persamaan diferensial biasaridho_insanilmiah.student.ipb.ac.id/files/2015/11/pdb5.pdfsolusi spd di...

Persamaan Diferensial BiasaTitik Tetap dan Kestabilan Sistem Linear

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Oktober 2012

Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31

Kestabilan Sistem Linear Titik Tetap

SPD Mandiri dan Titik Tetap

Tinjau SPD berikut:x(t) = f (x(t)),

dengan x = (x1, x2, . . . , xn)T dan f = (f1, f2, . . . , fn)T .

SPD di atas disebut SPD mandiri (autonomous) karena f tidakbergantung secara eksplisit pada t.

Vektor x = x(t) disebut sebagai vektor keadaan (state vector) danmendefinisikan titik x di bidang fase.

Jika variabel bebas t berubah, maka x juga berubah hinggamembentuk lintasan (path, trajectory, orbit) di bidang fase. SolusiPD dengan demikian dapat dipandang sebagai vektor keadaan yangbergerak di sepanjang lintasan di bidang fase.

Titik x∗ yang memenuhi f (x∗) = 0 disebut titik kesetimbangan(equilibrium point) atau titik tetap (steady state point). Titik yangbukan titik tetap disebut titik biasa (regular point).



SPD Mandiri dan Titik Tetap

Di titik tetap berlaku x = 0. Dengan demikian, titik tetap merupakantitik di mana gerakan vektor keadaan terhenti (variabel waktu t sudahtidak berpengaruh lagi).

Jika sistem x = f (x) memiliki nilai awal x0 = x∗, maka sistemmemiliki solusi konstan x(t) = x∗. Oleh karena itu titik tetap seringdisebut sebagai solusi kesetimbangan.Seringkali semua titik di sekitar titik tetap bergerak menuju titiktetap tersebut. Titik tetap ini disebut sebagai titik tetap stabil(stable equilibrium point) atau atraktor (attractor).Selain atraktor, ada titik tetap yang bersifat siklus limit (limit cycle),yaitu ketika semua lintasan di sekitar titik tetap menuju ataukonvergen ke suatu gelung tutup (closed-loop).



Lintasan

Diberikan SPD dua persamaan berikut:

x = f (x , y),

y = g(x , y).

Ada beberapa cara untuk menentukan lintasan:

Mengeliminasi variabel t dari solusi: Jika solusi (x(t), y(t)) dapatdiperoleh dan jika t dapat dieliminasi dari solusi x = x(t) atauy = y(t), maka dapat diperoleh lintasan y = y(x) atau x = x(y).

Example

Solusi SPD x = x dan y = 2y dapat diperoleh secara terpisah, yaitux(t) = c1et dan y(t) = c2e2t . Dari x = c1et diperoleh et = x

c1, sehingga

diperoleh lintasan

y = c2

(xc1

)2= cx2.



Lintasan

Mengganti variabel bebas: Dari SPD dapat diperoleh

yx=g(x , y)f (x , y)

⇔ dydx=g(x , y)f (x , y)

,

yang diharapkan dapat diselesaikan sehingga diperoleh solusiy = y(x).

Example

Dari SPD x = y(x2 + 1) dan y = 2xy2 dapat diperoleh

dydx=

2xyx2 + 1

⇔∫ 1ydy =

∫ 2xx2 + 1

dx ,

sehingga diperoleh lintasan

y = c(x2 + 1).



Lintasan

Pengintegralan langsung

Example

Diberikan PD taklinear berikut: x + x1+x 2 = 0. Aturan rantai memberikan

x =d(x)dt

=d(x)dx

dxdt=dxdxx ,

sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi

dxdxx +

x1+ x2

= 0 ⇔∫x d x = −

∫ x1+ x2

dx

⇔ 12 x2 = − 12 ln(1+ x

2)

⇔ y2 = − ln(1+ x2),

dengan y = x .


Kestabilan Sistem Linear Kestabilan

Kestabilan Titik Tetap

Tinjau SPD linear homogen dengan dua persamaan berikut:

x1 = a11x1 + a12x2,

x2 = a21x1 + a22x2.

Solusi SPD di atas bergantung pada nilai eigen dan vektor eigen matriks

A =[a11 a12a21 a22

],

ditulis x(t) = c1ξ1eλ1t + c2ξ2e

λ2t , dengan λi adalah nilai eigen dan ξ ivektor eigen padanannya.

Di sini diasumsikan A taksingular (detA 6= 0) sehingga x = 0merupakan satu-satunya solusi bagi Ax = 0.

Dengan kata lain, x = 0 merupakan satu-satunya titik tetap bagix = Ax .




Definition

Diberikan sistem x = f (x). Titik tetap x∗ disebut stabil jika untuksembarang ε > 0 yang diberikan, ada δ > 0 sedemikian sehingga jikasetiap solusi x = x(t) memenuhi ‖x(0)− x∗‖ < δ pada saat t = 0 maka‖x(t)− x∗‖ < ε untuk semua t ≥ 0.

DefinitionTitik tetap yang tidak stabil disebut takstabil.

Definition

Titik tetap x∗ disebut stabil asimtotik jika ia stabil dan ada δ0, dengan0 < δ0 < δ, sedemikian sehingga jika solusi x = x(t) memenuhi‖x(0)− x∗‖ < δ0 pada saat t = 0 maka limt→∞ x(t) = x∗.




Titik tetap stabil: semua solusi yang bermula cukup dekat denganx∗ (dengan jarak δ) akan tetap cukup dekat dengan x∗ (dengan jarakε) ketika variabel waktu t membesar.

Titik tetap stabil asimtotik: semua solusi yang bermula cukupdekat dengan x∗ tidak hanya tetap cukup dekat dengan x∗ tetapipada akhirnya akan menuju ke x∗ ketika t → ∞.



Nilai Eigen Real, Berbeda, Sama Tanda

λ1,λ2 ∈ R : λ1 < λ2 < 0

Solusi umum SPD:

x(t) = c1ξ1eλ1t + c2ξ2e

λ2t .

Karena semua nilai eigen negatif maka limt→∞ x(t) = 0, sehinggasolusi stabil menuju titik tetap.Jika solusi bergerak dari titik awal x0 = kξ1 maka c2 = 0, sehinggasolusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ1.Solusi di atas dapat ditulis:

x(t) = eλ2(c1ξ1e(λ1−λ2)t + c2ξ2).

Perhatikan bahwa λ1 − λ2 < 0. Sepanjang c2 6= 0, jika t → ∞ makasuku c1ξ1e

(λ1−λ2)t dapat diabaikan dibandingkan suku c2ξ2, sehinggasolusi menuju mengikuti arah ξ2. Karena λ1 < λ2, maka sukuc2ξ2e

λ2t lebih mendominasi.Disebut simpul taksejati (improper node) dan bersifat stabil.




λ1,λ2 ∈ R : λ1 < λ2 < 0Diagram fase dan grafik solusi:

λ1,λ2 ∈ R : 0 < λ1 < λ2Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifattakstabil. Tanda panah pada garis fase menjauhi titik tetap.




Example

Diberikan SPD-SPD homogen:

SPD1: x =[−2 00 −3

]x , SPD2: x =

[2 00 3

]x .

SPD1: λ1 = −2 < 0 dan λ2 = −3 < 0 (simpul taksejati stabil). SPD2:λ1 = 2 > 0 dan λ2 = 3 > 0 (simpul taksejati takstabil).



Nilai Eigen Real dan Beda Tanda

λ1,λ2 ∈ R : λ2 < 0 < λ1

Solusi umum SPD:

x(t) = c1ξ1eλ1t + c2ξ2e

λ2t .

Karena λ1 > 0 maka limt→∞ x(t) = ∞ (kecuali solusi yang bergerakdari titik awal x0 = kξ2).

Jika solusi bergerak dari titik awal x0 = kξ1 maka c2 = 0, sehinggasolusi menjauhi titik tetap (karena λ1 > 0) mengikuti arah ξ1.

Jika solusi bergerak dari titik awal x0 = kξ2 maka c1 = 0, sehinggasolusi menuju titik tetap mengikuti arah ξ2.

Disebut titik pelana (saddle point) dan bersifat takstabil.




λ1,λ2 ∈ R : λ2 < 0 < λ1Diagram fase dan grafik solusi:




Example

SPD

x =[0 14 0

]x

memiliki nilai eigen λ1 = −2 < 0 dan λ2 = 2 > 0 (titik pelana takstabil).



Nilai Eigen Real dan Sama

λ1,λ2 ∈ R : λ1 = λ2 = λ < 0 Dua vektor eigen bebas linearSolusi umum SPD:

x(t) = c1ξ1eλt + c2ξ2e

λt = eλt (c1ξ1 + c2ξ2).

Diperoleh

x2(t)x1(t)

=c1ξ12 + c2ξ22c1ξ11 + c2ξ21

⇔ x2(t) = Cx1(t),

sehingga semua lintasan berupa garis lurus menuju titik tetap: simpulsejati (proper node) stabil.




λ1,λ2 ∈ R : λ1 = λ2 = λ < 0 Satu vektor eigen bebas linear

Solusi umum SPD:

x(t) = c1ξeλt + c2eλt (ξt + η),

dengan ξ merupakan satu-satunya vektor eigen bebas linear dari Adan η merupakan nilaieigen yang diperumum, yaitu (A− λI )ξ = η.Solusi dapat ditulis menjadi

x(t) = ((c1ξ + c2η) + c2ξt)eλt = yeλt ,

dengan y := (c1ξ + c2η) + c2ξt. Vektor y menentukan arah vektorsolusi x sedangkan eλt menentukan magnitudonya.Jika t → ∞ maka c2ξteλt menjadi suku dominan denganlimt→∞ x(t) = 0.Lintasan berbentuk simpul taksejati (improper node) dan bersifatstabil.




λ1,λ2 ∈ R : λ1 = λ2 = λ < 0 Satu vektor eigen bebas linearDiagram fase dan grafik solusi:




Example

Diberikan SPD-SPD berikut

SPD1: x =[−2 00 −2

]x , SPD2: x =

[1 −11 3

]x .

SPD1: λ1 = λ2 = −2 < 0 dan dua vektor eigen bebas linear

ξ1 =

[10

], ξ2 =

[01

].

SPD2: λ1 = λ2 = 2 > 0 dan satu vektor eigen bebas linear ξ dan dapatditemukan satu vektor eigen diperumum η

ξ =

[1−1

], η =

[0−1

].




Example (lanjutan)

Diagram fase:



Nilai Eigen Kompleks Konjugat

SPD berikut

x =[a b−b a

]x ,

memiliki nilai eigen kompleks konjugat: λ1 = a+ ib dan λ2 = a− ib.Transformasi ke sistem koordinat kutub:

x21 + x22 = r

2 ⇔ 2x1x1 + 2x2x2 = 2r r

⇔ x1x1 + x2x2 = r r

⇔ x1(ax1 + bx2) + x2(−bx1 + ax2) = r r⇔ a(x21 + x

22 ) = r r

⇔ r = ar .




Transformasi ke sistem koordinat kutub:

tan θ =x2x1⇔ (sec2 θ)θ =

x2x1 − x2x1x21

⇔ θ = cos2 θ · x2x1 − x2x1x21

⇔ θ =x21r2· x2x1 − x2x1

x21

⇔ θ =(−bx1 + ax2)x1 − x2(ax1 + bx2)

r2

⇔ θ = −b.

Jadi,

x =[a b−b a

]x ⇔

[rθ

]=

[a 00 −b

] [rθ

].




SPD [rθ

]=

[a 00 −b

] [rθ

],

[r(0)θ(0)

]=

[r0θ0

].

memiliki solusi

r(t) = r0eat , θ(t) = −bt + θ0.

Jika b > 0 maka θ turun ketika t naik sehingga lintasan bergeraksearah jarum jam. Jika b < 0 maka θ naik ketika t naik sehinggalintasan bergerak berlawanan arah jarum jam.

Jika a < 0 maka limt→∞ r(t) = 0 sehingga solusi stabil. Jika a > 0maka limt→∞ r(t) = ∞ sehingga solusi takstabil.

Lintasan berbentuk spiral.




Example

SPD

x =[1 −11 1

]x

memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ1 = 1+ i dan λ2 = 1− i . Karenaa = 1 > 0 dan b = −1 < 0 maka lintasan takstabil dengan gerakanberlawanan arah jarum jam.



Nilai Eigen Imajiner Murni

SPD berikut

x =[0 b−b 0

]x ,

memiliki nilai eigen kompleks konjugat imajiner murni: λ1 = ib danλ2 = −ib.Transformasi ke sistem koordinat kutub memberikan[

rθ

]=

[0 00 −b

] [rθ

],

[r(0)θ(0)

]=

[r0θ0

].

dengan solusir(t) = r0, θ(t) = −bt + θ0.

Lintasan berbentuk lingkaran dengan gerakan searah jarum jam jikab > 0, atau berlawanan arah jarum jam jika b < 0.

Lintasan disebut pusat (center) dan bersifat stabil.




Example

SPD

x =[0 3−3 0

]x

memiliki nilai eigen kompleks konjugat λ1 = 3i dan λ2 = −3i . Karenab = 3 > 0 maka lintasan stabil dengan gerakan searah jarum jam.



Nilai Eigen 0

SPD.

x =[0 0−1 1

]x ,

Pasangan eigen:(λ1 = 0, ξ1 =

[11

]),

(λ2 = 1, ξ2 =

[01

]).

Titik tetap (k, k), k ∈ R, membentuk garis kesetimbangan x2 = x1.

Solusi umum:

x1(t) = c1x2(t) = c1 + c2et = x1(t) + c2et .

Lintasan berupa garus lurus.



Nilai Eigen 0



Kestabilan Sistem Linear

Nilai eigen Jenis Titik Tetap Kestabilanλ1 > λ2 > 0 Simpul taksejati Takstabilλ1 < λ2 < 0 Simpul taksejati Stabil asimtotikλ2 < 0 < λ1 Pelana Takstabilλ1 = λ2 > 0 Simpul (sejati/taksejati) Takstabilλ1 = λ2 < 0 Simpul (sejati/taksejati) Stabil asimtotik

λ1,2 = a± ib (a > 0) Spiral Takstabilλ1,2 = a± ib (a < 0) Spiral Stabil asimtotik

λ1,2 = ±ib Pusat Stabil


persamaan diferensial biasaridho_insanilmiah.student.ipb.ac.id/files/2015/11/pdb5.pdfsolusi spd di...

Documents