Download - Koordinat Tabung Dan Bola
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat
Bola
Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 2 DimensiSistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y
Koordinat Kartesius
y
x
Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 3 DimensiSistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yangketiganya saling tegak lurus
Koordinat Kartesius
x
y
z
Koordinat Polar
• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.
Koordinat Polar
O (titik kutub) Sumbu Polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:
- derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah.
r: koordinat radial : koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ), untuk n bil. Bulat genap
Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).
Koordinat Polar
r
Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi:
x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0Catt. menentukan
Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).
Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x).
Koordinat Polar
Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = aContoh: Untuk lingkaran berjari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos
Koordinat Polar Jika a=1, maka
r = 2 sin r = 2 cos
Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r:
r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak
adalah x2 + (y -1)2 = 1
Titik 3D dalam koordinat tabung
r
Koordinat Polar dalam bidang datar
Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).
r
r
Titik 3D dalam koordinat tabung
r
(r,,z)
Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius
r
r
(r,,z) cos( )sin( )
x ry rz z
2 2 2
tan( )
r x yyx
z z
Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola
(x,y,z)
Titik-titik 3D dalam koordinat bola
Titik-titik 3D dalam koordinat bola
0 .
Titik-titik 3D dalam koordinat bola
Titik-titik 3D dalam koordinat bola
Titik-titik 3D dalam koordinat bola
Sudut .
0 2 .
Suatu titik dalam koordinat bola
( , ,)
Konversi antara koordinat boladan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
sin( ) cos( ) tan( )r z rz
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
cos( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( )sin( )cos( )
x ry rz
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y zyx
x yrz zz z
x y z
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat
Bola
Integral
Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang . , lebar , dan tinggi
* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z
* * *( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu
f x y z x y z
ix iyiz
Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, and z?
, , andr z
Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar
r
r
Integral: Koordinat Tabung
Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r
r
r+r
r
Integral: Koordinat Tabung
r+r
r
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+ r.
r
r+r
Integral: Koordinat TabungSudut Ada penambahan sudut sebesar .
Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r+r dan sudut
Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut
Integral: Koordinat Tabung
Dengan penambahan z .
Integral dalam Koordinat Tabung
dA r dr d
Untuk mencari volume benda padat
Integral dalam Koordinat Tabung
dV r dr d dz
Maka . . .( , , )
S
f r z r dr d dz
Soal
1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV
Soal2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung:
a. b.
Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan
2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z
Soal3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a. b.
Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan
2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z
Soal4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola:
a.b.
c.Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan
3
3
4
Soal5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a.b.
Tentukan persamaan dalam koordinat bola & gambarkan
2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z