kontrol optimum - tbakhtiar.staff.ipb.ac.id · masalah kontrol optimum masalah kontrol optimum...

Kontrol OptimumPrinsip Maksimum Pontryagin

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Februari 2017

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 25

Outline

Masalah kontrol optimum

Prinsip maksimum Pontryagin1 Teorema2 Bukti

Fungsi adjoin


Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubahkontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehinggamemenuhi beberapa kendala fisik dan dalam waktu yang samamengoptimumkan kriteria tertentu.

Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan:1 program dinamik (Bellman, 1957)2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimummelalui pendekatan prinsip maksimum.

Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalamkalkulus variasi.


MKV vs MKO

Perbedaan MKV dan MKO:

Masalah Kalkulus Variasi:

opt J(x(t)) =∫ T

0f (x(t), x(t), t) dt.

Masalah Kontrol Optimum:

opt J(x(t)) =∫ T

0f (x(t), u(t), t) dt

x(t) = g(x(t), u(t)),

baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. Dengan kata lain, MKVmerupakan bentuk khusus dari MKO, yaitu ketika g(x , u) = u.


Masalah Pemasaran melalui Iklan

Sumber: Sethi & Thompson (2006)Fungsional objektif:

maxc

∫ ∞

0(π(G )− c(t))e−rt dt.

Fungsi kendala:

G (t) = c(t)− δG (t),

G (0) = G0,

dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citraperusahaan (goodwill) G , c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi.Masalah: menentukan besarnya biaya u(t) := c(t) yang dikeluarkanuntuk iklan sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.


Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan

Sumber: Sydsæter et al. (2008)Fungsional objektif:

maxu

(x(T )P(T , x(T ))e−rT −

∫ T

0cx(t)u(t)e−rt dt

).

Fungsi kendala:

x(t) = x(t)g(t, u(t)),

x(0) = x0,

dengan x(t) berat ikan pada saat t, P(t, x) harga ikan dengan berat xpada saat t, u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > 0 biayapakan ikan.Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u(t)sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan.


ExampleTinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomiy(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = y(t) sehingga mencapailevel yang diinginkan y dalam periode [0,T ]. Pengendalian memerlukanbiaya sehingga ingin diminimumkan fungsional

J(y) =∫ T0

[(y − y)2 + cu2

]dt.

Definisikan x := y − y sehingga

x = y = u,

x(T ) = y(T )− y = y − y = 0.

Masalah kalkulus variasi:

min J(x) =∫ T0 (x

2 + cx2) dt,

x(0) = x0, x(T ) = 0.


SolutionPersamaan Euler memberikan:

2x − 2cx = 0 ⇔ x − 1c x = 0

⇔ x(t) = Aert + Be−rt , r = 1√c .

Syarat batas menghasilkan:

x∗(t) =x0

erT − e−rT[er (T−t) − e−r (T−t)

],

sehingga

y ∗(t) = x∗(t) + y ,

u∗(t) = x∗(t).


Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible controlu∗(t) yang dapat mengendalikan sistem dinamik

x(t) = g(x(t), u(t), t),

sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x∗(t) dalaminterval waktu [0,T ] dan mengoptimumkan fungsional objektif

J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt.

Fungsi u∗(t) disebut kontrol optimum dan x∗(t) trajektori optimum.

ProblemMKO:

opt J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt

s.t. x(t) = g(x(t), u(t), t)


Prinsip Maksimum Pontryagin

Masalah kontrol optimum merupakan perluasan masalah kalkulusvariasi.

Masalah kalkulus variasi muncul sejak zaman Euler denganPersamaan Euler sebagai syarat perlu optimalitas (1744).

Teori kontrol optimum berkembang di tahun enampuluhan ketikasekelompok matematikawan Rusia, yaitu Pontryagin, Boltyanskii,Gamkrelidze, Mischenko (1962), merumuskan syarat perlu optimalitasbagi masalah kontrol optimum.



Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)Perhatikan masalah kontrol optimum berikut:

opt J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt

s.t. x(t) = g(x(t), u(t), t)

x(0) = x0,

T dan x(T ) belum ditentukan.

Definisikan fungsi hamilton (hamiltonian):

H(x , u, p, t) := f (x , u, t) + pg(x , u, t),

dengan p merupakan "pengali lagrange" atau costate variable.


Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)Syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 u(t) memaksimumkan H, yaitu

∂H∂u

= 0⇔ Hu = 0.

2 x(t) dan p(t) memenuhi sistem persamaan diferensial berikut:

x =∂H∂p⇔ x = g(x , u, t),

p = −∂H∂x⇔ p = −Hx .

3 Syarat batas terpenuhi.4 Syarat transversalitas berikut terpenuhi:

(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0.


Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus dapat ditulis:

S(x(T ),T ) = S(x0, 0) +∫ T0ddtS(x(t), t) dt,

sehingga

J = S(x0, 0) +∫ T0

[f (x , u, t) +

dS(x , t)dt

]dt

= S(x0, 0) +∫ T0

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]dt.

Karena S(x0, 0) konstan maka suku tersebut dapat diabaikan dalam prosespengoptimuman, sehingga

J =∫ T0

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]dt.



Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented):

Ja =∫ T0 F (x , x , p, u, t) dt,

dengan

F =

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]+ p(g − x)

= f + pg +∂S∂xx +

∂S∂t− px

= H +∂S∂xx +

∂S∂t− px .

Ingat kembali syarat perlu masalah Kalkulus variasi dengan T dan x(T )tidak ditentukan:

δJ =∫ T0 (fx −

ddt fx )h dt + (fx δx + (f − x fx )δt|T = 0.



Terapkan pada δJa :

δJa =∫ T0

[(Fx − d

dt Fx )δx + Fuδu + Fpδp]dt+(Fx δx+(F − xFx )δt|T = 0.

Dengan demikian syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 Fx − ddt Fx = 0 (persamaan Euler)

2 Fu = 03 Fp = 04 (Fx δx + (F − xFx )δt|T = 0 (syarat transversalitas)

Perhatikan bahwa:

Fx − ddt Fx =

[Hx +

∂

∂x(Sx x + St )

]− ddt(Sx − p)

= (Hx + Sxx x + Stx )− (Sxt + Sxx x − p)= Hx + p.



Dengan demikian

1 Fx − ddt Fx = 0⇔ Hx + p = 0⇔ p = −Hx .

2 Fu = 0⇔ Hu = 0.3 Fp = 0⇔ Hp − x = 0⇔ x = g(x , u, t)4 Karena

Fx = Sx − pF − xFx = (H + Sx x + St − px)− x (Sx − p)

= H + St ,

maka syarat transversalitas (Fx δx + (F − xFx )δt|T = 0 menjadi

(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0.



Kondisi H(x∗, u∗, p∗, t) ≥ H(x∗, u, p, t) disebut "Prinsip MaksimumPontryagin" dan dipenuhi oleh:

Hu = 0,

Huu < 0.

Dalam masalah maksimisasi dengan kontrol berbatasumin ≤ u ≤ umax, jika H = H(u) fungsi naik maka u∗ = umax danjika H = H(u) fungsi turun maka u∗ = umin.

umin umax u

H

umin umax u

H



Fungsi p disebut sebagai fungsi adjoin (mirip pengali lagrange) danmerupakan shadow price atau nilai marjinal dari J∗ jika terjadiperubahan pada x0.dHdt =

∂H∂t . Bukti:

H = f (x , u, t) + pg(x , u, t)dHdt

= fx x + fu u + ft + p(gx x + gu u + gt ) + pg

= (fx + pgx )x + (fu + pgu)u + (ft + pgt ) + pg

= Hx x +Hu u +Ht −Hx x= Ht .



Jika S = 0 maka syarat transversalitas(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0 berubah menjadi

−p(T )δx(T ) +H(T )δT = 0.

Jika t0 dan x(t0) juga tidak ditentukan maka syarat transversalitasharus juga dievaluasi di t = t0, yaitu

(Sx − p)δx |t0,T + (H + St )δt|t0,T = 0.

Beberapa kasus khusus syarat transversalitas akan dibahas kemudian.



ExampleSelesaikan MKO berikut:

min J =∫ 10 (x + u

2) dt

s.t. x = −ux(0) = 0

x(1) bebas.

SolutionMKO di atas dapat diubah menjadi MKV berikut:

min J =∫ 10 (x + x

2) dt

x(0) = 0

x(1) bebas.



Solution (Pendekatan KV)

Persamaan Euler fx − ddt fx = 0 memberikan

1− 2x = 0⇔ x(t) = 14 t2 + At + B.

Dari syarat batas x(0) = 0 diperoleh B = 0 sehingga x(t) = 14 t2 + At.

Syarat batas alamiah fx |t=1 = 0 memberikan

x |t=1 = 0⇔ ( 12 t + A|t=1 = 0⇔ A = − 12 ,

sehinggax∗(t) = 1

4 t2 − 1

2 t ⇒ u∗(t) = −x = − 12 t +12 .



Solution (Pendekatan KO)Fungsi hamilton MKO di atas ialah

H = (x + u2) + p(−u) = x + u2 − pu.

Syarat perlu optimalitas Hu = 0 memberikan

2u − p = 0⇔ u(t) = 12p(t).

Syarat perlu optimalitas p = −Hx = −1 memberikan

p(t) = −t + A.

Syarat transversalitas −p(T )δx(T ) +H(T )δT = 0 memberikan

p(1) = 0⇔ A = 1⇔ p∗(t) = −t + 1.



Diperoleh

u∗(t) = − 12 t +12 ,

x∗(t) =∫− (− 12 t +

12 )dt =

14 t2 − 1

2 t + B.

Dengan memasukkan syarat batas x(0) = 0 diperoleh B = 0 sehingga

x∗(t) = 14 t2 − 1

2 t.


Fungsi Adjoin

Jika suatu MKO memiliki solusi optimal (x∗, u∗) yang berpadanan denganfungsi adjoin p∗ maka nilai fungsional objektif optimal J∗ bergantung padat0, x0, T , xT dan dinotasikan sebagai

J∗(t0, x0,T , xT ) =∫ Tt0f (x∗, u∗, t) dt.

(Jika x(T ) bebas maka J∗ tidak bergantung pada xT ).Jika x0 berubah maka pada umumnya x∗ dan u∗ juga berubah sepanjanginterval [t0,T ]. Jika J∗ terturunkan, maka berlaku

∂J∗(t0, x0,T , xT )∂x0

= p(t0).

Dari contoh sebelumnya dengan x(0) = x0 diperoleh

J∗ =∫ 10 (x

∗ + u∗2) dt =∫ 10 (

14 t2 − 1

2 t + x0 + (−12 t +

12 )2) dt

= x0 − 112 .

sehingga ∂J ∗∂x0= 1 = p(0).


kontrol optimum - tbakhtiar.staff.ipb.ac.id · masalah kontrol optimum masalah kontrol optimum...

Documents