fungsi 1

RELASI DAN FUNGSI

Tahukah kamu apa itu relasi dan fungsi? Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang matematika sehingga merupakan suatu yang sangat penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat.

Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) yang gambarnya terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.

FUN

GSI

1

PETA KONSEP

FUN

GSI

2

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus dimana setiap anggota A dipasangkan dengan tepat pada anggota B. jadi pada fungsi yang perlu diperhatikan adalah:

a. Setiap anggota A harus dipasangkanb. Setiap anggota A hanya dapat dipasangkan tepat satu kali

Contoh

Dari ke empat diagram panah tersebut:

1 Yang merupakan fungsi adalah gambar a dan d2 Yang bukan fungsi adalah gambar b dan c

Fungsi satu-satu (korespondensi satu-satu) dua himpunan A dan B disebut fungsi (korespondensi) satu-satu jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian rupa sehingga setiap 1 anggota A berpasangan dengan satu anggota B dan setiap satu anggota B berpasangan dengan satu anggota A . fungsi satu-satu terjadi jika banyaknya anggota himpunan A dan B sama.

Contoh:

A = {Indonesia, Jepang, Perancis, Filipina}

B = {Jakarta, Paris, Manila, Tokya}

Relasi yang menghubungkan himpunan A dan B adalah “ Ibu Kota”. Banyaknya anggota himpunan B = n (B) = 4. jadi n(A) = n(B) . sehingga bentuk diagram panah dan diagram cartesiusnya sebagi berikut:

1. Diagram panah

2.1 PENGERTIAN FUNGSI

FUN

GSI

3

2. Diagram Cartesius

3. Himpunan pasangan berurutan :{(Indonesia, Jakarta)(Jepang, Tokyo)(Perancis, Paris)(Filipina, Manila)}

Notasi FungsiSuatu fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B , jika

x∈ A dan y∈B , maka ditulis” f : x→ y ,} {¿dibaca f memetakan x ke y dan fungsi f bayangan x dinyatakan dengan f(x) =y . variabel x merupakan nilai

rangenya. Jadi misalnya fungsi f : x→ax+b ,maka rumus fungsinya f ( x )=ax+b

Contoh 1:

Fungsi f : x→2x+2 , x∈ {1,2,3,4,5} tentukan bayangannya (range)

Jawab:

Rumus fungsi f : x→2x+2

f : x→2x+2

FUN

GSI

4

untuk x=1⇒ f (1)=2(1 )+2=4

x=2⇒ f (2)=2(2)+2=6

x=3⇒ f (3 )=2(3 )+2=8

x=4⇒ f (4 )=2(4 )+2=10

x=5⇒ f (5 )=2(5)+2=12

Jadi untuk domain {1,2,3,4,5} maka rangenya ={4,6,8,10,12}

Contoh 2 :

Fungsi f : x→ x2−1 dengan domain {0,1,2,3,}

Tentukan daerah hasilnya!

Jawab

Domain :{0,1,2,3}

f ( x )=x2−1f (0)=(0 )2−1=−1f (1)=(1)2−1=0

f (2)=(2)2−1=3

f (3)=(3 )2−1=8

Jadi bayangannya atau rangenya ={-1,0,3,8}

Contoh 3 :

Diketahui f : x→ x+1. tentukan domainnya jika bayangannya atau rangenya {2,0,-1}

Jawab

f : x→ x+1

fx→ x+1

Jika f ( x )=2→2=x+1−x=1−2−x=−1

x=−1−1

=1

Jika f ( x )=0→0=x+1

FUN

GSI

5

−x=1

x=1−1

=−1

Jika f ( x )=−1→−1=x+1−1=x+1−x=1+1−x=2

x=2−1

=−2

Jadi domain atau daerah asalnya ={1,-1,-2}

Contoh 4

Diketahui fungsi yang rumusnya f ( x )=ax+b

Jika f (−2)=1 , f (1 )=4 carilah a dan b

Jawab:

f ( x )=ax+b

f (−2 )=1→a(−2 )+b=1−2a+b=1 .. .. . .. .1 )f (1)=4→a (1)+b=4a+b=4 . .. .. . .. .2 )

dari 1 dan 2 →−2a+b=1

a + b = 4

- 3a = - 3

a = 1

a=1→a+b=4

1+b=4b=4−1b=3

jadi a =1 dan b = 3

1Latihan

FUN

GSI

6

1. Nyatakan nama relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B

2. Diketahui A={0,2,4,6,8} B={0,1,2,3,4,5} relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “A dua kali B”.

a. Buat diagram panah, diagram Carterius, dan himpunan pasangan berurutan.

b. Tentukan domain , kodomain dan rangenya.

3. Suatu relasi dinyatakan dalam suatu pasangan berurutan {(-2,0), (-1,1), (0,2), (1,3), (2,4)}

a. Tentukan domainnya dan rangenyab. Apa relasi yang menghubungkan kedua himpunan tersebut ?.

4. Tentukan mana yang fungsi dan mana yang bukan fungsi dari diagram panah berikut?

(b)(a)•416

9•4•1•

•3•2•1

BBA

•164•3•2•1•

•9•4•1

A

c4•3•2•1•

•c•b•a

BA

d

BA

4•3•2•1•

•c•b•a

•e6

•d4•3•2•1•

•c•b•a

a•d4•

3•2•1•

•c•b•a

BA

5••d4•

3•2•1•

•c•b•a

b

BA

•d4•3•2•1•

•c•b•a

•e6

•d3•2•1•

•c•b•a

e•d4•

3•2•1•

•c•b•a

BA

FUN

GSI

7

5. Tentukan gambar grafik Cartesius berikut yang merupakan fungsi.

6. Tentukan himpunan yang merupakan suatu fungsi dari himpunan pasangan berurutan berikut:K= {(1,2),(2,3),(4,5),(5,9)}

L = {(2,1),(4,1),(5,1),(3,2),(7,2)}

M = {(2,3),(4,5,)(4,7),(5,8)}

7. Tentukan mana yang merupakan fungsi satu-satu dari diagram- diagram panah berikut:

8. f : x→3 x−2 tentukan daerah hasilnya jika domainnya adalah {0,1,2,3} dan diagram cartesiusnya.

a.

B

A b.

B

A c.

B

A

a

•d4•3•2•1•

•c•b•a

BA b

•d4•3•2•1•

•c•b•a

BA

c

•d4•3•2•1•

•c•b•a

BA d

•d4•3•2•1•

•c•b•a

BA

2.2 OPERASI PADA FUNGSI

FUN

GSI

8

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f +g , selisih f−g ,

hasil kali skalar α f , hasil kali f . g , dan hasil bagi f /gmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:

( f +g )( x )=f ( x )+g( x )

( f−g )(x )=f ( x )−g( x )

(α f )(x )=α f ( x )

( f . g)( x )=f ( x ).g ( x )

( fg

)(x )= f ( x )g ( x )

, asalkan g( x )≠0

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali

untuk f /g , Df /g= {x∈D f∩Dg : g( x )≠0} .

Contoh :

Jika f dan g masing-masing:

f ( x )=√ x−1 g( x )= 1x+5

maka tentukan: f +g , f−g , f . g , dan f /g beserta domainnya.

Penyelesaian:

( f +g )( x )=√x−1+1x+5

(f−g )( x )=√x−1−1x+5

( f . g )( x )=√x−1 .1x+5

( f / g )( x )=√x−1x+5

Karena Df=[ 1, ∞) dan Dg=R−{−5}, maka f +g , f−g , f . g , dan f /g

masing-masing mempunyai domain: [1 , ∞).

2.3 FUNGSI KOMPOSISI

FUN

GSI

9

Perhatikan contoh berikut:

Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.

f: A B ditentukan dengan rumus f ( x )=2 x+1 dengan g :B→C ditentukan oleh

rumus g( x )=x2+2 . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:

Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:

peta dari 2 adalah 27




dan diagaram panahnya menjadi,

fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis h=g∘ f atau h( x )=( g ∘f )( x ).

Secara umum:

FUN

GSI

10

o dibaca komposisi atau “bundaran”

Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ( g∘ f )(x )=g( f ( x ))ditentukan dengan

pengerjaan f ( x ) terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh g( x ) . Perhatikan contoh berikut.

Contoh:1. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:

a. (f o g)(x)b. (g o f)(x)

Jawab:a. (f o g)(x) = f (g(x))

= f(2x – 3)

= (2x – 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 9 + 1

= 4x2 – 12x + 10

b. (g o f)(x) = g (f(x))= g(x2 + 1)

Definisi:

Misalkan fungsi

f : A→B ditentukan dengan rumus y= f ( x )

g :B→C ditentukan dengan rumus y=g (x )

Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan:

h( x )=( g∘f )( x )=g( f ( x ))

FUN

GSI

11

= 2(x2 + 1) – 3= 2x2 - 1

Ternyata, ( f ∘g )(x )≠( g ∘f )( x ) . Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.

2. Diketahui f :R→R dan g :R→R ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !

Jawab : f(x) = x + 3

(f o g)(x) = x2 + 6x + 7f(g(x)) = x2 + 6x + 7g(x) + 3 = x2 + 6x + 7g(x) = x2 + 6x + 4

3. Diketahui f :R→R dan g :R→R ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6, maka tentukan g(x) .

Jawab : (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6g(f(x)) = 4x2 + 12x + 6g(2x + 4) = 4x2 + 12x + 6

Misal: 2x + 4 = p, maka x= p−4

2

g(p) = 4 ( p−2

4 )2

+ 12( p−4

2 )) + 6

g(p) = p2 – 8p + 16 + 6p – 24 + 6

g(p) = p2 – 2p – 2

Maka: g (x) = x2 – 2x – 2

Cara lain:

( g∘ f )(x )=g( f ( x ))=g (2x+4 )=4 x2+12x+6

(2x+4 )2−2(2x+4 )−2

Jadi, g( x )=x2−2 x−2

2.4 FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL

FUN

GSI

12

Suku banyak (Polinom) adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum :

Keterangan:

n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. Derajat suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu.

an disebut koefisien dari xn , an-1 disebut koefisien dari xn-1 , ... , dan a1 disebut koefisien dari x.

suku yang tidak memuat peubah x yaitu a0 disebut suku tetap / konstan.

Peubah suku banyak dapat ditulis dengan peubah selain x , seperti a , b , c ,d , e,, ... , x , y , atau z.

Contoh:

1. 5x3 – 2x2 + 10x + 4Suku banyak dengan peubah x , berderajat 3.

Koefisien dari x3 adalah 5, koefisien dari x2 adalah -2, koefisien dari x adalah 10, suku tetapnya 4.

2. 2y4 + 4y3 – 3y2 + y – 2.Suku banyak dengan peubah y , berderajat 4

Koefisien dari y4 adalah 2 Koefisien dari y adalah 1

Koefisien dari y3 adalah 4 Suku tetapnya -2

Koefisien dari y2 adalah -3

1. Tentukan peubah, derajat, dan suku tetap dari suku banyak berikut!

a. x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 f. 1 – p + 10p2 – 3p4 + 6p7

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0

dengan a0 , a1 , ... . an-1 , an bilangan real dan an ≠ 0

2Latihan

FUN

GSI

13

b. a3 – a g. (2x+7)2 c. k2 + 3 h. (3x+1)(6-x2) d. d. – 4 + 3m2 – 4m3 + 5m4 – m5 i. (x+3)(3x-1)(2x -1)e. 2w6 – 3w5 + w4 – 5w + 6 j. (5x+2)3.

2. Tentukanlah koefisiennya :

a. x2 dalam (x+6)(7-2x). d. x dalam (x-2)(x2-x -4)

b. x dalam (x+2)2.(3x-5) e. x3 dalam (x2-x)(x2+2x-6)

c. x3 dalam (3x2- 1)(x2+3x-7). f. x2 dalam (7-x2)(x3+x2-x+3)

3. Diketahui F(x) dan G(x) adalah suku banyak dalam x masing-masing berderajat m dan n. Jika m= 4 dan n= 7, tentukanlah derajat dari suku banyak berikut :

a. F(x) + G(x) c. F(x).G(X) e. (F(x))2.G(x)

b. F(x) – G(x) d. (F(x))2 f. ( F(x) + G(x))3.

Nilai Suku BanyakSuku banyak dalam x dapat dinyatakan sebagai fungsi f(x) seperti berikut ini :

Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k).

Nilai dari f(k) dapat dicari dengan dua cara, yaitu:

a. Cara subtitusi.b. Cara Skematik / Horner / sintetik.

a. Cara subtitusi.Contoh:

Diketahui f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. Tentukan nilai f(x) untuk x = –1,

x = 2 , x = 3.

Jawab:

Nilai suku banyak f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. untuk:

x = –1 adalah f(–1) = (–1)4 – 2(–1)3 + 5(–1)2 – 4(–1) – 1 = 11

x = 2 adalah f(2) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1)2 – 4(1) – 1 = 1–2+5–4–1 = –1

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0

FUN

GSI

14

x= 3 adalah f(3) = (3)4 – 2(3)3 + 5(3)2 – 4(3) – 1 = 81–54+45–12–1 = 59

b. Cara Skematik Misal terdapat suku banyak f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

Untuk x = k , diperoleh f(k) = ak4 + bk3 + ck2 + dk + e

<=> f(k) = [ak3 + bk2 + ck + d]k + e

<=> f(k) = [{ak2 + bk + c}k + d]k + e

<=> f(k) = [{(ak + b)k +c}k + d]k + e

Dari persamaan yang terakhir, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan secara bertahap sesuai langkah berikut:

Langkah 1 : kalikan a dengan k, hasilnya ditambah b.

Langkah 2 : kalikan hasil dari langkah 1 dengan k, kemudian tambahkan

hasilnya dengan c.


hasilnya dengan d.


hasilnya dengan e.

Hasil terakhir dari langkah-langkah tersebut adalah :

f(x) = ak4 + bk3 + ck2 + dk + e.

Nilai suku banyak yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut cara Skematik. Untuk lebih jelasnya perhatikan bagan berikut:

Tanda “ “ artinya dikalikan dengan k.

Tanda panah ini hanya untuk memudahkan penjelasan saja. Apabila sudah mahir menggunakan cara ini, maka tidak perlu lagi menuliskan tanda panah.

FUN

GSI

15

Contoh:

1. Hitunglah nilai suku banyak 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2

Jawab:

Jadi nilai dari 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2 adalah 51

2. Hitunglah nilai suku banyak x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1Jawab:

x5 – 2x2 + 3x – 5 diubah dulu menjadi x5 + 0x4 + 0x3 – 2x2 + 3x – 5

Jadi nilai dari x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1 adalah –11.

1. Dengan cara skematik tentukan nilai suku banyak berikut kemudian cocokkan hasilnya menggunakan cara substitusi :a. f(1) jika f(x) = 3x4 – x3 – 2x2 – 10x + 6 b. f(2) jika f(x) = 5x3 +2x2 – 3x + 5c. f(-2) jika f(x) = 4x3 +x2 +6x + 1d. f(-5) jika f(x) = x4 +4x2 +3x + 8e. f(3) jika f(x) = x4 +2x - 7f. f(4) jika f(x) = x3 - 1

2. Hitunglah nilai setiap suku banyak berikut untuk setiap nilai x yang diketahui :

a. f(x) = x3 – x2 – x + 4 untuk x= -1b. f(x) = 2x3 +x2 – 4x + 6 untuk x= 2c. f(x) = 5x3 +2x2 +x – 2 untuk x= -4

3Latihan

FUN

GSI

16

d. f(x) = 2x4 +3x2 - x – 3 untuk x= 0, 5e. f(x) = 3x4 +2x2 – x untuk x= 0,1f. f(x) = 3x3 – 4x+ 3 untuk x= - 0,3

3. Diketahui suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + kx – 6.Hitunglah nilai k , jika f(3) = 39.

OPERASI PADA SUKU BANYAK1. Penjumlahan dan Pengurangan

Agar dua suku banyak atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku-suku tersebut harus sejenis atau senama, artinya peubahnya sama dan pangkat peubahnya sama. Misalkan:

5x6 dengan 3x6 ,

12p4

dengan 7 p4

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan atau pengurangan suku banyak berikut:

1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7)2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5)3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t)Jawab:

1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7)= 3x4 + (3x3 + 2x3) + (─10x2 + 6x2) + (─2x ─ 4x) + (3 + 7)

= 3x4 + 5x3 ─ 4x2 ─ 6x + 10

2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5)= 4y3 + ( 2y2 + 2y2) + ( ─ 5y + 4y ) + (4─ 5)

= 4y3 + 4y2 ─ y ─ 1

3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t)= t3 ─ 2t + 3 ─ t2 ─ 4t

= t3 ─ t2 + (─ 2t─ 4t) + 3

FUN

GSI

17

= t3 ─ t2 ─ 6t + 3

2. Perkalian Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih dapat digunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan.

Contoh:

Hitunglah:

1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2)2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3)Jawab:

1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2) = x(x2 + 2x ─ 2) + 4(x2 + 2x ─ 2) = x3 + 2x2 ─ 2x + 4x2 + 8x ─ 8

= x3 + 6x2 + 6x ─ 8

2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3) = t3(2t2 + 3) + t2(2t2 + 3) ─ t(2t2 + 3) = 2t5 + 3t3 + 2t4 +3t2 ─ 2t3 ─ 3t

= 2t5 + 2t4 + t3 +3t2 ─ 3t

Kesamaan Suku Banyak

Misalkan diketahui suku banyak f(x) dan g(x) dengan derajat n :

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0

f(x) = g(x) jika dan hanya jika dipenuhi :

an = bn , an-1 = bn-1 , an-2 = bn-2 , ... , a1 = b1 , a0 = b0

Contoh:

Diketahui fungsi f(x)= x2 + 4x ─ 1 dan g(x)= (x + 1) (x + 3) ─ 2k

Hitunglah nilai konstanta k , jika f(x) = g(x)

Jawab :

f(x) = g(x)

<=> x2 + 4x ─ 1 ≡ (x + 1) (x + 3) ─ 2k

FUN

GSI

18

<=> x2 + 4x ─ 1 ≡ x2 + 4x + (3 ─ 2k)

Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak , diperoleh:

─1 = 3 ─ 2k <=> 2k = 3 + 1 <=> 2k = 4 <=> k = 2

Jadi nilai k pada kesamaan di atas adalah 2.

1. Diketahui suku banyak f(x) = x3 ─ x2 + 1 dan g(x) = x2 ─ 4. Tentukan hasil operasi dan derajat dari:

a. f(x) + g(x)b. f(x) ─ g(x)c. f(x) • g(x)d. ( f(x) + g(x) ) ─ 2f(x) e. ( f(x) + g(x) ) • ( f(x) ─ g(x) )

2. Ulangi soal nomor 1 untuk suku banyak f(x) = x4 ─ 2x2 + 6 dan g(x) = x3 ─ 4x + 1.

3. Hitunglah nilai konstanta k , jika diketahui:a. (x + 1) (x + 3) ─ 2k ≡ x2 + 4x ─ 1.b. (x2 + 2) (x2 + 2x ─ 1) + k ≡ x4 + 2x3 + x2 + 4x ─ 3.c. x3

─ 5x2 + x + 6 ≡ (x2 + 1) (x ─ 5) + 3k

4. Hitunglah nilai konstanta a dan b , jika diketahui :

a.

a3−x

+ b3+x

≡3x+49−x2

b.

ax+3

+ bx−2

≡ 6 xx2+ x−6

PEMBAGIAN SUKU BANYAK

1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa PembagiPerhatikan pembagian berikut ini!

4Latihan

FUN

GSI

19

Dari pembagian tersebut terlihat bahwa 225 dibagi 4 hasilnya adalah 56 dan sisa pembagian 1.

Hal ini dapat ditulis:

225 = (4 x 56) + 1

Hubungan seperti ini berlaku juga pada suku banyak.

Contoh:

1.

Dari pembagian bersusun tersebut terlihat bahwa (4x3 + 6x2 ─ 2x + 5) : (x + 1) hasil baginya adalah 4x2 + 2x ─ 4 dan sisa pembagian adalah 9.


4x3 + 6x2 ─ 2x + 5 = (x + 1) (4x2 + 2x ─ 4) + 9

2.

Suku banyak yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

FUN

GSI

20

Dari pembagian bersusun tersebut terlihat bahwa:

hasil baginya adalah 2x2 + x + 7

sisa pembagian adalah 24


2x3 ─ 5x2 + 4x + 3 = (x ─ 3) (2x2 + x + 7 ) + 24

Dari beberapa contoh di atas , misal f(x) merupakan suku banyak yang dibagi , P(x) merupakan pembagi , H(x) merupakan hasil bagi dan S merupakan sisa, maka hubungan tersebut dapat ditulis:

3. Menentukan Derajat Suku Banyak Hasil Bagi dan Sisa PembagiSebelumnya perhatikan contoh pembagian bersusun berikut:

Contoh :

1. (3x2 ─ 5x + 1) : (x-2)

3x + 1 Derajat yang dibagi = 2

x ─ 2 3x2 ─ 5x + 1 Derajat pembagi = 1

3x2 ─ 6x ─ Derajat hasil bagi = 1

x + 1 Derajat sisa pembagian = 0

x ─ 2 ─

3

f(x) = P(x) . H(x) + S

FUN

GSI

21

2. (6x3 ─ x2 + 4x ─ 5) : (2x+1)

3x2 ─ 2x + 3 Derajat yang dibagi = 3

2x +1 6x3 ─ x2 + 4x ─ 5 Derajat pembagi = 1

6x3 + 3x2 ─ Derajat hasil bagi = 2

─ 4x2 + 4x Derajat sisa pembagian = 0

─ 4x2 ─ 2x ─

6x ─ 5

6x + 3 ─

─ 8

3. (3x3 + 4x2 ─ 5x + 6) : (x2 +2x + 5)

3x ─ 2

x2 +2x + 5 3x3 + 4x2 ─ 5x + 6 Derajat yang dibagi = 3

3x3 + 6x2 + 15x ─ Derajat pembagi = 2

─ 2x2 ─ 20x + 6 Derajat hasil bagi = 1

─ 2x2 ─ 4x ─ 10 ─ Derajat sisa pembagian = 1

─ 16x + 16

4. (x4 – 2x3 + 3x2 – 6x) : (x2 – 2x)

x2+3

x2 – 2x x4 – 2x3 + 3x2 – 6x

x4 – 2x3 –

3x2 – 6x

3x2 – 6x. –

0

Derajat yang dibagi = 4 Derajat hasil bagi = 2 Derajat pembagi = 2 Derajat sisa pembagian = 0

Khusus bentuk seperti nomor 4 pembagi dikenal dengan istilah faktor yang akan dibahas lebih lanjut dalam materi berikutnya.

FUN

GSI

22

Dari beberapa contoh tersebut maka dapat dikatakan secara umum :

Jika suku banyak berderajat n dibagi oleh pembagi berderajat m , berlaku:

1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak – derajat pembagi.= n – m

2. derajat sisa setinggi-tingginya sama dengan m – 1 yaitu :a. untuk pembagi yang merupakan faktor, derajat sisa adalah 0.

b. untuk pembagai yang bukan merupakan faktor, derajat sisa adalah m-1.

Contoh :

Misalkan diketahui suku banyak yang dibagi berderajat 6.

Jika pembagi berderajat 1 , hasil bagi berderajat 5 , sisanya berderajat 0. Jika pembagi berderajat 2 , hasil bagi berderajat 4 , sisanya berderajat 1. Jika pembagi berderajat 3 , hasil bagi berderajat 3 , sisanya berderajat 2. dan seterusnya.

1. Dengan cara pembagian bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!

a. (x2 + 5x – 4) : (x + 1)b. (2x2 – 3x + 5) : ( x – 3)c. (x3 – 2x2 + 4x + 6) : (x + 4)d. (3x3 – 7x2 +6x + 6) : (x –5)e. (x4 + x3 + x2 + x+ 3) : (x +1)f. (x3 + 8x – 12) : (2x –1)g. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2)h. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : ( 2x +1)

2. Tentukan derajat hasil bagi dan derajat sisa pembagian dari pembagian suku banyak berikut!

a. (x5 + 3x4 + 5x3 – 6x2 – x + 7) : (x2 + 2x –1)b. (x2 – 8x6 + 5x2 + 6x – 4) : (x3 + 6x2 – 5x + 1)c. (x8 + 9x6 + 3x5 – 6x3 + 2x2 – 10) : (x3 -5x2 + 4x – 2)

5Latihan

FUN

GSI

23

3. Tentukan sisa pada pembagian (2x2 – 6x + 8) : ( x – 3) kemudian bandingkan sisanya dengan f(3) bila f(x)= 2x2 – 6x + 8.

4. Tentukan sisa pada pembagian (2x4 + x2 + 6x -2) : ( x +2) kemudian bandingkan sisanya dengan f(–2) bila f(x)= 2x4 + x2 + 6x -2.

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

a. Pembagian dengan (x – k) Selain dengan pembagian bersusun, untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dapat juga dilakukan dengan merode skematik atau metode Horner, seperti yang telah dipelajari di depan. Cara ini lebih mudah dan cepat.

Untuk mengetahui cara Horner bekerja, perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Dengan cara bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari:

(2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6) : (x – 2)

Jawab: 2x3 – 3x2 – x + 1 hasil bagi

x – 2 2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6

2x4 – 4x3 –

– 3x3 + 5x2

– 3x3 + 6x2 –

– x2 + 3x

– x2 + 2x –

x – 6

x – 2 –

– 4 sisa

Untuk selanjutnya agar lebih singkat dalam penulisan, kita tuliskan koefisien-koefisiennya saja.

2 –3 –1 1 hasil bagi

1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi

2 –4 –

–3 5pembagi

FUN

GSI

24

–3 6 –

–1 3 hasil antara

–1 2 –

1 –6

1 –2 –

–4 sisa

Perhatikan bahwa koefisien-koefisien yang ditulis miring merupakan duplikat dari koefisien-koefisien suku hasil bagi atau suku yang dibagi. Untuk lebih singkat lagi, kita hilangkan koefisien-koefisien yang merupakan duplikat tersebut dan diperoleh :

2 –3 –1 1 hasil bagi

1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi

–4 6 2 –2 – hasil antara

–4

Operasi pengurangan dapat diubah dengan operasi penjumlahan, dengan mengalikan koefisien hasil antara dengan –1. Selanjutnya koefisien hasil bagi dipindah ke baris paling bawah dan diubah lambang pembagiannya.

2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi

4 –6 –2 2

2 –3 –1 1 –4

koefisien hasil bagi sisa

Tanda “ “ artinya jumlahkan . Tanda “ “artinya kalikan dengan k

( dalam contoh diatas k= 2).

Cara ini sama dengan cara Horner yang telah dipelajari didepan.

Jadi Hasil Bagi = 2x3- 3x2- x + 1 dan sisa = - 4.

FUN

GSI

25

Contoh:

Dengan cara Horner tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak berikut!

1. (2x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x – 3)2. (x4 + 3x3 + 4x2 – x + 1) : (x + 1)3. (4x3 – 2x + 1) : (x + 2)

Jawab:

1. 3 2 –4 5 –6 6 6 33 +

2 2 11 27

Jadi hasil baginya = 2x2 + 2x + 11

Sisa pembagian = 27

2. –1 1 3 4 –1 1

–1 –2 –2 3 +

1 2 2 –3 4

Jadi hasil baginya = x3 + 2x2 + 2x –3

Sisa pembagian = 4

3. – 2 4 0 –2 1

–8 16 -28 +

4 -8 14 -27

Jadi hasil baginya = 4x2 -8x +14

Sisa pembagian = - 27

b. Pembagian dengan (ax + b)

Misal k adalah bilangan rasional dengan k=−b

a , sehingga bentuk (x – k) dapat dinyatakan menjadi:

x−k=( x−(−ba)=(x+ b

a)

Jika f(x) dibagi ( x+ b

a), hasil baginya H(x) dan sisanya S maka:

FUN

GSI

26

f ( x )=(x+ ba) .H (x )+S

<=> f ( x )=1

a(ax+b ).H ( x )+S

<=> f ( x )=(ax+b) .( H ( x )

a )+S

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa suku banyak f(x) dibagi (ax + b)

memberikan hasil bagi (H ( x )a ) dan sisa S.

Koefisien dari H(x) dan sisa S ditentukan dengan cara pembagian Horner, dengan

mengganti k=−b

a .

Contoh:

1. (2x3 + 21x2 – 6x – 5) : ( 2x + 1)2. (3x3 – 16x2 +11x – 2) : (3x – 1)

Jawab:

1. Bentuk ( 2x + 1) dapat ditulis sebagai 2(x+ 1

2 )

−12 2 21 -6 -5

-1 -10 8 +

2 20 -16 3

Jadi hasil baginya =

2x2+20 x−162

=x2+10 x−8

Sisa pembagiannya = 3

2. Bentuk (3x – 1) dapat ditulis sebagai 3(x−1

3 )

FUN

GSI

27

13 3 -16 11 -2

1 -5 2 +

3 -15 6 0

Jadi hasil baginya =

3x2−15 x+63

=x2−5 x+2

Sisa pembagiannya = 0

c. Pembagian Suku Banyak Dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0

1). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan.

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan dapat menggunakan teorema berikut :

Teorema :

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1, dan H1(x) dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2, maka f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 .

Bukti :

f(x) dibagi P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1 berarti :

f(x)= P1.H1(x) + S1 ..........................(1)

H1(x) dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2 berarti :

H1(x)= P2.H2(x) + S2 ..........................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

f(x)= P1.H1(x) + S1

= P1.( P2.H2(x) + S2) + S1

= P1.P2. H2(x) + P1S2 + S1

Jadi, f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 (Terbukti).

Contoh :

Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 – 6x2 + x – 4) dengan x2– x– 2.

FUN

GSI

28

Jawab :

x2– x– 2 = (x–2).(x+1) ==> Misal P1= x-2 dan P2= x+1

2 3 –6 1 –4

6 0 2 +

–1 3 0 1 –2 = S1

-3 3

3 -3 4 = S2

Hasil Bagi = H2(x) = 3x – 3 dan Sisa = P1.S2 + S1 = (x-2). 4 + (-2) = 4x- 10.

2). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan.

Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0 yang tidak dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan pembagian bersusun seperti yang telah dipelajari sebelumnya.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut!1. (x3 – 2x2 + 8x + 2) : (x2 + x + 1)2. (2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4) : (x2 – x +1)

Jawab:

1. x – 3 x2 + x + 2 x3 – 2x2 + 8x + 2

x3 + x2 + 2x -

– 3x 2 + 6x + 2

– 3x 2 – 3x – 6 -

9x + 8

Jadi hasil baginya = x – 3 dan Sisa pembagiannya = 9x + 8

2. 2x2 – x + 2 x2 – x +1 2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4

FUN

GSI

29

2x4 – 2x3 + 2x2 -

– x3 + 3x2 – 2x + 4

– x3 + x2 x -

2x2 – x + 4

2x2 – 2x +2 -

x + 6

Jadi hasil baginya = 2x2 – x + 82 dan Sisa pembagiannya = x+6

1. Dengan cara pembagian Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!a. (x2 – 6x + 7) : (x – 2)b. (2x3 – x2 + 3x +12) : (x - 4)c. (3x3 -4x2 + 16) : (x + 2)d. (3x5 + x4 – 4x2 + 7) : (x - 2)e. (x5 -5x4 +15x2 ) : (x +3)f. (6x3 – x2 + 2x +2) : (x + 1/3 )g. (x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4) : (2x + 1)h. (5x3 + 8x – 12) : (2x – 1)i. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2)j. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : (2x + 1)

2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!a. (x3 + x2 – 8x + 3) : (x2 – x – 2)b. (x4 + x3 – 2x2 + x + 5) : (x2 + x – 6)c. (2x5 + x4 – 2x2 + x + 1) : (x2 + x + 6)d. (3x4 + 8x2 + 6x + 10) : (x2 – 3x +2)e. (6x4 + 3x3 + 3x2 - x + 5) : (x2 – x + 2)f. (2x4 -7x3 + 10x2 - 4x - 2) : (x2 – x – 3)g. (5x4 + 2x2 - 3x +1) : (x2 + x 1)h. (6x4 + 4x +1) : (2x2 + x +1)

3. Diketahui f(x) = x4 – 4x3 + 7x2 + Ax + B. Jika f(x) dibagi x2 – 2x – 3 bersisa 8x + 10. Tentukan A+B !

6Latihan

FUN

GSI

30

x ● ● y

X Y

1fGambar 2.5.2

Diberikan fungsi f : X→Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.5.1 di bawah ini.

Apabila f : X→Y merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi

f−1. Perhatikan Gambar 2.5.2 berikut.

Jadi:

x= f−1( y ) ⇔ y=f (x ) denganDf −1=Rf dan R

f−1 =Df

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Perhatikan fungsi f : A B dan f -1 : B A di atas.f : x y atau y= f(x) dan f -1 : y x atau x= f -1(y) sehingga y= f(x) x= f -1(y).

Dengan demikian untuk menentukan rumus dari f -1(x) dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

A B

f

2.5 FUNGSI INVERS

FUN

GSI

31

o Langkah 1. Misalkan y = f(x).o Langkah 2. Nyatakan x sebagai fungsi y.o Langkah 3. Ganti x dengan f -1(y).o Langkah 4. gantilah y pada f -1(y) dengan x untuk mendapatkan f -1(x).

Contoh 2.5.1 Tentukan f−1

jika diketahui f ( x )=1− x−1

3 x+2 .

Penyelesaian:

y=f ( x )=1−x−13 x+2

⇔ 1− y=x−13 x+2

⇔ (1− y )(3 x+2)=x−1⇔3 x−3 xy−2 y+2=x−1⇔ 2 x−3 xy=2 y−3

⇔ x=2 y−32−3 y

=f−1( y )

Jadi, f−1( x )=2 x−3

2−3 x

Contoh 2.5.2 Tentukan inversnya jika diketahui:

f ( x )={−x jika x<0

−1 jika x=0

−1x+1

jika x>0

Penyelesaian: (i). Untuk x<0 , y=f ( x )=−x>0 . Sehingga:

x=− y=f −1( y ) y>0

(ii). Untuk x=0 , f (0)=−1 . Sehingga, diperoleh: 0=f −1(−1) .

(iii).Untuk x>0 ,

y=f ( x )= −1x+1

< −10+1

=−1

atau:

FUN

GSI

32

x=−1y

−1=−1− yy

= f−1( y ) y<−1

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

f−1( x )={−x jika x>0

0 jika x=−1

−1−xx

jika x<−1

1. Diketahui fungsi f : R R. Carilah rumus invers fungsi f(x) berikut :

a. f(x) = 2x – 1 c. f(x) = 3 – 2x e. f(x) = 5x +7

b. f(x) = 4x + 3 d. f(x) = 12 – x f. f(x) = x + 8

2. Diketahui fungsi f : A B. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1(x), Jika :

a. f ( x )= 5 x+3

x+7 d. f ( x )= 3 x+1

2x+9

b. f ( x )= 5 x+4

2 x+1 e. f ( x )=2x−3

7 x+4

c. f ( x )= 1−4 x

3 x+7 f. f ( x )= 3

2x+5

3. Diketahui fungsi f : R R. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1(x), Jika :

a. f(x) = 2x2 – 3; x≥0 d. f(x) = 2 – 3x2 ; x≥0 g. f(x) = 3√ x + 2

b. f(x) = 2(x - 1)2 + 3 ; x≥1 e. f(x) = 3 – 5(x + 2)2; x≥-2 h. f(x) = 6√ x - 7

7Latihan

FUN

GSI

33

c. f(x) = 4(x –7)2 ; x≥7 f. f(x) = 4 + 3x3 i. f(x) = 5√ x - 2

fungsi 1

Education