luas segi banyak dan lingkaran

8/18/2019 Luas Segi Banyak Dan Lingkaran

1/6

LUAS POLYGON (SEGI BANYAK)

Definisi 1

Daerah segitiga adalah gabungan dari himpunan titik-titik pada segitiga dan daerah

didalamnya.

Definisi 2

Luas daerah yang tertutup oleh kurva atau segibanyak adalah jumlahan dari persegi

yang mengisi daerah tersebut

Postulat 1

Jika perpotongan dari dua polygon adalah garis, maka luas daerah yang dibatasi oleh

polygon tersebut adah jumlahan dari luas dua polygon

Postulat 2

Luas persegi panjang adalah hasil kali dari alasdan tinggi

LUAS JAJARGENJANG, SEGITIGA, DAN TRAPESIUM

Postulat 3

Jika dua segitiga kongruen maka luas segitiga tersebut sama

Teorema 1

Luas jajargenjang adalah hasil kali dari alas dan tinggi ( A = bh)

Diberikan jajargenjang ABCD dengan tinggi AE. Tunjukkan luas ABCD = AD. AE

Bukti:

ABCD adalah jajargenjang (diketahui)

Diberikan DF sejajar AE

Perpanjang BC hingga memotong DF

AE adalah garis tinggi (diketahui)

AEFD adalah persegi panjang (sesuai definisi persegi panjang)

AE DF AB DC

Sehingga berakibat ABE DCF Jadi ABE DCF (karena segitiga yang kongruen maka luasnya juga sama)

A

EB

D

C F


2/6

AECD = AECD (sifat refleksi/pencerminan)

ABE + AECD = AECD +DCF (mengapa?) Tapi ABE + AECD =jajargenjang ABCD AECD +DCF = persegi panjang AEFD

Jadi jajargenjang ABCD = persegipanjang AEFD Karena persegipanjang AEFD = AD.AE

Jadi jajargenjang ABCD = AD. AE

Teorema 2

Luas segitiga adalah setengah kali hasil kali alas dan tinggi ( A = ½ bh)

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diberikan ABC dengan tinggi AE yang tegak lurus BC. Tunjukkan luas ABC = ½ (BC.AE)

Bukti :

Diberikan garis yang melalui titik A dan sejajar BC

Diberikan garis yang melalui C dan sejajar AB

ABCD adalah jajargenjang (Definisi)

AE adalah garis tinggi yang tegak lurus BC

Jajargenjang ABCD = BC . AE (Mengapa?)

Jajargenjang ABCD = ABC + CDA

ABC + CDA = BC . AE dan ABC CDA (Mengapa?)

Jadi ABC CDA Sehingga ABC CDA = BC . AE ABC ABC = BC . AE

2ABC = BC . AE ABC = ½ (BC . AE)

Teorema 3

Luas trapezium adalah setengah hasil kali tinggi dan jumlah alas-alasnya,

(A = ½ h (b1 + b2)

A

EB

D

C


3/6

Perhatikan gambar di bawah ini

Diberikan trapsium ABCD dengan tinggi AE dan alas-alasnya AD dan BC. Tunjukkan luas

trapezium ABCD = ½ AE(BC +AD)

Bukti :

AE adalah tinggi dari trapezium ABCD

Diberikan garis AC melalui titik A dan C Dibuat perpanjangan garis AD

Diberikan CF garis yang melalui C dan tegak lurus ke AF

Sehingga AE sejajar CF

AECF adalah jajargenjang

AE = CF

Luas CDA = ½ CF . AD Luas CDA = ½ AE . AD Luas ABC = ½ AE . BC

Luas ABC + Luas CDA = ½ AE . BC + ½ AE . AD Karena ABCD = ABC + CDA

ABCD = ½ AE . BC + ½ AE . AD atau ABCD = ½ AE . (BC + AD)

Teorema 4

Perbandingan luas dua segitiga yang sebangun adalah perbandingan kuadrat dari sisi-

sisi yang bersesuaian.

Perhatikan gambar di bawah ini

Diberikan . Tunjukkan bahwa

!

A D

CB E

F

h1

b1 c1

a1 D1 C1 B1

A1

a2

c2 h2

b2

C2

A2

B2 D2


4/6

Bukti:

Diberikan garis tegak lurus dari ke Diberikan garis tegak lurus dari ke

Tetapi

Maka

Atau


5/6

MENGHITUNG LUAS BIDANG POLYGON BERATURAN

Teorema 5

Luas polygon secara umum adalah setengah kali jumlah panjang sisi (keliling) dan

apotema polygon

Polygon beraturan adalah polygon sama sisi dan sama sudut. Titik pusat polygon

beraturan adalah titik pusat bersama milik lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Jari-

jari polygon beraturan adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusatnya dengan

sembarang titik sudut. Jari-jari poligon beraturan juga merupakan jari-jari lingkaran

luar. Sudut pusat polygon beraturan adalah sudut yang tercakup diantara dua jari-jari

yang menuju titik sudut yang berturutan. Apotema polygon beraturan adalah ruas garis

dari titik pusat polygon yang tegak lurus dengan salah satu sisinya. Apotema juga

merupakan jari-jari lingkaran dalam.

Cara mencari luas polygon menggunakan apotema.

Rumus

Luas polygon = ½ x Panjang sisi x apotema

Dengan :

Panjang sisi : jumlah panjang semua sisi

Apotema : garis tegak lurus yang menghubungkan pusat polygon ke tiitktengah sisi manapun

Jika kita menggunakan metode apotema, maka apotema harus diketahui terlebih

dahulu.

Contoh:

Hitunglah luas heksagonal dengan panjang apotema √


6/6

Jawab :

Langkah pertama : kita cari panjang sisi polygon. Dengan langkah :

Asumsikan nilai apotema sebagai √ . Dari segitiga bersudut 30o - 60o - 90o .gunakan perbandingan segitiga dengan sudut istimewa tersebut. Perhatikan

bahwa heksagonal terbagi menjadi 6 segitiga yang sama besar. Apotema akanmembagi bidang itu menjadi dua bagian sama besar. Sehingga didapatkan

segitiga yang sudutnya 30o - 60o - 90o.

Dengan perbandingan sisi segitiga yang bersudut 30o - 60o - 90o kita dapatkan

diseberang sudut 60o memiliki panjag √ diseberang sudut 30o memiliki

panjang = x dan yang diseberang sudut 90o adalah 2 x . jika √ mewakili √ maka nilai dan ()

Kita tahu bahwa

panjang sisi bawah segitiga sehingga nilai seluruh sisi 20

x 6 = 120.

Sehingga luas polygon = ½ x Panjang sisi x apotema

= ½ (120)( √ )

= √

luas segi banyak dan lingkaran

Documents