1.0 MEMAHAMI TABURAN STATISTIK

1.1Pembolehubah Rawak DiskretPembolehubah rawak diskretPembolehubah rawak ialah satu hukum yang terperinci di mana nombor nombor diperuntukkan kepada setiap peristiwa mudah dalam sesuatu eksperimen.Jika ialah pembolehubah diskret yang boleh mengambil nilai nilai dengan kebarangkalian masing masing yang memenuhi syarat. danmaka adalah suatu pembolehubah rawak diskret. Biasanya, nilai nilai yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak ditanda dengan huruf kecil i.

Contoh soalan : Dua duit syiling adil dilambungkan serentak. Andaikan x ialah bilangan gambar yang muncul. Adakah X pembolehubah rawak diskret? Dapatkan taburan kebarangkalian bagi X.Penyelesaian :Ruang sampel eksperimen adalah seperti yang di sebelah.

1

0

1

2

Kebarangkalian Didapati , maka ialah pembolehubah rawak diskret. Jadual di atas dikenali sebagai jadual taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret X. Taburan kebarangkalian bagi X boleh digambarkan secara graf seperti dalam rajah di bawah.

x012

bagi x = 0Taburan kebarangkalian boleh juga ditulis seperti yang berikut :

bagi x = 1

bagi x = 2

2Fungsi taburan longgokanFungsi taburan longgokan F(t) bagi pembolehubah rawak diskret X adalah diberi oleh

1F(t) = P(X t) = Fungsi taburan longgokan memberikan kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X mengambil nilai kurang atau sama dengan nilai t. Oleh sebab dan maka .

Fungsi taburan longgokan boleh digunakan untuk mencari . Contohnya : Didapati dan

3

1.2Pembolehubah Rawak SelanjarPembolehubah Rawak SelanjarPembolehubah rawak selanjar adalah berbeza daripada pembolehubah rawak diskret kerana pembolehubah rawak selanjar tidak mengambil nilai tepat, tetapi ditakrifkan kepada selang nilai. Bagi pembolehubah rawak selanjar bagi sebarang nilai kerana boleh mengambil infinit bilangan nilai. Taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak selanjar diberi oleh suatu fungsi f(x) yang dikenali sebagai fungsi ketumpatan kebarangkalian ). Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak mengambil suatu selang nilai adalah diberi oleh kamiran fungsi di antara nilai tersebut. Katalah X adalah pembolehubah selanjar dengan fungsi ketumpatan dan Jika maka adalah pembolehubah rawak selanjar.Juga

Daripada konsep kalkulus adalah luas yang dibatasi oleh lengkung paksi - dan garis garis = a dan = b.

, dan

Perhatikan bahawa

Ini disebabkan

selainnya 0Contoh soalan :Pembolehubah rawak selanjar mempunyai Buktikan bahawa adalah pembolehubah rawak selanjar.Cari

Penyelesaian : = = = = ] = 1Oeh sebab , maka X adalah pembolehubah rawak selanjar. ]Iaitu

Fungsi taburan longgokan Fungsi taburan longgokan bagi pembolehubah rawak selanjar yang mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian ialah suatu fungsi ) yang memberi nilai seperti yang berikut.Fungsi taburan longgokan member kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak mengambil nilai yang kurang atau sama dengan nilai . Secara graf, fungsi ini adalah luas antara lengkung , paksi x dari hingga t. Didapati juga,

1.3Jangkaan Nilai dan Varians

Jangkaan bagi pembolehubah rawak diskretJika ialah pembolehubah rawak diskret dengan taburan kebarangkalian maka jangkaan bagi ditanda dengan ) adalah ditakrif sebagai

Jangkaan bagi X ialah min bagi X. Jangkaan bagi X ialah jumlah hasil darab nilai x dengan nilai kebarangkaliannya.Jangkaan bagi sebarang fungsi g(X) ditulis sebagai E[g(x)] dan ditakrif sebagai berikut:

Jika a dan b ialah pemalar dan X ialah pembolehubah rawak, maka1. 2. 3. 4. 5.

7Jangkaan bagi pembolehubah rawak selanjarJika ialah pembolehubah rawak selanjar dengan taburan maka jangkaan pembolehubah rawak adalah diberi oleh

Jangkaan bagi ialah min bagi .Jika

Seperti pembolehubah rawak diskret, pembolehubah rawak selanjar mempunyai sifat sifat berikut,

121.4Taburan BinomialPemboleh ubah rawak diskret binomialMenurut Azmi Ahmad et al. dalam Statistik (1989:112), taburan kebarangkalian Binomial ialah salah satu dari dua jenis taburan kebarangkalian diskret yang pelajar akan pelajari. Bi di awal perkataan Binomial bererti dua. Ini bermaksud, ianya digunakan pada uji kaji yang berkesudahan dengan dua kesudahan. Ini adalah ciri pertama taburan kebarangkalian binomial.Merujuk Wong Teck Sing et al. dalam Fokus Ungu SPM Matematik Tambahan (2002:333), suatu pemboleh ubah rawak yang boleh mengambil satu bilangan nilai yang terbilang biasanya nilai interger, dinamakan pemboleh ubah rawak diskret. Misalnya, 3 keping duit syiling dilambungkan dan bilangan gambar yang muncul dicerapkan. Jika mewakili bilangan gambar yang muncul, maka boleh mengambil nilai 0,1,2 atau 3. adalah suatu pemboleh ubah rawak diskret.

Contoh soalan 1:i. Uji kaji :membaling duit syiling yang adilKesudahan:sama ada kepala atau bungaii. Uji kaji:Ujian memandu JPJKesudahan:sama ada lulus atau gagal

Lazimnya, kedua-dua kesudahan ini dipanggil kejayaan (S) atau kegagalan (F) dan = kebarangkalian kejayaan dan1 = kebarangkalian kegagalan

13Kebarangkalian sesuatu peristiwa dalam taburan BinomialDalam uji kaji Bernoulli, p mewakili kejayaan dan q mewakili kegagalan. Jadi, . Bagi suatu uji kaji Bernouli, kebarangkalian yang mengambil sesuatu nilai tertentu r disebut yang berfungsi kebarangkalian X dan ditandakan sebagai Taburan bagi semua nilai X yang mungkin serta kebarangkalian bagi sesuatu pemboleh ubah rawak binomial dinamakan sesuatu taburan binomial. Dalam suatu taburan Binomial, kebarangkalian untuk mendapatkan kali kejayaan apabila sesuatu uji kaji Bernoulli diulangi sebanyak kali ialah = , = 0,1,2,...natau

Dengan p = kebarangkalian kejayaan bagi setiap cubaan = kebarangkalian kegagalan,iaitu 1-p = bilangan kejayaan yang didapati= bilangan cubaan= bilangan kejayaan yang dicerap.Iaitu, = = =

14Contoh soalan 2: Dalam satu kuiz statistik, pelajar telah diberi 5 soalan berbentuk objektif, pelajar yang tidak mengulangkaji kursus ini akan cuba meneka jawapan yang betul. Oleh kerana setiap soalan ada 5 pilihan (A-E), kebarangkalian pelajar dapat meneka dengan betul ialah . Kira kebarangkalian i. Pelajar tidak dapat meneka dengan betul kesemua soalan,ii. Pelajar dapat meneka hanya satu soalan yang betul,iii. Pelajar dapat meneka 2 soalan yang betul daniv. Pelajar dapat meneka 3 soalan yang betulPenyelesaian:

= ,= ,= ,x=bilangan soalan yang dapat diteka dengan betul.

a) Pelajar tidak dapat meneka dengan betul kesemua soalan

= = (1) =0.3276

b) Pelajar dapat meneka 1 soalan dengan betul

= = =0.4096

15c) Pelajar dapat meneka 2 soalan dengan betul) = = = 0.2048

d) Pelajar dapat meneka 3 soalan yang betul = = = 0.0512

16Min, Varians, dan sisihan piawai taburan binomialBagi suatu taburan binomial X dengan nilai n dan p,Min,Sisihan piawai, Dan varians,

Contoh soalan 3:Sebiji dadu adil dilambungkan sebanyak 300 kali. Cari min dan sisihan piawai bagi taburan kebarangkalianbilangan kali nombor 6 akan muncul.

Penyelesaian:Biar mewakili bilangan kali nombor 6 akan muncul. Kebarangkalian nombor 6 akan muncul, p =Min , Sisihan piawai X,

q = 1 p = = = =6.45

171.5 Taburan Kebarangkalian NormalTaburan kebarangkalian selanjar untuk satu pembolehubah rawak ialah kelok licin seperti rajah dibawah. Kawasan dibawah kelok ini dikaitkan dengan kebarangkalian . Sebagai contoh, luas kawasan A, antara 2 titik a dan b, ialah kebarangkalian x berada di antara 2 titik / nilai atau

xF (x)

Pemboleh ubah rawak selanjar dan taburan normal Suatu pemboleh ubah rawak adalah selajar jika pemboleh ubah tersebut mengambil sebilangan nilai yang tidak terhingga dalam lingkungan julat tertentu. Misalnya, katakana dalam satu kelas, murid yang tertinggi berukuran 170 cm. Jika mewakili tinggi seseorang murid dalam kelas itu boleh mengambil sebarang nilai dari 130 cm hingga 170 cm. Maka, ialah satu pemboleh ubah rawak selanjar.

F(x)Suatu pemboleh ubah rawak selanjar X dikatakan bertaburan normal jika graf fungsi kebarangkaliannya berbentuk locengan seperti rajah di bawah:

x

18Ciri-ciri taburan normala) Lengkung normal adalah bersimetri pada garis tegak yang nilai minnya, b) Lengkung normal mempunyai satu nilai maksimum pada = c) Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung normal dan paksi-x ialah 1.

Luas = 1

d) Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung normal, garis adalah berhampiran 68% luas di bawah seluruh lengkung.

0.68 (68%)

19Taburan Normal PiawaiSuatu taburan normal dengan min 0 dan sisihan piawai 1 dinamakan taburan normal piawai. Tatatanda taburan normal ialah Z. Pemboleh ubah normal piawai diwakili dengan simbol .Nilai pemboleh ubah diubah dari pembolehubah yang lain dengan menggunakan formula berikut: Di mana,

Ciri graf taburan normal piawaia) Bersimetri pada garis tegak yang melalui b) Mempunyai satu nilai maksimum pada c) Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung normal piawai dan paksi-z ialah 1d) Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung normal piawai, garis lurus dan adalah berhampiran 68% luas di bawah seluruh lengkung.

20Penentuan nilai fungsi taburan normal piawaiNilai fungsi suatu taburan normal piawai antara dan diberi oleh luas rantau yang dibatasi oleh lengkung normal piawai, garis dan

f(z)

0zz2zi

f(z)Luas rantau di bawah lengkung normal piawai boleh ditentukan merujuk sifir taburan normal piawai

Q(z)

z

0zi

Hanya nilai z yang positif dijadualkan dalam sifir taburan normal piawai kerana lengkung normal piawai adalah simetri. Oleh itu,sebarang nilai z yang negatif perlu ditukarkan kepada nilai positif yang sepadan.

21Contoh soalan 4: Tempoh perkhidmatan pekerja sebuah jabatan kerajaan dianggar mengikut taburan normal dengan minnya ialah 20 tahun dan sisihan piawainya 5 tahun. Kira kebarangkalian, tempoh perkhidmatan seseorang pekerja yang dipilih secara rawak ialah;a) Kurang dari 28 tahun 9 bulanb) Lebih dari 28 tahun 9 bulanc) Antara 16 tahun dan 32 tahun

Penyelesaian:i. Kurang dari 28 tahun 9 bulan

Dari jadual normal piawai,didapati kawasan antara 0 dan 1.75 ialah 0.4599. Oleh itu kawasan berlorek=0.5+0.4599

33

RUJUKAN Bahan Buku :Azmi Ahmad et al . ( 1989 ) . Statistik . Pusat Matrikulasi Universiti Utara Malaysia : Sinaran Bros Sdn Bhd .Graham Upton & Ian Cook . ( 1996 ) . Understanding Statistics . London : Oxford University Press . Lau Too Kya et al . ( 1999 ) . Statistik Asas ITM . Selangor Darul Ehsan : Penerbit Fajar Bakti Sdn Bhd .Wong Teck Sing et al . ( 2002 ) . Fokus Unggul SPM Matematik Tambahan . Selangor Darul Ehsan : Penerbit Fajar Bakti Sdn Bhd .Introduction to Probability & Statistics . ( 2003 ) . Selangor Darul Ehsan : Pearson Malaysia Sdn Bhd .

Bahan Bukan Buku :Pengantar Statistik : Kebarangkalian Peristiwa dan Taburan Pembolehubah Rawak, diperoleh pada Mac 26, 2011 daripada http://www.slidefinder.net/p/pengantar_statistik_ tutorial_unit_kebarangkalian/15315447Probability Distribution, diperoleh pada Mac 28, 2011 daripada http://en.wikipedia.org/ wiki/Probability_distribution36