi f (x, y, z) ialah,

2 (4a2a3 - b2 )= a,, 242 5 min {ord, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ordp

(al la22-a12a21),t9) atau ul = I+k dengan I 5 min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 5

min (ord, al2, ord, ~22). -

Manakala, bagi polinomial kuadratik empat pembolehubah pula, katakan p

perdana, W O dan 8 = - . Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi 1;J f(x,y,z, t) ialah,

('11'23 -'2lcl3)= 9 ('12'23 - '22'13 ) = '12 3 ('21'33 - '31'23 ) = a21 2

( c ~ ~ c ~ ~ - c ~ ~ c ~ ~ ) = a12, 243 S min{ord&r, ord, b3, ord, bs, ord, bd , u2 5

min{ord, c13,0rdp '23, ord, '33) dan UI = min{ord, (alla2, -a12a2,),8) atau

ul=l+k, dengan K min {ord, a , ,ordp dan klmin{ord, a12,0rdp a22).

1.2: Sorotan Literatur

Dalam Teori Nombor Analisis, ramai pengkaji telah memperihalkan

peranan penting hasiltambah eksponen. Diantaranya ialah Davenport

(1 959), Igusa (1 978) dan Schmidt ( 1 982). Hasil tambah eksponen

ditakri fkan sebagai

dengan hasiltambah dinilaikan bagi x dalam set lengkap reja modulo q.

Hardy dan Littlewood (1919), Deligne (1974), Loxton dan Vaughan (1985)

telah mengkaji hasil tarnbah S g q ) dengan f polinomial tak linear dalarn 2.

Hasiltambah S g q ) dalam kes satu pembolehubah telah dikaji oleh Hardy

dan Littlewood (1 9 19) berhubung dengan masalah Waring.

Pada tahun 1940 , Hua telah mendapati bahawa wujud E > 0, sedemikian

hingga

dengan c pemalar yang bersandar kepada m dan E sahaja. Keputusan Hua

telah diperbaiki oleh Jing-Run Chen (1977) ymg menunjukkan bahawa jika

kandungan bagi f -A0) perdana relatif terhadap q, maka

Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin (1980) bagi menunjukkan

bahawa

untuk suatu pemalar mutlak positif c tertentu, dengan cV) menandakan

kandungan bagi f - AO). Pada tahun 1974 pula, Deligne menunjukkan

bahawa untuk suatu nombor perdanap,

dengan m adalah jumlah darjah bagi suatu polinomial f, apabila bahagian

homogen bagi f berdarjah terbesar adalah tak singular modulo p. Kajian

Deligne ini membuka jalan bagi mendapat anggaran yang lebih tepat bagi

I S g q ) I untuk polinomial am f dalam beberapa pembolehubah.

Seterusnya pada tahun 1962 pula, poligon Newton telah digunakan oleh

Walker dalam pembuktian Teorem Puiseux. Manakala pada tahun 1983,

Sathaye juga telah mempertimbangkan perluasan kaedah Newton-Puiseux

secara umum.

Pada tahun 1977, Koblitz membincangkan kaedah poligon Newton dalam

kes p-adic bagi polinomial dan ski kuasa di dalarn R,[x]. Penganggaran

pensifar bagi polinomial tersebut dihasilkan daripada sifat-sifat poligon

Newton yang berkaitan. Khususnya, jika h kecerunan suatu tembereng pada

poligon Newton bagi suatu polinomial f dengan panjangnya N, maka

terdapat N pensifar bagi f yang peringkat p-adicnya -h.

Untuk setiap nombor perdana p, katakan f = ( fi, fi, . . ., f, ) n-rangkap

polinomial dalam gelanggang p-adic 2, [x] dengan x = ( XI, x2, . . ., x,, ). Kita

pertimbangkan set V( $pa ) = ( g mod pa : f (g) - 0 mod pa) dan tandaan

N( j p a ) adalah kekardinalan bagi V(Lpa ) dengan a > 0 dan g mengambil

nilai bagi set lengkap reja modulo pa.

Pada tahun 1982, Loxton dan Smith telah menyelidiki penggunaan teknik

poligon Newton dan akhirnya menggunakan kaedah tersebut untuk

mendapatkan keputusan mereka, seperti di bawah.

Katakan, K medan nombor aljabar yang diterbitkan daripada punca-punca

ti,, 15 i 5 m bagi polinomial-polinomial f (x) dalam Z[x], Loxton dan Smith

telah menunjukkan bahawa

jika a > 6, dengan m adalah bilangan pensifar berbeza bagi f l x ) dan 6 =

ord, Dm, D(f) menandakan persilangan bagi fungsian utama

diterbitkan daripada f "' ( ~ i ) , i > 1, dengan ei gandaan pensifar ci ei !