Bab VIIKinetika Benda Kaku dalam Ruang 2DRef: Meriam, bab VIIAE2221 Kinematika dan Dinamika L.Gunawan Prodi AE FTMD ITB 2012

Tujuan Mempelajari hubungan antara gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda dengan gerakannya (translasi dan rotasi) atau sebaliknya. Kinetika partikel: dua persamaan gaya dibutuhkan untuk partikel yang bergerak dalam ruang 2-D. Kinetika benda kaku (2D): Perlu persamaan tambahan yang untuk gerak rotasi benda. Jadi untuk benda kaku dalam ruang 2-D diperlukan tiga persamaan: 2 persamaan kesetimbangan gaya 1 persamaan kesetimbangan momen.

7.1 Titik Pusat Massa Suatu benda kaku dapat dianggap sebagai kumpulan partikel dan tiap partikel memiliki massa mi pada posisi (xi,yi) Pusat massa benda kaku (xcg, ycg) didefinisikan sebagai berikut:Y

xi xcg cg

mi

xcg =

m x mi i i i

i

,

ycg =

m y mi i i i

i

ycg

yi

O

X

Jika origin sistem koordinat yang digunakan untuk menghitung titik pusat massa berimpit dengan cg, maka persamaan menjadi:

Y

m xi ixi mi yi

i

= 0,

m yi i

i

=0

cg

X

7.2 Hukum Newton Gerak benda (2-D): 2 translasi (arah x, y) dan 1 rotasi Diperlukan tiga persamaan gerak skalar independen. Untuk koordinat rektanguler, gerak dalam arah x gerak dalam arah y gerak rotasivy,ay , vx,ax

: sx, vx dan ax, : sy, vy dan ay, : , dan .

cg

Penerapan hukum Newton untuk gerak benda kaku ini adalah sbb: Resultan gaya-gaya luar pada benda dapat dibagi menjadi tiga besaran gaya yang bekerja pada cg benda, yaitu total gaya dalam arah x, total gaya dalam arah y dan total momen: Fx, Fy dan M Hubungan antara gaya dan percepatan dalam tiap komponen gerak:

F

x

= ma x ,

F

y

= ma y

Gerak rotasi: Momen luar total yang bekerja pada benda (thd cg) digunakan untuk mempercepat gerak rotasi partikel. Secara umum, untuk suatu benda yang terdiri atas sejumlah partikel, maka satu elemen massa pada benda akan mengalami percepatan sebagai berikut:ay mi 2ri cg ax ri

M i = mi a x yi + mi a y xi + mi ririMomen total oleh seluruh massa benda:

M = m ai i i

x

yi + mi a y xi + mi ri rii i i i

= a x mi yi + a y mi xi + mi ri 2

M = a m yx i i

i

+ a y mi xi + mi ri 2i i

Titik referensi sistem koordinat adalah cg benda. Berdasarkan definisi cg, maka suku pertama dan kedua di sisi kanan persamaan adalah 0. Dengan demikian persamaan momen menjadi:

M = mi ri 2 = I i

I = mri2 adalah momen inersia massa benda terhadap cg. Dalam bentuk integral, momen inersia massa ini didefinisikan sebagai I = r2 dm .

Jari-jadi GirasiUntuk suatu benda yang memiliki I tertentu, maka besaran momen inersia massa tersebut kadangkala dinyatakan melalui besaran jari-jari girasi, yang didefinisikan dari:

Contoh: untuk batang dengan panjang l dan massa m, dimana Icg = ml2/12, maka

Jika persamaan momen dilakukan tidak terhadap cg, persamaan momen yang diperoleh adalah:

M=I d F=ma cg O

M

O

= I + mad

Perhatikan: Momen thd suatu titik secara umum = momen inersia massa terhadap cg x percepatan sudut + massa x jarak cg thd titik tangkap momen (d) x percepatan linier cg. Jika titik referensi adalah titik berat itu sendiri, maka suku kedua disisi kanan persamaan diatas sama dengan nol.

Contoh 7.1B Dm m

5

2.

A 4m

C

2.45o o

Suatu batang bermassa 100 kg digantung dengan tiga utas tali seperti tampak pada gambar. Jika tali BC diputus, berapa besar tegangan tali AB dan CD sesaat setelah tali BC putus.

5

45

Jawab:1

T

mg ax45 o

To

2

Kinematika: Sesaat setelah tali BC putus batang bergerak translasi pada lintasan melengkung dengan arah 45o thd garis horizontal, lihat DBB Percepatan normal pada saat awal nol =0 an = 2 r = 0 Karena batang bergerak translasi dengan arah 45o thd garis horizontal, maka yang ada hanya percepatan tangensial = a, ax = a cos 45o, ay = a sin 45o, ax = ay (i)

45

45

o

a

ay

Hk. Newton:1

T

mg ax45 o

To

2o

45

45

a

ay

Fx = ma x Fy = ma y MG = 0

T1 cos 45 o + T2 cos 45 o = ma x mg T1 sin 45 o T2 sin 45 o = ma y 2T1 sin 45 o 2T2 sin 45 o = 0

(ii) (iii) T1 = T2 (iv)

Dengan memasukkan (i) dan (iv) ke (ii) dan (iii), didapat:1.414 T1 = ma x mg 1.414 T1 = ma x (v) (vi)

Dua persamaan ini jika dijumlahkan memberi:mg = 2ma x ax = g = ay 2 (vii)

Dengan menggunakan pers.(v), dapat dihitung:T1 = 0.707 ma x = 0.707 100 9.81 / 2 = 346 N T2 = T1 = 346 N

Contoh 7.2 Kecepatan suatu pesawat jet transport yg sedang mendarat berkurang dari 200 km/j menjadi 50 km/j akibat dari thrust reverser R dalam jarak 450 m dengan percepatan konstan. Massa total pesawat: 125000 kg, cg ditunjukkan pd gambar. Tentukan gaya reaksi normal pada nose gear pada saat kecepatan disekitar 50 km/j (pd kec ini gaya2 aerodinamik kecil & dapat diabaikan) & rem mekanik belum digunakan.

Jawab Vo = 200 km/j = 55.56 m/dt; Ve = 50 km/j = 13.89 m/dt S = 450 m Utk perc. konstan: Ve2 = Vo2 + 2as a = (Ve2 - Vo2)/2s = (13.892 - 55.562)/(2x450) = -3.22 m/dt2

Pesawat bergerak translasi, maka = 0 Pada saat belum direm secara mekanik, gaya yang bekerja hanya gaya berat (W) dan thrust (R). Gaya aero diabaikan.

DBBa

W = mg

y

R RB RA

1.8 m 3 m

x

12.6 m

2.4 m

Persamaan keseimbangan: Fx = ma R = m x a R = 125000 x 3.22 = 402500 N Fy = 0 - W + RB + RA = 0 RB + RA = mg = 1226250 N MA= I + ma d (CW +) RB x 15 W x 2.4 + R x 1.8 = I x 0 + m x a x 3 15 RB - 2.4 W + 1.8 R = 3 m a RB = (3 x 125000 x 3.22 + 2.4 x 1226250 1.8 x 402500) / 15 RB = 3426000 / 15 = 228400 N

Jika diselesaikan dg persamaan momen thd cgya W = mg

xR RB RA

1.8 m 3 m

12.6 m

2.4 m

Persamaan keseimbangan: Fx = ma - R = m x - a R = 125000 x 3.22 = 402500 N Fy = 0 - W + RB + RA = 0 RB + RA = mg = 1226250 N Mcg= I (CW +) RB x 12.6 RA x 2.4 - R x 1.2 = I x 0 12.6 RB - 2.4 RA - 1.2 R = 0 dpt diselesaikan dg substitusi dua hasil di atas

Contoh 7.3

JawabPada saat awal menyentuh lantai, bola memiliki kecepatan translasi v0 tanpa rotasi Beberapa saat kemudian bola bergerak translasi dan rotasi tanpa slip Karena ada perubahan kecepatan rotasi, berarti bola mengalami percepatan rotasi Secara umum bola juga mengalami percepatan translasi Vo a V1

Diagram benda bebas bola selama kecepatannya berubah dari Vo menjadi V1, dan kecepatan sudut dari 0 menjadi

a W

fs=N N

Contoh menyebutkan bola mengalami penurunan kecepatan translasi, dan mengalami peningkatan kecepatan rotasi Apakah suatu saat kecepatan translasi bola akan nol dan tinggal hanya kecepatan rotasi?

Persamaan kesetimbangan momen dinamik pada benda yang memiliki percepatan translasi dan rotasi pada pusat massa:M=I d F=ma cg O

a dan pada benda diatas tidak saling bergantung

Benda yang berotasi tidak pada centre of mass memiliki hubungan antara a dan 0 r a cm

Untuk benda yang berotasi pada titik sejauh r dari cm, berlaku a = r Persamaan momen menjadi:

I0 adalah momen inersia massa benda terhadap titik 0 yang berada sejauh r dari cm

7.3 Metoda Energi Kerja yang dilakukan oleh gaya F yang mengakibatkan titik tangkap gaya pada benda berpindah adalah:W = F.dr = F cos ds

dr : vektor perpindahan titik tangkap gaya F : sudut antara F dan perpindahan dr.F ds

F

A

A'

F

Kerja oleh momen M = Fb

A''

b

B'' F BF

B'

Tinjau suatu batang yg berpindah dari AB menjadi AB: translasi dari AB AB dan rotasi dari AB AB. Pada batang bekerja pasangan gaya F yang membentuk momen. Kerja yang dilakukan oleh Momen tsb selama perpindahan translasi adalah nol Kerja oleh momen hanya dilakukan utk perpindahan rotasi :W = M.d

F

A

A'

FA''

Kerja oleh Gaya FbFB'' F B B'

Tinjau suatu batang yg berpindah dari AB menjadi AB: translasi dari AB AB dan rotasi dari AB AB. Pada batang bekerja pasangan gaya F. Kerja yang dilakukan oleh gaya F tsb selama perpindahan rotasi adalah nol Kerja yang dilakukan gaya hanya pada perpindahan translasi:

W = F .dx

Energi Kinetikmi

cg

v

v

v

i

Suatu benda kaku melakukan perpindahan dan pada t tertentu pusat massanya memiliki kecepatan v dan kecepatan sudut .

Kecepatan tiap partikel pada benda tsb dapat dinyatakan sebagai kecepatan pusat massa v ditambah dengan kecepatan relatif terhadap pusat massa = . Energi kinetik seluruh benda adalah jumlah energi kinetik semua partikel yang membentuk benda kaku, yaitu:

T = 1 m i v 2 = 1 m i ( v 2 + 2 2 + 2v cos ) i 2 2

= ( 1 m i ) v 2 + 1 m i 2 2 + ( m i cos ) v 2 2 sudut antara vektor dengan v

(

)

mi

cg

v

v

vi

mi cos

Massa partikel ke i dikalikan dengan proyeksi jarak partikel thd cg dlm arah tegak lurus vektor V

M total benda

I benda thd cg

=0 berdasarkan definisi cg

T = ( 1 mi ) v 2 + 2

(

1 2

mi 2 2 + ( mi cos ) v

)

Besaran dalam tanda kurung pada suku ketiga pada sisi kanan pers. adalah nol berdasarkan definisi titik pusat massa. Besaran dalam kurung pada suku pertama dan kedua di sisi kanan pers. adalah massa dan inersia massa benda kaku Energi kinetik benda kaku dengan demikian dapat dituliskan menjadi:

T = 1 mv 2 + 1 I 2 2 2Energi kinetik benda kaku terdiri atas dua komponen: EK gerak translasi dan EK gerak rotasi terhadap cg benda.

Energi PotensialEnergi potensial gravitasi maupun elastis pegas dalam sistem benda kaku sama seperti yang telah dibahas pada kinetika partikel. Dengan menguraikan energi potensial gravitasi sebagai jumlah dari energi poensial gravitasi partikel penyusun benda kaku 2D, akan didapat:

Epgrav = mgh,dimana h dihitung berdasarkan posisi cg benda.

Persamaan Kerja - Energi

Hubungan kerja-energi pada benda kaku dinyatakan sbb:W = E k + E p grav + E Psprdimana: W Ek Epgrav Epspr : kerja oleh gaya luar : perubahan energi kinetik : perubahan energi potensial gravitasi : perubahan energi potensial pegas.

Contoh 7.4 Sebuah batang ditumpu pada engsel di salah satu ujungnya dan ditahan oleh pegas. Pada saat awal batang dalam keadaan vertikal dan pegas tidak teregang. Jika batang kemudian didorong kesamping, berapa kecepatan sudut awal yang harus diberikan agar batang dapat mencapai posisi horizontal dengan kecepatan sudut 0 sebelum bergerak kembali ke atas?

1.2 m

1.2 m

k = 3 kN/m

1.2 m

Jawab:

1.2 m

1.2 m

k = 3 kN/m

1.2 m

1.2 m

1.2 m

Batang bergerak dari posisi I (vertikal) dengan kec.sudut 1 menuju posisi II (horizontal) dengan 2 = 0. Pada posisi I: pegas tidak teregang dengan panjang awal 1.22 m cg batang: 1.2 m diatas engsel.

Pada posisi II: panjang pegas 2.4 m sehingga regangan pegas adalah 2.4 m 1.22 m =0.703 m. Cg batang: 0 m diatas engsel

Selama berpindah dari posisi I ke II tidak ada gaya luar yang bekerja sehingga kerja oleh gaya luar adalah nol.

Gerak batang adalah gerak rotasi terhadap ujung bawah. Gerak batang jika ditinjau pada cg batang adalah gerak rotasi dan gerak translasi dalam lintasan lingkaran Kec rotasi batang terhadap cg sama dengan kecepatan rotasi batang terhadap ujung bawah Kecepatan translasi cg batang adalah wr

Ek =

[(

= (0)

1 2

[

mv 2 + 2

(

1 2

30 (1.2 1 )1 2 kx 1 ) = 1

1 2

I2 2

) (

1 2

2 mv 1 + 2

) (

1 2

2 I1 1 2

)]1 12 1

2 2 30 2.42 1 = 28.81 J

)]

Ep = (mgh2 mgh1 ) = mg(h2 h1 ) = 30 9.81 (0 1.2) = 352 .8 J Ee = (12 kx 2 22 2 2 k(x x x1 ) = x 2

3000 (0.703 2 0) = 741 J

Persamaan energi: W (=0) =Ek + Ep + Ee Sehingga2 28.81 = 741 352.8 = 388.4

1 = 3.67 rad / dt

Catatan:1.2 m

1.2 m

k = 3 kN/m

Untuk benda yang berpotar terhadap titik O yang tidak berimpit dengan cg, besar energi kinetik dapat dinyatakan sebagai

1.2 m

Dimana v, dan I dihitung terhadap cg benda.

T = 1 mv 2 + 1 I 2 2 2

Untuk benda ini, kecepatan di cg, v = r, dimana r adalah vektor posisi cg thd O. Karenanya energi kinetik benda dapat dituliskan menjadi:

T = 1 mr 2 2 + 1 I 2 2 2 = (mr + I )1 2 2 2

= 1 I O 2 2

IO adalah momen inersia massa terhadap titik O

Contoh 7.5A

Batang dengan massa 10 kg, sepanjang 0.8 m, disandarkan pada dinding dalam kondisi diam. Kemudian titik B ditarik dengan gaya konstan 50N. Tentukan kecepatan sudut batang pada saat sudut batang 45o. Abaikan gaya gesek.B

A

A

B F = 50N F = 50N B

Analisis kinematikA Kecepatan batang = 0, EK = 0 Pusat kecepatan posisi 2 VA A

B F = 50N VB B

Analisis kinematik dan E. KinetikKarena kemiringan batang 45, IA = IB, Atau VA = VB = VA/(0.8 cos45) Vcg = xIA sin 45 = 0.4 2=0.5mv2+0.52 = 0.08m2+0.52 VB I Pusat kecepatan posisi 2 VA A

B

Analisis energi potensialA Ep1 = mg x 0.8/2 VA A cg posisi 1 cg posisi 2

B F = 50N VB B

Ep2 = mg x 0.8/2 sin45

Analisis KerjaKerja oleh gaya F saja. NA dan NB tidak melakukan kerja (mengapa?) W = F x 0.8 cos 45 Pusat kecepatan posisi 2 VA NA

I

A

F NB

B

Keseimbangan Energi W=Ek+Ep 0.8Fcos45=0.08m2 + 0.5I2 + 0.4mg(sin45-1) = ...

7.5 Impuls dan MomentumSub bab ini menjelaskan pemakaian prinsip impuls dan momentum (linier dan anguler) untuk memecahkan masalah yang melibatkan gaya, kecepatan dan waktu pada gerakan benda kaku Tujuan: Merumuskan momentum linier & anguler pada benda kaku Menerapkan prinsip momentum dan impuls (linear & anguler) pada benda kaku yang melibatkan gaya, kecepatan dan waktu Membahas aplikasi dengan prinsip kekekalan momentum

Momentum linier Momentum linier suatu benda kaku ditentukan dari jumlah vektor momentum liner partikel-partikel penyusun benda tersebut L = mi vi = mi (v g + ri )i

v cg ri v xri

= v mi + mi rii i

i

Karena referensi posisi partikel diambil thd cg,maka suku kedua akan berharga 0 dan momentum linier menjadi:

L = mvG

m: massa total benda

Momentum anguler Tinjau suatu benda kaku yang secara umum bergerak translasi dan rotasi. Suatu saat diketahui titik P memiliki kecepatan vP dan benda memiliki kecepatan rotasi . Kecepatan partikel ke i pada benda adalah:vP cg P ri vP

xri

Momentum anguler titik i thd P sama dengan momen dari momentum linier titik i thd P, yaitu:

Momentum anguler (2) Momentum anguler seluruh benda adalah jumlah dari momentum anguler seluruh partikel penyusun benda:

vP cg ri vP

xri

Suku pertama menyatakan massa benda dikalikan dengan posisi cg benda diukur dari P, sedangkan suku kedua menyatakan momen inersia massa terhadap titik P, sehingga:

Momentum anguler (3) Jika titik P adalah cg benda, dan diberi notasi G, maka :

v ri cg v xri

Momentum anguler (4) Momentum terhadap titik P yang bukan merupakan titik cg benda dapat dinyatakan juga sebagai fungsi dari IG (momen inersia massa thd cg):

vP cg ri vG vP P xri

Momentum anguler (5) Momentum terhadap titik P yang bukan merupakan titik cg:

cg d vG P vP

Dimana d adalah jarak tegak lurus antara vektor vG terhadap titik P

Ringkasan Momentum (1)

Untuk benda yang bergerak translasi saja, momentum linier dan angulernya adalah sbb:

L = mvG HG = 0

vG

Ringkasan Momentum (2) Untuk benda yang bergerak secara umum, dimana kecepatan benda pada cg adalah vG dan kecepatan rotasi , maka:

L = mvG H G = I G

vG

G

Ringkasan Momentum (3) Rotasi terhadap titik tetap O L = mvG G rG O

H G = I G

vG

Momentum anguler juga dapat dinyatakan sbg momentum thd titik rotasi 0 sbb:

H O = I G + rG mvG = I G + mrG rG2 2 = I G + mrG = ( I G + mrG ) = I O

Contoh: Suatu roda homogen, dengan massa 10 kg, jari2 0.25 m, berputar pada titik B dengan kec 8 rad/s. Hitung momentum anguler HG dan HB. B G

Jawab: HG = Ig = 0.5100.2528 = 2.5 kg m2/s (+CW) HB = Ig +mvGr = 2.5 + 10(0.258)0.25 = 7.5 kg m2/s Cara lain: HB = Ib; dimana IB diketahui 1.5mr2

B G

Contoh: Suatu batang homogen, dengan massa 5 kg, panjang 4 m, sedang bergeser turun dari suatu dinding dan lantai seperti pd gambar. Diketahui pada posisi sudut 30o kecepatan batang pada dinding adalah 2 m/s. Hitung momentum anguler batang terhadap cg dan thd pusat rotasi sesaat.2 m/s

30o

Jawab:I 2 m/s A IA = 4 cos 30 = 3.464 m IB = 4 sin 30 = 2 m IG = 2 m (perhatikan segitiga IBG sama kaki)

G 30o B

Kecepatan rotasi batang: = VA/IA = 2/3.464 = 0.5774 rad/s VG = IGx = 20.5774 = 1.155 m/s HG = Ig = (542/12) 0.5774 = 3.85 kg m2/s HI = Ig+2*(mvG) = 3.85 + 251.155 = 15.4 kg m2/s

Prinsip Impuls dan Momentum Linier Persamaan gerak translasi untuk benda kaku dapat dituliskan sbb:

Dengan mengintegrasikan persamaan di atas antara t1 dan t2, dimana pada t1 dan t2 kecepatan benda berturutturut adalah vg1 dan vg2, didapat:t2

t1

F dt = mv

g2

mvg1

Jumlah semua impuls akibat gaya luar pada benda sama dengan perubahan momentum benda dalam rentang waktu yang sama

Prinsip Impuls dan Momentum Anguler Persamaan gerak rotasi untuk benda kaku dapat dituliskan sbb:

Dengan mengintegrasikan persamaan di atas antara t1 dan t2, dimana pada t1 dan t2 kecepatan benda berturutturut adalah vg1 dan vg2, didapat:t2

t1

M

G

dt = I G2 I G1

Jumlah semua impuls akibat gaya luar pada benda sama dengan perubahan momentum benda dalam rentang waktu yang sama

Prinsip Impuls dan Momentum Anguler (2) Dengan cara yang sama, untuk benda yang mengalami rotasi terhadap titik tetap O, berlaku:t2

t1

M

O

dt = I O2 I O1

Jumlah semua impuls akibat gaya luar pada benda sama dengan perubahan momentum benda dalam rentang waktu yang sama

Contoh 7.6v1=0.6 m/dt v2=1.2 m/dt

1 10

Poros suatu roda homogen diberi kecepatan awal sebesar 0.6 m/dt untuk bergerak naik suatu kemiringan. Tentukan waktu t yang dibutuhkan sehingga roda bergerak menuruni kemiringan tersebut dengan kecepatan 1.2 m/dt.

Jawab:mg sin f= N K mg cos

Momen inersia massa roda thd cg: I = 0.5mr2 Kondisi awal: Kecepatan poros: v1 = 0.6 m/dt, 1 = v1/r (roda tidak slip) Kondisi akhir: Kecepatan poros: v2 = -1.2 m/dt, 2 = v2/r Perubahan momentum roda terhadap titik K (CW+) HK = I(2 - 1) + m(v2 - v1)r = 0.5 mr2(v2 - v1)/r + m(v2 - v1)r = 1.5 mr (v2 - v1) = 1.5 mr (-1.2 - 0.6) = -2.7 mr Momen terhadap titik K: (CW+) MK = -mg sin r = - mg 0.0995 r = -0.0995 mgr Karena MK konstan, impuls oleh gaya luar thd K waktu t adalah: HK = MK t = - 0.0995 mgrt Dengan demikian: - 0.0995 mgrt = -2.7mr atau t = 2.7 /0.0995 g = 2.77 detik

N=mg cos

Formulasi masalah dan review Identifikasi body atau sistem yang harus dimodelkan Identifikasi jenis gerakan yang terjadi Tentukan sistem koordinat, termasuk definisi arah positif gaya, momen dan gerakan Gambar DBB Metoda Jika diinginkan hubungan antara gaya dan percepatan: hukum Newton Jika soal menyatakan gerakan perpindahan dalam suatu rentang jarak: metoda energi Jika soal menyatakan perpindahan dalam rentang waktu: metoda impuls-momentum (linear atau anguler) Lakukan asumsi jika dibutuhkan, seperti pengabaian gesekan, dll.

ContohDua buah batang, AB dan BC masing-masing dengan massa 2 kg, digantung seperti ditunjukkan pada gambar 4. Dalam kondisi diam, titik B dikenai gaya selama 0.1 detik dengan besar impuls Fdt = 10 Ns dan dalam waktu yang singkat tersebut dianggap batang masih dalam kondisi vertikal. Tuliskan persamaan impuls dan momentum untuk sistem ini, Hitung kecepatan sudut batang AB dan BC sesaat setelah gaya berhenti bekerja

Analisis gerak (kinematik) Sistem terdiri atas 2 batang yang dipasang menggunakan engsel. Batang AB dapat berputar pada titik B, Batang BC dapat berputar pada titik C. Setelah mendapat impuls, batang AB mengalami rotasi dengan kec 1 dan BC pada 2. 1 dan 2 independent. Kecepatan pusat massa BC: 0.6 2 Kecepatan pusat massa AB: 1.2 2 + 0.6 1

V2

2 V1

1

Perhitungan momentum Momentum linier terhadap C;

V2

Momentum anguler terhadap C;

2 V1

1

Persamaan impuls - momentum Impuls linier = Perubahan Momentum linier;V2

Impuls anguler thd C= Perubahan momentum anguler terhadap C;

2 V1 1

10

Hasil perhitungan Persamaan:

V2

2 V1

Pemecahan persamaan di atas akan memberi:Batang AB dan BC berputar dalam arah yang sesuai dengan asumsi dalam gambar Kec AB lebih tinggi daripada kec BC

1

ContohDua buah batang, AB dan BC masing-masing dengan massa 2 kg, digantung seperti ditunjukkan pada gambar 4. Dalam kondisi diam, titik B dikenai gaya selama 0.1 detik dengan besar impuls Fdt = 10 Ns dan dalam waktu yang singkat tersebut dianggap batang masih dalam kondisi vertikal. Tuliskan persamaan impuls dan momentum untuk sistem ini, Hitung kecepatan sudut batang AB dan BC sesaat setelah gaya berhenti bekerja

Dengan mengasumsikan gerak batang sama, perhitungan momentum akan sama: Momentum linier terhadap C;

V2

Momentum anguler terhadap C;

2 V1

1

Persamaan impuls - momentum Impuls linier = Perubahan Momentum linier;V210

2 V1 1

Impuls anguler thd C= Perubahan momentum anguler terhadap C;

Hasil perhitungan Persamaan:

V2

2 V1

Pemecahan persamaan di atas akan memberi:Batang AB berputar dalam arah berlawanan dengan asumsi, Kec BC lebih tinggi daripada kec AB

1

7.5 Impuls dan Momentum Gerak benda kaku: translasi & rotasi thd cg. Momentum (massa x kecepatan): momentum linier dan anguler. Momentum linear didefinisikan sebagai:

G = mv Turunan momentum linear terhadap waktu: F = G Integrasi pers. diatas thd t memberi hubungan impuls t2 momentum:

F dt = Gt1

2

G1

Karena momentum adalah vektor, maka persamaannya dapat diuraikan dalam komponenkomponen arahnya: dalam arah x: Fx = G x ,t2 t1

F

x

dt = G x2 G x1

dalam arah y: Fy = G y ,t2 t1

F

y

dt = G y2 G y1

Momentum anguler terhadap pusat massa benda kaku didefinisikan sebagai:

H = IMomentum anguler: vektor, arah bidang 2-D tempat benda kaku bergerak dengan arah mengikuti aturan tangan kanan. Turunan persamaan momentum terhadap t dan integrasinya menghasilkan hubungan impuls momentum sbb: M = H ,t2 t1

M dt = H

2

H1

H = I d G = mv O

Jika momentum anguler diambil terhadap titik O yang bukan titik pusat massanya, maka momentum anguler didefinisikan sebagai berikut:H 0 = I + mvd

Turunan persamaan momentum terhadap t dan integrasinya memberi hubungan impuls momentum sbb:

M0 = I + mvd = H0 ,

t2 t1

M

O

dt = HO2 HO1