SISTEM PERSAMAAN

LINEAR

OLEH KELOMPOK 4

1. Rena Trisea

2. Ellin Juniarti

3. Yusrina Fitriani

4. Ayu Triwahyuni

5. Nikmah Nurvicalesti

REVISI PEER TEACHING MATA KULIAH PMRI

FKIP MATEMATIKA UNSRI

2012

Sebelumnya pada kelas 7, kita pernah

mempelajari tentang sistem persamaan linear 1

variabel.

“Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1.”

Perhatikan contoh di bawah ini!

x + 3 = 7

m + 8 = 10

Kedua contoh kalimat terbuka di atas dihubungkan oleh tanda "sama dengan =". Kalimat itulah yang dinamakan "persamaan“.

Variabel dari kalimat pertama adalah x sedangkan kalimat kedua variabelnya adalah m dimana pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 1.

Menyelesaikan Persamaan dengan Aturan

Kesetaraan

1. Aturan penambahan dan pengurangan

Menyelesaikan suatu persamaan dapat dilakukan

dengan menambah atau mengurangi tiap ruas dengan

bilangan yang sama.

Example:

Tentukan penyelesaian dari x + 7 = 12

Solution:

x + 7 = 12

ruas kiri ruas kanan

x + 7 – 7 = 12 – 7 (kedua ruas dikurangi 7)

x = 5 Jadi, penyelesaian dari x + 7 = 12 adalah 5.

2. Aturan perkalian dan pembagian

Menyelesaikan suatu persamaan juga dapat dilakukan

dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan

bilangan yang sama.

Example:

Tentukan penyelesaian dari 3x = 15

Solution:

3x = 15

3x/3 = 15/3

x = 5 Jadi, penyelesaiannya adalah 5.

3. Grafik penyelesaian Sistem persamaan

linear satu variabel

Penyelesaian suatu persamaan pada grafik

dapat dinyatakan dengan noktah.

Example:

Tentukan penyelesaian dari 2x + 2 = 8

Solution:

2x + 2 = 8

2x = 8 – 2

2x = 6

x = 3

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

dalam Kehidupan Sehari-hari

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(SPLDV) terdiri dari dua sistem persamaan

dua variabel yang memiliki satu penyelesaian.

SPLDV sangat erat kaitannya dengan

kehidupan sehari-hari. Contoh permasalahan

SPLDV dalam kehidupan sehari-hari.

Sebelum berangkat sekolah Ajrina dan

Rizki pergi ke toko buku. Ajrina membeli satu

buku dan satu pena seharga Rp14.000,00.

Sedangkan Rizki membeli satu pena dan tiga

buku dengan merk sama seharga

Rp17.000,00. Sesampainya mereka di

sekolah, mereka lupa berapa harga setiap

pena dan buku yang mereka beli, lalu mereka

menghitung berapa harga setiap buku dan

pena yang mereka beli.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam

Kehidupan Sehari-hari

Penyelesaian :

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam

Kehidupan Sehari-hari

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dalam

Kehidupan Sehari-hari

Jika :

1) = 7000

2)

= 5000

Maka :

= 2000

Jadi, harga satu pena Rp2000,00 dan harga satu bukuRp5000,00.

Lampiran

Sistem Persamaan Dua Variabel (SPLDV)

Dari contoh di atas, menunjukakanketerkaitan Sistem Persamaan Linear DuaVariabel (SPLDV) dengan kehidupan sehari-hari.

Pada slide kali ini, kita akan membahascontoh tersebut ke dalam materi mengenaiSPLDV. Jika contoh di atas dimasukkan kedalam persamaan, maka akan menjadi :

2x + 2y = 14.000

x + 3y = 17.000

Bentuk persamaan tersebut merupakan

bentuk persamaan linear dua variabel, yaitu

persamaan yang memiliki dua variabel

yang tidak diketahui nilainya dan varibelnya

memiliki pangkat 1.

Variabel sendiri ialah lambang dari sebuah

bilangan yang belum diketahui nilainya.

Variabel bisa juga disebut peubah. Varibel

biasanya dilambangkan dengan huruf kecil,

misal a dan b, p dan q, x dan y, dsb.

Metode penyelesaian SPLDV

Terdapat 3 metode penyelesaian SPLDV untuk mendapatkanHimpunan Penyelesaiannya (HP), yaitu :

1. Substitusi

Metode Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusidilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalambentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebutmenggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain

2. Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel,metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untukdapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian,koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslahsama atau dibuat sama.

3. Grafik

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garislurus. Bagaimana dengan SPLDV? Ingat, SPLDV terdiri atas duabuah persamaan dua variabel, berarti SPLDV digambarkanberupa dua buah garis lurus.

Namun, dari contoh di atas metode yang digunakan ialah

metode gabungan antara substitusi dan eliminasi, sehingga

pengerjaanya ialah sebagai berikut :

*metode eliminasi

menghilangkan variabel x untuk mendapatkan nilai y, dengan

terlebih dahulu menyamakan koefisien variabel x.

2x +2y = 14.000 (x 1) 2x +2y = 14.000 … ( 1)

x+ 3y = 17.000 (x2) 2x + 6y= 34.000 … (2) –

-4y=-20.000

-4y/-4=-20.000/-4

y= 5.000

*metode substitusi

Setelah mendapatkan nilai y, lalu nilai y tersebut

disubstitusikan ke variabel y di salah satu persamaan

yang telah ada, yaitu :

2x + 2y = 14.000 … (1)2x + 2*5.000 = 14.0002x + 10.000 = 14.ooo2x +10.ooo-10.000=14.000-10.000

2x= 4.0002x/2= 4.000/2

x= 2000

Jadi, dari dua metode gabungan yang telah digunakantadi, maka kita telah mendapakan nilai x dan y atauhimpunan penyelesaiannya, yaitu :Hp : (2000,5000)

Lampiran

Sistem Persamaan Linear Tiga

Variabel (SPLTV)

SPLTV merupakan perluasan dari

SPLDV.

Pada materi SPLTV setidaknya kita

harus mempunyai persamaan minimal 3

persamaan dengan 3 variabel .

misalnya: 2x + 3y + 4z = 30,

Hal inilah yang membedakan dengan

SPLDV, kalau SPLDV minimal 2

persamaan, karena di SPLDV hanya

terdapat 2 variabel.

Sistem Persamaan Linear Tiga

Variabel (SPLTV)

Pada SPLDV, persoalan dapat

diselesaikan dengan grafik, yang

intinya SPLDV sama dengan

membuat grafik dua dimensi, tapi

dalam SPLTV kita tidak bisa

menyelesaikan dengan cara grafik,

karena tidak memungkinkan untuk

membuat grafik tiga dimensi.

Sistem Persamaan Linear Tiga

Variabel (SPLTV)Bentuk Umum :

a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3

ϵ R

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem Persamaan Linear Tiga

Variabel (SPLTV)

Jika x=x0 , y=y0 , dan z=z0 ,

maka,

a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2

a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3

Penyelesaian SPLTV tersebut

merupakan pasangan bilangan (x0 , y0

, z0 ) yang memenuhi ketiga

persamaan di atas.

Metode Penyelesaian

SPLTV

Untuk menyelesaian Sistem

Persamaan Linear Tiga Variabel, kita

bisa menggunakan metode berikut ini:

1. Metode EliminasiMetode ini bekerja dengan caramengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaanhingga hanya satu variabel yang tertinggal.

2. Metode Substitusidengan cara menggantikan satu variabeldengan variabel dari persamaan yang lain.

3. Metode Campurandengan cara menggabungkan metodeeliminasi untuk mendapatkan variabelpertama dan substitusi untuk mendapatkanvariabel kedua.

4. Metode Determinan Matriks

Lampiran

Contoh Soal Sistem Persamaan

Tiga Variabel

Pada saat menyelesaikan contoh

soal persamaan tiga variabel , kita akan

menggunakan metode campuran , yaitu

metode substitusi dan metode eliminasi

. misalnya saja pada soal berikut :

Irma, Nurwasilah, dan Lidia pergi

ke warung snack . Irma membeli 1

popcorn, 3 snack dan 2 coklat

seharga Rp3300. Nur membeli 2

popcorn m 1 snack dan 1 coklat

seharga 2350. dan Nurwasilah

membeli 1popcorn, 2 snack dan 3

coklat seharga Rp3650 .

Pada saat mengerjakan soal

bersama sama, kami meminta siswa

untuk mengubah soal tersebut

kedalam sistem persamaan linear tiga

variabel , yaitu didapatlah sebagai

berikut :

Popcorn : x

Snack : y

Coklat : z

x + 3y + 2z = 3300 …. (pers. 1 )

2x + y + z = 2350 …. (pers. 2 )

x + 2y + 3z = 3650 …. (pers. 3 )

Setelah mendapatkan ketiga

persamaannya, selanjutnya kita akan

mengeliminasi variabel x pada

persamaan 1 dan 2 :

x +3y+2z= 3300 |x 2|2x + 6y + 4z = 6600

2x+ y +z = 2350 |x 1| 2x + y + z = 2350

-

5y +3z = 4250

Dari proses tadi, didapatkan persamaankeempat yaitu 5y + 4z = 4250 .

Selanjutnya, kita akan mengeliminasivariabel x pada persamaan 1 danpersamaan 3 :

x + 3y + 2z = 3300

x + 2y + 3z = 3650-

y – z = -350

y = -350 + z … (pers. 5 )

Setelah mendapatkan nilai y, kita akanmensubstitusikan nilai tersebut kepersamaan 4 :

5y + 3z = 4250

5 (z – 350 ) + 3z = 4250

5z – 1750 + 3z = 4250

8z = 4250 + 1750

z = 6000/8

z = 750

Jadi, telah kita ketahui bahwa z = 750

atau harga coklat adalah Rp750 .

Selanjutnya kita akan

mensubstitusikan nilai z yang didapat

tadi ke persamaan 5 :

y = z – 350

y = 750 – 350

y = 400

Setelah mendapatkan nilai y dan z, kita akan mensubstitusikan nilainya kepersamaan 1 untuk mengetahui nilai x :

y = 400 ; z =750

x + 3y + 2z = 3300

x + 3(400) + 2 ( 750) = 3300

x + 1200 + 1500 = 3300

x = 3300 – 1700

x = 600

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa harga

:

Popcorn : Rp600

Snack : Rp400

Coklat : Rp750

Lampiran

Kesimpulan

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel

dan masing-masing variabel berpangkat satu. Ada

beberapa metode yang dapat digunakan untuk

menentukan penyelesaian SPLDV yaitu Metode

Grafik, Metode Substitusi, Metode Eliminasi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

terdiri dari tiga persamaan yang memiliki tiga variabel.

SPLTV dapat diselesaikan dengan dengan beberapa

metode yaitu Metode Campuran (subtitusi dan

eliminasi), dan Metode Determinan Matriks.