Anang Wibowo, S.Pd – www.matikzone.wordpress.com – 085 233 897 897 – 10 September 2014

Geometri Koordinat - Koordinat Titik Berat Segitiga

Perhatikan gambar!

Ketiga garis berat suatu segitiga berpotongan di 1 titik, disebut titik berat. Koordinat titik berat dapat kita cari dari titik perpotongan salah 2

garis beratnya. Dalam kesempatan ini, kita akan mencarinya menggunakan garis AA’ (garis berat yang melalui titik sudut A) dan garis BB’ (garis

berat yang melalui titik sudut B).

O

| |

=

= o

o

𝐴 𝑥1, 𝑦1

𝐵 𝑥2, 𝑦2

𝐶 𝑥3, 𝑦3

𝐴′ 𝑥2 + 𝑥3

2,𝑦2 + 𝑦3

2

𝐵′ 𝑥1 + 𝑥3

2,𝑦1 + 𝑦3

2

Anang Wibowo, S.Pd – www.matikzone.wordpress.com – 085 233 897 897 – 10 September 2014

Garis 𝐴𝐴′ ≡𝑦−𝑦1

𝑦2+𝑦32

−𝑦1

=𝑥−𝑥1

𝑥2+𝑥32

−𝑥1

→2𝑦−2𝑦1

𝑦2+𝑦3−2𝑦1=

2𝑥−2𝑥1

𝑥2+𝑥3−2𝑥1 →

𝑦−𝑦1

𝑦2+𝑦3−2𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2+𝑥3−2𝑥1

→ 𝑦 =𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦1 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑦3 + 2𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦1 + 𝑥3𝑦1 − 2𝑥1𝑦1

𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥1

Garis 𝐵𝐵′ ≡𝑦−𝑦2

𝑦1+𝑦32

−𝑦2

=𝑥−𝑥2

𝑥1+𝑥32

−𝑥2

→2𝑦−2𝑦2

𝑦1+𝑦3−2𝑦2=

2𝑥−2𝑥2

𝑥1+𝑥3−2𝑥2 →

𝑦−𝑦2

𝑦1+𝑦3−2𝑦2=

𝑥−𝑥2

𝑥1+𝑥3−2𝑥2

→ 𝑦 =𝑥𝑦1 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦2 − 𝑥2𝑦1 − 𝑥2𝑦3 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥3𝑦2 − 2𝑥2𝑦2

𝑥1 + 𝑥3 − 2𝑥2

Titik berat adalah titik potong kedua garis, untuk mendapatkan absis titiknya, dapat kita samakan kedua persamaan di atas.

𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦1 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑦3 + 2𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦1 + 𝑥3𝑦1 − 2𝑥1𝑦1

𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥1=

𝑥𝑦1 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦2 − 𝑥2𝑦1 − 𝑥2𝑦3 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥3𝑦2 − 2𝑥2𝑦2

𝑥1 + 𝑥3 − 2𝑥2

→ 𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦1 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑦3 + 𝑥2𝑦1 + 𝑥3𝑦1

𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥1=𝑥𝑦1 + 𝑥𝑦3 − 2𝑥𝑦2 − 𝑥2𝑦1 − 𝑥2𝑦3 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥3𝑦2

𝑥1 + 𝑥3 − 2𝑥2

Dengan perkalian silang dan penyederhanaan, kita mendapatkan:

Anang Wibowo, S.Pd – www.matikzone.wordpress.com – 085 233 897 897 – 10 September 2014

3𝑥 −𝑥1𝑦2 + 𝑥1𝑦3 − 𝑥2𝑦3 + 𝑥2𝑦1 − 𝑥3𝑦1 + 𝑥3𝑦2

= −𝑥1𝑥1𝑦2 + 𝑥1𝑥2𝑦1 + 𝑥2𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑥2𝑦2 + 𝑥1𝑥1𝑦3 + 𝑥1𝑥3𝑦3 − 𝑥1𝑥3𝑦1 − 𝑥3𝑥3𝑦1 − 𝑥2𝑥2𝑦3 − 𝑥2𝑥3𝑦3 + 𝑥2𝑥3𝑦2 + 𝑥3𝑥3𝑦2

= −𝑥1𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑥2𝑦2 − 𝑥1𝑥3𝑦2 + 𝑥1𝑥1𝑦3 + 𝑥1𝑥2𝑦3 + 𝑥1𝑥3𝑦3 − 𝑥1𝑥2𝑦3 − 𝑥2𝑥3𝑦3 − 𝑥2𝑥2𝑦3 + 𝑥1𝑥2𝑦1 + 𝑥2𝑥2𝑦1 + 𝑥2𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑥3𝑦1 − 𝑥2𝑥3𝑦1

− 𝑥3𝑥3𝑦1 + 𝑥1𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑥3𝑦2 + 𝑥3𝑥3𝑦2

3𝑥 −𝑥1𝑦2 + 𝑥1𝑦3 − 𝑥2𝑦3 + 𝑥2𝑦1 − 𝑥3𝑦1 + 𝑥3𝑦2 = −𝑥1𝑦2 + 𝑥1𝑦3 − 𝑥2𝑦3 + 𝑥2𝑦1 − 𝑥3𝑦1 + 𝑥3𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

3

Dengan cara yang sama, dengan menyatakan persamaan garis dalam x = by + c, akan kita dapatkan:

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

3

Jadi, koordinat titik berat segitiga ABC adalah:

𝑂 𝑥, 𝑦 = 𝑂 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

3,

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3

3