kontrol h dan kontrol h serta aplikasinya dalam sistem...

KONTROL H2 DAN KONTROL HSERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS

KARTIKA YULIANTIRIRIN SISPIYATI

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFPMIPA - UPI

Pendahuluan

Kontrol H2

Kontrol H

Aplikasi

Kesimpulan

KONTROL H2 DAN KONTROL HSERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS

Pendahuluan

Tujuan:

Membandingkan Kontrol H2 dengan Kontrol H∞

Kontrol H2

uDwDxCy

uDwDxCz

uBwBAxx

22212

12111

21G

K

u

w z

y

Diagram Sistem Tertutup Sistem Dinamik

Kontrol H2

Matrik transfer:

Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:

(A,B2) terstabilkan dan (C2,A) terdeteksi;

. mempunyai rank kolom penuh

untuk setiap w

mempunyai rank baris penuh

untuk setiap w

.

1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

0dan 0 *

2121212

*

121 DDRDDR

121

2

DC

BjwIA

212

1

DC

BjwIA

Masalah Kontrol H2

Masalah utama kontrol H2 adalah mencari pengontrol K yang proper dan real rational yang menstabilkan G secara internal dan meminimumkan H2 norm dari transfer matriks Tzw dari w ke z.

Kontrol H2 (Solusi)

H2 anggota dom(Ric) dan

H2 anggota dom(Ric) dan

*

1

*

12

1

121

*

12

1

112

*

1

*

2

1

121

*

12

1

12

*

21

*

12

1

1

12

*

1

2

*

1

*

1

2

)()(

0

CDRBACDRDIC

BRBCDRBA

BCDRDC

B

ACC

AH

0)Ric( 22 HX

)()(

)(

0

2

1

2

*

211

*

121

1

2

*

211

2

1

2

*

2

*

2

1

2

*

211

2

*

121

1

2*

211

*

2

*

11

*

2

CRDBABDRDIB

CRCCRDBA

CBDRDB

C

ABB

AJ

0)Ric( 22 JY

(solusi)1

2

*

211

*

2221

*

122

*

2

1

12 )(),( RDBCYLCDXBRF

22222

212121222

212121222

ˆ

,

,

CLFBAA

DLBBCLAA

FDCCFBAA

LL

FF

0)(,

0)(

212

21

2

I

BAsG

C

IAsG

LL

f

F

F

c

0

ˆ)( optimal pengontrolTerdapat

2

22

F

LAsKopt

)()(min *

222112

*

1

2

22

2/1

1

2

21

2

2FYFRtraceBXBtraceGFRBGT fczw

Kontrol H (Masalah Sederhana)

Matrik transfer:


(A,B1) terkontrol dan (C1,A) terobservasi;


.

.

1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

12 1 12 0 ;D C D I

1

21

21

0.

BD

D I

Kontrol H

Kontrol Optimal HKontrol H

Kontrol Sub Optimal HSecara Numerik dan Teori

Sangat Rumit

- Lebih mudah diperoleh

- Memiliki sifat lebih baik

SeringTidak Diperlukan

Kontrol H (Definisi)

Kontrol Optimal: mencari semua pengontrol K(s), sedemikian sehingga diperoleh minimal.

Kontrol Suboptimal: diberikan , mencari semua pengontrol K(s) yang dapat diterima, sedemikian sehingga

zwT

0

zwT

Kontrol H (Masalah Sederhana)

Matrik transfer:


(A,B1) terkontrol dan (C1,A) terobservasi;


.

.

1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

12 1 12 0 ;D C D I

1

21

21

0.

BD

D I

Kontrol H (Solusi Hamiltonian)

2

1 1 2 2

1 1 1

2

1 1 2 2

1 1

:

:

A B B B BH

C C A

A C C C CJ

B B A

Kontrol H (Eksistensi Pengontrol Suboptimal)

Teorema : Terdapat suatu pengontrol yang dapat

diterima sedemikian sehingga jika dan hanya jika tiga kondisi berikut terpenuhi:

. dan

. dan

.

zwT

( )H dom Ric : ( ) 0.X Ric H

( )J dom Ric : ( ) 0.Y Ric J

2( , ) .X Y

Kontrol H (Eksistensi Pengontrol Suboptimal)

Jika ketiga kondisi dipenuhi, maka

dengan

ˆ( ) :

0sub

A Z LK s

F

2

1 1 2 2ˆ :A A B B X B F Z L C

2 1

2 2: , : , : ( ) .F B X L Y C Z I Y X

Perbandingan

lKontrol H2 Kontrol H Kontrol optimal H2 Tunggal

T.12.4 menjamin matriks Hamiltonian H2 anggota

dom(Ric)

Kontrol optimal H tidak Tunggal untuk sistem MIMO

Blok (1,2) dari matriks Hamiltonian tidak sign definite

(Tidak bisa menggunakan T.12.4)

maka matriks Hamiltonian H berkoresponden dengan matriks Hamiltonian H2

Aplikasi (Sistem Massa Pegas)

m1

m2

F2

F1

b1

b2k2

k1

x1

x2

Model Sistem Massa Pegas

State-Space Sistem Massa Pegas

2221112211122

1221112111

Fxkkxkxbbxbxm

Fxkxkxxbxm

2

24

2

213

2

12

2

211

2

14

1

14

1

13

1

12

1

21

1

13

m

Fx

m

bbx

m

bx

m

kkx

m

kx

m

Fx

m

bx

m

bx

m

kx

m

kx

Berdasarkan Hukum Kedua Newton dan hukum kedua Hooke

Jika dan maka13 xx 24 xx


2

1

2

1

4

3

2

1

2

21

2

1

2

21

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

3

2

1

10

01

00

00

1000

0100

F

F

m

m

x

x

x

x

m

bb

m

b

m

kk

m

k

m

b

m

b

m

k

m

k

x

x

x

x

x p

4

3

2

1

2

1

0010

0001

x

x

x

x

x

x


Diberikan nilai:

State space dapat dinotasikan:

dengan

2mdan ,1,1.0,2.0,4,1 212121 mbbkk

UDxCy

UBxAx

pppp

pppp

.

5.00

01

00

00

,

15.01.05.25.0

1.02.011

1000

0100

p

p

B

A

00

00pD

0010

0001pC

Fungsi Bobot

i i

ii i

A BW

C D

1030

0103

10100

01010

1

50

01

5

s

sWo

o o

oo o

A BW

C D

00236.20

000236.2

236.2010

0236.201

100

)10(01.00

0100

)10(01.0

s

ss

s

Wn

n n

nn n

A BW

C D

01.00949.00

001.00949.0

949.001000

0949.00100

Blok Diagram dan Sistem Loop Tertutup pada Sistem Massa Pegas

K P Wo

Wi

Wn

zi (output Wi)

wi (disturbance)

u1

2

1

y

yy

2

1

x

xx

2

1

o

o

oz

zz

2

1

2n

nw

G

K

1

2

w

w

1u1

2

y

y

i

o

z

z

State Space dari Fungsi Bobot

iW Untuk

Untuk

Untuk Untuk P

1

1

i i i i

i i i i

x A x Bu

z C x Du

oW

1 1

1 1

( ( ))

( ( ))

o o o o o o o p p p

o o o o o o o p p p

x A x B A x B C x D u

z C x D C x D C x D u

x w

x w

nW

2

2

n n n n

n n n

x A x B

n C x D

w

w

11

11

.

wDuDxCy

wBuBxAx

ppppp

ppppp

Generalized plant

1

2

1

0

00

00

000u

DD

D

w

w

DD

x

x

x

x

CCD

C

z

zz

po

i

po

n

o

p

i

opo

i

o

i

1

2

1

00

0

0

00

000

00

000

000

uD

B

B

w

w

B

D

B

x

x

x

x

A

ACB

A

A

x

x

x

x

xP

p

i

n

p

p

n

o

p

i

n

opo

p

i

n

o

p

i

1

2

100 uD

w

wDD

x

x

x

x

CCnxy pnp

n

o

p

i

np

22212

12111

21

)(

DDC

DDC

BBA

sG

Hasil

0 20 40 60 80 100 120-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t sec

x1(s

impangan)

grafik impulse respon dari input 1 ke output1 (z01)

Tanpa kontrol

H tak hingga

H2

0 20 40 60 80 100 120-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t sec

x2(s

impangan)

grafik impulse respon dari input 1 ke output2 (z02)

Tanpa kontrol

H tak hingga

H2

Hasil

Untuk kontrol dengan nilai norm:

Untuk kontrol dengan nilai norm:

7361.12zwT

2H

H

9515.0zwT

kontrol h dan kontrol h serta aplikasinya dalam sistem...

Documents