Download - Nota Pengamiran
Kalkulus MTE3108
1 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
IPGK TUN ABDUL RAZAK JABATAN MATEMATIK
PENGAMIRAN
Proses mencari fungsi y apabila dx
dy diberi disebut pengamiran.
Pengamiran ialah proses songsang bagi pembezaan
dx
dy= f (x) kamirkan f (x) utk dapatkan y f (x)dx
Pengamiran Tak Tentu.
Proses Pembezaan
selepas pembezaan selepas
pengamiran Kamirkan ∫ terhadap Nota:
Proses Pembezaan akan melibatkan - mendarab indeks x dengan fungsi (langkah 1) dan
kemudiannya mengurangkan indeks x sebanyak 1 (langkah 2)
Proses Pengamiran akan melibatkan - menambahkan indeks sebanyak 1 (langkah 3) dan
membahagi fungsi dengan indeks baru x (langkah 4)
f’(x) = 3 * 4x3-1
y = 4x3+c
12x2
4. Bahagi dengan
indeks baru
1. Darab dengan indeks x
2.Kurangkan indek sebanyak 1
3. Tambah indeks x sebanyak 1
Kalkulus MTE3108
2 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Pengamiran Fungsi Algebra Asas
Rumus Kamiran xn
c1n
xdxx
1nn
dengan syarat n -1
Rumus Kamiran axn
c1n
axdxax
1nn
dengan syarat n -1
CONTOH :
1. c2xc2
4xdx 4x 2
2
4. c23ydy 23
2. c8
7xc
4
x
2
7dx
2
7x 443
5. c10zdz 10
3. c6
tdt t
65 6. dk5k = c
2
5k 2
Tambah indeks x sebanyak 1
Bahagi dengan indeks baru
Tambah pemalar c
Bahagi dengan indeks baru
Tambah pemalar c
Tambah indeks x sebanyak 1
Kalkulus MTE3108
3 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Pengamiran Hasil Tambah dan Hasil Tolak
Fungsi lebih daripada banyak fungsi lain, kamirkan setiap fungsi satu demi satu.
a) Pengamiran hasil tambah q(x)dxp(x)dxq(x)]dx[p(x)
b) pengamiran hasil tolak q(x)dxp(x)dxq(x)]dx[p(x)
Contoh:
a. dx 3dx2x 3]dx[2x
= c3x3
2x3
b. dt3
2tdt 3tdt ]
3
2t[3t 55
= c23
2t
6
3t 26
= c3
t
2
t 26
c. dx 2]x[6xdx 1)2)(2x(3x 2
= dx6x 2 x dx 2
= c2x2
x
3
6x 23
= c2x2
x2x
23
d. dx ]x
2x
x
4x[dx
x
2x4x 5353
dx2xdx4x 42
c5
2x
3
4x 53
Tambah satu pemalar sahaja
sebab satu fungsi
Kembangkan untuk
mendapat
Bahagikan setiap sebutan pengangka
dengan x
Tambah satu pemalar sahaja
sebab merupakan satu fungsi
Kalkulus MTE3108
4 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Pengamiran Melalui Penggantian
Jika fungsi merupakan polinomial , kamiran boleh dibuat melalui penggantian
Contoh 1: Cari, dx3)(2x 5
Penyelesaian : Biarkan u = 2x – 3.
Maka, 2dx
du
2
dudx
2
duudx 3)(2x 55
duu2
1 5
c15
u
2
1 15
c62
3)(2x 6
c12
3)(2x 6
Contoh 2 :
Cari kamiran bagi dx5)(3x 6
Biarkan u = 3x + 5
3dx
du
3
dudx
3
duudx5)(3x 66
c7
u
3
1 7
c21
5)(3x 7
Gantikan (2x-3)
dengan u
Gantikan dx dengan
Ganti semula
u = (2x-3)
Gantikan (3x+5) dengan u
Gantikan dx dengan
Gantikan semula u dengan 3x + 5
Kalkulus MTE3108
5 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Rumus-Rumus Melalui Kaedah Penggantian
Rumus Kamiran (ax+ b) n
c1na
baxdxbax
1nn
, 1n
a. c22
1)(2xdx 1)(2x
2
b. c
33
4)(3xdx 4)(3x
32
c4
1)(2x 2
c9
4)(3x 3
c.
c20
7)(4t
c54
7)(4tdt7)(4t
5
54
d.
c3
1)(3k
c1)(3
1)(3kdk 1)(3k
1
12
Tambah indeks n sebanyak 1
Bahagi dengan indeks baru didarab dengan pekali x
Tambah pemalar c
Kalkulus MTE3108
6 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
PENGAMIRAN FUNGSI LOGARITHMA
Kamiran Fungsi Salingan x, x
1 ;
untuk semua nilai x
cxlndxx
1
cbaxlna
1dx
bax
1
dx
xf
xf'dx
bax
1n
Contoh
a)
cxln2
1
dxx
1
2
1dx
2x
1
b)
cx3ln
dxx
13dx
x
3
c)
cxln5
1
dxx
1
5
1dx
5x
1
d)
c32tln2
1dt
32t
1
e)
c2x-5ln2
1dx
2x-5
1
f)
c25xln5
1dx
25x
1
Semua nilai
mesti
+ve
Kalkulus MTE3108
7 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
g)
dx
3x
x2
katakan 3xxf 2
2xxf'
maka
c3xln2
1
dx3x
2x
2
1dx
3x
x
2
22
h)
dp
3p
p5
4
katakan 3pxf 5
45pxf'
maka
c3pln5
1
dp3p
5p
5
1dp
3p
p
5
5
4
5
4
Kamiran Fungsi Trigonometri
1. c xkosdx x sin
2. c xsindx x kos
3. c xtandx x sek2
4. cax kosa
dxax sin 1
5. cax sina
dxax kos 1
6. cax tana
dxax sek2 1
7. cb)(ax kosa
dx b)(ax sin 1
8. cb)(ax sina
dx b)(ax kos 1
9. cb)(ax tana
dx b)(ax sek2 1
Tulis semula dalam bentuk
Tulis semula dalam
bentuk
Kalkulus MTE3108
8 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Contoh:
a)
c x sin 3
dx x kos3dx x kos 3
b)
c xtan2
1
dxx sek2
1dx
2
xsek 22
c)
c4x sin2
1
c4x sin4
12
dx4x kos2dx4x kos 2
d)
cx3
1sin 3
cx3
1sin
31
1
xdx3
1kosdx
3
xkos
e)
c1)(3k kos6
1
c1)(3k kos3
1
2
1
dk 1)(3k sin2
1dk 1)(3k sin
2
1
f)
c3x)-(1 tan3
5
c3x)-(1 tan3
15
dx 3x)-(1 sek5dx 3x)-(1 sek 5 22
Kalkulus MTE3108
9 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
g)
dx xkos
xsindx x tan
katakan xkosxf
xsinxf'
maka
c xkosln
dx xkos
xsin-dx
xkos
xsin
h) dx
xsin
xkosdx x kot
katakan xsinxf
xkosxf'
maka
c xsinln
dx xsin
xkosdx
xsin
xkos
Tulis semula
dalam bentuk
Tulis semula
dalam bentuk
Kalkulus MTE3108
10 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Pengamiran Melalui Penggantian – Identiti Trigonometri
Jika soalan melibatkan fungsi trigonometri yang mempunyai kuasa maka penyelesaian
masalah mesti menggunakan identiti trigonometri.
Langkah-langkah penyelesaian masalah
o Tukar ke bentuk yang boleh dikamirkan dengan menggunakan identiti trigo. –
pilih identiti trigo yang sesuai
o salin semula soalan yg telah ditukar bentuk dan selesaikan.
a) dx3x kos2
cx2
16x sin
12
1
cx6x sin6
1
2
1
dx 1dx6x kos2
1
1)dx6x (kos2
1
Diketahui : 1A2kos2A kos 2
Gantikan : 3xA
1)6x (kos2
1
2
12(3x) kos3xkos
12(3x) kos3x2kos
13x2kos2(3x) kos
2
2
2
b)
dx3x tan2
cx3x tan3
1
dx 1dx3x sek
dx 1)3x(sek
2
2
Diketahui : Atan1 Asek 22
Gantikan : 3xA
1-3x sek3x tan
3x tan13x sek
22
22
c)
dx3
xsin2
cx3
2sin
4
3x
2
1
cx3
2sin
2
3x
2
1
cx3
2sin
32
1x
2
1
dxx 3
2 kosdx 1
2
1
x)dx3
2 kos(1
2
1
x)dx3
2 kos(1
2
1
Diketahui : Asin12A kos 22
2A) kos(12
1
2
2A kos1Asin
2A kos1Asin 2
2
2
Gantikan : 3
xA
x)3
2 kos(1
2
1
3
xsin 2
1
2
2
1
Kalkulus MTE3108
11 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Kamiran Fungsi Eksponen
1. cedx e xx
2. cea
1dx e axax
3. cea
1dx e baxbax
Contoh:
a) cedx e xx
b)
ce4
1dx e 4x4x
c)
c2e
ce
21
1dx e
x2
1
x2
1x
2
1
d) ce
3
1dxe 53x53x
Kalkulus MTE3108
12 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Soalan Latihan 1 1. Cari setiap kamiran berikut.
a. dxxx ]4[ 23
b. dtt
t ]1
3[3
3
c. dxx
]32
[2
2. Nilaikan yang berikut:
a. dkkk ]44[ 2
b. dzz 2)32(
c. dxx
x
2
542
3. Nilaikan kamiran yang berikut:
a. dz7
b. dtt32
c. dxx 4
10
d. dxxxx 96 2
e. dzx2
52
4. Tuliskan semula ungkapan berikut supaya ia boleh diselesaikan dengan menggunakan
rumus hasil tambah dan hasil tolak pengamiran. a. (3x - 2)2
b. 5
2 )1(
x
xx
c. 2
)1)(1(
k
kk
Kalkulus MTE3108
13 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
5. Selesaikan:
a. dss334
b. dzx 2)76(
Soalan Latihan 2 1. Dapatkan setiap kamiran berikut:
a. dxx 4)32(
b. dzz 3)63(
c. dtt 5)75(
d. dxx 3)84(6
e. dxx 3)27(
f. dtt 2)31(
g. dxx 3)54(
1
h. dxx
4)53(2
3
a. Nilaikan kamiran berikut:
a. dkkk 732 )1(
b. dzzzz )33()3( 233
c. dppp
p
3 3
2
3
1
Kalkulus MTE3108
14 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
PENGAMIRAN TENTU
CONTOH
a. 2
0
22
0 ]x
2
x [dx )1(x
4
0)(02)2
2(
2
b.
2
1
232
1
2
2
3x
3
2xdx 3x)(2x
6
1
2
3
3
26
3
16
2
13
3
12
2
23
3
22 2323
c.
2
1
32
2
1
2
3
x2x dx )x(4x
3
3
12
3
88
3
1)(1)(2
3
222
32
32
Hasil pengamiran Gantikan x = b
a disebut had bawah pengamiran dan b
had atas pengamiran
Gantikan x = a
Gantikan semua x dengan 2
Gantikan semua x dengan 0
Kalkulus MTE3108
15 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
SOALAN LATIHAN KAMIRAN TENTU
Cari nilai bagi kamiran tentu yang berikut:
a) 3
2
2 dx 5x)(x
b) dx x
5xx1
2 3
4
c) 4
2 dt 2t)3t)(1(1
d) 3
0 dx 3)
3
2x(
e) 3
1
2 dx 16x2x
f) Satu objek dicampakkan ke bawah daripada sebuah helikopter pada masa sifar (t=0).
Objek itu mempunyai halaju v=13 +10t meter per saat. Jika objek itu mencecah tanah
selepas 10 saat, apakah jarak helikopter daripada tanah pada masa t = 10 saat?
Kalkulus MTE3108
16 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
KAMIRAN TENTU BAGI FUNGSI SELANJAR DALAM SELANG TERTUTUP [a, b]
Contoh:
Diberi 6dx f(x) 5
3 , nilaikan kamiran berikut.
a)
5
3 dx 3f(x)
18
63
dx f(x)35
3
b)
6
91512
3x62
dx 3 dx f(x) 2
dx 3)f(x) 2 (
5
3
5
3
5
3
5
3
HAD KAMIRAN TENTU YANG DISALING TUKARKAN
CONTOH :
Diberi 12dx h(x) 5
1 , nilaikan kamiran berikut:
a)
dx h(x) 1
5
12
dx h(x) 5
1
b)
72
25)(196
x12)8(
dx2x dx h(x) 8
dx 2x)(8h(x)
1
52
1
5
5
1
1
5
Ingat!
dinilaikan
berasingan
Apabila had kamiran disaling tukarkan, kamiran itu bertukar tanda.
Tukar tanda
Kalkulus MTE3108
17 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
Kamiran Tentu Bagi Fungsi Hasil Tambah
CONTOH:
Diberi 5dx f(x) 6
2 , nilaikan kamiran berikut.
a)
6
2 dx 3f(x)
15
53
dx f(x)36
2
b)
23
815
4)(1215
2x5)(3
dx 2 dx f(x)3
dx 2)(3f(x)
6
2
6
2
6
2
6
2
CONTOH SOALAN
1. Jika 2
7dx f(x)
1
2 dan
2
3dx f(x)
2
1 , nilaikan yang berikut.
a.
2
1
1
2dx 2f(x) dx f(x)
2
16
2
13
2
32
2
7
dx f(x)22
7 2
1
b.
2
2dx f(x)
5
2
3
2
7
dx f(x)dx f(x) 2
1
1
2
Ingat!
dinilaikan berasingan
Kalkulus MTE3108
18 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
c.
1
2
1
2 dx f(x)2dx f(x)
2
16 atau
2
13
2
32
2
7
dx f(x)22
7 2
1
2. Nilaikan yang berikut jika 1dx f(x)3
2 dan 4dx g(x)
3
1
a. dx )1(3f(x)
3
2
4
13
2)(33
x1)3(
dx 13f(x)dx
3
2
3
2
3
2
b. )dx f(x)dx g(x)2(
3
2
3
1
10
28
1)2(2(4)
dx f(x)2dx g(x)23
2
3
1
Kalkulus MTE3108
19 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
PENGAMIRAN TENTU MENGGUNAKAN KAEDAH GANTIAN
a.
1
0
32 dx2xx
Andaikan
u = x2 + 2
dx
du = 2x
dx = 2x
du
Apabila x = 0 maka u = 0 + 2 = 2
Apabila x = 1 maka u = 1 + 2 = 3
Maka kamiran menjadi :
8
65
4
16
4
81
2
1
4
2
4
3
2
1
4
u
2
1
duu2
1
2x
duux
44
3
2
4
3
2
3
3
2
3
KESIMPULANNYA
1. Andaikan U
2. Bezakan U
3. dx jadikan tajuk
4. gantikan nilai x dalam u
5. kamirkan dan selesaikan
}
Kalkulus MTE3108
20 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
b. dt 3t
36
1
Andaikan
u = t + 3
dt
du= 1
du = dt
Apabila t = 1 maka u = 1 + 3 = 4
Apabila t = 6 maka u = 6 + 3 = 9
Maka kamiran menjadi :
6
2)6(3
496
2u3
2
1
u3
du u3
dt u
3dt
3t
3
9
4
2
1
9
4
2
1
9
4
2
1
9
4
9
4
Kalkulus MTE3108
21 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
CONTOH SOALAN :
1.
1
0
3dx12x2
Andaikan
u = 2x + 1
dx
du = 2
dx = 2
du
Apabila x = 0 maka u = 2(0) + 1 = 1
Apabila x = 1 maka u = 2(1) + 1 = 4
Maka kamiran menjadi :
20
4
1
4
81
4
1
4
3
4
u
duu2
duu2
44
3
1
4
3
1
3
3
1
3
Kalkulus MTE3108
22 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
2.
3
22
dz12z
4z2
Andaikan
u = 2z2 + 1
dz
du = 4z
dz = 4z
du
Apabila z = 0 maka u = 2(2) 2 + 1 = 9
Apabila z = 1 maka u = 2(3) 2 + 1 = 19
Maka kamiran menjadi :
171
10
171
199-
9
1
19
1
u
1
1-
u
duu
duu
1
4z
du
u
4z
19
9
19
9
1-
19
9
2-
19
9
2
19
9
2
Kalkulus MTE3108
23 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
3.
2
1-
43 dt15tt
Andaikan
u = 5t4 + 1
dt
du = 20t3
dt = 320t
du
Apabila t = -1 maka u = 5(-1)4 + 1 = 6
Apabila t = 2 maka u = 5(2)4 + 1 = 81
Maka kamiran menjadi :
8
1163
40
6525
2
6525
20
1
2
36
2
6561
20
1
2
6
2
81
20
1
2
u
20
1
du u20
1
20t
duut
22
81
6
2
81
6
81
6
3
3
Kalkulus MTE3108
24 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
4. dk 1k
k3
02
Andaikan
u = k2 + 1
dk
du = 2k
dk = 2k
du
Apabila k = 0 maka u = 1
Apabila k = 3 maka u = 4
Maka kamiran menjadi :
1
1-2
14
u
2u2
1
2
1
u
2
1
du u2
1
2k
du
u
kdk
1k
k
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
1
3
02
4
Kalkulus MTE3108
25 SHS/JAB MATE/IPGKTAR/2013
SOALAN LATIHAN
1. Dengan menggunakan kaedah kamiran terhad, kamirkan setiap yang berikut:
a)
2
0dx 1x
b) 3
1
2 dx 3x2x
c) 0
2-
2 dx x2x d)
4
2
2 dx 3xx
e) 0
2-
2 dx x xkos f)
3
0
2 dx xtan2
2. Dengan menggunakan kaedah kamiran terhad, kamirkan setiap yang berikut:
a) 2
0
42 dx 3x2x b)
3
0
4dx x3x3
c)
0
2- 2dx
53x
6x2
d)
3
1 2dx
2-x
x