analisis kestabilan model mangsa … 1. bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, analisis...

TUGAS AKHIR

ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSADENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR

( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L W I T H I N F E C T E D P R E Y I N P O L L U T E D E N V I R O N M E N T )

OL E H :N OV E R I A CH AR I N A P UT R I

12 07 10004 7

ABSTRAK

Pencemaran lingkungan memberi efek negatif bagi kelangsungan

hidup makhluk hidup. Pencemaran lingkungan terutama yang mengandung

racun, memiliki pengaruh besar terhadap pemangsaan (predasi). Mangsa

(prey) yang terinfeksi racun mengancam kelangsungan hidup populasi

pemangsa (predator). Penyakit menular pada populasi hewan menjadi

permasalahan yang mempengaruhi predasi. Penyebaran penyakit SIS terjadi

bila infeksi tidak menyebabkan kekebalan, sehingga infectives menjadi

rentan lagi setelah pemulihan penyakit. Dalam Tugas Akhir ini dibahas

bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas dari titik kesetimbangan bebas

penyakit dan titik kesetimbangan endemik, serta kaitannya dengan

bilangan reproduksi dasar dan simulasi perilaku sistem yang dipengaruhi

infeksi dan racun. Diasumsikan bahwa interaksi epidemiologi adalah tipe SIS

dan populasi prey maupun predator keduanya dipengaruhi oleh racun yang

ada di lingkungan.

Kata kunci : predator, prey, SIS, penyakit, racun, analisis kestabilan

LATAR BELAKANG

analisis kestabilan dan simulasi model predator-prey

dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar

Penyakit menular pada populasi hewan menjadi permasalahan yang mempengaruhi predasi

mengancam kelangsungan hidup populasi predator

Prey terinfeksi racun

Terutama pemangsaan (Predasi)

kelangsungan hidup jangka panjang spesies, gaya hidup manusiadan keanekaragaman hayati dari habitat

Perubahan dalam lingkungan yang disebabkan olehpolusi (racun & pencemar)

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

PENUTUP

P E N D A H U L U A N

RUMUSAN MASALAH

dianalisa model epidemik tipe SIS yang mempunyai bentuk:

dengan:

: populasi prey

: fraksi yang menular

: populasi predator

: konsentrasi racun di lingkungan pada waktu

: konsentrasi racun dalam organisme pada waktu

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

K : daya dukung lingkungan terhadap preyQ : laju masukan eksogen racun ke dalam lingkunganr : laju pertumbuhan populasi prey per kapita tanpa adanya predator

: parameter positif, masing-masing laju di mana prey dan populasipredator kehilangan biomassa mereka karena racun

: laju memangsa: koefisien prey yang lebih rentan terinfeksi terhadap predasi: koefisien prey yang terinfeksi racun

k : efisiensi pakan dalam mengubah predasi menjadi predator baruh : laju kumulatif kehilangan racun dari lingkungan yang diakibatkan

oleh proses seperti transformasi biologis, hidrolisis kimia,volatilisasi degradasi mikroba dan degradasi fotosintesis dan jugaproses penyerapan

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

: laju kematian predator per kapita

: koefisien laju kelahiran populasi prey: gerakan prey yang terinfeksi keluar dari kelas menular

karena proses pemulihan: jumlah rata-rata kontak binatang per unit waktu: konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun

lingkungan per satuan massa organisme: konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun

dalam makanan per satuan massa organisme: konstanta positif yang menunjukkan konsentrasi racun

dalam sumber daya: konstanta positif yang menunjukkan laju rata-rata asupan

makanan per satuan massa organisme: masing-masing konstanta positif yang menunjukkan

organisme bersih konsumsi dan laju pembersihan dari racun

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

PERMASALAHAN

1. Bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitasdari titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium)dan titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium), sertakaitannya dengan bilangan reproduksi dasar.

2. Bagaimana menginterpretasikan model matematika predator-preybeserta simulasinya.

BATASAN MASALAH

Model penyebaran penyakit yang dipakai adalah model tipe SISPopulasi prey maupun populasi predator keduanya dipengaruhi olehracun lingkungan

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

TUJUAN PENELITIAN

1. Menganalisis kestabilan dari titik kesetimbangan bebas penyakitdan titik kesetimbangan endemik serta kaitannya dengan bilanganreproduksi dasar dari model sistem predator-prey dengan prey yangterinfeksi di lingkungan tercemar.

2. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakitpada model sistem predator-prey dengan software Matlab.

MANFAAT PENELITIAN

Memberikan informasi mengenai analisis kestabilan model sistempredator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemarMemberi informasi bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yangdiberikan dapat direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekositem

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

SISTEMATIKA PENULISAN

Sistematika penulisan dalam Tugas Akhir ini adalah : BAB I – PENDAHULUAN

Pada bab ini berisi tentang gambaran umum dalam penulisan Tugas Akhiryang meliputi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah,tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II – TINJAUAN PUSTAKAPada bab ini menjelaskan secara umum mengenai hasil penelitianterdahulu yang relevan dengan Tugas Akhir dan semua teori yangmendasari penulisan Tugas Akhir.

BAB III – METODE PENELITIANPada bab ini menjelaskan tentang metode penelitian yang digunakandalam penulisan Tugas Akhir dan urutan pelaksanaan kegiatan yangditempuh untuk menyelesaikan Tugas Akhir.

BAB IV – ANALISIS DAN PEMBAHASANPada bab ini dibahas analisis stabilitas dari model dengan titik setimbangbebas penyakit dan endemik serta kaitannya dengan basic reproductionnumber .

BAB V – KESIMPULAN DAN SARANPada bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan Tugas Akhir dansaran untuk pengembangan selanjutnya.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

TINJAUAN HASIL PENELITI TERDAHULU

Model predator-prey [5] dengan dan masing-masing merupakanukuran populasi prey dan predator adalah

Model ini adalah modifikasi model predator-prey Lotka-Volterradengan pertumbuhan kepadatan logistik tergantung pada prey.

Perkembangan selanjutnya ada model interaksi predator-prey yangdipengaruhi penyebaran penyakit menular tipe SIS pada prey sebagaiberikut:

(2.1)

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

T I N J A U A NP U S T A K A

TUGAS AKHIR SEBELUMNYA(Angkasa, 2005) menganalisis penyebaran penyakit pada interaksipredator-prey dengan dua laju kontak yang berbeda, insiden aksi massa(konstan) dan insiden standart . Interaksi predator-prey dimodelkanmenggunakan model Lotka Volterra dan penyebaran penyakit menulardimodelkan dengan menggunakan model epidemik tipe SI dan SIS,dengan pertumbuhan eksponensial, dengan asumsi penyakit hanyaterjadi pada populasi prey.

BILANGAN REPRODUKSI DASARUntuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu

parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah BilanganReproduksi Dasar (Basic Reproduction Number).

Dengan menerapkan matematika bilangan reproduksi dasar dapatdiperoleh dengan menentukan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriksJacobian yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Padamodel yang kompleks, suatu model mungkin mempunyai lebih dari satubilangan reproduksi dasar. Untuk kasus seperti ini, bilangan reproduksidasar didefinisikan sebagai nilai terbesar dari beberapa bilanganreproduksi dasar.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

TITIK SETIMBANG DAN KESTABILANNYA

Kestabilan suatu titik setimbang juga dapat diperiksa dari akar – akarkarakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan Aadalah matrik dari sistem linearisasi persamaan differential yang berukuran 5x5,menghasilkan polynomial dengan derajat tertinggi sama dengan ukuran matrikyaitu polynomial derajat 5 yang mempunyai bentuk umum

Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian realdibagi menjadi 3 yaitu :

StabilTitik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik(nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif.

Stabil AsimtotisTitik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akarkarakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian realnegatif.

Tidak stabilTitik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akarkarakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikitsatu niai eigen dengan bagian real positif.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

KRITERIA KESTABILAN ROUTH – HURWITZ

Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkankestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaankarakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :

Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi :Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz Dengan

Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistemlinear. Persamaan hasil linearisasi disekitar dapat ditulis dalambentuk:

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

KESTABILAN GLOBAL

Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan dengankriteria negatif Bendixon-Dulac. Mempertimbangkan:

dengan dan setidaknya dalamTeorema 2.1 (Kriteria Bendixon)

Jika pada suatu daerah , tidak identik dengan nol dan tidak

berubah tanda, maka persamaan (2.6) tidak memiliki orbit tertutup di D.

Generalisasi dari kriteria Bendixon karena Dulac adalah sebagai berikut:

Teorema 2.2

Misal adalah pada daerah . Jika

tidak identik dengan nol dan tidak berubah tanda di D, kemudian (2.6) tidak

memiliki orbit tertutup di D.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

METOD OLOGI

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

M E T O D O L O G I

DAERAH FEASIBLEModel mempunyai daerah penyelesaian (daerah feasible) sebagaiberikut :dengan:

TITIK SETIMBANG MODELTitik Setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu, dimana lajuperubahan adalah nol. Dengan demikian titik-titik setimbang daripersamaan (4.1) sampai (4.5) diperoleh darisehingga diperoleh titik-titik kesetimbangan:Titik setimbang bebas penyakit ,

danTitik setimbang endemik dan

A N A L I S I S D A N P E M B A H A S A N

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT

a. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah

Nilai eigen diperoleh dari:

Didapat nilai eigen:

stabil jika ,yaitu:jikajika dengan

L ANJUTAN…

b. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah



stabil jika , yaitu:jika , jika

dengan

L ANJUTAN…

c. Titik setimbang matriks jacobiannyaadalah


, dengan:

,

, ,

L ANJUTAN…


Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan yang dapat ditulismenjadi maka koefisien dari polynomial orde 2 adalah:

Titik setimbang bebas penyakit stabil jika

yaitu:

jika dengan

jika

yang berarti jika dan

KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG ENDEMIK

a. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah


, dengan:

,

,

,

L ANJUTAN…


Titik setimbang endemik stabil jika yaitu:

L ANJUTAN…

b. Titik setimbang matriks jacobiannyaadalah

nilai eigen diperoleh dari

, dengan:

L ANJUTAN…


,

Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan yangdapat ditulis menjadi maka koefisien dari polynomialorde 2 adalah:

Titik setimbang endemik stabil jikayaitu:

jika

jika yang berarti jika dan

BILANGAN REPRODUKSI DASAR

Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen darimatriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Berdasarperhitungan sebelumnya, didapat tiga bilangan reproduksi dasar yaitu

dan . Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilaiterbesar . Diperoleh:

Karena maka didefinisikan:

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

KESTABILAN GLOBAL TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT

Dipilih :

jelas jika dan

Akan dibuktikan stabil asimtotik global pada bidang H-P .

Sehingga untuk semua , oleh karena itu, dengan kriteriaBendixon-Dulax, maka sistem tidak mempunyai orbit periodik. Inimembuktikan stabil asimtotik global pada bidang H-P.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

SIMULASI

Parameter yang digunakan: , , , , , , , , , , , , .

Dengan nilai awal:

Perilaku sistem yang dipengaruhi infeksi dan racun

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

L ANJUTAN…

Laju Pertumbuhan Susceptible PreyPada awal laju pertumbuhannya, susceptible prey mengalamipenurunan karena peningkatan laju kehilangan biomassa, yangmengakibatkan prey menjadi terinfeksi dan rentan terhadappredasi. Kemudian susceptible prey mengalami kenaikan lajupertumbuhan akibat peningkatan laju kematian predator yangdisebabkan oleh kehilangan biomassa karena racun.

Laju Pertumbuhan Infected PreyPada awal laju pertumbuhannya, terjadi kontak antara infectedprey dengan susceptible prey. Laju pertumbuhan infected preymenurun akibat dari peningkatan laju memangsa predator padasusceptible prey yang tidak diimbangi dengan peningkatan lajukelahiran populasi prey.

Laju Pertumbuhan PredatorPada awal laju pertumbuhan predator, terjadi peningkatan lajumemangsa infected prey. Kemudian predator kehilanganbiomassa karena terinfeksi racun dari prey yang dimangsanya danmengalami peningkatan laju kematian.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

L ANJUTAN…

Untuk U* =9

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

Untuk U*=1

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

KESIMPULAN:a. Diperoleh titik setimbang bebas penyakit:

b. Diperoleh titik setimbang endemik:

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

P E N U T U P

L AN J UTAN…

c. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal : Jika dan maka titik kesetimbangan bebas

penyakit stabil. Jika dan maka titik kesetimbangan

bebas penyakit stabil. Jika , dan maka titik

kesetimbangan stabil.d. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal endemik: Jika :

dan

maka titik setimbang endemik stabil. Jika :

, ,

maka titik kesetimbangan endemik stabil.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

L AN J UTAN…

e. Diperoleh bilangan reproduksi dasar:

Jika maka akan terjadi penularan penyakit pada seluruhpopulasi prey yang rentan (susceptible).

Jika maka tidak terjadi endemik.

SARANPada penelitian ini tidak dibahas mengenai persistensi oleh

karena itu penulis menyarankan agar pada penelitian selanjutnyamenyertakan permasalahan persistensi.

PENDAHULUAN

TINJAUAN PUSTAKA

METODOLOGI


PENUTUP

D AFTAR PUSTAKA

Angkasa, dan Winarko. 2005. Masalah Penyebaran PenyakitMenular pada Model Predator-Prey. Skripsi ITS.

Anonim. Pebruari 2000. Interaksi Antar Komponen.URL:http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-pendamping/Praweda/Biologi/0028%20Bio%201-6c.htm(diakses tanggal 15 Pebruari 2011).

Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equationswith Modern Applications. California: WadsworthPublishing Company.

Kristianto, D.A. 2009. Analisis Model Perkembangan Virus HCVType 4A pada Penyebaran Penyakit Hepatitis C. TugasAkhir Jurusan Matematika ITS. Surabaya.

Sinha. S, Misra. O.P, Dhar J. 2010. Modelling a Predator-PreySystem with Infected Prey in Polluted Environment.Applied Mathematical Modelling 34(2010) 1861-1872.

Wiggins, S, (1990), Introduction to Applied NonlinearDynamical Systems and Chaos, Splinger-Verlag, New York

http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsor-pendamping/Praweda/Biologi/0028 Bio 1-6c.htm



































TERIMA KASIH

analisis kestabilan model mangsa … 1. bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, analisis...

Documents