Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut.

Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z ) maka diperoleh hubungan berikut :

x2 + y

2 = r

2

x = r cos θ y = r sin θ z = z

Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ ) maka didapatkan hubungan berikut :

ρρ φ θρ φ θρ φ

2 2 2 2= + +===

x y zx

y

z

sin cos

sin sin

cos

Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.

Z z (r,θ,z) y O Y θ r x X Koordinat Tabung

Z z (ρ,θ,φ) φ ρ O y Y θ r x X Koordinat Bola

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Koordinat Tabung

( )J r z

xr

x xz

yr

y zz

zr

z zz

rr r, ,

cos sinsin cosθ

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

θ θθ θ= =

−=

00

0 0 1

( )f x y z dV f r r z r dz dr dG v r

v r

r

r( , , ) cos , sin ,

( , )

( , )

( )

( )

∫∫∫ ∫∫∫=1

2

1

2

1

2

θ

θ

θ

θ

θ

θθ θ θ

Koordinat Bola

( )J

x x x

y y z

z z z

ρ θ φ

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂φ

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂φ

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂φ

φ θ ρ φ θ ρ φ θφ θ ρ φ θ ρ φ θ

φ ρ φρ φ, ,

sin cos sin sin cos cos

sin sin sin cos cos sin

cos sin

sin= =−

−=

0

2

( )f x y z dV F d d dG v

v( , , ) , , sin

( , )

( , )

( )

( )

∫∫∫ ∫∫∫= ρ θ φ ρ φ φ ρ θρθ

ρθ

ρ θ

ρ θ

θ

θ

1

2

1

2

1

22

Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik. Contoh 10

Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral 0

3

0

92 2

0

22

∫ ∫ ∫−

+x

x y dz dy dx

Jawab :

Misal ( )G x y z x y x zy

= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤−

, , , ,0 2 0 2 08

42 .

Maka ( )G r z r z= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

, , , ,θ θπ

0 3 02

0 2

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Jadi,

0

3

0

92 2

0

2

0

32

0

2

0

2

0

32

0

2

0

22

9∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫−

+ = =

=x

x y dz dy dx r dz d dr r dz d drθ θ ππ π/ /

Contoh 11

Gunakan koordinat bola untuk menghitung z dz dy dxx yx

0

4

0

4

0

22 22 − −−∫∫∫

Jawab :

Misal ( )G x y z x y x z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ − −

, , , ,0 2 0 4 0 42 2 2 .

Maka ( )G = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

ρ θ φ ρ θπ

φπ

, , , ,0 2 02

02

z dz dy dx d d d

d d d

x yx

0

4

0

4

0

2

0

2

0

2

0

22

0

23

0

2

0

2

2 22 − −−∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

=

=

π π

π π

ρ φρ φ φ θ ρ

ρ φ φ φ θ ρ

π

/ /

/ /

cos sin

cos sin

Soal latihan

1. Hitung x dz dy dxx y

x

x2

0

9

9

9

3

3 2 2

2

2 − −

− −

−

−∫∫∫

2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :

a. Bagian atas : z x y= − −25 2 2 , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x2 + y

2 = 25

b. Bagian atas dan bawah : x2 + y

2 + z

2 = 9 dan selimut : x

2 + y

2 = 4

c. z = x2 + y

2 dan z = 9

3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut:

a. z x y z dz dy dxx y

x

x2 2 2 2

0

4

4

4

2

2 2 2

2

2

+ +− −

− −

−

−∫∫∫

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

b. ( )x y z dy dz dx

x z

x z

x

x2 2 2

9

9

9

9

3

3 32

2 2

2 2

2

2

+ +

− − −

− −

− −

−

−∫∫∫

c. z x y dz dy dxx yx

4 2 2

0

4

0

4

0

22 22

− −− −−

∫∫∫

4. Hitung volume bangun ruang G yang dibatasi di atas oleh x

2 + y

2 + z

2 = 16 dan di

bawah oleh : z x y= +2 2