panjang vektor dan perkalian skalar dua vektor 1. …smazapo.sch.id/ukbm/11. ukbm matematika x...

1

UKBM MTKP-3.2/4.2/2/2-2 SMAN 1 Ponorogo

PANJANG VEKTOR

DAN

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

1. Identitas a. Sekolah : SMAN 1 Ponorogo

b. Mata Pelajaran : Matematika Peminatan X

c. Semester : Genap

d. Kompetensi Dasar :

3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antarvektor dalam

ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang

vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi

tiga

e. Materi Pokok : Vektor

f. Alokasi Waktu : 21 JP

g. Tujuan Pembelajaran :

h. Materi Pembelajaran

Lihat dan Baca pada salah satu Buku Teks Pelajaran (BTP) berikut ini:

Yuwana, Rosihan Ari dkk. 2016. Buku Siswa Perspektif Matematika. Solo: Tiga

Serangkai

Sukino. 2016. Buku Siswa Matematika X Peminatan. Jakarta: Erlangga hal 161-163 Muklis, dkk. 2016. PR Matematika Peminatan MIPA Kelas X Semester 2. Klaten: Intan

Pariwara

Fakta - Permasalahan kontekstual terkait vektor

Konsep - Rumus phytagoras dan panjang vektor - Perkalian skalar dua vektor

Prosedur - Langkah-langkah menentukan panjang vektor - Langkah-langkah menentukan perkalian scalar dua vektor

Melalui pengamatan, diskusi, tanya jawab, analisis, penugasan, peserta didik

dapat menjelaskan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor,

operasi vektor, panjang vektor, sudut antarvektor dalam ruang berdimensi dua

(bidang) dan berdimensi tiga, sehingga peserta didik dapat menghayati dan

mengamalkan ajaran agama yang dianutnya melalui kegiatan 1, 2, 3, dan 4,

mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat

mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi, kolaborasi,

kreativitas (4C).

MTKP-3.2/4.2/2/2-2

2


2. Peta Konsep

3. Kegiatan Pembelajaran a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di

bawah ini.

“Sebuah bola berada di atas tiang vertikal. Tiba tiba bola tersebut pecah menjadi dua bagian. Satu bagian terpental mendatar ke kiri dengan kecepatan 3 m/det dan satu bagian lagi terpental ke kanan dengan kecepatan 4 m/det. Pada kondisi tertentu vektor kecepatan dari dua pecahan tersebut saling tegak lurus.” Pertanyaan: a. Berapakah waktu yang dibutuhkan supaya vektor kecepatan dari dua

pecahan saling tegak lurusdalampersoalan di atas? b. Berapa besar jarak antara kedua pecahan bola tersebut?

VEKTOR

Dimensi Dua Dimensi Tiga

Panjang Vektor Perkalian Skalar

Dua Vektor

Definisi Perkalian Skalar

Dua Vektor

Hasil Kali Skalar

dalam Bentuk

Komponen

Tanda Perkalian Skalar Dua Vektor di

R2 dan R3

Hubungan Panjang/Besar

Vektor dan Perkalian Skalar

Sudut Antara

Dua Vektor

3


Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan pada

kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.

b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKBM

a) Baca dan pahami pengantar pada Buku Teks Pelajaran (BTP)yang kalian

punya seperti tersebut di bagian atas tadi.

b) Setelah memahami isi materidalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi

melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun

bersama teman sebangku atau teman lainnya.

c) Kerjakan UKBM ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang

telah disediakan.

d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjutmelalui kegiatanayo berlatih,

apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-

permasalahan dalam kegiatan belajar, kalian boleh sendiri atau mengajak

teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar kalian dapat

belajar ke UKBM berikutnya.

2) Kegiatan Belajar

Ayo kalian ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi

!!!

Pada Kegiatan 1 ini, disajikan uraian singkat tentang definisi panjang/besar vektor sehingga kalian diharapkan memahami “apa perbedaan panjang/besar vektor dengan vektor itu sendiri?” dan “bagaimana cara mendapatkan panjang/besar vektor?”. Bacalah dengan teliti dan penuh konsentrasi ! Jangan lupa kerjakan contoh soal untuk lebih memahami materi secara mendalam.

MODULUS VEKTOR (PANJANG/BESAR VEKTOR) DI RUANG DIMENSI DUA

Modulus (panjang) suatu vektor �⃗�

2

1

a

a yaitu |�⃗�| 2

2

2

1 aa

Contoh 1 :

Diketahui vektor �⃗⃗�

3

2, tentukan |�⃗⃗�|.

Jawab:

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Kegiatan Belajar 1

4


MODULUS VEKTOR (PANJANG/BESARVEKTOR) DI RUANG DIMENSI TIGA

Panjang suatu vektor�⃗⃗� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐�⃗⃗� adalah |�⃗⃗�| 222 cba

Contoh 2 :

Jika diketahui �⃗� = −2𝑖 + 3𝑗 + �⃗⃗� maka tentukan |�⃗�|.

Jawab:

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Ayo Berlatih .......!!! Kerjakan latihan soal berikut di buku tugas kalian.

1. Hitunglah panjang vektor

5

2

3

2. Hitunglah jarak antara titik A(–5,–4,–1) dan B(3,2,–1) 3. Jika a = i – 2j + 2k dan b = 3i + 6j – 2k, maka hitunglah :

a. a

b. b

c. a – b

4. Vektor posisi titik P dan Q adalah p = 2i – j + 3k dan q = 4i + 2j – 3k

a. Tentukan 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

b. Hitunglah |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |

5. Segitiga ABC dengan A(3,–1,5), B(4,2,–5) dan C(–4,0,3). Jika D merupakan titik

tengah sisi BC, hitunglah panjang garis AD. 6. Koordinat titik A(7,–5,5), B(7,–3,4) dan C(7,–4,2). Tunjukkan bahwa segitiga ABC

siku-siku sama kaki !

7. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dan 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ masing-masing wakil dari vektor

1

4

2

3

5

1

,

2

1

3

dan .

Tunjukkan bahwa A dan D berimpit dan segitiga ABC siku-siku.

5


Pada Kegiatan 2 ini, kalian akan mempelajari definisi perkalian skalar dua vektor. Baca dengan teliti dan konsentrasi ! Jangan lupa kerjakan contoh soal untuk lebih memahami materi secara mendalam.

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

Misalkan terdapat dua vektor, �⃗� dan �⃗⃗�. Hasil kali skalar vektor �⃗� dan �⃗⃗� ditulis

dengan �⃗� �⃗⃗�yang didefinisikan sebagai berikut :

�⃗� �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝜃 dimana sudut antara vektor �⃗� dan �⃗⃗�.

�⃗�

�⃗⃗�

Contoh 3 :

Jika diketahui|�⃗�| = 4 dan |�⃗⃗�| = 6, serta sudut antara �⃗� dan �⃗⃗�adalah 60 maka

tentukan �⃗� �⃗⃗�.

Jawab:

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR

1. Dua vektor yang saling sejajar : �⃗� �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 0° = |�⃗�||�⃗⃗�|

2. Dua vektor yang saling tegak lurus : �⃗� �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 90° = 0

3. Dua vektor yang berlawanan arah : �⃗� �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 180° = −|�⃗�||�⃗⃗�|

4. Bersifat komutatif : �⃗� �⃗⃗� = �⃗⃗� �⃗�

5. Bersifat distributif : �⃗� (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� �⃗⃗� + �⃗� 𝑐

Kegiatan Belajar 2

6


PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR DALAM BENTUK KOMPONEN Perkalian skalar dua vektor dapat juga diartikan sebagai penjumlahan dari perkalian komponen-komponen dari vektor itu sendiri.

Jika �⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗⃗� dan �⃗⃗� = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3�⃗⃗�, maka

�⃗� �⃗⃗� 332211 bababa

Contoh 4 :

Diketahui�⃗�

3

2

1

dan �⃗⃗�

2

4

0

maka tentukan �⃗� �⃗⃗�.

Jawab:

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………


1. Jika i =

0

0

1

, j =

0

1

0

dan k =

1

0

0

, tentukan :

a. i i

b. i j

c. i k

d. j j

e. j k

f. k k

2. Tentukan a b jika adalah sudut antara a dan b dari :

a. a = 3, b = 4 dan 60

b. a = 2, b = 1 dan 120

3. Diketahui a = 2i + 5j + k dan b = i – 2j – k. Tentukan :

a. a b

b. b a

c. a a

7


4. Diketahui A(1,0,–1), B(–2,–1,3) dan C(1,1,1). Jika a wakil dari vektor 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ dan b

wakil dari vektor 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , hitunglah a b 5. Diketahui jajargenjang ABCD dengan A(2,3,1), B(4,5,2) dan D(2,–1,4). Hitunglah

panjang vektor AB AC

6. Diketahui a = 4, b = 6 dan sudut antara a dan b adalah 120 . Hitunglah

: a. a (a + b)

b. a (a – b)

c. (a + b) (a + b)

d. (a – b) (a + b)

7. Diketahui a = 3, b = 1 , c = 4 dan a + b + c = 0. Hitunglah

a b + b c + c a

8. Diketahui vektor a b = 6. Hitunglah a + b jika a–b = 17

Pada kegiatan belajar 3 ini, kalian diharapkan bisa mengembangkan rumus mencari sudut antara dua vektor melalui rumus pada kegiatan belajar 2

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Sudut antara vektor �⃗� dan �⃗⃗� adalah cosa b

a b

Contoh 1:

Diketahui �⃗� =

3

2

1

dan �⃗⃗� =

2

4

0

. Tentukan sudut antara �⃗� dan �⃗⃗�.

Jawab :

�⃗� �⃗⃗� = ................................................................

|�⃗�| = ................................................................................

|�⃗⃗�| = ................................................................................

..................................................cos

Kegiatan Belajar 3

8



1. Tentukan kosinus sudut antara vektor

6

2

3

2

1

2

dan

2. Hitunglah besar sudut AOB jika :

a. A(4,2,–1) dan B(2,–2,4)

b. A(1,0,1) dan B(0,1,–1)

3. Tentukan kosinus sudut antara vektor a = 3i + 7j + 2k dan b = i + j – 6k 4. Tentukan nilai m jika a = mi – 2j + k dan b = 2mi + mj – 4k saling tegak lurus. 5. Diketahui A(–5,5,7), B(–3,4,7) dan C(–4,2,7). Perlihatkan bahwa segitiga ABC

adalah siku-siku dengan menggunakan perkalian skalar. 6. Diketahui A(1,4,4), B(0,2,3) dan C(1,0,2). Hitunglah besar sudut-sudut segitiga

ABC. 7. Diketahui A(–2,–1,3), B(4,2,3) dan D(3,–1,1). C membagi AB dengan

perbandingan 2 : 1. Tunjukkan bahwa sudut ACD siku-siku dengan menggunakan perkalian skalar.

8. Diketahui A(1,0,1), B(4,6,10), C(5,–2,8) dan D(9,6,6). P membagi AB dengan

perbandingan 2 : 1 dan Q adalah titik tengah CD.

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh AB, CD dan PQ

b. Buktikan bahwa PQ tegak lurus AB dan CD

c. Penutup

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3,

selanjutnya isilah Tabel berikut untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah

kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di

Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak 1. Dapatkah kalian menjelaskan tentang panjang/besar

vektor?

2. Dapatkah kalian menjelaskan perkalian skalar antara dua

vektor?

3. Dapatkah kalian menjelaskan hubungan antara panjang

vektor dan perkalian skalar antara dua vektor?

4. Dapatkah kalian menjelaskan menentukan sudut di antara

dua vektor?

9


Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali

materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1,

2, dan 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat.

Jangan putus asa untuk mengulang lagi! Dan apabila kalian menjawab “YA” pada

semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Panjang Vektor dan Perkalian Skalar Dua

Vector dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

*****BELAJARLAH SEPANJANG HAYAT*****

panjang vektor dan perkalian skalar dua vektor 1. …smazapo.sch.id/ukbm/11. ukbm matematika x...

Documents