2. Aljabar Boolean

Komputer memanipulasi elemen-elemen diskrit dari informasi yang diwakili oleh kwalitas fisik yang di sebut dengan sinyal. Sinyal-sinyal itu biasanya terbatas pada dua kemungkinan nilai yang di sebut biner Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang terdiri dari suatu kumpulan elemen-eleman B bersama dua operasi biner {+} dan {.} dan sebuah unary {-} sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut berisi : a. Kumpulan B berisi paling sedikit dua elemen a, b sedemikian sehingga a ≠ b

b. Closure properties pada operasi biner untuk semua a, b є B - a + b є B - a . b є B

c. Hukum komunikatif untuk semua a, b є B - a + b = b +a - a . b = b . A

d. Adanya identitas : - Adanya sebuah elemen identitas dalam operasi {+} di tunjukkan oleh 0 sedemikian sehingga a + 0 = a untuk semua a є B - Adanya sebuah elemen identitas dalam operasi {.} di tunjukkan oleh 1 sedemikian sehingga a .1 = a untuk semua a є B

e. Hukum distributif untuk semua a, b, c є B - a + (b . c) = (a + b) . (a + c) - a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

f. Adanya komplemen untuk setiap a є B, harus ada sebuah eleman a є B sedemikian sehingga

- a + ā = 1 - a . ā = 0

g. Hukum asosiatif untuk semua a, b, c є B - a + (b + c) = (a + b) + c - a . (b . c) = (a . b) . c

Beberapa identitas penting dalam aljabar boolean

1. X + 0 = X X .1 = X2. X . (Y+Z) = XY +XZ X + (Y . Z) = (X + Y) (X + X) __ __3. X + X = 1 X . X = 04. X + X = X X X = X5. X + 1 = 1 X . 0 = 06. X + XY = X X ( X +Y ) = X __ __7. ( X + Y )Y = XY XY + Y = X + Y8. (X + Y ) (X + Y ) = X XY + XY = X

2. FUNGSI BOOLEAN

Operasi switching algebra untuk operasi {+}, {.} dan {-} biasa juga di sebut OR, AND dan NOT, operasi ini dapat ditetapkan dengan alat fisik yang di sebut gerbang (gate), yang memungkinkan kita untuk menetapkan ekspresi Boolean dalam bentuk sirkuit logika.

111

100

10{+}

101

000

10{.}

01

10

{-}

Fungsi Boolean dari n variable, f(Xn-1 ,…, X1, X0) dapat di tulis dalam salah satu bentuk berikut :

4. Canonical Sum of Products (SOP)

2n-1 f(Xn-1 ,…, X1, X0) = ∑ αk mk k-0

2. Canonical Product of Sums

2n-1 f(Xn-1 ,…, X1, X0) = Π ( βk + Mk ) k-0

Contoh : Perhatikan tabel kebenaran dari ekspresi boolean tiga variable f(a,b,c) berikut :

1111

1011

1101

1001

2. POS0110

1. SOP0010

Tentukan1100

0000

fcba

Jawab: ____ __ _ _ __

f(a,b,c) = 0 (a b c) + 1 (a b c) + 0 (a b c) + 0 (a b c) + 1 (a b c) _ _ = + 1 (a b c) + 1 (a b c) + 1 (a b c)

__ __ _ _ SOP f(a,b,c) = 1 (a b c) + 1 (a b c) +1 (a b c) + 1 (a b c)

= + 1 (a b c) = ∑m (1,4,5,6,7) ___ _ _ _POS f(a,b,c) = 0 (a b c) + 0 (a b c) + 0 (a b c)

= Π M (0, 2, 3)

Komponen Logika Kombinasional

Teknologi Sirkuit Terpadu (IC) telah berkembang dengan cepat pada tahun-tahun belakangan ini dan piranti digital sekarang telah di buat untuk memperoleh kecepatan tinggi, penghemat tenaga, ukuran yang kecil dan biaya yang rendah dari sebelumnya.

Ukuran IC chip yang berbeda-beda didefinisikan menurut jumlah gerbang di dalamnya, IC di klasifikasikan dalam empat kategori yaitu

13. Small Scale Integration (SSI) terdiri kurang dari 10 gerbang., IC semacan ini biasanya terdiri beberapa gerbang atau Flip Flop dalam satu paket

2. Medium Scale Integration (MSI) terdiri dari 10 – 100 gerbang, IC semacam ini biasanya register, counter dan decoder.

3. Large Scale Integration (LSI) terdiri dari 100 – 10. 000 gerbang, contoh dari IC ini adalah memori yg besar, mikroprosesor dan kalkulator chip.

9. Very Large Scale Integration (VLSI) terdiri lebih dari 10.000 gerbang, Contoh IC VLSI adalah berbagai tahap

perancangan digital, termasuk memori yang besar dan piranti mikrokomputer.

Gerbang Standar

1. Inverter A Y

01

10

YA

True table

2. Gerbang Buffer

A Y

True table

11

0 0

Y A

3. OR AB

111

101

110

000

Y=A+BBA

Y

True table

4. AND

AB

Y

111

001

010

000

Y=A • BBA

True table

5 NOR

AB

Y

011

001

010

100

Y=A+BBA

True table

6. NANDAB Y

011

101

110

100

Y=A • BBA

True table

7. XOR

A

B

Y

AB Y

011

101

110

000

Y=A ⊕ BBA

True table

8. XNOR ( Equlvalence )

AB

Y AB Y

111

001

010

100

Y=A ⊕ BBA

True table

Rumus untuk menentukan banyaknya

kotak pada K-map adalah :

A = 2n

n = jumlah variabel masukanA = banyaknya kotak

1. K-map dengan 1 variabel input Maka untuk membuat K-mapnya :A = 21 = 2

Ā A

10

2. K-map dengan 2 variabel input Maka untuk membuat K-mapnya : A = 22 = 4

Ā A _ B

B 1101

1000

3. K-map dengan 3 variabel input Maka untuk membuat K-mapnya : A = 23 = 8

_ _ _ _ AB AB AB AB

_CC 101111011001

100110010000

4. K-map dengan 4 variabel input Maka K-mapnya : A = 24 = 16

_ _ _ _ AB AB AB AB

_ _ CD _ CD CD

_ CD 101462

111573

91351

81240

_ _ _ _ AB AB AB AB

_ _ CD _ CD CD

_ CD 101

0111

0011

0001

0

1011

1111

0111

0011

1001

1101

0101

0001

1000

1100

0100

0000

Contoh :

3. Perhatikan minimisasi pada f(A,B,C,D) = ∑m (2,3,4,7,10,11,12,15)

Tentukan : Kmap dan covernya dimana __ _ F= BCD + BC + CD