fungsi bessel ( fisika matematika ii )

8/3/2019 FUNGSI BESSEL ( fisika matematika II )

1/11

FUNGSI BESSEL


2/11

0)(22

2

2

2 ypxdx

dyx

dx

ydx

k

k

k

pxaxy

0

Solusi dalam bentuk deret

Persamaan Bessel

)2(2212)(4

1............................,.........0

kkk a

pkkaa

Hubungan rekursif bagi ak

(1)

(2)


3/11

Untuk akar indisial positif 0,... pp

)2(22

1)(1(4

1

)(4

1kk a

pkkpkk

a

)2(22

2

)19))(1(4

)1(

ka

pkpkkk

= ....................................................

02)1)(2...(..........).........2)(1)((!2

)1(a

pppkpkpkkk

k

02)1(!2

)1()1(a

kpk

pk

k

Pilih )1(21

0

p

ap


4/11


5/11

Fungsi Neumann

Untuk p bulat, sebagai pengganti solusi kedua persamaanBessel J-p(x), dibentuk fungsi Neumann

)sin(

)()()cos()(

p

xJxJpxN

pp

p

p = n bulat, ruas kanan berbentuk taktentu 0/0.

Limit Np(x) untuk p n dihitung menggunakan

aturan lHospital, hasilnya

dn

xdJ

dn

xdJxN n

nn

n

)()1(

)(1)(

Np(x) : fungsi Bessel jenis kedua orde p


6/11

Solusi umum persamaan Bessel untuk semua nilai padalah :

y(x) = A Jp(x) + B Np(x) (4)

Jp(0) bernilai hingga

J-p(0) ~

Np(0) ~

Fungsi Bessel muncul dalam persamaan diferensialparsial bagi beraneka ragam persoalan fisika yang

dirumuskan dengan menggunakan sistem koordinatsilinder dan koordinat bola .


7/11

Hubungan rekursif fungsi Bessel

)()()()()(

)(2)()(

)(2

)()(

)()(

)2/(

)(

2

)1(

)2/(

)(

11

)1(

11

11

1

xJxJx

p

xJxJx

p

xJdx

d

xJxJxJ

xJx

pxJxJ

xJxJx

dxx

d

x

xJ

x

xJ

dxx

d

ppppp

ppp

ppp

pp

p

p

lp

lp

l

l

p

p

ll

l


8/11

FUNGSI INDUK FUNGSI BESSEL

Teorema:

Untuk semua nilai u, berlaku hubungan :

)()/1(2

1exp xJuuux

n

n

n

Fungsi (u,x) = exp(1/2 x (u 1/u))

Disebut : fungsi induk dari fungsi Bessel


9/11

Pernyataan Integral

1

12

1

20

)12sin()(2)sinsin(

2cos)(2)()sincos(

n

n

n

n

nxJx

nxJxJx

dxnxJ

dexJ

n

nxi

n

)sincos(2

1)(

2

1)(

)sin(


10/11

Bentuk Umum Persamaan Bessel

0)(222

2

2

2 Ypxbdx

dYx

dx

Ydx

C

)( Caa bxZxYxy

0)(21

2

222

21

2

2

y

x

cpabcx

dx

dy

x

a

dx

yd C

)()(c

p

c

p

a bxBNbxAJxy


11/11

fungsi bessel ( fisika matematika ii )

Documents