tunjukkan pada Gambar 5-26(b). Fungsi alih antara pc dan e menjadi

Kemudian kita akan menunjukkan bahwa penambahan umpan-balik negatif dengan penundaan pada kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-26(a) akan memodifikasi penguat proporsional pita sempit tersebut menjadi kontroler proporsional plus turunan.Tinjau kontroler pneumatik yang ditunjukkan pada Gambar 5-27(a). Dengan meninjau lagi perubahan yang kecil pada kesalahan penggerak, jarak nosel-pengelepak, dan tekanan kontrol, kita dapat menyingkat operasi kontroler sebagai berikut: Pertamakali marilah kita tinjau suatu perubahan tangga yang kecil pada e. Selanjutnya akan terjadi perubahan sesaat pada tekanan kontrol pc. Penghalang R dengan serta-merta menahan pengangin (bellows) umpan-balik dalam mengindera perubahan tekanan pc. Jadi pengangin umpan-balik tidak merespon dengan seketika, sehingga katup penggerak pneumatik tersebut akan merasakan seluruh pengaruh pergerakan pengelepak. Dengan pertambahan waktu, pengangin umpan balik akan mengalami ekspansi atau kontraksi. Perubahan jarak nosel-pengelepak x dan perubahan tekanan kontrol pc dapat digambar sebagai fungsi waktu, seperti ditunjukkan pada Gambar 5-27(b). Pada keadaan tunak, pengangin umpan-balik bekerja sebagai mekanisme umpan-balik biasa. Kurva pc terhadap t secara jelas menunjukkan bahwa kontroler ini adalah jenis proporsional plus turunan.

Gambar 5-27. (a) Kontroler proporsional plus turunan pneumatik; (b) perubahan tangga pada e dan pengaruhnya pada pc dan x yang digambar terhadap waktu; (c) diagram blok kontroler.

Diagram blok dari kontroler pneumatik ini ditunjukkan pada Gambar 5-27(c). Pada diagram blok tersebut, K adalah konstanta, A adalah luas pengangin, dan ks adalah konstanta pegas ekivalen dari pengangin. Fungsi alih antara pc dan e dapat diperoleh dari diagram tersebut sebagai berikut:

Pada kontroler semacam ini penguatan lup [KaA/(a + b)ks (RCs + 1)] biasanya jauh lebih besar dart satu. Dengan demikian fungsi alih Pc(s)1E(s) dapat disederhanakan menjadi

Dimana

Jadi, umpan-balik negatif dengan penundaan (delay), atau fungsi alih 1/(RCs + 1) pada lintasan umpan-balik, memodifikasi kontroler proporsional menjadi kontroler proporsional plus turunan.Perhatikan bahwa jika katup umpan-balik terbuka penuh, maka aksi pengontrolan menjadi proporsional. Jika katup umpan-balik tertutup penuh, maka aksi pengontrolan menjadi proporsional pita sempit (narrow-band proportional) atau "on-off".Mencari aksi kontrol proporsional plus integral pneumatik. Tinjau kontroler proporsional yang ditunjukkan pada Gambar 5-28(a). Dengan meninjau perubahan-perubahan kecil pada variabel, kita dapat menggambar diagram blok kontroler ini seperti ditunjukkan pada Gambar 5-28(b). Kita akan menunjukkan bahwa penambahan umpanbalik positif dengan penundaan (delayed), akan memodifikasi kontroler proporsional ini menjadi kontroler proporsional plus integral.Tinjau kontroler pneumatik yang ditunjukkan pada Gambar 5-29(a). Operasi kontroler ini adalah sebagai berikut: Pengangin (bellows) yang ditunjukkan oleh I dihubungkan dengan sumber tekanan kontrol tanpa suatu penghalang. Pengangin yang ditunjukkan oleh II dihubungkan dengan sumber tekanan kontrol melalui suatu penghalang. Marilah kita tinjau suatu perubahan tangga (step change) yang kecil pada kesalahan

Gambar 5-28. (a) Kontroler proporsional pnet matik; (b) diagram blok kontroler.penggerak. Ini akan menyebabkan tekanan balik pada nosel berubah seketika. Jadi perubahan tekanan kontrol pc juga terjadi seketika. Dengan adanya katup penghalang pada lintasan pengangin II, akan terjadi penurunan tekanan pada katup tersebut. Dengan pertambahan waktu, udara akan mengalir melalui katup dengan cara yang sedemikian rupa sehingga perubahan tekanan pada pengangin II mencapai harga pc. Jadi pengangin II, akan mengalami ekspansi atau kontraksi terus-menerus dengan cara yang sedemikian rupa untuk menggerakan pengelepak sejauh tertentu pada arah perpindahan asal e. lni akan menyebabkan tekanan balik pc pada nosel berubah terus-menerus, seperti ditunjukkan pada Gambar 5-29(b).Perhatikan bahwa aksi kontrol integral pada kontroler ini mengikuti bentuk penghapusan pelan-pelan umpan-balik yang semula diberikan oleh kontrol proporsional.Diagram blok kontroler ini dengan anggapan bahwa variasi variabel adalah kecil ditunjukkan pada Gambar 5-29(c). Penyederhanaan diagram blok ini menghasilkan Gambar 5-29(d). Fungsi alih kontroler ini adalah

Gambar 5-29. (a) Kontroler proporsional plus integral pneumatik; (b) perubahan tangga pada e dan pengaruhnya pada perubahan pc dan x yang digambar terhadap waktu t; (c) diagram blok kontroler; (d) diagram hlok yang disederhanakan.

di mana K adalah konstanta, A adalah luas pengangin, dan k, adalah konstanta pegas ekiv, den dari pengangin gabungan. Jika IKaARCs/[(a + b)k,(RCs + 1)] j 1, yang merupv IK an kasus yang umum, maka fungsi alih dapat disederhanakan menjadi

Dimana

Fungsi alih kontroler ini adalah

Dengan mendefinisikan

dan dengan memperhatikan bahwa pada operasi normal KaA(Ti - Td)s/[(a + b)ks (Tds + 1)(Tis + 1)]> 1 dan Tt > Td, kita peroleh

Dimana

Persamaan (5-16) menunjukkan bahwa kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-30(a) adalah kontroler proporsional plus turunan plus integral.Daspot. Daspot yang ditunjukkan pada Gambar 5-31(a) bekerja sebagai elemen diferensiator. Misal kita berikan perpindahan tangga (step) pada posisi torak x. Selanjutnya perpindahan y akan menjadi sama dengan x pada saat yang sama. Meskipun demikian, karena gaya pegas, minyak akan mengalir melalui tahanan R sehingga silinder akan kembali ke posisi semula. Kurva x terhadap t dan y terhadap t ditunjukkan pada Gam-bar 5-31(b).

gambar 5-31. (a) Daspot; (b) perubahan tangga pada x dan pengaruhnya pada perubahan y yang digambar terhadap t; (c) diagram blok dari daspot

Marilah kita turunkan fungsi alih antara perpindahan y dan perpindahan x. Defin.sikan tekanan pada nisi kiri dan kanan torak, masing-masing adalah P1 (N/m2) dan P (N/m2). Misal gaya inersia yang terlibat dapat diabaikan. Selanjutnya gaya yang b .kerja pada torak harus menyetimbangkan gaya pegas. JadiA(P2 - P1 ) = kYdi manaA = luas torak, m2k = konstanta pegas, N/m.Laju aliran q diberikan oleh

manaq = laju aliran melalui penghalang, kg/detR = tahanan aliran pada penghalang, 1 /m-det.Karena aliran yang melalui penghalang selama dt detik harus sama dengan perubahan berat minyak ke sebelah kanan torak selama dt detik yang sama, kita peroleh

di manap = masa jenis, kg/m3Kita anggap bahwa fluida adalah tak termampatkan (incompressible) atau p = konstan]. Persamaan terakhir ini dapat ditulis kembali sebagai

atau

Dengan melakukan transfonnasi Laplace pada kedua ruas persamaan terakhir ini, dengan menganggap bahwa syarat awal adalah nol, kita peroleh

Sehingga fungsi alih menjadi

Gambar 5-32. (a) Diagram skematik kontroler proporsional plus integral hidraulik; (b) diagram blok kontroler.

Jika kita definisikan RA2/k=T. Maka

Gambar 5-31(c) menunjukkan diagram blok sistem ini.Mencari aksi kontrol proporsional plus integral sistem hidraulik. Gambar 5-32(a) menunjukkan diagram skematik stiatu kontroler proporsional plus integral jenis hidraulik. Diagram blok kontroler ini ditunjukkan pada Gambar 5-32(b). Fungsi alih Y(s)/E(s) diberikan oleh

Untuk kontroler ini, pada operasi normal KaT/[(a + b)(Ts + 1)]>1, diperoleh

Dimana

Jadi kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-32(a) adalah proporsional plus integral.Mencari aksi kontrol turunan dan integral pada kontroler elektronik. Gambar 5-33 menunjukkan prinsip untuk mencari aksi kontrol turunan dan integral pada kontroler elektronik. Pada dasarnya kita menyisipkan rangkaian yang tepat pada lintasan umpan alik untuk membangkitkan aksi pengontrolan yang diinginkan. Fungsi alih kontroler dapat diperoleh sebagai berikut: Untuk kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-33(a).

Gambar 5-33. Kontroler elektronik. (a) Kontroler proporsional plus turunan; (b) kontroler proporsional plus integral; (c) kontroler proporsional plus turunan plus integralOleh karenanya, untuk K/(RdCds + 1)>1,

Dimana Td = RdCd Dengan cara yang sama, untuk kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-33(b),Oleh karenanya, untuk KRiCis/(RiCis + 1)> 1,

Dimana Ti = RiCiUntuk kontroler yang ditunjukkan pada Gambar 5-33(c), jika penguatan lup jauh lebih besar dari satu, maka fungsi alihnya dapat diturunkan sebagai berikut:

Dimana

Penurunan fungsi alih ini diberikan pada Soal A-5-5.

5-4 PENGARUH AKSI KONTROL INTEGRAL DAN TURUNAN PADA PERFORMANSI SISTEMPada pasal ini, kita akan menyelidiki pengaruh aksi kontrol integral dan turunan pada performansi sistem, tetapi hanya untuk sistem-sistem yang sederhana. (Pada bab-bab selanjutnya, kita akan mengkaji kontrol integral dan turunan secara lebih dalam).Aksi kontrol integral. Pada kontrol proporsional suatu "plant" yang fungsi alihnya tidak mempunyai integrator 1/s, terdapat kesalahan keadaan tunak, atau ofset, pada respon terhadap masukan tangga. Ofset semacam ini dapat dihilangkan jika ditambahkan aksi integral pada kontroler.Pada kontrol integral suatu "plant", sinyal kontrol, yaitu sinyal keluaran kontroler, setiap saat merupakan luas bidang yang dibentuk oleh kurva kesalahan penggerak dan sumbu waktu sampai saat tersebut. Sinyal kontrol m(t) dapat mempunyai harga tidak nol pada saat sinyal kesalahan penggerak e(t) nol, seperti ditunjukkan pada Gambar 5-34(a). Ini tidak mungkin terjadi pada kontroler proporsional karena sinyal kontrol tidak nol memerlukan sinyal kesalahan penggerak tidak nol. (Sinyal kesalahan penggerak tidak nol pada keadaan tunak merupakan suatu ofset). Gambar 5-34(b) menunjukkan kurva e(t) terhadap t dan kurva m(t) terhadap t pada kontroler proporsional.Perhatikan bahwa aksi kontrol integral, di samping menghilangkan ofset atau kesalahan keadaan tunak, ada kemungkinan menimbulkan respon yang berosilasi dengan amplitudo yang mengecil pelan-pelan atau bahkan amplituda yang rnembesar, yang biasanya keduanya tidak diinginkan.

Gambar 5-34. (a) Kurva e(t) dan m(t) yang menunjukkan sinyal kontrol berharga tidak nol pada saat sinyal kesalahan penggerak nol; (b) kurva e(t) dan m(t) yang menunjukkan sinyal kontrol nol sinyal kesalahan penggerak nol.

Kontrol integral pada sistem pengontrolan tinggi muka cairan. Pada Pasal 5-2, kita dapatkan bahwa kontrol proporsional pada sistem tinggi rnuka cairan menimbulkan kesalahan keadaan tunak terhadap masukan tangga. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa kesalahan semacam itu dapat dihilangkan jika aksi kontrol integral ditambahkan pada kontroler.

Gambar 5.35. (a) Sistem pengontrolan, tinggi muka cairan; (b) diagram blok system

Gambar 5-35(a) menunjukkan suatu sistem pengontrolan tinggi muka cairan. Kita anggap bahwa kontrolernya adalah jenis integral. Kita juga menganggap hahwa variabel x, qi, h, dan qo yang diukur dari masing-masing harga keadaan tunaknyak, , dan Q, adalah adalah besaran-besaran yang kecil sedemikian rupa sehingga sistem dapat dianggaplimier. Dengan anggapan ini, diagram blok sistem dapat diperoleh seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5-35(b). Dari Gambar 5-35(b), fungsi alih antara H(s) dan X(s) adalah

Oleh karenanya

Karena sistem stabil, maka kesalahan keadaan tunak untuk respon tangga satuan diperoleh dengan menggunakan teorema harga akhir sebagai berikut:

Jadi kontrol integral pada sistem tinggi muka cairan meniadakan kesalahan keadaan tunak pada respon terhadap masukan tangga. Ini merupakan perbaikan yang penting pada kontrol proporsional yang menimbulkan ofset.Respon terhadap gangguan torsi (kontrol proporsional). Marilah kita selidiki pengarub gangguan torsi pada elemen beban. Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 5-36. Kontroler proporsional memberikan torsi T untuk mengatur posisi elemen beban, yang terdiri dari momen inersia dan gesekan viskos. Gangguan torsi dinyatakan dengan N.Dengan menganggap bahwa masukan acuan adalah nol, atau R(s) = 0, fungsi alih antara C(s) dan N(s) diberikan oleh

Oleh karenanya

Gambar 5-36. Sistem kontrol dengan gangguan torsi

Kesalahan keadaan tuna yang disebabkan oleh torsi gangguan tangga dengan besar Tn diberikan oleh

Pada keadaan tunak, kontroler proporsional memberikan torsi Tn yang sama beiar tetapi berlawanan tanda dengan torsi gangguan Tn. Keluaran keadaan tunak yang disebabkan oleh torsi gangguan tanega adalah

Kesalahan keadaan tunak tersebut dapat diperkccil dengan memperbesar harga penguatan K. Meskipun demikian, pembesaran harga ini, akan menimbulkan respon sistem lebih berosilasi. Kurva khas dari respon untuk harga Kp kecil dan harga Kp besar di-tut jukkan pada Gambar 5-37.

Gambar 5-37. Kurva khas dari respon terhadap gangguan torsi tangga.

Karena harga penguatan K, tidak dapat diperbesar terus, maka diinginkan untuk memodifikasi kontroler proporsiorial menjadi kontroler proporsional plus integral.Respon terhadap gangguan torsi (kontrol proporsional plus integral). Untuk menghubungkan ofset akibat adanya gangguan torsi, kontroler proporsional dapat diganti dengan kontroler proporsional plus integral.Jika aksi integral ditambahkan pada kontroler, maka selama masih ada sinyal kesalahan, torsi akan dibangkitkan oleh kontroler untuk memperkecil kesalahan ini, de! ,gan syarat bahwa sistem kontrol tersebut adalah stabil.Gambar 5-38 menunjukkan kontrol proporsional pada elemen beban yang terdiri dari momen inersia dan gesekan viskos.Fungsi alih lun tertutun antara C(s) dan N(s) adalah

Gambar 5-38. Kontrol proporsional plus integral pada elemen beban yang terdiri dari momen inersia dan gesekan viskos.Pada kondisi tanpa masukan acuan, atau r(t) = 0, sinyal kesalahan diperoleh dari

Jika sistem kontrol ini stabil, yang berarti bahwa akar-akar persamaan karakteristik

mempunyai bagian nyata negatif, maka kesalahan keadaan tunak dari respon terhadap torsi gangguan tangga dengan besar T, diperoleh dengan menggunakan teorema harga akhir sebagai berikut:

= 0

Jadi kesalahan keadaan tunak akibat gangguan torsi dapat dihilangkan jika kontrolernya adalah jenis proporsional plus integral.Perhatikan bahwa aksi kontrol integral yang ditambahkan pada kontroler proporsional telah mengubah sistem yang mula-mula orde kedua menjadi orde ketiga. Oleh karena itu sistem kontrol dapat menjadi tidak stabil untuk harga K, yang besar karena akar-akar persamaan karakteristiknya ada kemungkinan mempunyai bagian nyata positif. (Sistem orde kedua selalu stabil jika semua koefisien persamaan diferensial sistem adalah positif).Penting untuk ditunjukkan bahwa jika kontrolernya adalah jenis integral, seperti pada Gambar 5-39, maka sistem menjadi selalu tidak stabil karena persamaan karakteristik mempunyai akar-akar dengan bagian nyata positif. Sistem tidak stabil semacam ini tidak dapat digunakan dalam praktek.Perhatikan bahwa pada sistem yang ditunjukkan pada Gambar 5-38, aksi kontrol proportional cenderung menstabilkan sistem, sedangkan aksi kontrol integral cenderung