Muhammad Aqla Abdul Aziz Karim

MATEMATIKA IIMuhammad AqlaFatrianiSiti HamidahAbdul Aziz Karim

Vektor & Matriks6 + 9 = 8?!Universitas Lambung MangkuratMatematika IIFakultas Kehutanan

Pengenalan Vektor Penjumlahan & Penggandaan Vektor Vektor dalam geometrik Vektor sebagai landasan ruang Norma Vektor

Pengenalan suatu Matriks Penjumlahan & penggandaan matriks Putaran suatu matriks Teras suatu matriks Matriks sekatan Determinan suatu matriks Pangkat suatu matriks Kebalikan suatu matrks Vektor JawabSAJIAN MATERIVektorMatriksMATEMATIKA IIVektorMatriksDeterminan Suatu MatriksPangkat Suatu MatriksKebalikan Suatu MatriksVektor JawabSusunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur 582V E K T O R4Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutananv12v11v13v11v21v31Bentuk susunanVektor BarisVektor Lajur5Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananNotasi VektorVektor barisVektor lajurv = (v11 v12 v13 )vl = v = (v11 v12 v13 )1 x 3 v =3 x 1v11v21v31v11v21v31vb = ( v11 v12 v13 )v =v11v21v316Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan PenjumlahanTambahKurang PenggandaanKaliBagiPengolahan Vektor1. Penjumlahan 2 buah vektorSyarat penjumlahan : v1 + v2 = v3p x q r x s p x qp = r & q = sJumlah baris vektor penjumlah samadenganjumlah baris vektor dijumlahJumlah lajur vektor penjumlah samadenganjumlah lajur vektor dijumlah8Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V01

SL V1-01a = ( 5 u 2 )1 x 3 b = ( 1 8 5 )1 x 3Bila diketahui masing-masing vektor sbb :c 3 x 1=353d 3 x 1=0411. Tentukan penjumlahan dari :a. Vektor baris : (a + b) dan (a b)b. Vektor lajur : (c + d) dan (c d)9Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananPenyelesaian 1 : a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7)(1 x 3)a b = ( 5 u 2 ) ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3)(1 x 3)a. Penjumlahan vektor barisb. Penjumlahan vektor lajur353c + d =3 x 1041+ =394353c d =3 x 1041+ =3122. Tentukan pula penjumlahan dari :a. (c + a) dan b. (d + b)

CL V01

SL V1-01a = ( 5 u 2 )1 x 3 b = ( 1 8 5 )1 x 3Bila diketahui masing-masing vektor sbb :c 3 x 1=353d 3 x 1=041Penyelesaian 2 :a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris :(c + a) =3 x 1353( 5 u 2 )1 x 3Tidak dapat dilakukan karena :Jumlah baris vektor a jumlah baris vektor cJumlah lajur vektor a jumlah lajur vektor cb. Penjumlahan dari vektor baris & vektor lajur :(b - d) =( 1 8 5 )1 x 33 x 1041Tidak dapat dilakukan karena :Jumlah baris vektor d jumlah baris vektor bJumlah lajur vektor d jumlah lajur vektor b2. Penggandaan 2 buah vektorSyarat umum penggandaan :vektor 1 x vektor 2(baris 1 x lajur1)(baris 2 x lajur2)* vektor baris x vektor lajur = skalar* vektor lajur x vektor baris = st matriksHasil penggandaan : Matriks segi Matriks tak segisama jumlahnya13Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananSyarat penggandaan a x b = s 1 x q r x 1 1 x 1skalar(r = q)Jumlah lajur vektor pengganda samadenganjumlah baris vektor diganda Hasil penggandaan : skalar a 1 x q= (a11 a12 a13 .. a1q) b =r x 1 = ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 + .. + a1q.br1)= ( s11 + s11 + .. + s11)b11b21b31...br1 a x b(1 x 1)r = qCARA PENGGANDAAN15Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V02A

SL V02ASKALAR a 1 x 3= ( 5 u 2 ) c 1 x 2= (2 3)1. Tentukan penggandaan vektor-vektor :a. (a x b)b. (c x b)Bila diketahui b =3x 1 041= (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1)= 4u +2=( 5 u 2 )x041a 1 x 3 b 3 x 1 a.b. = ( 2 3 )c 1 x 2 xb 3 x 1 041Tidak dapat dilakukan karena :Jumlah baris vektor b jumlah lajur vektor cPenyelesaian 1 : Syarat penggandaan Jumlah lajur vektor pengganda samadenganjumlah baris vektor digandamatriks b x a = M r x 1 1 x q r x q Hasil penggandaan : suatu matriks b x a = r x 1 1 x q b11b21b31...br1( a11 a12 a13 .. a1q) b11.a11 b11.a12 b11.a13 . b11.a1q b21.a11 b21.a12 b21.a13 . b21.a1q b31.a11 b31.a12 b31.a13 . b31.a1q . . . . . . . . . . . .br1.a11 br1.a12 br1.a13 . br1.a1q = CARA PENGGANDAAN19Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan= b r x 1 b11b21b31...br1 a 1 x q= ( a11 a12 a13 .. a1q) q = ratauq rMatriks segiMatriks tak segiHASIL PENGGANDAANx20Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananCARA PENGGANDAANKHUSUSm11 m12 m13 . m1rm21 m22 m23 . m2rm31 m32 m33 . m3r . . . . . . . . . . . .mr1 mr2 mr3 . mrr b x a = (r x r)Bila q = rMatriks segim11 m12 m13 . m1qm21 m22 m23 . m2qm31 m32 m33 . m3q . . . . . . . . . . . .mr1 mr2 mr3 . mrq b x a = (r x q)Bila q rMatriks tak segi21Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V02B

SL V02Bb =3x 1 a 1 x 3= ( 5 u 2 ) c 1 x 2= (2 3)1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor :a. (b x a)b. (b x c)Bila diketahui 041Penyelesaian 1 :a. b x a = 3x1 1x3 ( 5 u 2 )=041 0 0 020 4u 8 5 u 2(3 x 3)Matriks segib. b x c =3x1 1x2041(2 3)= 0 0 8 12 2 3(3 x 2)Matriks tak segiPenggandaan skalar thd st vektor st vektor thd skalarMengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh : Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x)= sx11 sx12 sx13 .. sx1l Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s= x11s x21s x31s . . xb1sDimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya24Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V02C

SL V02CDiketahui bahwa :Vektor baris b = (1 3 5)Vektor lajur l = Skalar S = 52461. Tentukan penggandaan untuk :a. (S x b)b. (b x S)Penyelesaian 1 :S x b = 1x1 1x35 X (1 3 5)= (5 15 25)b x S = 1x3 1x1(1 3 5) x 5= Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris pada skalar s (= 1) jumlah lajur pada vektor b (= 3)2. Tentukan penggandaan untuk :a. (S x l)b. (l x S)

CL V02C

SL V02CDiketahui bahwa :Vektor baris b = (1 3 5)Vektor lajur l = Skalar S = 5246Penyelesaian 2 :a. S x l = 1x1 3x12465 X= Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris vektor l (= 3) jumlah lajur pada skalar s (= 1)b. l x S = 3x1 1x1246X 5 =102030Vektor dalam geometrikpenyusunan kombinasi linier(x,y) = penjumlahan 2 buah vekor( x , y ) = (x , 0) + (0 , y)( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1)YXP(x,y)xy027Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananVektor penyusun salib sumbu2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbuJadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3)(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)YXV(5,3)3(0,1)5(1,0)53028Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananKaedah Jajaran genjangV3 = V1 + V2V1 = (X2 , Y1)V2 = (X1 , Y2)V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)}V3 = (X3 , Y3)XYV1V2V3(x3,y3)x3y3x1x2y2y10V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)}29Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananJadi vektor V3 diperoleh dari :* x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X* y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu YVektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3V3 = (X3 , Y3)30Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananV2 = (2 , 4)V1 = (5 , 1)V3 = (5 , 1) + (2 , 4) = {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5)Pengertian bebas linier tidak hanya tidak searah & berlawanan arah, tapi berarti pula tidak selalu tegak lurusV1 = (5 , 1)V2 = (2 , 4)V352175431Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananPengembangan pada 3 dimensiVektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya(x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)32Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan Landasan penyusun salib-sumbu (SS)(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)Sembarang vektor dpt dijadi-kan sbg dasar SS dengan ketentuan vektor2 tsb tidak searah atau berlawanan arahBila 2 atau lebih vektor dpt digunakan sbg landasan pe-nyusun st SS, maka vektor2 tsb dinyatakan sbg bebas linier thd sesamanya X234(2,3,4)ZY33Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V03

SL V031. Koordinat titik P (5,3) dibentuk oleh vektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0) diubah menjadi (3,1) dan unsur vektor (0,3) diubah menjadi (2,2), tentukan :Kofaktor masing-masing vektor yang baruBuat ilustrasinyaPenyelesaian 1 :a. Kofaktor masing-masing vektor(5,3) = (5,0) + (0,3)(5,3) = (3,1) + (2,2)(5,3) = x (3,1) + y (2,2)(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1).. .. 5 = 3 x + 2 y .. .. 3 = x + 2 y.. .. 3 = x + 2 y.. .. 2 = 2 x.. x = 1.. 2 = 2 y .. y = 1.. (5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2)b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik)(5,3) = (3,1) + (2,2)5XXYYP(5,3)1(3,1)1(2,2)3. .. .0

CL V03

SL V032. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6).Tentukan koordinat titik P tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor penyusun salib-sumbu yang baru (0,1) dan (2,4).Landasan ruang vektorPenyusunan 2 vektor atau lebih membentuk suatu matriksKatakan saja ada 3 buah vektor yaitu(1 -1 2)(0 1 3)(1 1 3) -1 20 1 31 1 3 ?Apakah ketiga tsb dapat digunakan sebagai landasan dalam membentuk ruang vektormatriksMaksudnya ?38Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananMaksudnya :Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol.Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan, ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau keseluruhannya merupakan vektor nol.Ruang vektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang ruang; 3 dimensi atau lebih).Uraian lebih lanjut ditelaah dalam pengolahan matriks.Norma Vektorv = (v1 v2 v3 .. vn) vv = (v1 v2 v3 .. vn) v1v2 v3 ..vn = (v12 + v22 + v32 + . + vn2) 40Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutananbila || v || = 1 vektor satuanHarga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.|| v || = (v12 + v22 + v32 + . + vn2) = vvnorma vektorPanjang vektor

|| v || = (v12 + v22)XYV(V1,V2)V1V2042Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas KehutananSudut antara 2 vektorx y|| x || || y || cos = cos = 0jika xy = 0= 900Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurusmaka sudut yang dibentuk sebesar 900

43Universitas Lambung MangkuratMATEMATIKA II - 21. VektorFakultas Kehutanan

CL V04-

SL V04 Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat.a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3)b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1) Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan ordinat di atas. Tentukan besar sudut yang dibentuknyac. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1)d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3)( -1 1)13x y == 2= (-1)2 + (1)2|| x ||10=2== (1)2 + (3)2|| y ||Cos = x y|| y |||| x ||2210== 0,4472.. = 6326 58211-1xy39026582Penyelesaian :b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1)(1 1) 1-1x y == 0Cos = 0 = 90 9011-1xyx = (1 , 1) y = (-1 , 1)cos = 0

= 900x y = (1 , 1) = 0-1 1YX-111

c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1)x y = (1 , 1)

|| y || = 10x = (1 , 1) y = (1 , -3)= -2x x = (1 , 1)= 2

|| x || = 2y y = (1 , -3)= 10cos =

x y|| x || || y || 1-3 1-3 1 1d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3)cos = - 0,4472

= 1160 33 5418=cos = x y|| x || || y ||

-2

2 10

11-3YX Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 = (2,3,6) dan K2 = (3,1,4) Ilustrasikan vektor penyusun tsb Tentukan besar sudut yang dibentuknyaPenyelesaian :k1 = (2 , 3 , 6) k2 = (5 , 2 , 3)k1 k2|| k1 || || k2 ||

cos = cos = ( 2 3 6 )

(22 + 32 + 62)

(52 + 22 + 32) 5 2 3522336

k2k134

4938= 380 0 2618

cos =

= 0,7879.