fungsi bessel

Download Fungsi bessel

Post on 21-Jul-2015

514 views

Category:

Engineering

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • FUNGSI BESSEL

    DISUSUN OLEH KELOMPOK III

    Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246 Titin Yuniarti 2007.121.254 Okta Herlaiza 2007.121.2 Septia Julita 2007.121.278 Dessy Adetia 2007.121.440 Esca Oktarina 2007.121.459 Semester : 6L Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Matematika Lanjutan

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

    2009/2010

  • FUNGSI BESSEL

    PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.

    ( ) 0''' 222 =++ ynxxyyx , 0n (1) yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan oleh

    )()( 21 xYcxJcy nn += (2) Penyelesaian )(xJ n , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian )(xYn yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi Neumann.

    Jika peubah bebas x pada (1) diganti x di mana suatu konstanta, persamaan yang dihasilkan adalah

    ( ) 0''' 2222 =++ ynxxyyx (3) Yang mempunyai penyelesaian umum )()( 21 xYcxJcy nn += (4)

    FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai

    ( ) ( ) ( )( )

    +++

    +

    += ...

    4222422221

    12)(

    42

    nn

    x

    n

    x

    n

    xxJ

    n

    n

    n (5)

    Atau ( )

    ( )

    =

    +

    ++

    =

    0

    2

    1!2

    1)(

    r

    rn

    r

    nrnr

    x

    xJ (6)

    Di mana ( )1+ n adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif, ( ) !1 nn =+ , ( ) 11 = . Untuk n = 0, (6) maka

  • ...

    6424221)( 222

    6

    22

    4

    2

    2

    0 ++=xxx

    xJ (7)

    Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik )(0 xJ dan )(1 xJ ditunjukkan pada Gambar 10-1.

    Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, )(xJ n dapat dinyatakan dalam suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.

    Sebuah fungsi )(xJ n , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh n pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan bahwa [lihat Soal 10.3]

    ( ) )(1)( xJxJ nnn = (8) Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka )(xJ n dan )(xJ n bebas linear, dan

    untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah )()( xJBxAJy nnn += , ,...3,2,1,0n (9) FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    pi

    pipi

    pi

    pxJpxJ

    n

    xJnxJ

    xYpp

    nn

    n

    np sincos

    sincos

    lim

    ,...3,2,1,0

    ,...3,2,1,0

    =

    n

    n

    (10)

    Untuk kasus di mana n =0,1,2,3, diperoleh uraian deret berikut untuk ( )xYn .

    ( ) ( ) ( )nkn

    knn

    xknxJxxY

    =

    +

    =

    21

    0 2!11

    2ln2

    pi

    pi

    ( ) ( ) ( ){ } ( )!!2111

    2

    1

    0 knk

    x

    kk

    nk

    n

    k

    k

    +

    ++

    +

    =

    pi

    (11)

    Di mana ...5772156,0= adalah konstanta Euler dan

    ( )p

    p 1...31

    211 ++++= , ( ) 00 = (12)

  • FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK ( )xJn

    (GENERATING FUNCTION)

    Fungsi ( )

    =

    =

    n

    n

    n

    tt

    x

    txJe1

    2 (13)

    dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk

    semua n.

    RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA) Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.

    1. ( ) ( ) ( )xJxJx

    nxJ nnn 11

    2+ =

    2. ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 1121

    ' + =

    3. ( ) ( ) ( )xxJxnJxxJ nnn 1' += 4. ( ) ( ) ( )xnJxxJxxJ nnn = 1' 5. ( )[ ] ( )xJxxJx

    dxd

    n

    n

    n

    n

    1=

    6. ( )[ ] ( )xJxxJxdxd

    n

    n

    n

    n

    1+

    =

    Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara dengan 5 dan 6.

    Fungsi ( )xYn memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana ( )xYn menggantikan ( )xJ n .

    FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL 1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut didefinisikan oleh

  • ( )( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=1 , ( ) ( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=2

    2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis pertama berorde n didiefinisikan oleh

    ( ) ( ) ( )ixJixJixI nnnnin

    e 2pi

    ==

    (14) Jika n bilangan bulat, ( ) ( )xIxI nn = (15) Tetapi jika n bukan bilangan bulat, ( )xIn dan ( )xI n bebas linear.

    Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    pi

    pi

    pi

    pi

    pxIxI

    n

    xIxI

    xKpp

    nn

    n

    np sin2

    sin2

    lim

    ,...3,2,1,0

    ,...3,2,1,0

    =

    n

    n

    (16)

    Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial

    ( ) 0'" 222 =++ ynxxyyx (17) dan penyelesaian umum persamaan ini adalah

    ( ) ( )xKcxIcy nn 21 += (18) atau jika ,...3,2,1,0n ( ) ( )xBIxAIy nn += (19)

    3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi ( )xBern dan ( )xBein adalah bagian riil

    dan imajiner dari

    xiJ n 2

    3

    di mana ( )iei i

    == 1

    224

    323 pi

    , yaitu

    ( ) ( )xiBeixBerxiJ nnn +=

    23

    (20)

    Fungsi ( )xKern dan ( )xKein adalah bagian riil dan imajiner dari

    xiKe n

    in21

    2pi

    di mana ( )iei i +

    == 1

    2242

    1 pi

    , yaitu

  • ( ) ( )xnxnnin

    iKeiKerxiKe +=

    21

    2pi

    (21)

    Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan

    ( ) 0'" 222 =++ ynixxyyx (22) yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah

    +

    = xiKcxiJcy nn 2

    1

    223

    1 (23)

    PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM PERSAMAAN BESSEL

    Persamaan

    ( ) ( ) 0'12" 2222 =+++ yxxykyx r (24) di mana k, , r, konstanta mempunyai penyelesaian umum

    +

    =

    r

    r

    k

    r

    r

    kk

    r

    xYcr

    xJcxy 21 (25)

    di mana 22 = kK . Jika 0= , persamaannya dapat diselesaikan sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]

    RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini

    ( )xJ n ~

    24cos

    2 pipipi

    nx

    x, ( )xYn ~

    24sin2 pipi

    pi

    nx

    x (26)

    NILAI NOL FUNGSI BESSEL

    Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, ( ) 0=xJ n mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di

    antara akar-akar yang berurutan mendekati pi jika nilai akarnya membesar.

  • Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar ( ) 0=xJ n terletak di antara ( ) 01 = xJ n dan ( ) 01 =+ xJ n . Catatan serupa dapat

    juga dibuat untuk ( )xYn .

    KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL Jika dan dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal 10.21] bahwa

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2210''

    = nnnnnnJJJJdxxJxxJ (27)

    sedangkan [lihat Soal 10.22]

    ( ) ( ) ( )

    +=

    22

    221

    02 1'

    21

    nnnJnJdxxxJ (28)

    Dari (27) kita lihat bahwa dan adalah dua akar berbeda dari persamaan ( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn (29)

    di mana R dan S konstanta, maka

    ( ) ( ) 010

    = dxxJxxJ nn (30)

    yang menyatakan bahwa fungsi ( )xJx n dan ( )xJx n tegaklurus pada (0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa dan dapat merupakan dua akar berbeda dari ( ) 0=xJ n atau ( ) 0' =xJ n . Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi ( )xJ n , ( )xJ n tegaklurus terhadap fungsi kepadatan x.

    DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL

    Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x) memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan f(x) pada selang 0 < x < 1 terdapat suatu uraian deret Bessel yang berbentuk

  • ( ) ( ) ( ) ( )=

    =++=1

    2211 ...p

    pnpnn xJAxJAxJAxf (31)

    di mana ,..., 21 adalah akar-akar positif (29) dengan 0SR

    , 0S dan

    ( )( ) ( )dxxfxJx

    JSR

    n

    A pnpnp

    pp

    +

    =

    1

    02

    2

    222

    22 (32)

    Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke

    ( ) ( )[ ]0021

    ++ xfxf yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri

    (31). Dalam kasus S = 0 sehingga ,..., 21 adalah akar-akar dari ( ) 0=xJ n ,

    ( ) ( ) ( )dxxfxJxJA pnpnp +=1

    021

    2 (33)

    Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap

    ( )dxxfxAp = 102 (34)

    SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

    PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL 10.1 Gunakan metode Frobenius untuk