KELOMPOK 4

1.ANAJAZI2.JUSMIKAWATI3.MELY RISMAWATI4.NITRA HAYANI

HIMPUNAN

• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

contoh

1)Diberikan P = {1,2,3,9,12,13}. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah...

Penyelesaian :himpunan kelipatan 3 yang terdapat

di P adalah {3,9,12}.

• PENYAJIAN HIMPUNAN

• KARDINALITAS

• CONTOHJika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...pembahasan :Kardinalitas atau banyaknya anggota himpunan dari :K = 3R = 4Jadi n(R) - n(K) + 2 menjadi 4 - 3 + 2 hasilnya adalah 3.

HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan di notasikan dengan { } atau Ø

contohN Adalah himpunan nama-nama bulan

dalam setahun yang diawali dengan huruf C.nyatakan N dalam notasi himpunan ?

Penyelesaian :Nama-nama bulan dalam setahun adalah

januari,februari,maret,april,mei,juni,juli,agustus.september,oktober,november dan desember,karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C,maka N adalah himpunan kosong ditulis N = Ø atau N = { }.

HIMPUNAN BAGIAN Himpunan bagian adalah anggota dari

masing-masing himpunan.

Contoh:Banyaknya himpunan bagian dari

{1,2} adalah...

Penyelesaian:. Jadi banyaknya himpunan bagian dari

{1,2} adalah 4 pangkat 2 = 4, yaitu {}, {1} , {2} dan {1,2}.

• Himpunan Yang Sama• Dua buah himpunan mungkin saja sama yaitu semua

anggota didalam kedua himpunan tersebut sama,meskipun urutannya didalam himpunan tidak sama.

• DEFINISI 2.4. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama .Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

• Notasi : A = B ↔ A B dan A B⊆ ⊆

Contoh:

Jika A : { 0,1 } dan B : { x | x ( x-1 ) = 0 }, maka A = B

Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 5,3,8 }, maka A = B

Jika A : { 3,5,8,5 } dan B : { 3,8 }, maka A ≠B

Himpunan yang ekivalen

Dua buah himpunan dapat mempunyai kardinal yang sama meskipun anggotanya kedua himpunan tersebut tidak sama .Kita katakan kedua himpunan tersebut ekuivalen. Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.Notasi : A~ B↔|A| = |B|Contoh :Jika A : { 1,3,5,7 } dan B : { a,b,c,d } ,maka : A~ B sebab|A| = |B| = 4

Himpunan Saling LepasDua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang sama satu buah pun.Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas ( disjoint ). Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.Notasi : A // B Contoh :Jika A : { x | x ∈ P , x < 8 } dan B : { 10,20,30,....},maka A // B

Himpunan kuasa• Himpunan kuasa dari suatu himpunan

mengandung semua himpunan bagian dari himpunan yang dimaksud. Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A,termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

• Notasi : P (A) atau 2A• Contoh :• Jika A : { 1,2 }, maka P (A) = { ∅ , {1},

{2},{1,2}}

Operasi terhadap himpunan

• Perampatan Operasi Himpunan

• Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpunan. Dalam hal ini kita melakukan perampatan operasi (generalization) operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa.

Contoh :A = { 1,2,3} B = {a,b}

C = {3,2}

A X B X C = {{1,a,3} , {1,a,2} , {1,b,3} , {1,b,2} ,{2,a,3} , {2,a,2} , {2,b,3} , {2,b,2} ,

Hukum-hukum himpunanHukum-hukum pada himpunan dinamakan

Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif

1.   Hukum identitas:    A ∪ ∅ = A Dualnya : A ∩ U = A

2.  Hukum null/dominasi:A ∩∅ = ∅ Dualnya : A ∪ U = U

3.Hukum komplemen:A ∪Ā = U Dualnya : A ∩Ā = ∅4.Hukumidempoten:  A ∪A=A Duaalnya : A ∩A=A5.Hukum penyerapan (absorpsi):A ∪ ( A ∩B )=A

Dualnya : A ∩( A ∪B )= A6.Hukumkomutatif:  A ∪B=B ∪A Dualnya : A ∩B=B

∩A 7.Hukum asosiatif:  A ∪(B∪C)=( A ∪B )∪C Dualnya :

A ∩( B ∩C )=( A ∩B )∩C8.Hukum distributif: A ∪( B ∩C )=( A ∪B )∩( A ∪ )

Dualnya : A ∩( B ∪C )=( A ∩B )∪( A ∩C )9.Hukum De Morgan: (A ∪B ) ̅ = A ̅∩ B ̅ Dualnya : (A

∩B ) ̅ = A ̅∪ B ̅10.  Hukum 0/1 :   ∅ ̅ = U Dualnya : (U ) ̅ = ∅

Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi .Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep

yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban

yang benar. ( Prinsip Dualitas Pada Himpunan ) .Misalkan S adalah suatu kesmaan yang

melibatkan himpunan ( set identiti ) dan operasi-operasi seperti

∪ ,∩,dankoplemen.Jika S ^⃰diperoleh dari S dengan

mengganti ∪menjadi∩,∩ menjadi ∪ , ∅ menjadi U ,dan U menjadi

∅ ,sedangkan komplemen dibiarkan menjadi seperti

semula ,maka kesamaan S juga ^⃰benar dan disebut dual dari

kesamaan S.

• Prinsip Inklusi – Eksklusi• Penggabungan dua buah hipunan

menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B.Himpunan A dan himpunan B mungkin memiliki elemen-elemen yang sama ,banyaknya elemen bersama antara S dan B adalah | A∩B|. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali ,sekali pada | A | dan sekali pada | B | ,meskipun seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam | A ∪B | .Karena itu,jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya ,atau :

• | A ∪B| = |A| + | B | - |A ∩B|

contoh• Misalkan :• A = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,• B = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,• A ∩B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan

5( yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 )

• Yang ditanyakan adalah | A B| ∪• Terlebih dahulu harus dihitung • |A| = [100/3] = 33,• |B| = [100/5] = 20• | A ∩B| = 100/15 = 6• Unttuk mendapatkan • | A B| = |A| + |B| - | A ∩B| = 33 + 20 – 6 = 47∪• Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi oleh 3 atau 5.

• Pembuktian Proposisi Himpunan• Proposisi himpunan adalah pernyataan yang

menggunakan notasi himpunan.Pernyataan dapat berupa kesamaan,misalnya “

• A ∩(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C) adalah sebuah kesamaan himpunan,atu dapat berupa implikasi seperti “ jika A ∩B= ∅ dan A ⊆ ( B ∪C ) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C “.

• Beberapa metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan ,antara lain :

• Pembuktian dengan menggunakan diagram venn• Pembuktian dengan menggunakan tabel

keanggotaan• Pembuktian dengan menggunakan aljabar

himpunan• Pembuktian dengan menggunakan definisi