persamaankarakteristik suatumatriks …...perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS

DALAM ALJABAR MAX-PLUS

oleh

ADIMAS BANJAR

M0107019

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i


commit to user

ABSTRAK

Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATUMATRIKSDALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam. Universitas Sebelas Maret.

Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan Rmax = {−∞} ∪R yang dileng-kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus

merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalahhimpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru-pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip denganaljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyaiekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen-tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil daripenelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k,

dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗n−k

.

Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

iv


commit to user

ABSTRACT

Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUSALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, SebelasMaret University.

Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R ∪ {−∞} endowed withmaximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have propertiesas idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebrathat constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication(×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plusalgebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebraconcept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to findcharacteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is aliterary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation,that is

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k,

where dk are the highest coefficient from λ⊗n−k

Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

v


commit to user

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS

DALAM ALJABAR MAX-PLUS

oleh

ADIMAS BANJAR

M0107019

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i


commit to user

SKRIPSI

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM

ALJABAR MAX-PLUS

yang disiapkan dan disusun oleh

ADIMAS BANJAR

M0107019

dibimbing oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Siswanto, M.Si Dra. Respatiwulan, M.Si

NIP. 19670813 199203 1 002 NIP. 19680611 199302 2 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Rabu, 8 Februari 2012

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Drs. Pangadi, M.Si 1. ................................

NIP. 19571012 199103 1 001

2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si 2. ................................

NIP. 19661007 199302 1 001

Surakarta, 10 Februari 2012

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan, Ketua Jurusan Matematika

Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) Ph.D Irwan Susanto, S.Si, DEA

NIP. 19610223 198601 1 001 NIP. 19710511 199512 1 001

ii


commit to user

MOTO

Tidak ada mimpi yang dapat dicapai tanpa pengorbanan.

Setiap pengorbanan tidak ada yang sia-sia.

iii


commit to user

ABSTRAK

Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATUMATRIKSDALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam. Universitas Sebelas Maret.

Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan Rmax = {−∞} ∪R yang dileng-kapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus

merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalahhimpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan meru-pakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip denganaljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyaiekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menen-tukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil daripenelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k,

dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗n−k

.

Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

iv


commit to user

ABSTRACT

Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUSALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, SebelasMaret University.

Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R ∪ {−∞} endowed withmaximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have propertiesas idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebrathat constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication(×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plusalgebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebraconcept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to findcharacteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is aliterary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation,that is

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k,

where dk are the highest coefficient from λ⊗n−k

Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Tulisanku ini kupersembahkan untuk

kedua orang tuaku Bapak Haryono dan Ibu Indrasti Nur Rahayu atas

pengorbanan, do’a, bimbingan, dan dukungannya kepadaku

Mbak Enya dan Mas Omman yang selalu menyemangati dan memberikanku

motivasi,

adik-adikku Zulva, Aziza, Ayyub, Wi’am, Kun-Kun, Wicak, dan Wibi yang

telah memberikanku semangat.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Aljabar max-plus adalah salah satu dari idempotent semi-field yang memi-

liki banyak kegunaan di berbagai bidang matematika. Aljabar max-plus mulai

dikenal karena strukturnya yang mirip dengan aljabar konvensional. Banyak

penelitian yang menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear

konvensional di aljabar max-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah

karya Schutter dan Moor yang membahas tentang persamaan karakteristik su-

atu matriks dalam aljabar max-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk

mengkaji ulang hasil penelitian tersebut.

Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah,

rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 di-

paparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penun-

jang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum

dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan

tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5 berisikan ten-

tang kesimpulan dan saran.

Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak.

Penulis mengucapan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si. dan

Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas

bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan

terima kasih kepada Nugroho, Gery, Adi, Agus, Ika, dan Hokki yang senanti-

asa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap

skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Januari 2012

Penulis

vii


commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II LANDASAN TEORI 3

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Determinan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Aljabar Max-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.5 Matriks dalam Aljabar max-plus . . . . . . . . . . . . . . . 11

viii


commit to user

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 13

IVPEMBAHASAN 14

4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus . 14

4.2 Contoh Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

V PENUTUP 21

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

DAFTAR PUSTAKA 22

ix


commit to user

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

S ⊂ T : S adalah himpunan bagian dari T

R : himpunan bilangan real

Rm×n : matriks berukuran m× n dengan elemen R

In : matriks identitas berukuran n× n

Aαβ : submatriks dari A dengan elemen baris dinyatakan oleh α dan elemen

kolom yang dinyatakan oleh β

Ckn : himpunan seluruh subhimpunan dengan kerdinalitas k dari himpunan

{1, 2, . . . , n}

Pn : himpunan seluruh permutasi dari himpunan {1, 2, . . . , n}

f : D → T : fungsi dengan domain D dan kodomain T

≍ : ekuivalensi asimtotik

λ : nilai eigen dari suatu matriks A

⊕ : operasi penjumlahan aljabar max-plus

⊗ : operasi pergandaaan aljabar max-plus

ε : elemen identitas untuk ⊕; ε = −∞

x⊗r

: pangkat ke-r dari x dalam aljabar max-plus

En : matriks identitas berukuran n× n dalam aljabar max-plus

Rmax : R ∪ {−∞}

Rm×nmax : matriks berukuran m× n dengan elemen Rmax

x


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Sistem kejadian diskrit (skd) adalah nama klasifikasi masalah sistem den-

gan sumber daya terbatas yang digunakan oleh beberapa pengguna demi men-

capai tujuan bersama. Contoh-contoh masalah skd antara lain adalah jaringan

transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga,

sistem produksi, dan berbagai masalah dengan sumber daya yang terbatas [10].

Dari masalah skd dapat dibentuk model matematika yang biasanya berbentuk

sistem persamaan non-linear. Mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear

dengan metode penyelesaian sistem dinamik tidaklah mudah. Dalam perkemban-

gannya, menurut Schutter dan Boom [12] jika digunakan aljabar max-plus untuk

mempelajari sifat skd, maka diperoleh suatu model berbentuk sistem persamaan

linear. Masalah skd akan lebih mudah diselesiakan jika model berbentuk sistem

yang linear.

Skd merupakan sistem yang komponennya bekerja dalam suatu siklus, kare-

na tiap komponen harus menunggu hasil dari komponen lain yang berada dalam

sistem tersebut untuk bekerja. Muncul masalah bagaimana cara mengatur sis-

tem agar seluruh komponennya dapat memulai siklus bersamaan. Nilai eigen

mendeskripsikan waktu maksimal yang diperlukan satu komponen dalam sistem

untuk menyelesaikan kerjanya [5]. Mencari nilai eigen dalam aljabar max-plus

yang diperoleh dari model adalah cara menyelesaikan permasalahan tersebut [3].

Menurut Anton [1] jika A adalah suatu matriks berukuran n × n, maka nilai

eigen λ dapat diperoleh dengan mencari akar-akar yang tidak nol dari persamaan

det(λI − A) = 0. Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik

dari A.

1


commit to user

Menurut Bacelli [2], aljabar max-plus adalah himpunan R∪{−∞} bersama

dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗) yang menggantikan op-

erasi penjumlahan dan perkalian pada aljabar konvensional. Aljabar konvensional

merupakan field, sedangkan aljabar max-plus (Rmax,⊕,⊗) merupakan idempotent

semi-field. Karena kemiripan strukturnya, berbagai sifat dan konsep pada aljabar

linear, seperti aturan Crammer, teorema Cayley-Hamilton, masalah nilai eigen,

dan persamaan karakteristik memiliki ekuivalensi secara aljabar max-plus [7].

Penelitian yang telah dilaksanakan Schutter dan Boom menjelaskan men-

genai sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus [10]. Kemudian, Schutter

dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] menunjukkan bagaimana menentukan

persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus. Sejalan den-

gan kedua penelitian tersebut, penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengkaji

ulang tulisan Schutter dan Moor dan Farlow tentang persamaan karakteristik

dalam aljabar max-plus dengan memberikan penyempurnaan penjelasan, bukti

teorema, dan contoh kasus.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan masalah yaitu

bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar

max-plus?

1.3 Tujuan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menentuan persamaan karakteris-

tik suatu matriks dalam aljabar max-plus.

1.4 Manfaat

Manfaat penulisan skripsi ini adalah pengayaan di bidang aljabar, khusus-

nya aljabar max-plus, yaitu dapat menentukan persamaan karakteristik suatu

matriks dalam aljabar max-plus.

2


commit to user

Bab II

LANDASAN TEORI

Bab kedua skripsi ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama dije-

laskan mengenai tinjauan pustaka penelitian-penelitian yang dilaksanakan dan

digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini. Pada bagian kedua di-

jelaskan mengenai teori-teori penunjang yang meliputi definisi-definisi yang di-

gunakan dalam pembahasan selanjutnya. Setelah dijelaskan mengenai landasan

teori yang digunakan, pada bagian terakhir bab ini dibangun alur pemikiran

dalam penulisan skripsi ini yang dijelaskan dalam kerangka pemikiran.

2.1 Tinjauan Pustaka

Aljabar max-plus adalah salah satu jenis dari idempotent semi-field. Jenis

idempotent semi-field yang lain adalah aljabar min-plus. Operasi penjumlah-

an dalam himpunan tersebut adalah operasi minimum dengan elemen identitas

∞ [7]. Aljabar max-plus diperkenalkan oleh Klene pada papernya yang memba-

has tentang jaringan syaraf dan automata di tahun 1956 [8]. Dalam perkemban-

gannya, diketahui bahwa aljabar max-plus juga dapat digunakan untuk memo-

delkan, menganalisis, dan mengontrol beberapa subkelas sistem kejadian diskrit

(skd) [12]. Beberapa contoh skd tersebut adalah jaringan telekomunikasi, sistem

kontrol lalu lintas, sistem logistik, sistem transportasi, jaringan komputer, dan

sebagainya.

Karakteristik yang paling menonjol dari skd adalah dinamisasi sistem yang

berdasarkan atas kejadian. Kejadian adalah keadaan dari dimulainya hingga

berakhirnya suatu aktivitas. Misalkan dalam suatu proses produksi, kejadian

yang dapat terjadi antara lain adalah input, proses, dan output. Diasumsikan

bahwa jika satu kejadian selesai, maka kejadian selanjutnya akan langsung terjadi

3


commit to user

dan interval tiap-tiap kejadian tidak harus sama.

Pada umumnya model matematika dari skd menghasilkan model yang non-

linear jika dideskripsikan menggunakan aljabar konvensional. Akan tetapi terda-

pat beberapa subkelas dari skd yang dapat dideskripsikan menggunakan aljabar

max-plus [2] yang dilengkapi dengan operasi maksimisasi dan penjumlahan se-

bagai operasi dasarnya, sehingga diperoleh model yang linear. Adapun subke-

las tersebut adalah skd dengan sinkronisasi tanpa adanya kejadian yang berca-

bang. Operasi hitung maksimisasi menggambarkan sinkronisasi komponen skd

yang akan langsung melaksanakan operasi setelah seluruh operasi komponen se-

belumnya selesai. Sedangkan operasi hitung penjumlahan menggambarkan durasi

dari seluruh aktivitas. Waktu penyelesaian operasi diperoleh dari penjumlahan

dari waktu dimulainya operasi dengan durasi aktivitas. Deskripsi tersebut menye-

babkan aljabar max-plus dapat menghasilkan model yang linear [12]. Hal inilah

yang menyebabkan aljabar max-plus mempunyai banyak kegunaan di berbagai

bidang.

Pada awal tahun enam puluhan fakta kegunaan aljabarmax-plus ditemukan

secara independen oleh beberapa peneliti, antara lain adalah Cunningham-Green

dan Giffler. Hal tersebut menyebabkan banyak peneliti mulai tertarik untuk

meneliti aljabar max-plus, adapun beberapa perintisnya adalah Cunningham-

Green, Gaubert, Gondran, dan Minoux. Mereka menemukan bahwa berbagai

teorema dan teknik yang digunakan dalam aljabar linear klasik mempunyai analo-

gi pada aljabar max-plus [6]. Bacelli [2] telah menjelaskan bagaimana pentingnya

nilai eigen suatu matriks pada aljabar max-plus. Dalam jurnalnya Bapat [3],

Chung [5], dan Butkovic [4] telah menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah

nilai eigen tersebut. Akan tetapi nilai eigen suatu matriks dapat pula diperoleh

dari persamaan karakteristik matriks tersebut [1]. Schutter dan Moor pada [11]

dan Farlow pada [7] telah menunjukkan analogi dari persamaan karakteristik pa-

da aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penelitian ini

dilaksanakan bertujuan untuk mengkaji ulang kedua penelitian tersebut disertai

dengan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.

4


commit to user

2.2 Teori-Teori Penunjang

Untuk dapat mencapat tujuan penelitian, perlu diuraikan terlebih dahulu

beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain

adalah pengertian aljabar max-plus, struktur aljabar max-plus, pengertian sistem

persamaan linear dan matriks dalam aljabar konvensional, matriks dalam aljabar

max-plus, dan terakhir adalah beberapa sifat dan konsep aljabar linear dalam

aljabar konvensional.

2.2.1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Dua definisi yang berhubungan dengan sistem persamaan linear berikut diambil

dari Lipschutz [9].

Definisi 2.2.1 (Definisi Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu persamaan

linear dengan variabel bebas x1, x2, . . . , xn adalah

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

dengan a1, a2, . . . , an, b adalah suatu konstanta. Konstanta ak disebut koefisien

dari xk untuk k = 1, 2, . . . , n. Sedangkan b disebut sebagai konstanta dari per-

samaan.

Definisi 2.2.2 (Definisi Sistem Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu

sistem persamaan linear dengan variabel bebas x1, x2, . . . , xn adalah

a11x1 + a12x2+ · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2+ · · ·+ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2+ · · ·+ amnxn = bm

, (2.1)

dengan aij, bi adalah konstanta.

Sistem (2.1) dapat dibentuk menjadi suatu bentuk barisan angka yang dise-

5


commit to user

but matriks perbesaran. Berikut adalah bentuk matriks perbesaran tersebut.

M =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

......

......

am1 am2 · · · amn bm

.

Dapat dilihat bahwa setiap baris dari M berkorespodensi dengan setiap per-

samaan dari sistem. Sedangkan, setiap kolom dalam sistem berkorespodensi den-

gan setiap variabel dari sistem, kecuali kolom terakhir yang berkorespodensi den-

gan konstanta dari sistem. Barisan angka tersebut biasa disebut sebagai matriks

dan berikut adalah definisi matriks.

Definisi 2.2.3 (Lipschutz [9]). Jika A adalah suatu barisan angka berbentuk

persegi empat sebagai berikut

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...

am1 am2 · · · amn

,

maka barisan A disebut sebagai matriks. Matriks tersebut dapat dituliskan se-

bagai A = (aij) dengan i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Ukuran dari suatu matriks ditentukan dari jumlah baris dan kolomnya. Se-

bagai contoh jika suatu matriks memiliki tiga baris dan dua kolom, maka ukuran

dari matriks tersebut adalah 3×2. Matriks dengan ukuran m×n disebut sebagai

matriks m× n.

2.2.2 Determinan Matriks

Menurut Anton [1], determinan adalah suatu fungsi yang bernilai real dari suatu

matriks persegi berukuran n misal A = (aij) dan dinotasikan sebagai det(A) atau

6


commit to user

|A| atau ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Misal terdapat suatu matriks A = (aij) dengan i = 1, 2, . . . , n dan j =

1, 2, . . . , n, akan dibentuk suatu produk perkalian yang diambil dari n elemen

dari A. Dari masing-masing kolom dari matriks A diambil satu elemen. Selain

berasal dari kolom yang berbeda, elemen tersebut harus berasala dari baris yang

berbeda pula, sehingga hasil perkalian n elemen tersebut dapat dituliskan sebagai

a1j1a2j2 . . . anjn.

Indeks angka pertama diperoleh dari baris, sehingga urutannya adalah 1, 2, . . . , n.

Sedangkan untuk indeks angka kedua diperoleh dari kolom yang berbeda, sehing-

ga diperoleh dari permutasi σ = j1, j2, . . . , jn ∈ Sn.

Definisi 2.2.4. Determinan dari A = (aij) yang dinotasikan sebagai det(A) atau

|A| adalah suatu jumlahan seluruh hasil permutasi dari Sn dan dikalikan dengan

sgn σ, yaitu

|A| =∑

σ∈Sn

(sgn σ)a1σ(1)a2σ(2) · · ·anσ(n).

Dengan sgn σ adalah

sgn σ =

1, jika σ permutasi genap;

−1, jika σ permutasi ganjil.

2.2.3 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks

Jika dimisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran n× n, maka matriks

karakteristik dari A adalah matriks λIn − A dengan In adalah matriks identitas

berukuran n dan λ adalah variabel bebas. Matriks karateristik dari A dapat

7


commit to user

dituliskan sebagai

λIn −A =

λ− a11 −a12 · · · −a1n

−a21 λ− a22 · · · −a2n...

......

...

−an1 −an2 · · · λ− ann

.

Dengan mencari determinan dari matriks karakteristik dari A, diperoleh suatu

polinomial, yaitu

∆A(λ) = det(λIn −A).

Polinomial ∆A(λ) adalah polinomial yang disebut sebagai polinomial karak-

teristik dari A. Kemudian, persamaan karakteristik dari A adalah

∆A(λ) = det(λIn −A) = 0.

2.2.4 Aljabar Max-Plus

Pada bagian ini dijelaskan lebih lanjut mengenai struktur, sifat-sifat, dan beber-

apa operasi dasar dalam aljabar max-plus. Dalam penelitiannya, Bacelli [2] dan

Siswanto [13] telah membahas beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur

aljabar max-plus.

Definisi 2.2.5 (Definisi Monoid). Monoid (K, ∗) adalah himpunan K bersama

dengan operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif dan elemen identitas.

Definisi 2.2.6 (Definisi Grup). Grup (G, ∗) adalah himpunan G bersama dengan

operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif, elemen identitas, dan elemen

invers.

Definisi 2.2.7 (Definisi Semi-ring). Semi-ring (S,⊕,⊗) adalah himpunan S ber-

sama dengan operasi biner ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi biner

⊗ membentuk monoid, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕.

Definisi 2.2.8 (Definisi Dioid). Dioid (D,⊕,⊗) adalah semi-ring yang idempo-

tent, yaitu a⊕ a untuk setiap a ∈ D.

8


commit to user

Definisi 2.2.9 (Definisi Semi-field). Semi-field (S,⊕,⊗) adalah himpunan S

bersama dengan operasi penjumlahan ⊕ membentuk monoid abelian, dengan

operasi pergandaan ⊗ membentuk grup, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕.

Aljabar max-plus atau (Rmax,⊕,⊗) adalah suatu semi-field yang dibentuk

oleh himpunan Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi max sebagai

operasi penjumlahan ⊕ dan operasi plus sebagai operasi pergandaan ⊗ yang

dituliskan sebagai berikut

a⊕ b = max(a, b) a⊗ b = a + b.

Berikut adalah contoh penggunaan operasi hitung tersebut.

3⊕ 2 = max(3, 2) = 3 = max(2, 3) = 2⊕ 3,

4⊗ 5 = 4 + 5 = 9 = 5 + 4 = 5⊗ 4.

Elemen identitas terhadap operasi pergandaan ⊗ adalah e = 0. Sedangkan ele-

men identitas terhadap operasi penjumlahan ⊕ adalah ε = −∞. Selanjutnya,

sifat-sifat dasar dari aljabar max-plus dijelaskan pada Lema 2.2.1. Karena pem-

buktian bersifat dasar sehingga tidak disertakan.

Lema 2.2.1. Untuk setiap x, y, z ∈ Rmax berlaku sifat

1. assosiatif x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z dan x⊗ (y ⊗ z) = (x⊗ y)⊗ z,

2. komutatif x⊕ y = y ⊕ x dan x⊗ y = y ⊗ x,

3. distributif x⊗(y⊕z) = (x⊗y)⊕(x⊗z) dan (x⊕y)⊗z = (x⊗z)⊕(y⊗z)

4. elemen nol x⊕ ε = ε⊕ x = x

5. elemen unit x⊗ e = e⊗ x = x

6. invers terhadap pergandaan adalah jika x 6= e maka akan terdapat elemen

y yang tunggal dengan x⊗ y = e

7. elemen penyerap x⊗ ε = ε⊗ x = ε

8. idempotent terhadap penjumlahan x⊕ x = x.

9


commit to user

Aljabar max-plus juga dikenal sebagai aljabar dari fungsi dengan pertum-

buhan asiptotik dalam aljabar konvensional. Untuk memperjelas hal tersebut,

diberikan definisi dan lema berikut.

Definisi 2.2.10. Jika p : (0,∞) → (0,∞) dan u ∈ (−∞,∞), maka didefinisikan

p ≍ esu yang berarti lims→∞ s−1ln(p) = u.

Lema 2.2.2. Jika f ≍ esa dan g ≍ esb dengan a, b ∈ [−∞,∞), maka

f + g ≍ es(a⊕b) dan fg ≍ es(a⊗b)

Bukti. Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada fg maka diperoleh

lims→∞

s−1 ln(fg) = lims→∞

s−1 ln(f) + lims→∞

s−1 ln(g) = a + b = a⊗ b,

yang berarti terbukti bahwa fg ≍ es(a⊗b). Kemudian, dapat diketahui bahwa

max(f, g) ≤ f + g ≤ 2max(f, g). Jadi, jika digunakan kembali Definisi 2.2.10

maka diperoleh

lims→∞

s−1 ln(max(esa, esb)

)≤ lim

s→∞

s−1 ln(esa+esb) ≤ lims→∞

s−1(ln(max(esa, esb)

)+ ln 2

).

Karena s−1 ln(max(esa, esb)

)= max(a, b), dan dengan menggunakan teorema apit,

diperoleh bahwa

lims→∞

s−1 ln(f + g) = max(a, b) = a⊕ b.

Jika Definisi 2.2.10 dan Lema 2.2.2 digunakan pada fungsi eksponensial esa

dan esb akan diperoleh operasi ⊕ dan ⊗ sebagai berikut

esaesb ≍ es(a⊗b)

esa + esb ≍ es(a⊕b).

Hubungan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional tersebut sering digu-

nakan untuk membuktikan sifat-sifat dalam aljabar max-plus.

10


commit to user

2.2.5 Matriks dalam Aljabar max-plus

Berikut adalah definisi matriks dalam aljabar max-plus sebagaimana telah

dijelaskan oleh Farlow dalam [7].

Definisi 2.2.11 (Definisi Matriks dalam Aljabar Max-Plus). Himpunan matriks

berukuran m × n dengan elemen-elemen Rmax dinotasikan dengan Rm×nmax . Him-

punan tersebut dapat dituliskan sebagai

Rm×nmax =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...

am1 am2 · · · amn

∣∣∣∣∣aij ∈ Rmax

.

Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ∈ Rm×nmax dinyatakan oleh

aij atau dapat ditulis sebagai [A]ij .

Selanjutnya dijelaskan mengenai operasi matriks dalam aljabar max-plus.

Definisi-definisi berikut diacu dari Farlow [7] dan Siswanto [13].

Definisi 2.2.12 (Operasi Hitung dari Matriks dalam Aljabar Max-Plus).

1. Untuk setiap A,B ∈ Rm×nmax , definisi penjumlahan A⊕B adalah

[A⊕ B]ij = aij ⊕ bij = max(aij , bij).

2. Untuk setiap A ∈ Rm×kmax dan B ∈ R

k×nmax, definisi pergandaan A⊗B adalah

[A⊗B]il =k⊕

j=1

(aij ⊗ bjl) = maxj∈{1,2,...}

(aij + bjl).

3. Transpose dari matriks dituliskan sebagai AT dan didefinisikan seperti dalam

aljabar konvensional, yaitu

[AT ]ij = [A]ji.

11


commit to user

4. Untuk matriks berukuran n× n dalam aljabar max-plus memiliki identitas

En yang didefinisikan sebagai

[En]ij =

e, jika i = j;

ε, jika i 6= j,

dengan ε adalah elemen identitas dari operasi max yaitu −∞ sedangkan e

adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan yaitu 0.

5. Untuk suatu matriks A ∈ Rn×nmax dan bilangan bulat positif k, pangkat k dari

A dituliskan sebagai A⊗k dan didefinisikan dengan

A⊗k =A⊗ A⊗ . . .⊗ A︸︷︷︸

k kali.

Untuk k = 0, berlaku A⊗0 = En.

6. Untuk sebarang matriksA ∈ Rn×nmax dan α ∈ Rmax, operasi α⊗A didefinisikan

dengan

[α⊗ A]ij = α⊗ [A]ij.

2.3 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran

langkah-langkah penyelesaian masalah dalam penulisan skripsi ini. Pertama,

akan dipahami terlebih dahulu mengenai struktur aljabar max-plus. Kedua, di-

lanjutkan dengan memahami tentang sistem persamaan linear aljabar max-plus

dan bagaimana membuat suatu matriks dari sistem tersebut. Ketiga, memaha-

mi konsep-konsep aljabar linear dalam aljabar max-plus, khususnya determinan

matriks dalam aljabar max-plus. Setelah memahami determinan matriks dalam

aljabar max-plus barulah dapat ditentukan persamaan karakteristik dari suatu

matriks. Kemudian, untuk memperjelas pembahasan, akan diberikan contoh ka-

sus mengenai penentuan persamaan karakteristik dari suatu matriks.

12


commit to user

Bab III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah ka-

jian pustaka, yaitu dengan mengumpulkan berbagai referensi buku, skripsi, jur-

nal, maupun informasi dari halaman websites mengenai struktur aljabar, aljabar

max-plus, sifat-sifat aljabar linear, dan sistem persamaan linear aljabar max-plus.

Dari metode tersebut, diharapkan dapat dikaji ulang bagaimana penentuan per-

samaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus dan kemudian

memberikan contoh penerapannya dalam contoh kasus.

Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini.

1. Menerapkan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konven-

sional,

2. menerapkan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks pada aljabar

max-plus,

3. menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabarmax-plus,

dan

4. memberikan contoh kasus berupa model dari jalur kereta api sederhana

yang diambil dari Vries [14].

13


commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini diberikan hasil studi dan pembahasan. Bab ini terdiri dari dua

bagian. Pada bagian pertama akan dijelaskan tentang bagaimana cara mengkons-

truksikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Kemu-

dian, akan diberikan contoh kasus tentang jaringan kereta api sederhana pada

bagian yang kedua.

4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam

Aljabar max-plus

Sebelum membahas persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, ter-

lebih dahulu didefinisikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar

konvensional. Jika A adalah suatu matriks berukuran n×n dan ϕ ⊂ {1, 2, . . . n},

maka Aϕϕ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus seluruh baris

dan kolom dari A kecuali elemen dari baris dan kolom yang dinyatakan oleh ϕ.

Kemudian, persamaan karakteristik suatu matriks adalah

det(λI − A) = λn + c1λn−1 + . . .+ cn−1λ+ cn = 0 (4.1)

untuk ck = (−1)k∑

σ∈Ckn

det(Aσσ) dengan Ckn adalah himpunan dari seluruh sub-

himpunan k elemen dari himpunan {1, 2, . . . , n}. Karena dalam aljabar max-plus

tidak didefinisikan operasi pengurangan, koefisien ckλn−k dari persamaan (4.1)

yang bertanda negatif dipindahkan ke ruas kanan. Sifat-sifat dari permutasi di-

gunakan untuk memisahkan antara koefisien ckλn−k yang bernilai positif.

Digunakan pendekatan melalui fungsi eksponensial, yaitu matriks esA

untuk menentukan analogi persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus. Jika

14


commit to user

matriks esA disubstitusikan pada persamaan (4.1), maka diperoleh

det(λI − esA) = λn + γ1λn−1 + . . .+ γn−1λ+ γn = 0, (4.2)

dengan γk(s) = (−1)k∑

σ∈Ckn

det(esAσσ).

Didefinisikan Γk = {ζ : ∃{i1, i2, . . . , ik} ∈ Ckn, ∃ρ ∈ Pk sedemikian se-

hingga ζ =∑k

r=1 airiρ(r)} untuk k = 1, 2, . . . , n dengan Pn adalah himpunan selu-

ruh permutasi σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}. Nilai Γk merupakan himpunan

pangkat dari esζ yang terjadi pada γk(s). Jika didefinisikan Ik(ζ) adalah koefisien

dari esζ untuk setiap ζ ∈ Γk dengan k ∈ 1, 2, . . . , n, maka Ik(ζ) = Iek(ζ)− Iok(ζ)

dengan

1. Iek(ζ) adalah nilai dari ρ ∈ P ek sedemikian sehingga {i1, i2, . . . , in} ∈ Ck

n dan

ζ =∑k

r airiρ(r),

2. Iok(ζ) adalah nilai dari ρ ∈ P ok sedemikian sehingga {i1, i2, . . . , in} ∈ Ck

n dan

ζ =∑k

r airiρ(r),

untuk P en sebagai permutasi genap dan P o

n sebagai permutasi ganjil.

Nilai Ik(ζ) disubstitusikan pada γk(s) dan diperoleh

γk(s) = (−1)k∑

ζ∈Γk

Ik(s)esζ. (4.3)

Didefinisikan dominan dari γk(s) adalah

dk = max{ζ ∈ Γk : Ik(ζ) 6= 0}.

Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan (4.3), maka diperoleh

|γk(s)| ≍ esdk .

Kemudian didefinisikan nilai koefisien dari γk(s) sebagai γ̄k(s) = (−1)kIk(dk)

untuk k = 1, 2, . . . , n. Misal ℓ = {k : γ̄k(s) > 0} dan = {k : γ̄k(s) < 0}, agar

dapat memisahkan koefisien yang positif dengan negatif. Sebagai contoh untuk

setiap ζ ∈ Γ1 = {aii : i = 1, 2, . . . , n} diketahui bahwa Io1(ζ) = 0 dan Ie1(ζ) > 0.

Hal ini menyebabkan I1(d1) > 0 sehingga γ̄1 < 0 yang berarti 1 ∈ . Sejalan

15


commit to user

dengan Γ1 seluruh γk(s) dengan γ̄k(s) < 0 atau k ∈ dipindah ke ruas kanan

agar tanda negatif dapat dihilangkan. Seluruh γk(s) dengan k ∈ dipindahkan

ke ruas kanan dan diperoleh

λn +∑

k∈ℓ

γ̄k(s)esdkλn−k =

∑

k∈

γ̄k(s)esdkλn−k. (4.4)

Kemudian, agar Lema 2.2.2 dapat digunakan, variabel λ pada persamaan

(4.4) diganti dengan variabel esλ dan diperoleh

esλn

+∑

k∈ℓ

γ̄k(s)esdkesλ

n−k

≍∑

k∈

γ̄k(s)esdkesλ

n−k

esλn

+∑

k∈ℓ

γ̄k(s)esdkλ

n−k

≍∑

k∈

γ̄k(s)esdkλ

n−k

Jika digunakan Definisi 2.2.10, maka diperoleh

lims→∞

s−1 ln(esλ

n

+∑

k∈ℓ

γ̄k(s)es(dkλ

n−k))= lim

s→∞

s−1 ln(∑

k∈

γ̄k(s)es(dkλ

n−k))

(4.5)

Kemudian, digunakan Lema 2.2.2 pada persamaan (4.5) dan diperoleh

maxk∈ℓ

(nλ, dk +

((n− k)λ

)+ ln

(γ̄k(s)

))= max

k∈

(dk +

((n− k)λ

)+ ln

(γ̄k(s)

)).

Karena ln(γ̄k(s)

)dapat diabaikan, persamaan karakteristik suatu matriks dalam

aljabar max-plus adalah

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k (4.6)

4.2 Contoh Kasus

Kasus berikut diambil dari penelitian yang telah dilaksanakan oleh Vries et.

al [14]. Misalkan diketahui suatu jaringan rel kereta api sederhana seperti yang

dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada jaringan tersebut, terdapat rute kereta dari

P menuju ke S dan sebaliknya yang melewati stasiun Q. Selain itu terdapat rute

dari stasiun Q ke R dan sebaliknya. Pada stasiun Q kereta dari P dan S harus

mendahulukan kereta yang berjalan pada rute Q ke R dan sebaliknya.

Waktu keberangkatan dari kereta ke-k pada rute i dinotasikan sebagai xi(k),

untuk i = 1, 2, . . . , n dengan n adalah jumlah rute yang berbeda pada jaringan.

16


commit to user

Gambar 4.1. Jaringan rel kereta api sederhana.

Kereta ke-(k + 1) harus memenuhi beberapa kondisi untuk dapat berjalan pada

rute i. Kondisi pertama adalah kereta harus telah tiba di stasiun. Dianggap

bahwa kereta dari rute j akan melanjutkan perjalanan melewati rute i, sehingga

diperoleh kondisi berikut.

xi(k + 1) ≥ aij ⊗ xj(k), (4.7)

dengan xi(k + 1) adalah waktu keberangkatan ke-(k + 1) pada rute i dan aij

adalah waktu tempuh yang diperlukan untuk melewati rute j ke i ditambah

dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta.

Kondisi kedua adalah setiap kereta dapat menunggu kereta lain yang berhu-

bungan. Hal tersebut menyebabkan munculnya kondisi berikut.

xi(k + 1) ≥ ail ⊗ xl(k), (4.8)

untuk l adalah himpunan seluruh rute sebelum i dengan ail adalah waktu tempuh

pada rute l ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun

dan naik dari kereta.

Diasumsikan bahwa kereta langsung berangkat jika seluruh kondisi telah

dipenuhi. Waktu keberangkatan kereta ke-(k + 1) pada rute i yang dituliskan

dalam aljabar max-plus adalah

xi(k + 1) = aij(k)⊗ xj(k)⊕⊕

l

ail(k)xl(k).

Sehingga, model dari jaringan pada Gambar 4.1 dengan memperhatikan kondisi

17


commit to user

(4.7) dan (4.8) adalah sebagai berikut

x1(k + 1) = a2(k)⊗ x2(k)

x2(k + 1) = a3(k)⊗ x3(k)⊕ a4(k)⊗ x4(k)

x3(k + 1) = a1(k)⊗ x1(k)⊕ a3(k)⊗ x3(k)⊕ a4(k)⊗ x4(k)

x4(k + 1) = a1(k)⊗ x1(k)⊕ a3(k)⊗ x3(k).

Jika dimisalkan x(k) =(x1(k), . . . , xi(k), . . . , xn(k)

)T, maka model dapat dit-

uliskan menjadi x(k+1) = A(k)⊗x(k) dengan A(k) adalah suatu matriks, yaitu

A(k) =

ε a2 ε ε

ε ε a3 a4

a1 ε a3 a4

a1 ε a3 ε

. (4.9)

Jika waktu tempuh ai(k) deterministik dengan satuan waktu, maka perilaku

sistem x(k + 1) = A(k) ⊗ x(k) ditentukan oleh nilai eigen dalam aljabar max-

plus dari matriks A(k). Menurut Chung [5], nilai eigen adalah nilai besarnya

waktu maksimal yang diperlukan kereta untuk dapat melewati rute manapun

yang ada dalam jaringan tersebut. Dalam artikel ini hanya dibahas bagaimana

cara mencari persamaan karakteristik dari matriks A tersebut.

Jika dimisalkan a1 = 14, a2 = 17, a3 = 11, a4 = 9, maka nilai a1, a2, a3, a4

disubstitusikan pada matriks (4.9) dan diperoleh matriks A berikut

A =

ε 17 ε ε

ε ε 11 9

14 ε 11 9

14 ε 11 ε

.

Kemudian, akan dicari persamaan karakteristik dari matriks A. Persamaan

karakteristik dari matriks A akan dicari dengan dua cara. Cara pertama adalah

memperoleh persamaan karakteristik dengan menggunakan matriks esA. Sedan-

gkan cara kedua adalah dengan menggunakan persamaan (4.6).

18


commit to user

Pertama akan digunakan matriks esA untuk memperoleh persamaan karak-

teristik dari matriks A. Berikut adalah matriks esA.

esA =

0 e17s 0 0

0 0 e11s e9s

e14s 0 e11s e9s

e14s 0 e11s 0

Kemudian, jika matriks esA disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), maka

diperoleh

det(λI − esA) = λ4 − e11sλ3 − e20sλ2 +−(e42s + e40s)λ− e51s = 0 (4.10)

Koefisien dengan pangkat tertinggi dari seluruh γk mempunyai tanda negatif.

Oleh karena itu, seluruh γk dipindahkan ke ruas kanan. Jika hanya diambil

pangkat terbesar dari γk, maka diperoleh persamaan (4.11), yaitu

λ4 = e11sλ3 + e31sλ2 + e42sλ+ e51s. (4.11)

Jika nilai λ diganti dengan esλ dan digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan

(4.12), maka diperoleh

lims→∞

s−1(esλ

4)= lim

s→∞

s−1(e11sesλ

3

+ e31sesλ2

+ e42sesλ + e51s)

(4.12)

Kemudian, jika digunakan Lema 2.2.2, maka diperoleh persamaan karakteristik

dari matriks A adalah

λ⊗4

= 11⊗ λ⊗3

⊕ 31⊗ λ⊗2

⊕ 42⊗ λ⊕ 51. (4.13)

Kemudian, jika digunakan persamaan (4.6) untuk menentukan persamaan

karakteristik dari matriks A, berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya.

Dengan menggunakan definisi Γk untuk i = 1, 2, 3, 4, diperoleh Γ1 = {ε, 11},

Γ2 = {ε, 20}, Γ3 = {ε, 40, 42}, dan Γ4 = {ε, 51}. Kemudian berikut adalah nilai

Ik(ζ) untuk k = 1, 2, 3, 4.

I1(ε) = 1, I1(11) = 1

I2(ε) = −4, I2(20) = −1

I3(ε) = −10, I3(40) = 1, I3(42) = −2

I4(ε) = −5, I4(51) = −1.

19


commit to user

Kemudian dicari dk untuk k = 1, 2, 3, 4. Karena max{Γ1} = 11 dan I1(11) 6= 0,

diperoleh d1 = 11. Dengan cara yang sama, diperoleh d2 = 20, d3 = 42, dan

d4 = 51. Hal tersebut menyebabkan γ̄1 = −1, γ̄2 = −1, γ̄3 = −1, dan γ̄4 = −1.

Diperoleh ℓ = {} dan = {1, 2, 3, 4}. Persamaan karakteristik dari matriks A

dengan memperhatikan persamaan (4.6) adalah

λ⊗4

= 11⊗ λ⊗3

⊕ 31⊗ λ⊗2

⊕ 42⊗ λ⊕ 51. (4.14)

Tampak bahwa persamaan (4.13) dan (4.14) sama. Sehingga terbukti bah-

wa dengan menggunakan det(λI − esA) ataupun persamaan (4.6) diperoleh hasil

sama. Mencari persamaan karakteristik menggunakan det(λI− esA) masih mem-

butuhkan penggunaan operasi (+) dan (×) pada aljabar konvensional, sehingga

tidak efektif. Sedangkan, pada persamaan (4.6) hanya menggunakan operasi

dalam aljabar max-plus.

Kemudian, nilai eigen dari matriks A dapat diperoleh dengan memfak-

torkan persamaan karakteristik tersebut. Dari nilai eigen yang diperoleh terse-

but, misalkan λ dapat diartikan bahwa kereta dalam jaringan tersebut dapat

diberangkatkan tiap λ satuan waktu.

20


commit to user

Bab V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Sesuai dengan masalah yang telah dirumuskan, diperoleh kesimpulan per-

samaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah

λ⊗n ⊕⊕

k∈ℓ

dk ⊗ λ⊗n−k =⊕

k∈

dk ⊗ λ⊗n−k,

dengan

dk = max{ζ ∈ Γk : Ik(ζ) 6= 0}.

Nilai Γk adalah himpunan pangkat yang mungkin terjadi untuk setiap λ dan Ik(ζ)

adalah koefisien dari ζ ∈ Γk.

5.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas tentang bagaimana menentukan persamaan

karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Jika pembaca tertarik da-

pat melakukan penelitian tentang bagaimana cara memperoleh algoritma untuk

memperoleh nilai eigen dan vektor eigen dari persamaan karakteristik.

21

persamaankarakteristik suatumatriks …...perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user...

Documents