plagiat merupakan tindakan tidak terpuji - core.ac.uk · jurusan pendidikan matematika dan ilmu...

i

ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA

IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR

MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN

LOGARITMA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

YUNITA WIDYASTUTI

NIM : 031414008

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

Motto dan Persembahan

☺ Dan apa yang tidak terpandang dan yang hina bagi dunia, dipilih Allah,

bahkan apa yang tidak berarti, dipilih Allah untuk meniadakan apa yang

berarti. ( I Korintus 1 : 28 )

☺ Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya. ( Pengkotbah 3 : 11 )

☺ Tidak ada yang mustahil bagi orang yang percaya! ( Markus 9 : 23 )

☺ Nilai yang terpenting dari sebuah kebahagiaan dalam hidup ini adalah

memiliki sesuatu untuk dilakukan, sesuatu untuk dicintai, dan sesuatu untuk

diharapkan.

Skripsi ini kupersembahkan untuk :

☻ Tuhan Yesus Kristus

☻ Bapak dan Ibu tercinta

☻ Mbak Rini dan Mas Bambang

☻ Mas Sarwoto

☻ Adhi dan Berna

☻ Nunung


v


vi


vii

KATA PENGANTAR

Puji Tuhan penulis mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa

yang senantiasa melimpahkan berkatNya sehingga skripsi yang berjudul “

Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma

“ ini dapat penulis selesaikan.

Skripsi ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Pendidikan, Program Studi Pendidikan Matematika,

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa tersusunnya skripsi ini tidak lepas dari

dukungan dan bantuan berbagai pihak yang dengan tulus membantu penulis dalam

mengatasi segala rintangan maupun kesulitan yang penulis hadapi. Oleh karena

itu, penulis bersyukur dan berterima kasih kepada :

1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma

2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sanata Dharma

3. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

4. Bapak Dr. Susento, M. S., selaku pembimbing yang berkenan memberikan

pengarahan dan bimbingan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

5. Ibu Dra. Sri Trismiyati selaku Kepala SMA Immanuel Kalasan yang telah

memberikan ijin bagi penulis untuk melaksanakan penelitian.

6. Bapak dan Ibu Guru serta seluruh karyawan SMA Immanuel Kalasan yang

dengan ramah memberikan waktu kepada penulis selama melaksanakan

penelitian.

7. Bapak, Ibu, Mbak Rini, Mas Bambang, Mas Sarwoto, Adhi dan Berna yang

selalu memberikan dukungan baik moril maupun materiil.

8. Mas Nunung yang senantiasa membantu dan selalu memberikan dorongan

semangat.


viii

9. Kezia, Renaldo, Rid, Thomas, dan Titik yang telah membantu penulis selama

penelitian.

10. Teman – teman Pendidikan Matematika 2003 yang telah memberikan

dukungan.

11. Semua pihak yang membantu penyusunan skripsi ini yang tidak dapat penulis

sebutkan satu per satu.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih

jauh dari kesempurnaan dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis dengan

senang hati menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi kemajuan

penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan

dan Tuhan memberkati.

Yogyakarta, 21 Februari 2008

Penulis


ix

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 21 Februari 2008

Penulis

Yunita Widyastuti


x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………………………………………………i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………. ....ii

HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN……………………………………………......iv

KATA PENGANTAR…………………………………………………………….v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………vii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………….viii

DAFTAR TABEL…………………………………………………………………x

DAFTAR GAMBAR……………………………………………………………..xi

DAFTAR LAMPIRAN…………………………………………………………..xii

ABSTRAK………………………………………………………………………xiii

ABSTRACT……………………………………………………………………..xiv

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………….1

A. Latar Belakang Masalah……………………………………………..1

B. Rumusan Masalah…………………………………………………...2

C. Batasan Istilah…………………………………………….................2

D. Tujuan Penelitian …………………………………………………...3

E. Manfaat Penelitian…………………………………………………..3

F. Sistematika Penulisan…………………………………………..........4

BAB II LANDASAN TEORI…………………………………………………...6

A. Pengertian Kesalahan………………………………………………..6

B. Kategori Jenis Kesalahan……………………………………………6

C. Faktor Penyebab Kesalahan………………………………………..10

D. Pengertian Kesulitan Belajar……………………………………….12

E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar………………………………...13

F. Gejala – Gejala Kesulitan Belajar………………………………….14

G. Bentuk Pangkat…………………………………………………….15

H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………………………………...16

I. Logaritma…………………………………………………………..24


xi

BAB III METODE PENELITIAN……...……………………………………….27

A. Metode Penelitian…….………...…………………………………..27

B. Subyek dan Obyek Penelitian………………………………...........27

C. Teknik Pengumpulan Data………………………………………....29

D. Instrumen Penelitian………………………………………………..29

E. Teknik Analisis Data…………………………………………….....30

BAB IV ANALISIS DATA……………………………………………………..32

A. Hasil Observasi…………………………………………………….32

B. Transkripsi Data…………………………………………………....32

C. Topik Data………..…………………………………………...........32

D. Kategori Data……………………………………………………....39

BAB V HASIL PENELITIAN………………………………………………....51

A. Kesalahan Subyek..………………………………………………...51

B. Kesulitan Subyek…….…………………………………………….54

BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN……………………………....58

A. Kesalahan Subyek……...…………………………………………..58

B. Faktor Penyebab Kesalahan………………………………………..62

C. Kesulitan Subyek………………...………………………………...63

D. Faktor Penyebab Kesulitan Subyek…………...…………………...67

E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek………………………………….68

F. Bentuk Pangkat…………………………………………………….68

G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………………………………...69

H. Logaritma…………………………………………………………..70

BAB VII PENUTUP..…………………………………………………………...71

A. Kesimpulan………………………………………………………...71

B. Saran…………………………………………………………….....72

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………73

LAMPIRAN……………………………………………………………………...74


xii

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi......................................................33

Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha.................................................35

Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno....................................................36

Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata..................................................36

Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi……………………………………37

Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha.................................................. 38

Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno.....................................................39

Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata...................................................39

Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat…………………...40

Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam


Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam


Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam


Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam


Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam


Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam


Tabel 16. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata dalam



xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek

Livi……………………………………………………………………………….44


Martha……………………………………………………………………………45


Nuno……………………………………………………………………………...46


Renata…………………………………………………………………………….47

Gambar 5. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek

Livi……………………………………………………………………………….48


Martha……………………………………………………………………………49


Nuno……………………………………………………………………………...50


Renata…………………………………………………………………………….50


xiv

DAFTAR LAMPIRAN

1. Transkripsi Data……………………………………………………………...74

2. Lembar Kerja Siswa………………………………………………….............82

3. Hasil Pekerjaan Siswa………………………………………………………..83

4. Surat Ijin Penelitian…………………………………………………………..91


xv

ABSTRAK

Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.

Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian, (7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (9) kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (10) kesulitan memahami konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat, (11) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (12) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (13) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (14) kesulitan dalam menjelaskan cara mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (15) kesulitan dalam menjelaskan hasil penarikan akar suatu bilangan, dan (16) kesulitan dalam menjelaskan hasil pemangkatan bilangan real.


xvi

ABSTRACT

Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University.

This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status.

The results of this research were that the students were doing : (1) mistake in transforming root form into rank form, (2) mistake in comprehending rank form concept, (3) mistake in comprehending root form concept, (4) mistake in accomplishing ranking operation, (5) mistake in transforming numbers into rank form, (6) mistake in accomplishing algebra operation of division, (7) mistake in accomplishing algebra operation of logarithm form, (8) mistake in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number; and that they also found (9) difficulties in transforming root form into rank form, (10) difficulties in comprehending root from concept and rank form concept, (11) difficulties in accomplishing algebra operation of logarithm form, (12) difficulties in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number, (13) difficulties in accomplishing algebra operation in ranking real numbers, (14) difficulties in explaining how to transform root form into rank form, (15) difficulties in explaining the result of root pullouting of a number, and (16) difficulties in explaining the result of real numbers ranking.


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bukan merupakan suatu hal yang mengherankan lagi jika sebagian

besar siswa SD sampai siswa SMU beranggapan bahwa Matematika adalah

mata pelajaran yang paling sulit dan menakutkan. Matematika dilihat sebagai

situasi yang membuat seseorang tampak dungu, tolol, dan canggung. Oleh

karena itu, maka Matematika dianggap merupakan ancaman bagi seseorang

yang merasa dirinya seorang yang pandai dan berkemampuan.

Berdasarkan anggapan di atas, hal tersebut dapat mempengaruhi hasil

belajar siswa. Padahal, hasil belajar seseorang tidak hanya mengenai aspek

kemampuan mengerti Matematika sebagai pengetahuan, tetapi juga meliputi

aspek sikap terhadap Matematika dan aspek ketrampilan dalam Matematika.

Melihat kenyataan bahwa sampai sekarang masih banyak siswa yang

mengalami kesulitan dalam belajar Matematika, kiranya perlu diketahui

selengkap mungkin aspek – aspek yang diduga mempunyai hubungan

( relevansi ) dengan pembelajaran Matematika agar aspek – aspek tersebut

dapat diperhatikan dalam proses pembelajaran siswa secara optimal, sehingga

proses belajar siswa dapat berlangsung dengan lebih lancar dan siswa

memperoleh manfaat yang sebesar mungkin dari kegiatan belajar tersebut

( Suwarsono, 1998 : 25 ).

Dari beberapa hal yang menjadi penyebab tidak berminatnya siswa

terhadap mata pelajaran Matematika di atas, banyak siswa mengalami

kesulitan dalam memahami materi yang disampaikan oleh guru.

Kesalahan - kesalahan yang dibuat siswa dalam menyelesaikan soal - soal

Matematika antara lain disebabkan oleh kecerobohan siswa dan kurangnya

pemahaman siswa terhadap suatu konsep atau definisi atau teorema atau

rumus yang harus digunakan.


2

Dari sedikit pengalaman penulis selama mengajar, penulis sering

menjumpai siswa melakukan kesalahan dan kesulitan dalam menyelesaikan

soal Matematika, ini disebabkan karena kurangnya pemahaman siswa terhadap

soal yang diberikan sehingga menyebabkan siswa mengerjakan soal tidak

sesuai dengan maksud soal tersebut. Selain itu disebabkan juga karena siswa

kurang menguasai konsep-konsep dalam Matematika.

Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik untuk mengetahui

kesalahan-kesalahan dan kesulitan-kesulitan siswa dalam mengubah bentuk

akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penulis memilih

mengetahui kesalahan - kesalahan dan kesulitan - kesulitan siswa dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat karena mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat merupakan langkah awal dalam menyelesaikan soal

logaritma yang memuat bentuk akar.

Mengingat betapa pentingnya pemahaman terhadap materi pelajaran

Matematika khususnya dalam hal menyelesaikan soal, maka penulis ingin

menyusun skripsi dengan judul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa

Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi

Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “.

B. Rumusan Masalah

1. Kesalahan – kesalahan apa saja yang dilakukan siswa dalam mengubah

bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi

logaritma ?

2. Kesulitan – kesulitan apa saja yang dialami siswa dalam mengubah bentuk

akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ?

C. Batasan Istilah

1. Kesalahan adalah hasil tindakan yang tidak tepat atau menyimpang dari

aturan atau norma – norma tertentu.

2. Kesulitan adalah hambatan yang menyebabkan siswa tidak mampu

menyelesaikan soal.


3

3. Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari

suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah

diketahui.

4. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan

bilangan irrasional.

5. Bentuk pangkat bulat positif adalah jika a merupakan bilangan real ( a ∈

R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan

dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap

faktornya adalah a.

6. Bentuk pangkat bulat negatif adalah misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka a-n

adalah kebalikan dari an atau sebaliknya.

a-n = atau an = na−1

D. Tujuan Penelitian

1. Mendeskripsikan kesalahan – kesalahan yang dilakukan siswa dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran

materi logaritma.

2. Mendeskripsikan kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran

materi logaritma.

E. Manfaat Penelitian

1. Bagi Siswa

Penelitian ini dapat membantu siswa mengetahui letak kesalahan dan

kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada

pembelajaran materi logaritma sehingga siswa dapat memperbaiki

kesalahannya dan diharapkan tidak mengulangi kesalahan yang sama.


4

2. Bagi Penulis

Penelitian ini memberikan pengalaman dalam meningkatkan wawasan

sebagai calon guru sehingga ketika terjun ke lapangan, peneliti dapat

mempersiapkan metode – metode pembelajaran yang sesuai agar materi

yang disampaikan dapat dipahami siswa sehingga dapat mengurangi

kesalahan dan kesulitan dalam menentukan penyelesaian dari soal – soal

Matematika.

3. Bagi Guru

Hasil penelitian ini diharapkan dapat membantu guru menyusun program

remidi bagi siswa yang mengalami kesalahan dan kesulitan belajar

Matematika, khususnya dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat pada pokok bahasan logaritma. Dengan mengetahui kesalahan dan

kesulitan siswa dalam mengerjakan soal-soal bentuk akar pada pokok

bahasan logaritma ini, guru akan lebih mudah membuat program bantuan

untuk siswa.

F. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab I akan diuraikan mengenai latar belakang masalah,

batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab II akan diuraikan mengenai hasil kajian pustaka yang

relevan dengan permasalahan yang diangkat.

BAB III METODE PENELITIAN

Dalam bab III akan diuraikan mengenai jenis, waktu, tempat,

subyek dan obyek penelitian, serta metode pengumpulan dan

analisis data.

BAB IV ANALISIS DATA

Dalam bab IV akan diuraikan mengenai analisis data yang meliputi

transkrip data, menentukan topik data kesalahan dan kesulitan


5

siswa, menentukan kategori data kesalahan dan kesulitan siswa.

Kategori data disajikan dalam bentuk tabel dan diagram pohon.

BAB V HASIL PENELITIAN

Dalam bab V penulis menyajikan hasil penelitian yang telah

dilaksanakan. Akan diuraikan mengenai kesalahan dan kesulitan

siswa dalam menyelesaikan soal.

BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN

Dalam bab VI akan diuraikan mengenai analisis terhadap cara

penyelesaian soal siswa untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan

yang dialami siswa.

BAB VII PENUTUP

Dalam bab VII akan diuraikan kesimpulan mengenai hasil yang

diperoleh dari penelitian serta saran – saran yang dapat diberikan.


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pengertian Kesalahan

Pengertian kesalahan secara umum adalah sesuatu yang menyimpang

dari aturan atau norma – norma tertentu. Tindakan yang tidak tepat itu dapat

mengakibatkan tujuan tidak tercapai secara maksimal atau bahkan gagal.

Kesalahan dalam Matematika bisa berarti, sebagai pemahaman yang tidak

tepat atau tidak rasional dalam mempelajari suatu masalah, sehingga banyak

kesulitan yang dihadapi, bahkan masalah tidak dapat diselesaikan. Sebagai

contoh, siswa salah dalam melakukan perhitungan atau salah di dalam

menerapkan rumus untuk menentukan penyelesaian.

B. Kategori Jenis Kesalahan

Beberapa tokoh yang telah melakukan penelitian mengenai kesalahan

dalam Matematika, diantaranya adalah :

1. Cox (1975) dari Pasifik Lutheran University, mengadakan penelitian

tentang kesalahan - kesalahan dalam keterampilan berhitung terhadap

kurang lebih 700 anak. Keterampilan berhitung ini oleh Cox, dibagi

menjadi keterampilan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian. Siswa yang diikutsertakan dalam penelitian ini sudah

mendapat pelajaran tentang algoritma dan trampil mengerjakan

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan algoritma.

Dalam penelitiannya Cox mengajukan tiga kategori kesalahan, yaitu :

a. Kesalahan Sistematis

Kesalahan sistematis lebih mengarah pada cara kerja siswa

yang salah atau kurang tepat, di mana kesalahan yang dilakukan sama

dan berulang pada beberapa soal lain.

6


7

b. Kesalahan Random

Kesalahan random adalah kesalahan yang dilakukan siswa

dalam mengerjakan soal - soal Matematika dengan pola kesalahan

yang berbeda.

c. Kesalahan Kecerobohan

Ketidaktelitian siswa dalam mengerjakan soal adalah hal yang

sering kita jumpai dalam keseharian siswa. Ketidaktelitian ini

merupakan kecerobohan siswa. Siswa yang termasuk dalam kategori

ini dapat dilihat dari seberapa besar bobot kesalahan yang dilakukan

siswa dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Kalau bobot

kesalahannya tidak terlalu besar atau bahkan sangat sedikit, maka kita

dapat mengatakan bahwa kesalahan tersebut merupakan suatu

kecerobohan.

2. Robert (1988) mengidentifikasi kategori kesalahan dalam studi kasus

tentang penulisan hasil perhitungan siswa sebagai berikut:

a. Kesalahan Operasi

Kesalahan operasi sering terjadi pada siswa karena siswa

berusaha untuk menjawab dengan melakukan operasi yang biasanya

tidak dilakukan untuk menyelesaikan masalah.

b. Kesalahan Perhitungan

Kebiasaan salah menghitung sering terjadi pada siswa, bisa

terjadi karena tergesa - gesa atau karena faktor kecerobohan yang lain.

Pada kategori ini siswa sudah menerapkan operasi yang benar tetapi

salah dalam menghitung bilangan sehingga jawabannya salah.

Penggunaan algoritma yang tidak sempurna. Pada kategori ini siswa

sudah menggunakan cara pengoperasian yang tepat, melakukan cara

perhitungan yang benar, tetapi kesalahannya terletak pada

langkah - langkah yang diambil.


8

c. Jawaban Acak

Tingkat kategori ini hampir sama dengan kesalahan

kecerobohan yang dikategorikan oleh Cox. Tetapi kategori jawaban

acak yang diklasifikasikan oleh Robert ini menekankan pada pekerjaan

siswa yang sembarangan tanpa berfikir rasional. Siswa sama sekali

tidak memperhatikan cara operasi mana yang dipakai, tidak melakukan

penghitungan dengan benar, juga tidak menggunakan algoritma

tertentu dalam menyelesaikan masalah, tetapi secara langsung

menjawab, sehingga jawaban yang diberikan tidak ada hubungannya

dengan masalah yang ditanyakan.

3. Hadar dkk (1987) mengemukakan kategori jenis kesalahan dalam

menyelesaikan soal - soal Matematika sebagai berikut :

a. Kesalahan data

Kategori ini merupakan kesalahan - kesalahan yang dapat dihubungkan

dengan ketidaksesuaian antara data yang diketahui dengan data yang

dikutip oleh siswa. Kategori ini meliputi kesalahan - kesalahan :

1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal

2) Mengabaikan data penting yang diberikan

3) Menguraikan syarat - syarat (dalam pembuktian, penghitungan)

yang sebenarnya tidak dibutuhkan dalam masalah

4) Mengartikan informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya

5) Mengganti syarat yang ditentukan dengan informasi lain yang tidak

sesuai

6) Menggunakan nilai suatu variabel untuk variabel yang lain

7) Salah menyalin data


9

b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa

Yang termasuk dalam kategori ini adalah :

1) Mengubah bahasa sehari-hari ke dalam bentuk persamaan

Matematika dengan arti yang berbeda

2) Menuliskan simbol dari suatu konsep yang artinya berbeda

3) Salah mengartikan grafik

c. Kesalahan menggunakan logika untuk menarik kesimpulan

Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan - kesalahan di

dalam menarik kesimpulan dari suatu bentuk informasi yang diberikan

atau dari kesimpulan sebelumnya yaitu :

1) Dari pernyataan bentuk implikasi p q, siswa menarik

kesimpulan sebagai berikut :

a) bila q diketahui terjadi, maka p pasti terjadi

b) bila p diketahui salah, maka q juga pasti salah

2) Mengambil kesimpulan yang tidak benar, misalnya memberikan q

sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian

yang betul.

d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema

Kesalahan ini merupakan penyimpangan dari prinsip, aturan,

teorema atau definisi yang pokok dan khas.

e. Penyelesaiannya tidak diperiksa kembali

Kesalahan ini terjadi pada setiap langkah yang ditempuh oleh siswa

benar, akan tetapi hasil terakhir yang diberikan bukan penyelesaian

dari soal tersebut.

f. Kesalahan teknis

Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan perhitungan dan

kesalahan dalam memanipulasi simbol - simbol aljabar dasar.


10

C. Faktor Penyebab Kesalahan

Secara umum kesalahan dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok

besar, yaitu faktor kognitif dan faktor non kognitif. Akan tetapi, penulis hanya

akan membahas faktor-faktor kognitif saja.

Faktor kognitif adalah segala sesuatu yang berhubungan dengan

kemampuan intelektual siswa dalam memproses atau mencerna materi

Matematika ke dalam pikiran (Suwarsono,1982).

Marpaung (1986), mengatakan kognitif adalah sesuatu yang bersifat

internal, sesuatu yang tidak dapat diamati secara langsung. Marpaung

mengatakan kognitif berarti proses dalam pikiran seseorang (tidak dapat

diamati secara langsung tetapi dapat diteliti dengan menyusun model-model

dengan menggunakan kemampuan interpretasi terhadap data yang

dikumpulkan melalui cara - cara atau metode tertentu) dari saat menerima

data, mengolahnya lalu menyimpan dalam bentuk informasi di dalam ingatan

dan memanggilnya kembali saat dibutuhkan dalam rangka pengolahan

selanjutnya.

Banyak siswa tidak dapat memahami dengan baik Matematika karena

mempunyai kemampuan mental yang kurang. Menurut Marpaung, ada 9

kemampuan mental yang hendaknya dikuasai siswa yaitu :

1. Kemampuan Membandingkan

Kemampuan membandingkan adalah kemampuan untuk melihat

kesamaan atau perbedaan masalah - masalah Matematika yang dihadapi.

2. Kemampuan Mengatur

Kemampuan mengatur adalah kemampuan untuk mentaati

aturan - aturan yang ada dalam Matematika.

3. Kemampuan melakukan Abstraksi

Kemampuan melakukan abstraksi adalah kemampuan melihat

kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan - perbedaan atau sifat - sifat

yang tidak mendasar. Untuk mencapai kemampuan ini siswa harus

mempunyai tingkat operasional formal tentang pendewasaan mental. Jika


11

seorang anak gagal melakukan pendewasaan mental, kemungkinan anak

akan banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep - konsep

Matematika secara umum.

4. Generalisasi

Generalisasi adalah suatu proses memperoleh sifat yang sama yang

dimiliki oleh sejumlah obyek berdasarkan pengamatan terhadap himpunan

bagian dari obyek tersebut. Dalam konteks sehari-hari, generalisasi sering

diartikan sebagai kemampuan seseorang untuk menarik kesimpulan dari

khusus ke umum.

5. Kemampuan Klasifikasi

Kemampuan klasifikasi adalah kemampuan menggolongkan obyek

atau menetapkan hubungan antarkelas.

6. Kemampuan Konkritisasi atau Partikulasi

Kemampuan konkritisasi atau partikulasi adalah kemampuan

mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal - hal khusus.

7. Kemampuan Formalisasi

Kemampuan formalisasi adalah kemampuan untuk melihat bentuk

dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk

memperoleh sesuatu yang lebih abstrak.

8. Kemampuan Analogisasi

Kemampuan analogisasi adalah kemampuan untuk melihat

hubungan yang sama atau sifat yang sama dalam dua situasi yang berbeda.

9. Kemampuan Representasi

Kemampuan representasi meliputi kemampuan untuk

merepresentasikan ide - ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi

enaktif, ikonik dan simbolik. Modus enaktif adalah salah satu cara

merepresentasikan ide atau pengetahuannya melalui aktivitas, perbuatan dan

benda - benda konkret. Merepresentasikan ide dalam modus ikonik dapat

diwujudkan melalui gambar, skema, bagan, grafik, dan sejenisnya. Sedangkan


12

representasi dalam modus simbolik dilakukan melalui lambang - lambang atau

simbol - simbol.

Dari sembilan kemampuan yang harus dimiliki siswa dalam

memahami Matematika, nampak bahwa diperlukan kemampuan intelektual

yang cukup untuk dapat memenuhi kemampuan - kemampuan tersebut.

Apabila seseorang mempunyai kemampuan intelektual terbatas, sehingga

lamban dalam memahami Matematika, dapat terjadi kemungkinan

kemampuan - kemampuan mental yang seharusnya dikuasai menjadi tidak

dikuasai sehingga menjadi penyebab kesalahan sering terjadi pada siswa.

D. Pengertian Kesulitan Belajar

Kesulitan belajar tidak selalu disebabkan oleh faktor intelegensi yang

rendah (kelainan mental), akan tetapi dapat juga disebabkan oleh

faktor - faktor non intelegensi. Oleh karena itu, IQ yang tinggi belum tentu

menjamin keberhasilan belajar. Abu Ahmadi dan Widodo Supriyono (1991)

mendefinisikan kesulitan belajar adalah keadaan yang dialami anak didik atau

siswa yang tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Kesulitan belajar yang

dialami mengakibatkan terganggunya atau terhambatnya proses belajar dan

pencapaian tujuan pendidikan sekolah itu.

Habbiburrahman (1981) menghubungkan pengertian kesulitan belajar

dengan kegagalan belajar, dimana kegagalan belajar tersebut dapat dilihat dari

prestasi belajar yang rendah. Menurut pendidikan modern, tidak selamanya

siswa yang mengalami kegagalan belajar disebabkan oleh kesulitan belajar.

Habbiburrahman mendefinisikan kesulitan belajar siswa adalah suatu keadaan

apabila hasil belajar tidak sesuai atau lebih rendah dari kemampuan belajar

yang dimilikinya.


13

E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar

Menurut Burton, faktor - faktor penyebab timbulnya kesulitan belajar

dikelompokkan menjadi 2 macam yaitu :

1. Faktor - faktor yang terdapat dalam diri siswa, antara lain :

a. Kelemahan secara fisik, seperti :

1) Suatu pusat susunan syaraf tidak berkembang secara sempurna,

luka atau cacat, atau sakit, sehingga membawa gangguan

emosional.

2) Penyakit menahun (seperti asma) menghambat usaha - usaha

belajar secara optimal.

b. Kelemahan - kelemahan secara mental (sejak lahir atau karena

pengalaman) yang sukar diatasi oleh individu yang bersangkutan dan

juga oleh pendidikan, antara lain :

1) Kelemahan mental ( taraf kecerdasan kurang )

2) Faktor - faktor afektif yang kurang optimal, seperti kekurangan

minat, kebimbangan, kurang usaha, kurang semangat, cara belajar

yang keliru dan lain - lain

c. Gangguan - gangguan emosional, antara lain :

1) Adanya rasa tidak aman

2) Penyesuaian yang salah terhadap orang - orang, situasi dan

tuntutan tugas dan lingkungan

3) Tercekam rasa phobia ( takut, benci dan anti pati )

d. Tidak memiliki ketrampilan - ketrampilan dan pengetahuan dasar

yang diperlukan seperti : ketidakmampuan membaca, berhitung,

kurang menguasai pengetahuan dasar untuk sesuatu bidang studi yang

sedang diikutinya, kurang menguasai bahasa asing yang diperlukan.

2. Faktor-faktor yang terletak di luar diri siswa (situasi sekolah, keluarga dan

masyarakat) antara lain :

a. Kurikulum yang kurang sesuai dengan kondisi siswa, bahan dan

buku - buku (sumber) yang tidak sesuai dengan tingkat - tingkat

kematangan dan perbedaan - perbedaan individu.


14

b. Ketidaksesuaian standar administratif (sistem pengajaran, penilaian,

pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar), dan

sebagainya.

c. Terlalu berat beban belajar (siswa) dan atau mengajar (guru),

terlampau besar populasi siswa dalam kelas, terlalu berat menuntut

kegiatan di luar, dan sebagainya.

d. Terlalu sering pindah sekolah, tinggal kelas, dan sebagainya.

e. Kelemahan dari sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat

pendidikan sebelumnya.

f. Kelemahan yang terdapat pada kondisi rumah tangga (pendidikan,

status sosial ekonomi, keutuhan keluarga, ketentraman dan keamanan

sosial psikologis).

g. Terlalu banyak kegiatan di luar jam pelajaran sekolah atau terlalu

banyak terlibat dalam kegiatan ekstra kurikuler.

h. Kekurangan makan (gizi) dan sebagainya.

F. Gejala - Gejala Kesulitan Belajar

Murid yang mengalami kesulitan belajar memiliki

hambatan - hambatan sehingga menampakkan gejala - gejala yang dapat

diamati oleh orang lain (guru atau pembimbing). Beberapa gejala yang dapat

menimbulkan kesulitan belajar menurut Abu Ahmadi (1991) adalah :

1. Menunjukkan prestasi yang rendah atau di bawah rata - rata yang dicapai

oleh kelompok kelas.

2. Hasil yang dicapai tidak seimbang dengan usaha yang dilakukan.

3. Lamban dalam melakukan tugas - tugas belajar, seperti dalam

mengerjakan soal - soal, dalam menyelesaikan tugas - tugas, dan

sebagainya.

4. Menunjukkan sikap yang kurang wajar seperti acuh tak acuh,

berpura - pura, dusta dan lain - lain.

5. Menunjukkan tingkah laku yang berlainan, misalnya mudah tersinggung,

murung, pemarah, bingung, cemberut, kurang gembira, atau selalu sedih.


15

G. Bentuk Pangkat

1. Definisi Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat

positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan

sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.

Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai :

an = a × a × a × … × a × a × a

n buah faktor

dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 )

disebut pangkat atau eksponen.

Contoh :

a. Perkalian berulang 2 × 2 × 2 ditulis secara ringkas dengan notasi

bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23.

Jadi, 2 × 2 × 2 = 23.

b. Perkalian berulang 4 × 4 × 4 × 4 × 4 ditulis secara ringkas dengan

notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 45.

Jadi, 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45.

Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat

positif, a disebut bilangan pokok dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut

pangkat atau eksponen.

Definisi :

Jika n = 1, maka an = a1 dan ditetapkan a1 = a

Jika n = 0, maka an = a0

Untuk a ≠ 0, maka a0 = 1

Untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi

2. Definisi Pangkat Bulat Negatif

Konsep bilangan pangkat bulat negatif didefinisikan sebagai

berikut : misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau

sebaliknya.

a-n = na1 atau an = na−

1


16

H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

1. Bentuk Akar

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk perbandingan ba , dengan a merupakan bilangan real dan b ≠ 0.

Beberapa contoh bilangan rasional adalah 41 , 7

2 , 43 , 9

15 , dan sebagainya.

Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk ba . Beberapa contoh bilangan irrasional adalah

3 , 5 , 7 , 10 , 3 6 , dan sebagainya.

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya

merupakan bilangan irrasional. Tanda bentuk akar adalah “ “. Akan

tetapi, tanda akar pada sebuah bilangan tidak menjamin bahwa bilangan itu

merupakan bentuk akar, karena ada bilangan yang dituliskan dengan tanda

akar hasilnya merupakan bilangan rasional.

Contoh :

1) 4 = 2 ( bilangan rasional )



2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar seperti 8 , 12 , dan 18 dapat disajikan

dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu dengan cara menyatakan

bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan, dimana salah

satu di antara kedua bilangan itu harus dapat dinyatakan dalam bentuk

kuadrat murni.

Sebagai contoh :

1) 8 = 24× = 4 × 2 = 2 2

2) 12 = 34× = 4 × 3 = 2 3

3) 18 = 29× = 9 × 2 = 3 2


17

Jadi, untuk menyederhanakan bentuk akar dapat menggunakan

sifat sebagai berikut .

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku :

ba× = a × b

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan :

a c + b c = ( a + b ) c

dan

a c - b c = ( a - b ) c

Contoh :

i. 4 2 + 3 2 = ( 4 + 3 ) 2 = 7 2

ii. 7 5 - 4 5 = ( 7 – 4 ) 5 = 3 5

b. Perkalian Bentuk Akar

Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan

sifat a × b = ba× dengan a dan b masing – masing bilangan positif.

Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan hasil kali bilangan bentuk

akar.

Contoh :

i. 3 × 5 = 53× = 15

ii. 2 × 12 = 122× = 24 = 2 6

c. Menarik Akar Kuadrat

Jika a dan b merupakan bilangan – bilangan rasional ≥ 0, maka

bentuk abba 2)( ++ dan abba 2)( −+ dapat dituliskan sebagai (

a + b ) dan ( a - b ). Pengerjaan seperti itu dinamakan menarik

akar kuadrat.


18

Perhatikan perkalian – perkalian berikut :

i. ( a + b )2 = ( a )2 + 2( a )( b ) + ( b )2

= a + 2 ab + b

= ( a + b ) + 2 ab

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan

ruas maka diperoleh :

abba 2)( ++ = ( a + b )

ii. ( a - b )2 = ( a )2 - 2( a )( b ) + ( b )2

= a - 2 ab + b

= ( a + b ) - 2 ab

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan

ruas maka diperoleh :

abba 2)( −+ = ( a - b )

Contoh :

i. 625 + = 2.32)23( ++

= 3 + 2

ii. 1228 − = 2.62)26( −+

= 6 - 2

d. Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

Bagian penyebut sebuah pecahan dapat berbentuk akar. Pecahan

, , 5

10 , dan 27

15+

adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya

berbentuk akar. Penyebut – penyebut pecahan itu dapat dirasionalkan.

Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung pada bentuk

pecahan itu.

23

312


19

1) Pecahan Berbentuk b

a

Pecahan b

a (a bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar),

bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan

itu dengan bb , sehingga pecahan tersebut menjadi :

ba =

ba ×

bb =

bba

Contoh :

312 =

312 ×

33

= 33312

×× =

3312 = 4 3

2) Pecahan Berbentuk ba

c+

atau ba

c−

Perhatikan pasangan bilangan ( a + b ) dan ( a - b ) dengan a

dan b bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar. Hasil kali

pasangan bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan sifat

distributif sebagai berikut :

( a + b ) ( a - b ) = a ( a - b ) + b( a - b )

= a2 - a b + a b - b

= a2 – b

Oleh karena a dan b bilangan rasional, maka hasil kali ( a + b )

dan ( a - b ) merupakan bilangan rasional. Pasangan bilangan ( a + b )

dan ( a - b ) disebut bentuk – bentuk akar sekawan atau dikatakan

( a + b ) kawan dari ( a - b ) dan sebaliknya.

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk – bentuk akar

sekawan, penyebut pecahan yang berbentuk ba

c+

atau ba

c−

dapat

dirasionalkan dengan melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut :


20

1. Untuk pecahan ba

c+

diubah menjadi :

ba

c+

= ba

c+

× baba

−− =

babac

−

−2

)(

2. Untuk pecahan ba

c−

diubah menjadi :

ba

c−

= ba

c−

× baba

++ =

babac

−

+2

)(

Contoh :

i. 12

2+

= 12

2+

× 1212

−−

= 12

)12(2−−

= 2 ( 2 - 1 )

ii. 23

3−

= 23

3−

× 2323

++

= 12

)23(3−+

= - (3 + 2 3 )

3) Pecahan Berbentuk ba

c+

atau ba

c−

Penyebut pecahan yang berbentuk ba

c±

dapat dirasionalkan

dengan menggunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan

merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk ba

c±

.

1. Untuk pecahan ba

c+

pembilang dan penyebut dikalikan dengan (

a - b ), menjadi :

bac+

= ba

c+

× baba

−− = ba

bac−− )(

2. Untuk pecahan ba

c−

pembilang dan penyebut dikalikan dengan (

a + b ), menjadi :

bac−

= ba

c−

× baba

++ = ba

bac−+ )(


21

Contoh :

i. 23

3+

= 23

3+

× 2323

−−

= 23

)23(3−−

= 3 ( 23 − )

ii. 35

5−

= 35

5−

× 3535

++

= 35

)35(5−+

= 21 ( 152 + )

4. Pangkat Pecahan

Bilangan pecah adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk nm , m dan n adalah bilangan – bilangan bulat, dengan n ≠ 0 dan n

bukan faktor dari m.

Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan

dapat dituliskan dalam notasi sebagai :

a nm

dengan a bilangan real dan a ≠ 0

a) Pangkat Pecahan a n1

, dengan n ≠ 0

Perhatikan kembali manipulasi aljabar pada proses penarikan akar

berikut :

a. Jika b2 = a, maka 2b = a atau b = a , dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0

b. Jika b3 = a, maka 3 3b = 3 a atau b = 3 a , dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0

c. Jika bn = a, maka n nb = n a atau b = n a , dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0


22

Berdasarkan proses penarikan akar di atas, akar pangkat n dari suatu

bilangan a dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan – bilangan real sehingga

berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.

Untuk n = 2, maka b = 2 a = a dibaca sebagai akar kuadrat dari a.

Untuk n = 3, maka b = 3 a dibaca sebagai akar kubik dari a atau akar pangkat

tiga dari a.

Untuk n = n, maka b = n a dibaca sebagai akar pangkat n dari a.

Teknis perhitungan n a ditentukan melalui kaidah berikut ini :

a. Jika a positif, maka hanya dipilih sebuah bilangan positif b sehingga

berlaku bn = a.

Misalnya :

4 16 , a = +16 dan n = 4

Bilangan b = +2 berlaku hubungan 24 = 16, sehingga 4 16 = 2.

Untuk b = -2, juga berlaku ( -2 )4 = 16, tetapi 4 16 = -2.

b. Jika a negatif dan n ganjil, maka ada sebuah bilangan negatif b sehingga

berlaku bn = a.

Misalnya :

1) 3 8− = -2, a = -8 dan n = 3

Bilangan b = -2 berlaku hubungan ( -2 )3 = -8, sehingga 3 8− = -2.

2) 4 16− = -2, a = -16 dan n = 4

Tidak ada bilangan real b yang apabila dipangkatkan 4 hasilnya (-16 ).

Jadi, 4 16− bukan bilangan real.

Sehingga nilai bilangan b = n a dapat ditetapkan dengan menggunakan kaidah

atau aturan sebagai berikut :

1. Jika a > 0, maka n a ≥ 0

2. Jika a < 0 dan ganjil, maka n a < 0

3. Jika a < 0 dan n genap, maka n a bukan bilangan real


23

Hubungan n a dengan a n1

:

1) Misalkan a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

( a )2 = ( ap )2

⇔ a = a2p

⇔ 1 = 2p

⇔ p = 21

Jadi, a = a 21

.

2) Misalkan 3 a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

( 3 a )3 = ( ap )3

⇔ a = a3p

⇔ 1 = 3p

⇔ p = 31

Jadi, 3 a = a 31

.

3) Misalkan n a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh :

( n a )n = ( ap )n

⇔ a = anp

⇔ 1 = np

⇔ p = n1

Jadi, n a = a n1

.

Sehingga pangkat pecahan a n1

dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka

pangkat pecahan a n1

sama dengan akar pangkat n dari bilangan a :

a n1

= n a

dengan catatan n a merupakan bilangan real.


24

b) Pangkat Pecahan a nm

a nm

= ( a n1 ) m , menggunakan sifat pangkat bulat positif

⇔ a nm

= ( n a ) m , menggunakan definisi pangkat pecahan a n1

= n a

⇔ a nm

= n ma , menggunakan sifat perkalian bentuk akar

Dengan demikian, pangkat pecahan a nm

dapat didefinisikan sebagai

berikut :

Misalkan a bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan asli ≥ 2, maka

pangkat pecahan a nm

sama dengan akar pangkat n dari bilangan am.

I. Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Pada definisi perpangkatan, bentuk umum dari suatu bilangan

berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari

bilangan berpangkat itu dapat segera ditentukan.

Contoh :

1) 23 = 8

2) 25 21

= ( 52 ) 21

= 5

3) 102 = 100, dan seterusnya.

Jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil

bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok

itu juga dapat ditentukan.

Contoh :

1) 2 ... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16.

Pangkat itu sama dengan 4.

2) 9 ... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.

Pangkat itu sama dengan 21 .

3) 10 ... = 1000, mencari pangkat dari bilangan 10 yang 1000.


25

Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya.

Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil

perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas, dapat dilakukan dengan

memakai notasi logaritma ( disingkat log ) sebagai berikut :

a. 2 ... = 16, ditulis 2log 16 = … dan nilai 2log 16 = 4.

b. 9 ... = 3, ditulis 9log 3 = … dan nilai 9log 3 = 21 .

c. 10 ... = 1000, ditulis 10log 1000 = … dan nilai 10log 1000 = 3.

Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu

mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai

dengan yang telah diketahui.

Berdasarkan uraian di atas, logaritma suatu bilangan dapat

didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif

yang tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ).

Untuk a > 0, maka : glog a = x jika dan hanya jika gx = a

Keterangan :

1) g disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan

0 < g < 1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1 ).

a) Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan.

Jadi, 10log 2 ditulis log 2.

b) Jika g = e ( e ≈ 2,7128… ) maka elog a ditulis sebagai ln a

( dibaca : logaritma natural dari a ), yaitu logaritma dengan

bilangan pokok e.

2) a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan

ketentuan a > 0.

3) x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.

4) Bentuk gx = a dan x = glog a merupakan pernyataan yang ekuivalen

( setara ), gx = a disebut eksponensial dan x = glog a disebut bentuk

logaritmik dalam hubungan itu.


26

2. Sifat – sifat pokok logaritma :

1) glog gn = n

2) glog g = 1

3) glog 1 = 0

3. Sifat – sifat logaritma :

1) Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari

masing – masing bilangan itu, ditulis : glog ( a × b ) = glog a + glog b

2) Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari

masing – masing bilangan itu, ditulis :

glog ( ba ) = glog a - glog b

3) Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan

dengan logaritma bilangan itu, ditulis : glog an = n × glog a

4) Mengubah bilangan pokok logaritma :

glog a = ga

p

p

loglog

Jika p = a, maka : glog a = ga log

1

5) Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat – sifat yang terdahulu :

a) glog a × alog b = glog b

b) ng log am =

nm glog a

c) ng log an = glog a

6) Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma :

g ag log = a


27

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Metode Penelitian

Pada penelitian ini, penulis menggunakan penelitian dengan

pendekatan deskriptif kualitatif yaitu penelitian yang menghasilkan data

deskripsi yang berupa kata – kata tertulis maupun lisan dari orang atau

perilaku yang sedang diamati. Penelitian deskriptif bertujuan untuk

mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau fenomena sebenarnya

yang ada di lapangan.

B. Subyek dan Obyek Penelitian

Subyek dalam penelitian ini adalah 4 orang siswa kelas X SMA

Immanuel Kalasan. Keempat subyek tersebut dipilih karena hasil pekerjaan

keempat subyek paling rendah di antara subyek – subyek lainnya. Keempat

subyek tersebut adalah :

1. Nama : Livi ( bukan nama sebenarnya )

Umur : 17 tahun

Alamat : Kaliajir Lor RT 03 / RW 02, Kalitirto, Berbah, Sleman

Anak ke : 1 ( satu )

Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : D3 / Swasta

Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SMP / Swasta

2. Nama : Martha ( bukan nama sebenarnya )

Umur : 17 tahun

Alamat : Juwangen RT 04 / RW 01 No. 50

Anak ke : 1 ( satu )

Jumlah Saudara Kandung : 4 ( empat )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Buruh

Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Ibu rumah tangga

27


28

3. Nama : Nuno ( bukan nama sebenarnya )

Umur : 17 tahun

Alamat : Sumber Lor RT 05 / RW 28, Kalitirto, Berbah, Sleman

Anak ke : 2 ( dua )

Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : STh / Guru Kesenian

Pendidikan / Pekerjaan Ibu : STh / Pendeta

4. Nama : Renata ( bukan nama sebenarnya )

Umur : 16 tahun

Alamat : Kadirojo RT 08 / RW 02, Purwomartani, Sleman

Anak ke : 3 ( tiga )

Jumlah Saudara Kandung : 2 ( dua )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Petani

Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Petani

Keempat subyek menyelesaikan soal yang diberikan oleh peneliti dan

peneliti melakukan wawancara terhadap siswa untuk mencari informasi

mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. Sedangkan

obyek penelitian ini adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah

bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.

SMA Immanuel adalah sekolah status swasta dan terakreditasi B yang

terletak 15 km dari pusat kota Yogyakarta. Profil SMA Immanuel adalah

sebagai berikut :

1. Nama Sekolah : SMA Immanuel

2. No. Statistik : 302040215043

3. Alamat : Gampar, Tamanmartani

Kecamatan : Kalasan

Kabupaten : Sleman

Propinsi : Daerah Istimewa Yogyakarta

Kode Pos : 55571

4. Status Sekolah : Swasta


29

5. Nama Yayasan : Yayasan Immanuel Indonesia

6. Nomor Akte : 29

7. Tahun Berdiri : 1979

8. Luas Tanah : 1500 m2

9. Luas Bangunan : 1000 m2

C. Teknik Pengumpulan Data

Pengumpulan data dilakukan melalui proses wawancara terhadap

subyek penelitian di dalam kelas yang dilakukan dengan perekaman video

( menggunakan alat bantu handycam ) dan kegiatan wawancara.

1. Video Rekaman

Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara

melakukan pengamatan menggunakan handycam untuk merekam kegiatan

siswa dalam menyelesaikan soal logaritma terutama dalam hal mengubah

bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

2. Wawancara

Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara

melakukan tanya jawab secara langsung terhadap para siswa, terutama

mengenai hal – hal yang terkait dalam menyelesaikan soal.

D. Instrumen Penelitian

Dalam penelitian ini, instrumen yang digunakan yaitu instrumen untuk

menggali kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat meliputi pembuatan LKS dan pertanyaan – pertanyaan yang

akan diajukan untuk melakukan wawancara.

1. Lembar Kerja Siswa

Lembar kerja siswa digunakan sebagai persoalan yang harus

ditentukan penyelesaiannya oleh siswa. Lembar kerja siswa terdiri dari 4

buah soal mengenai logaritma. Setiap siswa diberi kesempatan untuk

menyelesaikan soal dengan caranya masing – masing yang dilanjutkan


30

dengan wawancara tentang cara penyelesaian soal. Soal – soal tersebut

adalah :

Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi

eksponen dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut !

1. Log 100

Penyelesaian :

2. 2Log 8

Penyelesaian :

3. 3Log 3 27

Penyelesaian :

4. 4Log 64

Penyelesaian :

2. Pertanyaan untuk Melakukan Wawancara

Pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan meliputi : (1) alasan

siswa menentukan penyelesaian soal dengan cara yang digunakannya,

(2) dari mana penyelesaian tersebut berasal, dan (3) apakah ada

penyelesaian yang lain untuk menjawab soal tersebut. Dengan mengajukan

pertanyaan – pertanyaan tersebut kepada siswa, maka dapat diperoleh

informasi yang berkaitan dengan kesalahan dan kesulitan siswa dalam

menyelesaikan soal.


31

E. Teknik Analisis Data

Analisis data dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :

1. Transkripsi data rekaman video yakni data yang diperoleh dari lapangan

ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci.

2. Menentukan topik data yakni rangkuman bagian data yang mengandung

makna yang sedang diteliti.

3. Menentukan kategori – kategori data yakni gagasan abstrak yang mewakili

makna yang sama dalam sekelompok topik data.

4. Penarikan kesimpulan, yaitu kategori data – kategori data yang diperoleh

diubah sehingga diperoleh suatu kesimpulan dari data tersebut.

Dalam menentukan kesalahan dan kesulitan siswa, peneliti melakukan tes

sacara klasikal terhadap seluruh siswa kelas 1. Selanjutnya, peneliti

melakukan koreksi terhadap hasil pekerjaan siswa. Dari hasil koreksi tersebut

peneliti menemukan berbagai kesalahan yang dilakukan siswa dalam

menyelesaikan soal, sehingga dapat ditentukan kesalahan dan kesulitan siswa

dalam mengubah bentuk ara menjadi bentuk pangkat.


32

BAB IV

ANALISIS DATA

A. Hasil Observasi

Penelitian dilakukan tanggal 6 sampai dengan tanggal 10 Maret

2007 dengan subyek 4 orang siswa kelas X SMA. Data berupa cara siswa

menyelesaikan soal yang telah direkam menggunakan handycam. Perekaman

bertujuan untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa

selama menyelesaikan soal tersebut.

B. Transkripsi Data

Transkripsi data yaitu data yang diperoleh dari lapangan ditulis

dalam bentuk uraian atau laporan terperinci. Transkripsi data menghasilkan

transkrip data yang disajikan dalam bentuk dialog antara peneliti dengan

subyek penelitian.

C. Topik Data

Topik data adalah rangkuman bagian data yang mengandung

makna yang sedang diteliti. Dalam penelitian ini, makna yang diteliti adalah

kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat. Berikut disajikan topik data – topik data kesalahan dan kesulitan

siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada

pembelajaran materi logaritma.

32


33

Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KH 1. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 256 pada soal 4log 256 menjadi 4log 256 = 4log 2564, diperoleh dengan cara menghilangkan tanda akar pada 256 dan mengganti dengan bilangan 2564.

(1/5), (1/7-8)

2 KH 1. 2 Kesalahan dalam mengubah bilangan bulat menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 4log 16 = 4log 44, dengan cara mengubah bilangan 16 menjadi 44 yang diperoleh dari 44 = 4×4 = 16.

(1/7-8)

3 KH 1. 3 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(1/33-34), (1/49-150)

4 KH 1. 4 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 84, diperoleh dari

setengah dari 8 adalah 4, sehingga 8 = 84.

(1/33), (1/39-40), (1/42)

5 KH 1. 5 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 82 = 16, diperoleh dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya yaitu 82 = 8 × 2 = 16.

(1/51-52)

6 KH 1. 6 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu : 8 = 4 diperoleh dengan cara membagi dua bilangan 8 sehingga menghasilkan bilangan 4.

(1/49), (1/56)

7 KH 1. 7 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 8 = 4 dan 16 = 4, yang diperoleh berdasarkan penjelasan siswa bahwa setengah dari 16 adalah 8 dan setengah dari 8 adalah 4, maka 8 = 16 = 4.

(1/57-64)

8 KH 1. 8 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 16 = 164, yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(1/65-66)

9 KH 1. 9 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 16 = 160, yang

(1/71-72)


34

diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 0.

10 KH 1. 10 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan nol, yaitu : 160 = 16 diperoleh dengan cara mengalikan 16 dengan 0 dimana hasil kali 16 dengan 0 adalah tetap 16.

(1/73-74)


(1/89), (1/91-94)

12 KH 1. 12 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : hilangnya tanda akar pada bilangan 64diakibatkan karena tanda akar tersebut jika diubah menjadi bentuk pangkat akan menjadi 44.

(1/89), (1/94-96)

13 KH 1. 13 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : a = a4, yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(1/101-102)

14 KH 1. 14 Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : 4log 64 = 4log 4 = 4log 4 = 1, kemudian mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4.

(1/105), (1/107-110)


(1/117-118)

16 KH 1. 16 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan

pecahan, yaitu : menjelaskan 9 41

= 3 karena setengahnya 9 hasilnya 6 dan seperempatnya 9 hasilnya 3.

(1/119-120)

17 KH 1. 17 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 9 = 9 31

diperoleh dari pemahaman siswa bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat bilangan 32.

(1/117), (1/124-126)

18 KH 1.18 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real

denagan bilangan pecahan, yaitu : 9 31

= 3 yang

diperoleh dari 9 31

artinya 31

dari 9 adalah 3.

(1/119-120), (1/124)


35

19 KH 1. 19 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan

pecahan, yaitu : 9 31

= 3 karena 9 dibagi 31

= 3.

(1/127-130)


bentuk pangkat, yaitu : 16 = 16 41

diperoleh

dengan cara 16 = 4 dan 4 merupakan 41

bagian

dari 16 sehingga 16 = 16 41

.

(1/131-132)



= 4 karena 16 dibagi 41

= 4.

(1/133-136)

22 KH 1. 22 Kesalahan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : “ bahwa akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda “.

(1/141-142)

23 KH 1. 23 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 33 diperoleh dari 3 27 hasilnya adalah 3 dan pangkat 3 pada tanda

akar adalah tetap sehingga 3 27 = 33.

(1/143-144)



= 3 diperoleh dari 27 dibagi

31

= 3.

(1/159-160)

Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha

NO. KODE TOPIK DATA DATA 1 KH 2. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 273 diperoleh dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar ke bilangan 27, sehingga bilangan 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27.

(2/9-10)


bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(2/29-30)


36

3 KH 2. 3 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dengan cara mengalikan 4 dengan 2 sehingga menghasilkan 8.

(2/31-32)

4 KH 2.4 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dari 4 × 2 = 8.

(2/37-42)



(2/45-46), (2/59-60)

Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno

NO. KODE TOPIK DATA DATA 1 KH 3. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi


(3/6-7), (3/10), (3/15-16)



(3/31-32)

3 KH 3. 3 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.

(3/39), (3/41), (3/44)

4 KH 3. 4 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar

bilangan real, yaitu : 1 = tidak terdefinisi.

(3/45-48)

Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata

NO. KODE TOPIK DATA DATA 1 KH 4. 1 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar bilangan

real, yaitu : 64 = 8 × 8 = 64.

(4/11-14), (4/17-18)

2 KH 4. 2 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk pecahan adalah tidak ada.

(4/23-26)


37

Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 1. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 4log 256 = … .

(1/5-6)

2 KS 1. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 256 = ( 256 ) ... .

(1/9-12)

3 KS 1. 3 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menentukan penyelesaian 4log 44 dan 4log 4 .

(1/17), (1/19-20), (1/23-24)

4 KS 1. 4 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 3 8 = 8 ... .

(1/28-32)

5 KS 1. 5 Kesulitan dalam menginterpretasikan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82.

(1/35), (1/37-38)

6 KS 1. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 16 = 4.

(1/43), (1/45-46)

7 KS 1.7 Kesulitan dalam menyatakan argumen terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 8 = 4.

(1/57-58)

8 KS 1. 8 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan 16 = 164.

(1/69-70)

9 KS 1. 9 Kesulitan dalam menginterpretasikan bilangan pangkat pada bilangan real, yaitu : menjelaskan pangkat 2 pada angka 8.

(1/54), (1/75-76)

10 KS 1. 10 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menghitung hasil dari log 10.

(1/82-83)

11 KS 1. 11 Kesulitan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : menjawab pertanyaan “ akar = pangkat berapa ? “

(1/97-100)

12 KS 1. 12 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk akar, yaitu : menghitung hasil dari 64 .

(1/105-106)

13 KS 1. 13 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan


= 3.

(1/119), (1/121-122)


38

14 KS 1.14 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27 ... .

(1/143), (1/147-148)

15 KS 1. 15 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan


= 3.

(1/153), (1/155-158)

Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 2. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 3log 3 27 = 3log 27 ... .

(2/6-8)

2 KS 2. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27 ... .

(2/7), (2/13-14)

3 KS 2.3 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 273.

(2/15-16)

4 KS 2. 4 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 81 .

(2/17-18), (2/21-22)

5 KS 2. 5 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan 4 = 42 = 8.

(2/32-36)

6 KS 2. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 4 = 4.

(2/43-44)

7 KS 2. 7 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 44.

(2/47-48)

8 KS 2. 8 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 4 = 4 ... .

(2/49-50)

9 KS 2. 9 Kesulitan dalam membedakan bilangan real dengan bentuk akar, yaitu : membedakan bilangan 4 dengan bilangan 4 .

(2/51-52)

10 KS 2. 10 Kesulitan dalam menginterpretasikan pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : menentukan ada atau tidaknya pangkat bilangan yang berbentuk bilangan pecahan.

(2/55-56)


39

Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 3. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 100 = 100 ... .

(3/7), (3/21-22)

Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 4. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 2log 3 8 .

(4/2-6)

2 KS 4. 2 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 64 .

(/7), (4/9-10), (4/15-16)

3 KS 4.3 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 64 = 64 ... .

(4/21-22)

D. Kategori Data

Kategori data adalah gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama

yang terkandung di dalam sekelompok topik data. Dalam penelitian ini

ditentukan kategori mengenai kategori kesalahan dan kesulitan siswa. Berikut

disajikan kategori - kategori kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah

bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma

dalam bentuk :

1. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data

2. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data

3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data

4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data


40

Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan.KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13

b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.

KH 1.3, KH 1.15

c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat oleh karena pengertian subyek bahwa bentuk akar adalah pangkat nol.

KH 1.9

d. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat 32.

KH 1.17

e. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16.

KH 1.20

f. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3.

KH 1.23

g. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga.

KH 1.24

2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat empat. KH 1.11, KH 1.12,

KH 1.13 3. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan

bilangan real. KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24

b. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian.

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24

c. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma.

KH 1.14

d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.

KH 1.6

4. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) a. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil

penarikan akar suatu bilangan. KH 1.7

b. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real.

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21

Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam

Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari 27.

KH 2.1

b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.

KH 2.2

c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk KH 2.5


41

pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan.2. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan

bilangan real. KH 2.3

3. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) terhadap hasil

pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat.KH 2.4

Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam


Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data 1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

dikarenakan oleh pegertian subyek bahwa tanda akar berarti pangkat dua.

KH 3.1, KH 3.2

2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu

bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada. KH 3.3

3. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar

suatu bilangan. KH 3.4

Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam


Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data 1. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu

bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada. KH 4.2

2. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar

suatu bilangan. KH 4.1

Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam


Kategori Data Kesulitan Siswa Topik Data 1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.KS 1.2, KS 1.9, KS 1.14

2. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk

logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma.

KS 1.1, KS 1.3, KS 1.10

b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

KS 1.12


42

3. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) a. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam mengubah

bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek mengerjakan soal tidak menggunakan cara yang tepat.

KS 1.5, KS 1.8

b. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan.

KS 1.6, KS 1.7, KS 1.13, KS 1.15

c. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

KS 1.11

Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat


dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. KS 2.1, KS 2.2, KS 2.8

2. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar dan bentuk pangkat a. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar yang

mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

KS 2.7

b. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

KS 2.10

3. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan

akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

KS 2.4

b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat.

KS 2.3, KS 2.7

4. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan

akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan.

KS 2.5, KS 2.6

Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat


dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. KS 3.1


43

Tabel 16. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat


dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar. KS 4.3

2. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk

logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma.

KS 4.1

b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

KS 4.2

Berikut ini adalah kategori data – kategori data kesalahan dan kesulitan

siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yang disajikan dalam

bentuk diagram pohon.


44

Gambar 1. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pengertian subyek bahwa tanda akar adalah pangkat nol Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari 32 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16

KH 1.24

KH 1.20

KH 1.17

KH. 1.9

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real

Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat t

Kesalahan dalam memahami bentuk akar

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan (alasan)

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan

KH 1.11, KH 1.12, KH 1.13

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

KH 1.23

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan

KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24 KH 1.14

KH 1.6

Kesalahan Subyek

KH 1.3, KH 1.15

KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13

KH 1.7

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21

44

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real


45

Gambar 2. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha


Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan


Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

Kesalahan Siswa

KH 2.2

KH 2.1

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real KH 2.3

45

KH 2.4

Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan KH 2.5


46

Gambar 3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno

46


Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa tanda akar berarti pangkat dua

KH 3.1, KH 3.2

Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat



Kesalahan Siswa

KH 3.4

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada

KH 3.3


47

Gambar 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata

Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat



Kesalahan Siswa

KH 4.1

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada

KH 4.2

47


48

Gambar 5. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi

48

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

Kesulitan Siswa

Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar

KS 1.2, KS 1.9, KS 1.14

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma

Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar

KS 1.1, KS 1.3, KS 1.10

KS 1.12

KS 1.5, KS 1.8

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan (alasan)

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek mengerjakan soal tidak menggunakan cara yang tepat

KS 1.6, KS 1.7 KS 1.13, KS 1.15

KS 1.11

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakarn soal dengan sembarangan

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar


49

Gambar 6. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha

49


Kesulitan Siswa


KS 2.1, KS 2.2, KS 2.8

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar dan bentuk pangkat

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

KS 2.7

KS 2.10


Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar

KS 2.4

KS 2.3, KS 2.7 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan (alasan) KS 2.5, KS 2.6

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan


50

Gambar 7. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno

Gambar 8. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata

50


Kesulitan Siswa


KS 4.3


Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma

KS 4.1

KS 4.2 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar


Kesulitan Siswa Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar

KS 3.1


51

BAB V

HASIL PENELITIAN

Pada bab ini diuraikan kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan

subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran

materi logaritma.

A. Kesalahan Subyek

Kesalahan subyek dalam menyelesaikan soal - soal Matematika,

khususnya dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang memuat bentuk akar

dapat dikategorikan sebagai berikut :

1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

2. Kesalahan dalam memahami konsep pangkat

3. Kesalahan dalam memahami konsep akar

4. Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan

5. Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian

6. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

7. Kesalahan melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan

Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan satu persatu mengenai kesalahan subyek

tersebut.


Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yaitu

subyek menggunakan aturan pangkat bilangan bulat. Sebagai contoh,

4 = 42, menurut subyek 4 mempunyai nilai yang sebanding dengan 42.

Akan tetapi, subyek lain menggunakan bilangan pangkat yang berbeda yaitu

256 = 2564. Untuk bilangan 64 , subyek menjawab 64 = 44 dengan

alasan bahwa tanda akar pada angka 64 berubah menjadi 44, sehingga 64

nilainya sama dengan 44. Berbeda halnya dengan bilangan 16 , subyek

menjawab 16 = 160. Setelah subyek diberi petunjuk mengenai pangkat

bilangan pecahan, subyek menyelesaikan soal dengan cara sebagai berikut :

9 = 9 31

dan 16 = 16 41

, dengan alasan bahwa akar dari setiap bilangan

51


52

yang berbeda, memiliki arti yang berbeda pula. Untuk 3 27 = 273, subyek

memberikan alasan bahwa pada tanda akar terdapat angka 3. Berbeda pula

ketika subyek diminta mengubah bilangan 16 menjadi bentuk pangkat, yaitu

16 = 44 yang diperoleh dari 4 × 4 hasilnya 16, sehingga 16 = 44 karena 4 ×

4 = 16.

2. Kesalahan dalam memahami konsep pangkat

Kesalahan dalam memahami konsep pangkat dilakukan ketika subyek

memahami konsep pangkat sebagai berikut, subyek berpendapat bahwa

pangkat suatu bilangan adalah bilangan bulat saja, sehingga pangkat bilangan

pecahan tidak ada. Hal ini dapat dilihat dari pekerjaan subyek dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat yaitu subyek selalu mengubah

bentuk akar menjadi bilangan yang berpangkat bilangan bulat.

3. Kesalahan dalam memahami konsep akar

Kesalahan dalam memahami konsep akar dilakukan subyek ketika

subyek memahami konsep akar, yaitu subyek berpendapat bahwa akar suatu

bilangan sama artinya dengan pangkat 2. Subyek lain mengatakan bahwa akar

suatu bilangan sama artinya dengan pangkat 4. Hal ini dapat dilihat dari hasil

pekerjaan subyek yang selalu mengubah bentuk akar menjadi bilangan

pangkat 2 dan bilangan pangkat 4.

4. Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan

Kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan yang dilakukan

subyek meliputi kesalahan dalam memangkatkan bilangan bulat dengan

bilangan bulat dan memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan.

Pertama, dalam memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan bulat,

kesalahan yang dilakukan subyek yaitu mengalikan bilangan pokok dengan

pangkat bilangannya. Sebagai contoh, dalam melakukan operasi pemangkatan

bilangan 42, yang dilakukan subyek adalah mengalikan bilangan 4 dengan

bilangan 2 sehingga 4 = 42 = 4 × 2 = 8. Demikian pula halnya dengan 82,

yaitu 82 = 8 × 2 = 16. Kedua, dalam memangkatkan bilangan bulat dengan

bilangan pecahan, kesalahan yang dilakukan subyek yaitu membagi bilangan

pokok dengan pangkat bilangannya. Sebagai contoh, dalam melakukan operasi


53

pemangkatan bilangan 27 31

, yang dilakukan subyek adalah membagi bilangan

27 dengan bilangan 31 sehingga 27 3

1

= 27 : 31 . Cara yang sama juga digunakan

untuk memangkatkan bilangan 9 31

, yaitu 9 31

= 9 : 31 dan bilangan 16 4

1

, yaitu

16 41

= 16 : 41 . Untuk bilangan 160, subyek memberikan jawaban 16 dengan

cara mengalikan 16 dengan 0, jadi 160 hasilnya tetap 16.

5. Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian

Kesalahan dalam melakukan operasi pembagian terjadi ketika subyek

memangkatkan bilangan bulat dengan bilangan pecahan, yaitu pada saat

melakukan perhitungan terhadap bilangan 27 31

, yang dilakukan subyek adalah

membagi bilangan 27 dengan 31 menghasilkan 3, sehingga 27 : 3

1 = 3. Lain

halnya dengan 9 41

= 3, subyek menjelaskan bahwa 9 41

= 3 karena

setengahnya 9 adalah 6 dan seperempatnya 9 adalah 3. Akan tetapi, ketika

memangkatkan bilangan 9 dengan bilangan 31 , subyek menjawab 3 dengan

alasan bahwa 9 dibagi 31 hasilnya adalah 3. Demikian juga dengan bilangan 16

41

, subyek menjawab 4 dengan alasan bahwa 16 dibagi 41 hasilnya adalah 4.


Kesalahan perhitungan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk

logaritma terjadi pada saat subyek menyelesaikan soal – soal logaritma yang

diberikan, yaitu 4log 256 = 4log 16 = 4log 44 = 4. 4log 4 = 4. 1 = 4. Hal ini

dikarenakan subyek tidak paham terhadap definisi logaritma.

7. Kesalahan melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar

suatu bilangan yang dilakukan subyek yaitu ketika subyek harus menentukan

penyelesaian bilangan 4 , 8 , 16 , dan 3 27 . Menurut pekerjaan subyek,

hasil dari penarikan akar terhadap bilangan 4 , 8 , dan 16 mempunyai

nilai yang sama yaitu hasilnya adalah 4. Untuk bilangan 3 27 , subyek

menjawab bahwa hasil dari 3 27 adalah 3.


54

B. Kesulitan Subyek

Kesulitan subyek dalam menyelesaikan soal-soal Matematika,

khususnya dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang memuat bentuk akar

meliputi :

1. Kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

2. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar

3. Kesulitan memahami konsep bentuk pangkat

4. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

5. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan

6. Kesulitan melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real

7. Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat

8. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu

bilangan

9. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real

Uraian mengenai kesulitan yang dialami oleh subyek adalah sebagai

berikut :



tampak ketika subyek mengubah bilangan 3 27 , 4 , 100 , dan 64

menjadi bentuk pangkat. Dari awal subyek diberi soal, subyek sudah

mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal karena subyek kesulitan

dalam menjawab soal – soal tersebut sehingga diperlukan contoh penyelesaian

soal terlebih dahulu. Akan tetapi, setelah contoh penyelesaian soal diberikan,

subyek masih mengalami kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat sehingga tidak ada soal yang dapat diselesaikan dengan benar.

2. Kesulitan memahami konsep bentuk akar

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar terlihat ketika subyek

diberi persoalan tentang bilangan 4 dan bilangan 4 , yaitu subyek diminta


55

membedakan antara bilangan 4 dengan bilangan 4 , apakah kedua bilangan

tersebut mempunyai nilai yang sebanding. Akan tetapi, subyek tidak

memberikan jawaban apapun terhadap pertanyaan tersebut karena tidak dapat

membedakan bilangan 4 dengan bilangan 4 .

3. Kesulitan memahami konsep bentuk pangkat

Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat dialami subyek

ketika subyek diberi persoalan tentang pangkat suatu bilangan yang berbentuk

bilangan pecahan yaitu subyek harus memberikan jawaban apakah pangkat

suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan tersebut ada atau tidak. Akan

tetapi, subyek tidak mengetahui ada atau tidaknya pangkat suatu bilangan

yang berbentuk bilangan pecahan sehingga subyek tidak dapat memberikan

jawaban apapun.

4. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

Dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, subyek selalu

mengalami kesulitan dalam menghitung hasil logaritma suatu bentuk akar.

Sebagai contoh, ketika subyek harus menentukan penyelesaian 4log 256 ,

4log 44 , 4log 4 , dan 2log 3 8 , subyek tidak dapat menyelesaikan soal – soal

tersebut, sehingga subyek hanya memutar – mutar lembar soal dan diam saja

karena tidak tahu cara menyelesaikan soal yang berkaitan dengan logaritma.

Hal ini dikarenakan subyek tidak memahami definisi tentang logaritma.

5. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan

Dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan, kesulitan yang dialami subyek adalah ketika subyek melakukan

penarikan akar terhadap bilangan 64 dan 81. Pada mulanya, subyek

memiliki pemahaman bahwa bentuk akar sama artinya dengan bilangan

berpangkat 2 sehingga dalam melakukan penarikan akar, subyek selalu

menjawab dengan bilangan berpangkat 2, selanjutnya subyek mengalikan

bilangan pokok dengan pangkatnya. Akan tetapi, ternyata pemahaman tersebut

keliru dan subyek tidak mengetahui pengertian yang sebenarnya. Oleh karena


56

itu, subyek mengalami kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap

suatu bilangan.

6. Kesulitan melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real

Dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real,

kesulitan yang dialami subyek terlihat ketika subyek menentukan penyelesaian

dari bilangan 273 dan 44. Subyek sama sekali tidak dapat menentukan

penyelesaian soal tersebut. Dari pekerjaan subyek tersebut, terlihat bahwa

subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat sehingga mengalami kesulitan

dalam menentukan penyelesaian bentuk akar.


bentuk pangkat

Kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek diminta

menjelaskan 16 = 164 dan 8 = 82, yaitu subyek memberikan penjelasan

terhadap asal pangkat dari bilangan 16 dan bilangan 8 tersebut. Dalam hal ini,

subyek sudah mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, tetapi ketika

subyek diminta memberikan alasan terhadap perubahan bentuk bilangan

tersebut, subyek tidak dapat menjelaskan jawabannya.


bilangan

Kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek harus

menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 4 = 42 = 8, 4 = 4,

16 = 4, dan 8 = 4. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan atas

jawaban – jawaban tersebut, padahal dari beberapa penyelesaian tersebut

tampak bahwa 4 , 16 , dan 8 mempunyai penyelesaian yang sama yaitu

4. Inilah yang seharusnya dijelaskan oleh subyek, akan tetapi subyek tidak

dapat menjelaskannya.


Kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika subyek harus

menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 9 41

= 3 dan 27 31

= 3. Subyek tidak

dapat memberikan penjelasan terhadap penyelesaian soal tersebut karena tidak


57

paham mengenai definisi bentuk pangkat sehingga akhir penyelesaian soal

tidak dapat diketahui dengan jelas.


58

BAB VI

PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN

Dalam bab ini dikemukakan mengenai pembahasan hasil penelitian yaitu

kesalahan dan kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat pada pembelajaran materi logaritma.

A. Kesalahan Subyek


Dalam penelitian ini, kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat yang dilakukan subyek yaitu subyek selalu mengubah

bilangan bentuk akar menjadi bilangan berpangkat bilangan bulat sehingga

hasil dari bentuk akar tersebut adalah bilangan rasional, sedangkan

berdasarkan definisi bentuk akar, seharusnya hasil dari bentuk akar merupakan

bilangan irrasional. Sebagai contoh, dalam mengubah bilangan menjadi

bentuk pangkat, subyek diminta mengubah bilangan 16 menjadi bentuk

pangkat, yaitu 16 = 44. Menurut pendapat subyek, 16 = 4 × 4 sehingga 44 = 4

× 4 = 16. Oleh karena itu, cara subyek mengubah bilangan menjadi bentuk

pangkat tidak tepat. Dilihat dari pekerjaan subyek tersebut, dapat diperoleh

suatu informasi bahwa subyek tidak memahami tentang pengertian bentuk

akar sehingga menyebabkan kesalahan dalam menyelesaikan soal.

Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut

disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan mengatur yaitu

kemampuan untuk mentaati aturan – aturan yang ada dalam Matematika,

sehingga cara yang digunakan subyek untuk menyelesaikan soal tidak tepat.

Jadi, tampak bahwa sebenarnya subyek sudah mampu mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat, akan tetapi masih kurang menguasai tentang konsep

bentuk akar dan konsep bentuk pangkat.

58


59

2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

Dalam penelitian ini, cara subyek memahami konsep bentuk pangkat

adalah pangkat suatu bilangan hanya berupa bilangan bulat, bukan bilangan

pecahan sehingga pangkat bilangan pecahan adalah tidak ada. Selain itu,

dalam menentukan penyelesaian terhadap bentuk pangkat, subyek

menyelesaikan dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat

bilangannya, misalnya : 82 = 8 × 2 = 16 yang seharusnya 82 = 8 × 8 = 64. Oleh

karena cara pemahaman subyek yang keliru, maka dalam menyelesaikan soal

juga akan menghasilkan penyelesaian yang tidak tepat, sehingga apabila

menjumpai soal yang serupa, maka subyek akan menggunakan cara yang sama

dalam menentukan penyelesaian soal. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan

yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai

kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat kesamaan pokok dan

mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar.

Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan oleh karena kegagalan

subyek dalam melakukan pendewasaan mental sehingga subyek banyak

mengalami masalah dalam pemahaman konsep – konsep Matematika secara

umum. Jadi, tampak bahwa sebenarnya subyek sudah mampu melakukan

perhitungan terhadap bentuk pangkat, akan tetapi subyek masih kurang

menguasai definisi bentuk pangkat.

3. Kesalahan cara memahami konsep bentuk akar

Dalam penelitian ini, pemahaman subyek terhadap bentuk akar adalah

bahwa “ akar “ sama artinya dengan pangkat 4, dan bilangan dalam bentuk

akar artinya adalah bilangan yang berpangkat bilangan bulat karena pangkat

bilangan pecahan menurut subyek tidak ada. Hal ini tentu saja menyimpang

dari definisi bentuk akar yang sebenarnya yaitu akar dari suatu bilangan

rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Sedangkan menurut

subyek, bentuk akar adalah bilangan yang berpangkat bilangan bulat yang

menghasilkan bilangan rasional. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan yang

dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang menguasai

kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat kesamaan pokok dan


60


Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan oleh karena kegagalan

subyek dalam melakukan pendewasaan mental sehingga subyek banyak

mengalami masalah dalam pemahaman konsep – konsep Matematika secara

umum. Jadi, tampak bahwa subyek tidak memahami definisi bentuk akar

secara benar sehingga menyebabkan subyek melakukan kesalahan dalam

menentukan penyelesaian soal – soal yang berkaitan dengan bentuk akar.

4. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real

Dalam penelitian ini, kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada

pemangkatan bilangan real yang dilakukan subyek yaitu memangkatkan

bilangan bulat dengan bilangan bulat dan memangkatkan bilangan bulat

dengan bilangan pecahan. Dalam memangkatkan bilangan bulat dengan

bilangan bulat, kesalahan yang dilakukan subyek adalah mengalikan bilangan

pokok dengan pangkat bilangannya. Dalam memangkatkan bilangan bulat

dengan bilangan pecahan, kesalahan yang dilakukan subyek adalah membagi

bilangan pokok dengan pangkat bilangannya. Dari pekerjaan subyek tersebut,

jelas bahwa subyek tidak memahami konsep pangkat karena cara penyelesaian

soal subyek tidak sesuai dengan konsep pemangkatan bilangan. Berdasarkan

teori Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena

subyek kurang menguasai kemampuan abstraksi yaitu kemampuan melihat

kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat

yang tidak mendasar. Kelemahan dalam kemampuan abstraksi disebabkan

oleh karena kegagalan subyek dalam melakukan pendewasaan mental

sehingga subyek banyak mengalami masalah dalam pemahaman

konsep – konsep Matematika secara umum. Jadi, tampak bahwa subyek masih

kurang menguasai konsep pemangkatan sehingga melakukan kesalahan dalam

memangkatkan suatu bilangan.

5. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian

Dalam penelitian ini, kesalahan subyek dalam melakukan operasi

pembagian terjadi ketika subyek memangkatkan bilangan bulat dengan

bilangan pecahan, yaitu subyek membagi bilangan pokok dengan pangkat


61

bilangannya yang merupakan bilangan pecahan sehingga hasil pembagian

tersebut tidak benar karena cara yang digunakan subyek tidak tepat. Sebagai

contohnya, 27 31 = 27 : 3

1 = 3 dan 16 41

= 16 : 41 = 4. Berdasarkan teori

Marpaung, kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena

subyek kurang menguasai kemampuan mengatur dimana subyek tidak mampu

mentaati aturan – aturan yang ada dalam Matematika. Jadi, tampak bahwa

subyek tidak menguasai operasi pembagian.



aljabar pada bentuk logaritma terjadi pada saat subyek menyelesaikan

soal – soal logaritma yang diberikan, yaitu 4log 256 = 4log 16 = 4log 44 = 4. 4log 4 = 4. 1 = 4. Dari contoh hasil pekerjaan subyek tersebut, tampak bahwa

kesalahan terletak pada saat subyek mengubah bilangan 16 menjadi bentuk

pangkat dengan bilangan pokok 4, yaitu 16 = 44. Oleh karena itu, penyelesaian

tersebut menghasilkan jawaban yang salah. Berdasarkan teori Marpaung,

kesalahan yang dilakukan subyek tersebut disebabkan karena subyek kurang

menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi yaitu kemampuan

mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus,

sehingga subyek menggunakan aturan sendiri dalam melakukan operasi

aljabar pada bentuk logaritma. Jadi, tampak bahwa subyek belum menguasai

materi logaritma sehingga menyelesaikan soal dengan sembarangan.

7. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan


aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan yang dilakukan subyek yaitu

ketika subyek harus menentukan penyelesaian bilangan 4 , 8 , 16 , dan

3 27 . Di dalam menentukan penyelesaian terhadap bilangan – bilangan

tersebut, subyek selalu mengubah bilangan menjadi bentuk pangkat kemudian

mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangan itu. Berdasarkan definisi

bentuk akar maupun bentuk pangkat, maka cara penyelesaian soal subyek


62

tersebut tidak tepat karena tidak sesuai dengan definisi dan sifat dasar bentuk

akar. Berdasarkan teori Marpaung, kesalahan subyek tersebut disebabkan

karena subyek kurang menguasai kemampuan formalisasi dimana subyek

tidak mampu melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan

makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak. Jadi,

tampak bahwa belum mampu memahami bentuk akar secara benar.

B. Faktor Penyebab Kesalahan

Penyebab kesalahan subyek dalam menyelesaikan soal – soal

logaritma adalah kurangnya kemampuan subyek dalam memahami materi.

Pemahaman subyek terhadap Matematika yang kurang, dapat mengakibatkan

kesalahan dalam menentukan penyelesaian soal. Kurangnya pemahaman

materi yang dialami oleh subyek disebabkan karena subyek tidak menguasai

beberapa kemampuan mental yaitu (1) kemampuan membandingkan, dimana

subyek selalu menggunakan cara penyelesaian yang berbeda dalam

menyelesaikan soal-soal logaritma meskipun sebenarnya cara penyelesaiannya

sama, hanya bilangannya yang berbeda; (2) kemampuan mengatur, dimana

subyek tidak menggunakan aturan-aturan yang berlaku dalam Matematika

sehingga menciptakan aturan sendiri; (3) kemampuan melakukan abstraksi

yang menyebabkan subyek mengalami masalah dalam pemahaman

konsep - konsep Matematika secara umum sehingga subyek tidak dapat

memahami konsep dengan benar; (4) kemampuan formalisasi, dimana subyek

mengalami kesulitan dalam melihat bentuk dan berfikir secara formal dan

menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih

abstrak; (5) kemampuan konkritisasi atau partikulasi, dimana subyek tidak

mampu mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal khusus

secara benar; (6) kemampuan representasi, dimana subyek tidak mampu

merepresentasikan ide - ide dalam berbagai modus, sehingga cara

penyelesaian yang digunakan tidak tepat dan menghasilkan jawaban yang

salah.


63

C. Kesulitan Subyek


Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat tampak ketika subyek mengubah bilangan 3 27 , 4 ,

100 , dan 64 menjadi bentuk pangkat. Dari awal subyek diberi soal,

subyek sudah mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal karena subyek

kesulitan dalam menjawab soal – soal tersebut sehingga diperlukan contoh

penyelesaian soal terlebih dahulu. Akan tetapi, setelah contoh penyelesaian

soal diberikan, subyek masih mengalami kesulitan dalam mengubah bentuk

akar menjadi bentuk pangkat sehingga tidak ada soal yang dapat diselesaikan

dengan benar. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan yang dialami subyek

dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat disebabkan karena

subyek kurang menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi yaitu

kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal – hal

khusus. Jadi, tampak bahwa subyek kesulitan memahami bentuk akar dan

bentuk pangkat sehingga perlu lebih banyak penjelasan terhadap materi

tersebut.

2. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar

Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam memahami konsep

bentuk akar terlihat ketika subyek diberi persoalan tentang bilangan 4 dan

bilangan 4 , yaitu subyek diminta membedakan antara bilangan 4 dengan

bilangan 4 , apakah kedua bilangan tersebut mempunyai nilai yang

sebanding. Akan tetapi, subyek tidak memberikan jawaban apapun terhadap

pertanyaan tersebut karena tidak dapat membedakan bilangan 4 dengan

bilangan 4 . Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan yang dialami subyek

dalam memahami konsep bentuk akar disebabkan karena kurang menguasai

kemampuan klasifikasi yaitu kemampuan menggolongkan obyek atau

menetapkan hubungan antarkelas sehingga subyek tidak mampu membedakan

bentuk akar dan bilangan bulat. Selain itu, subyek juga kurang menguasai

kemampuan melakukan abstraksi yang menyebabkan subyek mengalami


64

kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar. Jadi, tampak bahwa subyek

mengalami kelemahan dalam memahami konsep bentuk akar.

3. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk pangkat

Dalam penelitian ini, kesulitan subyek dalam memahami konsep

bentuk pangkat dialami subyek ketika subyek diberi persoalan tentang pangkat

suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan yaitu subyek harus

memberikan jawaban apakah pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan

pecahan tersebut ada atau tidak. Akan tetapi, subyek tidak mengetahui ada

atau tidaknya pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan

sehingga subyek tidak dapat memberikan jawaban apapun. Berdasarkan teori

Marpaung, kesulitan yang dialami subyek dalam memahami konsep bentuk

pangkat disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan

abstraksi dimana subyek mengalami kegagalan dalam melakukan

pendewasaan mental sehingga menyebabkan subyek mengalami kesulitan

dalam memahami konsep bentuk pangkat. Jadi, tampak bahwa subyek

mengalami kelemahan dalam mendefinisikan konsep bentuk pangkat.

4. Kesulitan dalam menghitung logaritma suatu bilangan

Dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, subyek selalu

mengalami kesulitan dalam menghitung hasil logaritma suatu bentuk akar.

Sebagai contoh, ketika subyek harus menentukan penyelesaian 4log 256 ,

4log 44 , 4log 4 , dan 2log 3 8 , subyek tidak dapat menyelesaikan soal – soal

tersebut, sehingga subyek diam saja karena tidak tahu cara menyelesaikan soal

yang berkaitan dengan logaritma. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan

subyek dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma disebabkan

karena subyek kurang menguasai kemampuan konkritisasi atau partikulasi

dimana subyek tidak mampu mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum

atas hal – hal khusus. Jadi, tampak bahwa subyek masih kurang menguasai

logaritma.

5. Kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan


65

Dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan, kesulitan yang dialami subyek adalah ketika subyek melakukan

penarikan akar terhadap bilangan 64 dan 81. Pada mulanya, subyek

memiliki pemahaman bahwa bentuk akar sama artinya dengan bilangan

berpangkat 2 sehingga dalam melakukan penarikan akar, subyek selalu

menjawab dengan bilangan berpangkat 2, selanjutnya subyek mengalikan

bilangan pokok dengan pangkatnya. Akan tetapi, ternyata pemahaman tersebut

keliru dan subyek tidak mengetahui pengertian yang sebenarnya. Oleh karena

itu, subyek mengalami kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap

suatu bilangan. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek dalam

melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan disebabkan

karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan abstraksi dimana

subyek tidak mampu melihat kesamaan pokok dan mengabaikan

perbedaan – perbedaan atau sifat – sifat yang tidak mendasar. Kelemahan

subyek melakukan abstraksi disebabkan karena subyek mengalami kegagalan

dalam melakukan pendewasaan mental. Jadi, tampak bahwa subyek masih

kurang menguasai cara melakukan penarikan akar secara benar.

6. Kesulitan dalam melakukan pemangkatan bilangan real

Dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real,

kesulitan yang dialami subyek terlihat ketika subyek menentukan penyelesaian

dari bilangan 273 dan 44. Subyek sama sekali tidak dapat menentukan

penyelesaian soal tersebut. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek

dalam melakukan operasi aljabar terhadap pemangkatan bilangan real

disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan melakukan

abstraksi dimana subyek tidak mampu melihat kesamaan pokok dan


Kelemahan subyek melakukan abstraksi disebabkan karena subyek mengalami

kegagalan dalam melakukan pendewasaan mental. Jadi, tampak bahwa subyek

masih lemah dalam melakukan pemangkatan bilangan real sehingga tidak

mampu menyelesaikan pemangkatan bilangan real secara benar.


66


bentuk pangkat

Dalam penelitian ini, kesulitan yang dialami subyek terjadi ketika

subyek diminta menjelaskan 16 = 164 dan 8 = 82, yaitu subyek

memberikan penjelasan terhadap asal pangkat dari bilangan 16 dan bilangan 8

tersebut. Dalam hal ini, subyek sudah mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat, tetapi ketika subyek diminta memberikan alasan terhadap perubahan

bentuk bilangan tersebut, subyek tidak dapat menjelaskan jawabannya.

Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek memberikan penjelasan dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat disebabkan karena subyek

kurang menguasai kemampuan representasi yang meliputi kemampuan

merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi

enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak mampu

merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga

menyebabkan subyek kesulitan untuk menjelaskan hasil dari pekerjaannya.

Jadi, tampak bahwa subyek tidak mengerti secara benar tentang bentuk akar

dan bentuk pangkat.


bilangan


subyek harus menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 4 = 42 = 8, 4 =

4, 16 = 4, dan 8 = 4. Subyek tidak dapat memberikan penjelasan atas

jawaban – jawaban tersebut, padahal dari beberapa penyelesaian tersebut

tampak bahwa 4 , 16 , dan 8 mempunyai penyelesaian yang sama yaitu

4. Inilah yang seharusnya dijelaskan oleh subyek, akan tetapi subyek tidak

dapat menjelaskannya. Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek

memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan

disebabkan karena subyek kurang menguasai kemampuan representasi yang

meliputi kemampuan merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan


67

bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak

mampu merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga


Jadi, tampak bahwa subyek belum mengerti tentang penarikan akar.



subyek harus menjelaskan alasan mengenai penyelesaian 9 41

= 3 dan 27 31

= 3.

Subyek tidak dapat memberikan penjelasan terhadap penyelesaian soal

tersebut sehingga akhir penyelesaian soal tidak dapat diketahui dengan jelas.

Berdasarkan teori Marpaung, kesulitan subyek memberikan penjelasan

terhadap hasil pemangkatan bilangan real disebabkan karena subyek kurang

menguasai kemampuan representasi yang meliputi kemampuan

merepresentasikan ide – ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi

enaktif, ikonik dan simbolik. Oleh karena itu, subyek tidak mampu

merepresentasikan ide – ide yang ada di dalam pikirannya sehingga


Jadi, tampak bahwa subyek belum mengerti tentang pemangkatan bilangan

real.

D. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar

Berdasarkan teori Burton, beberapa faktor yang menjadi penyebab

kesulitan subyek dalam belajar memahami materi yang mengakibatkan

munculnya kesulitan dalam menyelesaikan soal yaitu (1) kurikulum yang

kurang sesuai dengan kondisi subyek, bahan dan buku - buku ( sumber ) yang

tidak sesuai dengan tingkat - tingkat kematangan dan perbedaan - perbedaan

individu, dimana subyek dipaksakan untuk mengikuti metode pembelajaran

yang menuntut subyek untuk berpikir mandiri, sedangkan subyek tidak

mampu memahami apabila tidak diberi penjelasan terlebih dahulu;

(2) ketidaksesuaian standar administratif ( sistem pengajaran yang hanya

mementingkan tersampaikannya materi kepada subyek tanpa mempedulikan

apakah subyek sudah memahami materi atau belum, penilaian, pengelolaan


68

kegiatan, dan pengalaman belajar mengajar ); (3) terlalu berat beban belajar

( subyek ) dan atau mengajar ( guru ), terlampau besar populasi subyek dalam

kelas, serta terlalu berat menuntut kegiatan di luar; dan (4) kelemahan dari

sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat pendidikan sebelumnya,

sehingga untuk tingkat selanjutnya subyek juga mengalami kelemahan karena

tidak mempunyai pengetahuan dasar yang kuat sebelumnya.

E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek

Beberapa gejala pertanda adanya kesulitan yang dialami subyek dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat adalah sebagai berikut :

1. Hasil tes yang dicapai sangat rendah

2. Lambat dalam mengerjakan soal - soal logaritma yang diberikan

3. Tidak langsung menjawab ketika diberi pertanyaan

4. Diam saja dan hanya memandangi soal

F. Bentuk Pangkat

Jika a adalah bilangan real ( a ∈ R ) dan n adalah bilangan bulat

positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai

perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.

Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai :

an = a × a × a × … × a × a × a ( n buah faktor )

dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut

pangkat atau eksponen.

Hampir seluruh subyek ketika diminta menentukan penyelesaian

bentuk pangkat, selalu menjawab dengan cara mengalikan bilangan pokok

dengan pangkat bilangan pokok tersebut, sehingga tidak menghasilkan

penyelesaian yang tepat karena tidak sesuai dengan definisi pangkat bulat

yaitu an = a × a × a × … × a × a × a ( n buah faktor ), dimana a disebut

bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau


69

eksponen, serta tidak sesuai definisi pangkat bilangan bulat negatif yaitu

a-n = na1 =

aaaaaa ×××××× ...1 .

Akan tetapi, terdapat salah satu cara penyelesaian yang berbeda dari

salah satu subyek dalam menentukan penyelesaian bentuk pangkat bilangan

pecahan. Cara penyelesaian tersebut adalah membagi bilangan pokok dengan

pangkat bilangan pokok tersebut, sebagai contohnya adalah 9 31

= 9 : 31 = 3.

Cara penyelesaian tersebut tentu saja tidak tepat karena tidak sesuai dengan

definisi pangkat pecahan yaitu misalkan n bilangan bulat positif, a dan b

bilangan – bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut

akar pangkat n dari a ( jika bn = a, maka n nb = n a atau b = n a dengan a

dan b ∈ R ).

G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya

merupakan bilangan irrasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat

dituliskan dalam bentuk nm ( m dan n adalah bilangan – bilangan bulat dengan

n ≠ 0). Dalam bentuk nm itu, bilangan – bilangan m dan n tidak mempunyai

faktor persekutuan yang sama.

Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat

dituliskan dalam notasi sebagai :

a nm

dengan a bilangan real dan a ≠ 0.

Semua subyek memahami bahwa jika bentuk akar diubah menjadi

bentuk pangkat, maka bentuknya akan menjadi bilangan berpangkat bilangan

bulat. Sebagai contoh adalah 4 , subyek menjawab dalam dua versi yaitu

4 = 42 dan 4 = 44. Sedangkan untuk 1 , subyek menjawab bahwa 1

tidak terdefinisi. Jawaban – jawaban tersebut tidak sesuai dengan definisi

bentuk akar yaitu akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan


70

bilangan irrasional, serta tidak sesuai dengan sifat dasar bentuk akar yaitu

q pa = a qp

, dengan a = bilangan pokok, p = pangkat bilangan pokok, dan

q = pangkat akar.

Dalam kasus ini, subyek memiliki pemahaman bahwa pangkat dari

suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada, jadi

menurut subyek pangkat pecahan tidak ada, sehingga tidak satupun subyek

menyelesaikan soal menggunakan pangkat pecahan.

H. Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari

suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang

tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ) : glog a = x jika dan hanya jika gx = a

Dalam penelitian ini, subyek belum sampai menyelesaikan perhitungan

logaritma karena untuk mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat,

subyek masih melakukan banyak sekali kesalahan dan mengalami kesulitan

sehingga subyek tidak mampu menentukan nilai logaritma dari soal - soal

tersebut. Akan tetapi, salah satu subyek berhasil menyelesaikan perhitungan

logaritma meskipun jawaban yang dihasilkan adalah keliru. Hal ini

dikarenakan subyek melakukan kesalahan pada saat mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat, yaitu mengubah bentuk akar menjadi bilangan yang

berpangkat bilangan bulat. Kesalahan subyek tersebut mengakibatkan

kesalahan dalam menyelesaikan soal logaritma yang memuat bentuk akar.


71

BAB VII

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan data dan informasi yang diperoleh serta hasil analisis data

dalam penelitian ini, subyek banyak sekali melakukan kesalahan dan mengalami

kesulitan dalam menyelesaikan soal – soal logaritma yang memuat bentuk akar

terutama dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. Berikut adalah

kesalahan dan kesulitan subyek dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat.

1. Kesalahan Subyek

a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

b. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

c. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar

d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan

real

e. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian

f. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma

g. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan

2. Kesulitan Subyek

a. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat

b. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk akar

c. Kesulitan dalam mendefinisikan bentuk pangkat

d. Kesulitan dalam menghitung logaritma suatu bilangan

e. Kesulitan dalam melakukan penarikan akar terhadap suatu bilangan

f. Kesulitan melakukan pemangkatan bilangan real


72

g. Kesulitan memberikan penjelasan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat

h. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil penarikan akar suatu

bilangan

i. Kesulitan memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan

real

B. Saran

Untuk mengurangi kesalahan dan kesulitan yang dilakukan siswa dalam

mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi

logaritma, penulis mengajukan beberapa saran sebagai berikut :

1. Dalam penelitian ini, keempat subyek tampak masih malu – malu

menyampaikan ide – ide terhadap cara penyelesaian soal sehingga peneliti

mengalami keterbatasan untuk memperoleh data. Hal ini menyebabkan data

yang diperoleh peneliti kurang lengkap. Oleh karena itu, sebelum melakukan

penelitian sebaiknya peneliti dibantu pihak sekolah khususnya guru,

memberikan penjelasan secara menyeluruh kepada subyek mengenai tujuan

peneliti melakukan penelitian dan manfaat penelitian bagi subyek dengan

harapan subyek tidak canggung atau malu dalam memberikan jawaban beserta

penjelasan terhadap pertanyaan – pertanyaan yang diajukan peneliti guna

memperoleh informasi selengkap mungkin.

2. Dalam penelitian ini, keempat subyek mengalami hambatan dalam

menyelesaikan soal yang menyebabkan subyek mengalami kesulitan dalam

menentukan penyelesaian soal. Oleh karena itu, sebaiknya peneliti

memberikan sedikit penjelasan tentang materi pelajaran yang akan digunakan

dalam penelitian untuk mengingatkan kembali subyek terhadap materi

pelajaran tersebut sehingga subyek mempunyai gambaran dalam menentukan

langkah – langkah penyelesaian soal.

3. Dalam penelitian ini, keempat subyek melakukan banyak kesalahan dalam

menyelesaikan soal – soal logaritma khususnya dalam mengubah bentuk akar

menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek yang keliru terhadap

69

71


73

konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat. Oleh karena itu, sebaiknya

peneliti memberikan kesempatan kepada subyek untuk mempelajari materi

bentuk akar dan bentuk pangkat serta materi logaritma sebelum memberikan

soal.

DAFTAR PUSTAKA

Ahmadi, Abu. H. dan Widodo Supriyanto. 1991. Psikologi Belajar. Jakarta :

Rineke Cipta.

Ashlock, Robert. 1988. Error Patterns in Computation. New Jersey : Prentice

Hall.

Noormandiri, B.K. dan Sucipto, Endar. 2004. Matematika SMA Untuk Kelas X.

Jakarta : Erlangga.

Frans Susilo, SJ., St. Suwarsono, dan Fr. Y. Kartika Budi. 1998. Pendidikan

Matematik dan Sains. Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

Habiburrahman. 1984. Diagnosis Kesulitan Belajar dan Pengajaran Remidi

dalam Pendidikan IPA. Penataran Lokakarya Tahap II Proyek Pengembangan

Pendidikan Guru (P3G) Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Jakarta.

Marpaung, Y. 1986. Proses Berpikir Siswa dalam Pembentukan Konsep

Algoritma Matematis. IKIP Sanata Dharma Yogyakarta.

Marpaung, Y. 1986. Aspek – Aspek Kognitif yang Perlu Diketahui Guru – Guru

Matematika sebagai Bekal untuk Dapat Membantu Siswa dengan Lebih Baik.

IKIP Sanata Dharma.

Lestari, Sri. 2003. Kumpulan Rumus Matematika SMU. Bandung : Kawan

Pustaka.

Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta : Erlangga.


74

TRANSKRIPSI DATA 1

Wawancara pertama dengan Livi, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Jumat, 9 Maret 2007 P : Peneliti L : Livi

1. P : “ Selamat siang Livi…” 2. [ L tersenyum ] 3. P : “ Ini soal – soal tentang logaritma, coba kamu kerjakan mana yang paling mudah

menurut kamu ! “ 4. L : “ Contoh soal lain dulu ? “

5. P [ P memberi contoh soal 4 log 256 ] : “ Empat log akar dua ratus lima puluh enam berapa ? “

6. [ L diam sejenak ] 7. P : “ Akar dua ratus lima puluh enam apabila diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi dua

ratus lima puluh enam pangkat berapa ? “ 8. L : “ Dua lima enam pangkat empat ! ”

9. P : “ Kalau akar ini [ P menunjuk : 256 ], pangkat berapa ? “ 10. L : “ Akar ? “ 11. P : “ Akar dua ratus lima puluh enam sama dengan berapa ? “ 12. [ L diam, menopang dagu ] 13. P [ Memberi soal yang lebih sederhana ] : “ Kalau akar dua puluh lima sama dengan

berapa ? “ 14. L : “ Lima ! “ 15. P : “ Mengapa ? “ 16. L : “ Karena lima kali lima sama dengan dua puluh lima ! “ Kembali ke contoh soal 17. P : “ Empat log akar dua ratus lima puluh enam sama dengan empat log enam belas bukan,

sama dengan empat log berapa ? “ 18. L : “ Empat log empat pangkat empat ! ” 19. P : “Empat log empat pangkat empat sama dengan berapa ? “ 20. [ L diam ] 21. P : “ Empat ini [ menunjuk pangkat 4 pada bilangan 4 ] bisa diturunkan menjadi :

4. 4 log 4 = 4. 1 = 4 ? “ 22. [ L mengangguk ] 23. P : “ Ini [ menunjuk : 4 log 4 ] hasilnya berapa ? “ 24. [ L diam ] 25. P : “ Satu bukan ? Mengapa kali satu , karena empat log empat sama dengan satu ! Sudah

mengerti ? “ 26. L : “ Sudah ! “ 27. P : “ Sekarang coba dikerjakan ! “

28. [ L mulai mengerjakan soal : 3 8 ]


75

29. P : “ Ini [ P menunjuk 3 8 ] kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi berapa ? ” 30. [ L masih diam ] 31. P : “ Jangan diperhatikan dulu lognya ! Akar pangkat tiga dari delapan ini bagaimana ? “ 32. [ L bingung, tidak bisa menjawab ] 33. P : “ Sekarang kalau akar delapan saja ! Akar delapan sama dengan delapan pangkat

berapa ? “ 34. L : “ Delapan pangkat dua ! “ 35. P : “ Delapan pangkat dua ? Coba ditulis akar delapan sama dengan delapan pangkat dua ! “

36. [ L menulis : 8 = 82 ] 37. P : “ Mengapa bisa pangkat dua ? “ 38. L : “ Akar delapan sama dengan delapan pangkat berapa, begitu ? “ 39. P : “ Ya, delapan pangkat berapa ? “ 40. L : “ Delapan pangkat empat ! “ 41. P : “ Delapan pangkat empat ? “ 42. [ L dengan ragu – ragu mengangguk ] 43. P [ memberikan soal yang berbeda ]: “ Sekarang coba ditulis, akar enam belas sama dengan

berapa ? “

44. [ L menulis : 16 = 4 ] 45. P : “ Akar enam belas hasilnya empat dari mana ? Mengapa bisa empat ? “ 46. [ L berpikir ] 47. P : “ Akar enam belas hasilnya empat, empat berarti lebih kecil dari enam belas ya ? “ 48. [ L mengangguk ] 49. P : “ Akar delapan tadi Livi menjawab delapan pangkat dua bukan ? “ 50. [ L mengangguk lagi ] 51. P : “ Coba ditulis, delapan pangkat dua sendiri hasilnya berapa ? “ 52. L : “ Enam belas ! “ 53. P : “ Delapan pangkat dua sama dengan enam belas, coba ditulis ! “

54. [ L menulis : 8 = 8 2 = 16 ] 55. P : “ Enam belas lebih besar atau lebih kecil dari delapan ?”

56. L [ meralat jawabannya ] : “ Lebih besar, o…ini [ L menunjuk 8 ] empat, akar delapan

sama dengan empat [ L menulis 8 = 4 ] ! “ 57. P : “ Akar delapan sama dengan empat ? Bisa empat dari mana, padahal tadi akar enam

belas hasilnya juga empat ! “ 58. [ L diam, tampak bingung ] 59. P : “ Enam belas dengan delapan sama atau tidak ? “ 60. L : “ Beda ! “ 61. P : “ Tetapi hasilnya bisa sama, dari mana ? “

62. L : “ Kelipatannya ! Ini sama karena kelipatannya [ L menunjuk 16 = 4 ] ! “ 63. P : “ Kelipatannya ? Kalau ditulis, bagaimana ? “ 64. [ L diam sejenak ] 65. P : “ Tadi akar delapan sama dengan delapan pangkat dua ya ? Menurut Livi delapan

kuadrat ! Sekarang kalau akar enam belas diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi enam belas pangkat berapa ? “

66. L : “ Enam belas pangkat empat [ kemudian L menghitung 16 × 16 × 16 ] ! “ 67. P : “ Enam belas pangkat empat hasilnya berapa ? Banyak bukan ? “ 68. [ L tersenyum malu ] 69. P : “ Ini jawabannya sudah benar, akar enam belas sama dengan empat ! Mengapa sekarang

menjadi enam belas pangkat empat ? Enam belas pangkat dua saja hasilnya sudah seribu dua ratus lima puluh enam…Padahal jawabannya empat bukan ? “

70. [ L tersenyum lagi ]


76

71. P : “ Jadi, ini [ P menunjuk : 16 ] sebenarnya enam belas pangkat berapa ? Tidak mungkin bukan hasilnya menjadi banyak seperti ini [ P menunjuk : 1256 ]

72. L : “ Enam belas pangkat nol ! “ 73. P : “ Enam belas pangkat nol berapa ? “ 74. L [ malu – malu menjawab ] : “ Enam belas ! “ 75. P : “ Mengapa ini [ P menunjuk angka 2 pada 8 2 ] bisa dua ? “ 76. [ L diam saja ] 77. P : “ Sekarang Livi kerjakan sebisa Livi saja ! Akar seratus berapa ? “ 78. L : “ Akar seratus ? “ 79. P : “ Akar seratus hasilnya berapa ? “ 80. L : “ Sepuluh ! “ 81. P : “ Sepuluh diperoleh dari mana ? “ 82. L : “ Sepuluh kali sepuluh ! “ 83. P : “ Jadi, log sepuluh hasilnya berapa ? “ 84. [ L tidak menjawab, hanya diam ] 85. P : “ Kalau bilangan pokoknya disini tidak ditulis, berarti bilangan pokoknya berapa ? “ 86. L : “ Sepuluh ! “ 87. P : “ Jadi, log sepuluh hasilnya berapa ? “ 88. L : “ Satu ! “

89. P [ memberi soal yang berbeda yaitu : 64 ] : “ Enam puluh empat kalau diubah menjadi bilangan berpangkat, menjadi empat pangkat berapa ? “

90. L : “ Empat ! “ 91. P : “ Coba ditulis ! Menjadi, empat log empat pangkat empat ? “ 92. [ L mengangguk ] 93. P : “ Akarnya tetap atau hilang ? “ 94. L : “ Akarnya hilang ! “ 95. P : “ Mengapa bisa hilang ? “ 96. L : “ Empat pangkat empat ! “ 97. P : “ Menurut Livi, ’akar’sebenarnya bilangan pangkat berapa ? “ 98. L : “ Akar ? “

99. P : “ Ya, seperti [ P menunjuk : 8 = 82 ] akar delapan sama dengan delapan pangkat dua

dan [ P menunjuk : 16 = 164 ] akar enam belas sama dengan enam belas pangkat empat, padahal akarnya sama bukan ? ”

100. [ L tersenyum ] 101. P : “ Akar a sama dengan a pangkat berapa ? “ 102. L [ menulis angka 4 ] : “ a pangkat empat ! “ 103. P : “ a pangkat empat ? “ 104. [ L mengangguk ] 105. P : “ Akar enam puluh empat kalau diselesaikan menjadi berapa ? “ 106. [ L diam saja ] 107. P : “ Saya ingin melihat penyelesaiannya ! Ini tadi akarnya bisa hilang, pangkatnya juga

hilang, bagaimana caranya ? “

108. [ L diam saja, kemudian menulis : 4log 64 = 4log 4 = 4log 4 = 1, lalu mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4 ]

109. P : “ Jadi hasilnya ? “ 110. L : “ Empat ! “ 111. P : “ Sekarang kalau saya mempunyai soal akar sembilan, hasilnya berapa ? “ 112. L : “ Tiga ! “ 113. P : “ Karena tiga kali tiga hasilnya sembilan ? Jadi, sembilan sama dengan tiga pangkat

berapa ? “ 114. L : “ Tiga pangkat dua ! “


77

115. P : “ Jadi [ P menunjuk angka 9 ], sembilan bisa diubah menjadi tiga pangkat dua ya ! Akar dari tiga pangkat dua tadi hasilnya tiga bukan ? “

116. [ L mengangguk ] 117. P : “ Akar sembilan kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi sembilan pangkat

berapa ? Akar sembilan sama dengan sembilan pangkat berapa ? “

118. L : “ Sembilan pangkat dua ! “ [ kemudian L mengubah jawabannya dari 92 menjadi 9 41

= 3 ] 119. P : “ Sembilan pangkat seperempat hasilnya sama dengan tiga ? “ 120. L : “ Setengahnya sembilan hasilnya enam, kalau seperempatnya hisalnya tiga ! “ 121. P : “ Bagaimana maksudnya ? “ 122. L : “ Aduh ! “ 123. P : “ Bagaimana ? Di corat – coret tidak apa – apa ! “ 124. L : “ Sebentar…Satu per tiga ! “ [ L mengubah jawabannya lagi ] 125. P : “ Sembilan pangkat sepertiga ? “ 126. L : “ Ya ! “ 127. P : “ Sembilan pangkat sepertiga hasilnya bisa tiga bagaimana ? “ 128. L : “ Sembilan dibagi sepertiga ! “ 129. P : “ Jadi, sembilan dibagi sepertiga sama dengan tiga ? “ 130. [ L mengangguk ] 131. P : “ Kalau akar enam belas tadi , menjadi enam belas pangkat berapa ? “ 132. L : “ Enam belas pangkat seperempat ! “ 133. P : “ Coba ditulis ! Akar enam belas sama dengan enam belas pangkat seperempat

hasilnya…. ? “ 134. L : “ Empat ! “ 135. P : “ Empat diperoleh dari enam belas dibagi seperempat ? “ 136. L : “ Enam belas dibagi seperempat ! “ 137. P : “ Akar sembilan dan akar enam belas hanya berbeda angkanya, tetapi akarnya sama !

Akar sembilan sama dengan sembilan pangkat sepertiga, berarti akar sama dengan pangkat sepertiga ? “

138. [ L mengangguk ]

139. P : “ Sedangkan yang di bawah ini [ P menunjuk : 16 ], akar sama dengan pangkat seperempat ! Berarti tidak sama bukan ? “

140. [ L menggelengkan kepala ] 141. P : “ Jadi, akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda ? “ 142. [ L mengangguk ] 143. P : “ Sekarang, kalau akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh berapa ? “ 144. L : “ Tiga pangkat tiga ! “ 145. P : “ Ini [ P menunjuk angka 33 ] bentuk dari dua puluh tujuh bukan ? “ 146. [ L mengangguk ] 147. P : “ Akarnya bagaimana ? Menjadi dua puluh tujuh pangkat berapa ? “ 148. [ L tidak menjawab ] 149. P : “ Akar sembilan tadi pangkat sepertiga dan akar enam belas tadi pangkat seperempat !

Kalau akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh hasilnya berapa ? “ 150. L : “ Dua puluh tujuh pangkat sepertiga ! “ 151. P ; “ Coba ditulis ! Ini [ P menunjuk angka 33 ] dipakai atau tidak ? “ 152. L : “ Tidak ! “ 153. P : “ Dicoret saja ya ! Dua puluh tujuh pangkat sepertiga hasilnya berapa ? “ 154. L : “ Tiga ! “ 155. P : “ Bagaimana bisa tiga ? “ 156. [ L diam ] 157. P : “ Dari mana diperoleh tiga ? Bagaimana caranya ? “ 158. [ L masih diam ] 159. P : “ Dua puluh tujuh pangkat sepertiga sama dengan tiga diperoleh dari mana ? Mengapa

bisa tiga ? “


78

160. L : “ Dua puluh tujuh dibagi sepertiga sama dengan tiga ! “ 161. P : “ Terima kasih Livi…”

TRANSKRIPSI DATA 2

Wawancara kedua dengan Martha, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Jumat, 9 Maret 2007 P : Peneliti M : Martha

1. P [ P memberikan lembar kerja siswa ]: “ Selamat siang Martha…Sekarang coba kerjakan

soal – soal ini, Martha pilih yang paling mudah dulu ! “ 2. [ M menunjuk soal nomor 3 ] 3. P : “ Nomor tiga ? “ 4. [ M mengangguk ] 5. P : “ Ditulis disini ! “ [ P memberikan selembar kertas untuk mengerjakan soal tersebut ]

6. [ M mulai menulis : 3log 3 27 ] 7. P : “ Tiga log akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh apabila diubah menjadi bentuk pangkat,

menjadi tiga log berapa ? “ 8. [ M diam saja ] 9. P : “Akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh apabila diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi

dua puluh tujuh pangkat berapa ? “ 10. M : “ Dua puluh tujuh pangkat tiga ! “ 11. P : “ Coba ditulis dua puluh tujuh pangkat tiga ! “ 12. [ M menulis : 273 ] 13. P : “Akarnya, tidak ada ? “ 14. [ M diam saja ] 15. P : “ Dua puluh tujuh pangkat tiga hasilnya berapa ? “ 16. [ M tetap diam, tidak menjawab ] 17. P [ memberi soal yang berbeda ] : “ Sekarang kalau akar delapan puluh satu sama dengan

berapa ? “ 18. [ M diam lagi ] 19. P : “ Coba ditulis ! “

20. [ M menulis : 81 ] 21. P : “ Akar delapan puluh satu sama dengan berapa ? “ 22. [ M masih diam ] 23. P : “ Coba angka yang lebih kecil saja, akar empat ! Akar empat sama dengan berapa ? “ 24. M [ menulis : 4 = 2 ] : “ Dua ! “ 25. P : “ Dua diperoleh dari mana ? Mengapa akar empat hasilnya dua ? “ 26. M : “ Dua kali dua sama dengan empat ! “ 27. P : “ Dua kali dua kalau ditulis dalam bentuk pangkat, menjadi dua pangkat berapa ? Sama

artinya dengan dua pangkat berapa ? “ 28. M [ menulis angka 2 diatas angka 2, kemudian menulis : 4 = 22 ] : “ Dua pangkat dua ! “


79

29. P : “ Empat sama dengan dua pangkat dua ! Akar empat tadi hasilnya dua ya, akar empat sama dengan empat pangkat berapa ? “

30. M : “ Empat pangkat dua ! “ 31. P : “ Coba tulis akar empat sama dengan empat pangkat dua, sama dengan berapa hasilnya ? “ 32. M : “ Delapan [ M menulis : 4 = 42 = 8 ] ! “ 33. P : “ Delapan sama dengan dua ? “ 34. [ M menggelengkan kepala ] 35. P : “ Berbeda bukan ? Padahal akar empat hasilnya dua, sekarang mengapa bisa akar empat

sama dengan empat pangkat dua sama dengan delapan ? “ 36. [ M diam saja ] 37. P : “ Empat pangkat dua sama dengan empat kali dua, hasilnya delapan, begitu ? “ 38. [ M mengangguk ] 39. P : “ Enam belas atau delapan ? “ 40. [ M menunjuk angka 8 ] 41. P : “ Jadi, empat pangkat dua sama dengan delapan diperoleh dari empat kali dua ? “ 42. [ M mengangguk ] 43. P : “ Akar empat hasilnya dua, benar [ P menunjuk : 4 = 2 ] ! Mengapa sekarang akar

empat sama dengan empat ? “ 44. [ M diam lagi ] 45. P : “ Akar empat sama dengan empat pangkat berapa ? “ 46. M : “ Empat pangkat empat ! “ 47. P : “ Empat pangkat empat hasilnya berapa ? “ 48. [ M tidak menjawab ] 49. P : “ Dari sini dulu [ P menunjuk : 4 = 2 ] ! Akar empat tadi hasilnya dua karena dua kali

dua sama dengan empat ! Jadi, akar ini [ P menunjuk : 4 ] sendiri sebenarnya pangkat berapa ? “

50. [ M masih diam ] 51. P : “ Empat tidak sama dengan akar empat bukan ? “ 52. [ M diam lagi ] 53. P : “ Karena akar empat hasilnya dua, jadi dua tidak sama dengan empat bukan ? “ 54. [ M diam saja ] 55. P : “ Kalau pangkat pecahan, ada atau tidak ? Misalnya pangkat setengah, pangkat sepertiga,

pangkat seperlima atau mungkin pangkat dua per tiga ? “ 56. [ M masih tetap diam ] 57. P : “ Bilangan yang berpangkat bilangan pecahan misalnya dua pangkat dua per tiga atau dua

pangkat setengah ada bukan ? “ 58. M : “ Berarti setengah ! “ 59. P : “ Setengah atau dua ? Akar empat sama dengan empat pangkat setengah atau empat

pangkat dua ? “ 60. M : “ Pangkat dua ! “ 61. P : “ Jadi empat pangkat dua ? “ 62. M : “ Ya ! “ 63. P : “ Terima kasih Martha ! “


80

TRANSKRIPSI DATA 3

Wawancara ketiga dengan Nuno, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Sabtu, 10 Maret 2007 P : Peneliti N : Nuno 1. P : “ Selamat siang Nuno…Coba dari keempat soal ini, kamu kerjakan mana yang paling

mudah dulu ! “ 2. N :[ N memilih soal nomor 1] 3. P : “ Akar ini diubah dulu ya ? Kalau log tidak ada angkanya [ P menunjuk : log ], bilangan

pokoknya berapa ? “ 4. N : “ Sepuluh ! “ 5. P : “ Sepuluh ? “

6. [ N mengangguk dan menopang dagu, kemudian menulis : 100 ] 7. P : “ Akar seratus kalau diubah menjadi bentuk pangkat, sama dengan seratus pangkat berapa

? “

8. [ N menulis : 100 = 100 ] 9. P : “ Dua atau satu atau setengah atau seperempat ? “ 10. N : “ Dua ! “ 11. P : “ Akar seratus sendiri hasilnya berapa ? “ 12. N : “ Akar seratus sama dengan sepuluh ! “ 13. P : “ Sepuluh ? Coba ditulis disini, akar seratus sama dengan …Berapa hasilnya ? “ 14. N : “ Sepuluh ! “ 15. P : “ Nuno tadi mengatakan bahwa akar seratus sama dengan seratus pangkat…. ? “ 16. N : “ Dua ! “ 17. P : “ Seratus pangkat dua sendiri hasilnya berapa ? Pangkat dua berarti seratus kali seratus

bukan ? “ 18. [ N mengangguk ] 19. P : “ Seratus kali seratus berapa ? Sepuluh ribu, padahal akar seratus hasilnya sepuluh !

Sepuluh sama atau tidak dengan sepuluh ribu ? “ 20. N : “ Tidak ! “ 21. P : “ Jadi, disini seratus pangkat berapa ? “ 22. [ N diam, menopang dagu ]

23. P : “ Kalau disini tidak ada angkanya [ P menunjuk : 100 ], sebenarnya dua bukan ? “ 24. [ N mengangguk ] 25. P [ memberi soal lain ] : “ Akar empat hasilnya berapa ? “ 26. [ N menulis jawaban : 2 ] 27. P : “ Mengapa bisa dua ? Dua diperoleh dari mana ? “ 28. N : “ Karena dua kali dua empat ! “ 29. P : “ Jadi, akar empat sama dengan dua karena dua kali dua sama dengan empat ? “


81

30. [ N mengangguk ] 31. P : “ Kalau akar empat ini [ P menunjuk : 4 ] diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi

empat pangkat berapa ? “ 32. N : “ Dua ! “ 33. P : “ Disini sama dengan dua ya ? Coba sekarang ditulis akar empat sama dengan berapa ? “ 34. N : “ Dua ! “ 35. P : “ Akar empat sama dengan empat pangkat sama dengan berapa ? “ 36. N : “ Enam belas ! “ 37. P : “ Enam belas sama dengan dua ? “ 38. N : “ Tidak ! “ 39. P : “ Bilangan pangkat yang berbentuk pecahan ada atau tidak ? “ 40. [ N diam, menopang dagu dan menggigit pensil, kemudian tersenyum malu ] 41. P : “ Misalnya dua pangkat sepertiga ada atau tidak ? “ 42. N : “ Ada ! “ 43. P : “ Ada ? “ 44. N : “ Ada atau tidak ya…? Menurutku tidak ada ! “ 45. P : “ Sekarang kalau akar satu hasilnya berapa ? “ 46. N : “ Tidak ada ! “ 47. P : “ Akar satu tidak ada hasilnya ? “ 48. [ N hanya senyum – senyum ] 49. P : “ Ya sudah ! Terima kasih Nuno…”


82

TRANSKRIPSI DATA 4

Wawancara keempat dengan Renata, siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Hari : Sabtu, 10 Maret 2007 P : Peneliti R : Renata 1. P [ P memberikan lembar kerja siswa ] : “ Selamat siang Renata…Coba sekarang Renata

kerjakan soal – soal logaritma ini, masih ingat bukan ? “ 2. [ R menunjuk soal nomor 2 ] 3. P : “ Coba dikerjakan ! “

4. [ R menulis : 2log 3 8 = 2log… ] 5. P : “ Dua log akar pangkat dari delapan sama dengan dua log titik – titik, selanjutnya

bagaimana ? “ 6. R : “ Lupa ! “

7. P : “ Lupa ? Coba sekarang mengerjakan yang ini dulu [ P menunjuk : 64 dan 100 ], Renata mau mengerjakan akar enam puluh empat atau akar seratus dulu [ R hanya tersenyum ] ? Kalau akar enam puluh empat dulu bagaimana ? “

8. [ R mengangguk, kemudian menulis : 64 ] 9. P : “ Sekarang yang ini [ P menunjuk : 4 log ] tidak perlu dibaca dulu, akar enam puluh empat

berapa ? Sama dengan enam puluh empat pangkat berapa ? “ 10. [ R tidak menjawab ] 11. P : “ Akar enam puluh empat hasilnya berapa ? “ 12. R [ menulis : 8 × 8 ] : “ Delapan kali delapan ! “ 13. P : “ Delapan kali delapan ? Jadi hasilnya coba ditulis berapa ? “ 14. R : “ Enam puluh empat ! “ 15. P : “ Akar enam puluh empat sama dengan…? “ 16. [ R diam saja ]

17. P : “ Coba ditulis, delapan pangkat dua sama dengan enam puluh empat [ 64 = 82 = 64 ], jadi akar enam puluh empat tetap enam puluh empat ? “

18. R : “ Delapan…! Enam puluh empat ! “ 19. P : “ Delapan atau enam puluh empat ? “ 20. R : “ Delapan ! “ 21. P : “ Mengapa delapan ? Karena delapan kali delapan sama dengan enam puluh empat ! Akar

enam puluh empat kalau diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi enam puluh empat pangkat berapa ? “

22. [ R diam saja ] 23. P : “ Pangkat pecahan ada atau tidak ? “ 24. [ R menggelengkan kepala ] 25. P : “ Tidak ada ? Jadi, yang ada dua hanya pangkat empat ? “ 26. [ R mengangguk ]


83

27. P : “ Terima kasih Renata…”

LEMBAR KERJA SISWA

Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen

dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut !

Log 100

Penyelesaian :

2. 2Log 8

Penyelesaian :

3. 3Log 3 27

Penyelesaian :

4. 4Log 64

Penyelesaian :


84


85


86


87


88


89


90


91


92


93


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji - core.ac.uk · jurusan pendidikan matematika dan ilmu...

Documents