KONSEP-KONSEP ASAS TEORI KEBARANGKALIAN Ruang SampleDalam statistik dikenal istilah eksperimen untuk menjelaskan proses membangkitkan sekumpulan data. Contoh dari eksperimen statistik adalah melempar coin. Dalam eksperimen ini ada dua kemungkinan kejadian (outcomes),muka atau belakang.

Definisi:Kumpulan dari semua kejadian dari eksperimen statistik disebut dengan ruang sample, dinotasikan dengan SRuang sample dari eksperimen melempar mata wang ialah: S = {H , T} dimana H dan T bersesuaian dengan muka{head} dan belakang {tail }

CONTOH:Suatu eksperimen melempar duit sysling kemudian melempar sekali lagi bila yang muncul pertama adalah {muka}, jika yang muncul belakang diteruskan dengan melempar dadu. Maka ruang samplenya adalah:S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

CONTOH:Tiga benda diambil dari suatu process pembuatan, dimana item tersebut diklasifikasikan manjadi dua, defectif (D) dan non-defektif (N). Maka ruang sample S adalah sbb:S = {DDD,DDN,DND,DNN,NDD,NDN,NND,NNN}Ruang sample yang mempunyai titik sample besar, lebih baik diterangkandengan aturan, misalkan:S = {x|xsuatu kota dengan populasi besar dari 1 juta}

PeristiwaKita telah takrifkan ruang sampel sebagai set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen.Peristiwa ialah sebarang subset daripada ruang sampel. Jika peristiwa itu cumamengandungi satu unsur daripada ruang sampel, maka peristiwa itu disebut peristiwa ringkas. Jika peristiwa itu mengandungi lebih daripada satu unsurdaripada ruang sampel, peristiwa itu disebut peristiwa majmuk.

CONTOH: Apabila sebiji dadu dilemparkan, ruang sampel ialah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.(a) Kita boleh takrifkan peristiwa E sebagai'kemunculan 1 atau 2' pada permukaan aras dadu. Kita boleh tulis E= {1, 2} dan E adalah subset bagi ruang sampel, S. Jika 1 atau 2 muncul pada permukaan atas dadu, kita katakan peristiwa E telah berlaku.(b) Jika kita takrifkan peristiwa E1 sebagai 'nombor itu genap' dan peristiwa E2 sebagai 'nombor itu ganjil', maka peristiwa E1 = {2, 4, 6} dan peristiwa E2 = {1, 3, 5).(c) Jika kita takrifkan peristiwa E1 sebagai 'nombor itu kurang daripada 4' dan peristiwa E2 sebagai 'nombor itu besar daripada 4', maka peristiwa E1 = {1, 2 3} dan peristiwa E2 = {5, 6}.(d) Jika kita takrifkan peristiwa E1 sebagai 'nombor itu boleh dibahagi oleh 2', peristiwa E2 sebagai'nombor itu boleh dibahagi oleh 3' dan peristiwa E3 sebagai 'nombor itu boleh dibahagi oleh 5', maka peristiwa E1 -- {2, 4, 6}, peristiwa E2 = {3, 6} dan peristiwa E3 = {5}.

Peristiwa Pelengkap dan Peristiwa PastiDua jenis peristiwa yang penting ialah peristiwa pelengkap dan peristiwa pastiPeristiwa pelengkap, A', bagi suatu peristiwa A dalam ruang sampel S ialah setunsur-unsur yang tidak ada dalam A. Apabila ruang sampel S, telah ditakrifkan, S itu merupakan peristiwa pasti.

CONTOH:Dalam eksperimen melemparkan sebiji dadu sekali, ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5,6}.Jika kita takrifkan peristiwa A sebagai 'nombor 1 muncul pada permukaan arasdadu', maka peristiwa pelengkap A' ialah peristiwa 'nombor 2, 3, 4, 5, 6 munculpada permukaan atas dadu'. S adalah peristiwa pasti kerana dalam melemparkan dadu itu sekali, satu daripada nombor 1, 2, 3, 4, 5, 6 mesti muncul.

Tatatanda setRuang sampel, S, biasanya diwakilkan oleh titik-titik sampel dalam sebuah segiempat tepat. Suatu peristiwa, E biasanya diwakili oleh titik-titik sampel dalam satu bulatan.

E' ialah pelengkap set E. E' bererti peristiwa E tidak berlaku.

E1 U E2 ialah peristiwa E1 berlaku atau E2 berlaku atau kedua- duanya.

E1 n E2 ialah peristiwa kedua- duanya E1 dan E2 berlaku.

El dan E2 tak bercantum, iaitu E1 dan E2 saling eksklusif jika E1 E2 = . Ini bermaksud E1 dan E2 tidak mempunyai kesudahan yang sepunya. E1, E2, E3 .... En adalah peristiwa saling eksklusif dan habisan jika dan hanya jika(i) = bagi semua dan,(ii) (ii) U U U ... U = S.

KEBARANGKALIAN PERISTIWA MUDAHKebarangkalian bagi suatu peristiwa E ditulis sebagai P(E), ialah nombor nyataantara 0 dan 1 terangkum yang diberikan kepada setiap peristiwa ringkas E dalam suatu ruang sampel, S. Nombor-nombor itu boleh diberikan dalam sebarang cara asalkan syarat-syarat berikut dipenuhi: 1. Jika E adalah suatu peristiwa ringkas, maka 0 P(E) 1. 2. Hasil tambah kebarangkalian bagi semua peristiwa ringkas dalam ruang sam- pel adalah 1.

CONTOH 1:(a) Kesudahan bagi suatu eksperimen ialah suatu integer positif antara 1 dan l0terangkum supaya ruang sampel S ialah set {n: 1 n 10}. Kesudahan bagi mempunyai kebarangkalian kr, dengan k sebagai satu pemalar. Tunjukkan bahawa .

PENYELESAIAN:R12345678910

P(r)k2k3k4k5k6k7k8k9k10k

Jadi = k+2k+3k+4k+5k+6k+7k+8k+9k+10k=155k=1Oleh itu, Kebarangkalian suatu peristiwa E berlaku ditakrifkan sebagai dan kebarangkalian peristiwa E tidak berlaku,

Terdapat dua peristiwa ekstremum. a) Bagi suatu peristiwa pasti S,kebarangkalian iaitu peristiwa itu pasti berlaku.

b) Bagi suatu peristiwa nol , kebarangkalian P () = =0, iaitu peristiwa itu tidak akan berlaku.CONTOH 2:(a) Jika kebarangkalian hujan akan turun, , maka kebarangkalian tidak hujan, .(b) Jika kebarangkalian menjumpai minyak ialah , maka kebarang kalian tidak menjumpai minyak ialah (c) Jika kebarangkalian untuk mendapat sekurang-kurangnya seorang anak lelaki bagi suatu keluarga dua anak ialah , maka kebarangkalian tidak mendapat anak lelaki,

CONTOH 3:(a) (g) (b) (h) (c) (i) (d) (j) (e) (k) (f) (i)

PENYELESAIAN: n (S) = 35 + 5 + 20 + 40 = 100(a) 40 dan = = = (b) = 60 dan = = = (c) = 25 dan = = =(d) = 75 dan = ==(e) = 5 dan = =(f) = 35 dan = (g) = 20 dan P (h) = 40 dan = (i) n(A U B) = 60 dan P(A U B) = (j) n(AUB') = 80 dan P(A U B') = (k) n(A' O B) =65 dan P(A' U B) = (l) n(A' U B') = 95 dan P(A' U B') =

Kebarangkalian peristiwa Bergabung

Teorem1Jika A dan B adalah sebarang dua peristiwa daripada eksperimen yang sama, dengan dan , maka

Perhatikan bahawa A U B bermaksud 'A berlaku atau B berlaku atau kedua-dua A dan B berlaku'. Bukti: Kita telah mengetahui bahawa

Bahagikan setiap sebutan dengan n (S), maka = =

Keputusan ini boleh dilanjutkan kepada lebih daripada dua peristiwa:

Kebarangkalian Peristiwa Saling Eksklusif Dua peristiwa yang tidak berlaku serentak pada suatu masa dikatakan peristiwa saling ekslusif A BApabila peristiwa dan saling eksklusif, . Maka dan Secara amnya

Jika adalah saling eksklusif , maka

Contoh:Bagi 1250 murid yang pergi ke sekolah pada suatu hari tertentu , didapati 800 orang berjalan kaki, 350 orang menaiki basa, 60 orang menunggang basikal, dan 40 orang menaiki kereta. Jika seorang murid dipilih secara rawak, tentukan kebarangkalian bahawa murid itua) Berjalan kaki dan menaiki basb) Berjalan kaki atau menaiki bas atau menunggang basikal PenyelesaianKatakan = Peristiwa murid berjalan kaki = peristiwa murid menaiki bas = Peristiwa murid menunggang basikal = Peristiwa murid menaiki keretaa) Maka, kebarangkalian murid itu berjalan kaki dan menaiki bas ialah 0.b) Maka , kebarangkalian murid itu berjalan kaki atau menaiki bas atau menunggang basikal ialah .

KEBARANGKALIAN BERSYARATKebarangkalian kejadian suatu peristiwa A, diberi suatu peristiwa B telahberlaku disebut kebarangkalian bersyarat dan diwakili oleh P (A I B).Kebarangkalian bersyarat bagi A diberi B telah berlaku dalam suatu ruangsampel adalah diberi oleh hubungan CONTOH:Tiga keping duit syiling adil dilemparkan. Cari kebarangkalian:(a) sekurang-kurangnya dua duit syiling menunjukkan kepala;(b) sekurang-kurangnya dua duit syiling menunjukkan kepala, diberi duit syiling pertama menunjukkan ekor;(c) duit syiling yang kedua dan ketiga menunjukkan kepala;(d) duit syiling yang kedua dan ketiga menunjukkan kepala; diberi duit syiling pertama menunjukkan ekor;(e) sekurang-kurangnya dua duit syiling menunjukkan kepala, diberi duit syiling pertama menunjukkan kepala.

PENYELESAIAN:Ruang sampel S= {KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE, EEK, EEE} dan n (S) = 8.(a) Katakan A ialah peristiwa 'sekurang-kurangnya dua duit syiling menunjukkan kepala', maka A = {KKK, KKE, KEK, EKK} dan n(A) = 4. (b) Katakan B ialah peristiwa 'duit syiling pertama menunjukkan ekor', maka B = {EKK, EKE, EEK, EEE} dan n(B) = 4. A B= {EKK} dan n(A B) = 1 Perhatikan bahawa (c) Katakan C ialah peristiwa 'duit syiling yang kedua dan ketiga menunjukkan kepala', maka C = {KKK, EKK} dan = 2 (d)= {EKK} dan Perhatikan bahawa.(e) Katakan D ialah peristiwa 'duit syiling pertama menunjukkan kepala', maka D = {KKK, KKE, KEK, KEE} dan n(D) = 4. A = {KKK, KKE, KEK, EKK} A D = {KKK, KKE, KEK} dan n (A D) = 3

KEBARANGKALIAN PERISTIWA TAK BERSANDAR Dua peristiwa dan adalah tak bersandar apabila kebarangkalian peristiwa berlaku tidak bergantung kepada kesudahan peristiwa or Kebarangkalian peristiwa dan peristiwa berlaku ialah

CONTOH:Kumpulan X mempunyai 2 orang murid lelaki dan 3 orang murid perempuan. Kumpulan Y mempunyai 4 orang murid lelaki dan 5 orang murid perempuan. Jika seorang murid dipilih secara rawak daripada setiap kumpulan, tentukan kebarangkalian bahawa seorang murid perempuan dipilih daripada kumpulan X dan seorang murid lelaki dipilih daripada kumpulan Y.PENYELESAIAN:Katakan peristiwa seorang murid perempuan dipilih daripada kumpulan X. Peristiwa seorang murid lelaki dipilih daripada kumpulan Y.Maka dan (seorang murid perempuan daripada kumpulan X dan seorang murid lelaki daripada kumpulan Y dipilih)

PILIH ATUR Jika suatu kejadian boleh berlaku dengan cara dan kejadian yang lain pula boleh berlaku dengan cara, maka menurut Prinsip Pendaraban, kedua-dua kejadian boleh berlaku berturut-turut dengan cara yang berlainan. Merupakan susunan objek-objek yang berlainan mengikut tertib yang tertentu Secara amnya, jika objek yang berlainan disusun dalam satu baris dengan tertib, bilangan pilihatur ialah Tatatanda disebut a) b) Jika objek dipilih daripada objek yang berlainan dan disusun mengikut tertib, bilangan pilihatur ialah

Bilangan cara untuk menyusun objek yang berlainan dalam suatu bulatan ialah, jika susunan mengikut arah jam dan lawan arah jam adalah berlainan. Bilangan cara untuk menyusun objek yang berlainan dalam suatu bulatan ialah , jika susunan mengikut arah jam dan lawan arah jam adalah sama.CONTOH:Puan Nani telah membeli bingkai gambar untuk meletak gambar foto ahli keluarga seperti yang ditunjukkan di sebelah. Puan Nani mempunyai 3 orang anak. Cari bilangan cara Puan Nani boleh menyusun foto ahli keluarga pada pokok keluarga itu jika foto suami dan isteri mesti berada di baris atas.PENYELESAIAN:Bilangan cara menyusun foto bagi sepasang suami isteri pada 2 tempat di baris atasBilangan cara menyusun foto bagi 3 orang anak pada 4 tempat yang tinggal Maka bilangan cara menyusun foto ahli keluarga Puan Nani dengan foto suami dan isteri di baris atas

GABUNGAN Ialah pemilihan objek-objek daripada satu set objek tanpa mengira susunan objek-objek yang dipilih. Bilangan gabungan bagi objek daripada objek diberi oleh atau

CONTOH:Seorang pengurus kilang menerima permohonan daripada 6 orang wanita dan 5 orang lelaki untuk jawatan operator. Dengan berapa carakah pengurus itu boleh memilih 5 orang untuk mengisi jawatan tersebut jikaa) 3 orang wanita dan 2 orang lelaki dipilihb) Sekurang-kurangnya 4 orang wanita dipilihPENYELESAIAN:a) b) Bilangan cara 4 orang wanita dan seorang lelaki dipilihBilangan cara 5 orang wanita dipilih Jumlah cara pilihan Ciri-ciri bagi atau 1. 2. 3. 4. Ciri-ciri bagi 1. 2. 3. 4. 5. CONTOH:Jika , cari PENYELESAIAN:Diberi Diketahui bahawa Jadi , jika ,maka