PERSAMAAN GELOMBANG RADIAL ZARAH BEBAS

Kelompok 6A Zaini Arif (080710243)Bayu P (080810251)Rizky Nomita A (080810483)

Puji Lestari (080913078)Dica Aprilia N. (080913116)Vinda Maryana (080913009)Adi Prasetyo H. (080913051)

PENDAHULUAN

Persamaan SchrödingerKonsep umum dalam mekanika kuantumPersamaan diferensial orde dua yang identik

dengan persamaan energi total suatu sistem pada mekanika klasik.

Memberikan informasi tentang energi, posisi, dan momentum dari suatu sistem yang di tinjau

Persamaan Schrödinger

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin2 sin sin

r V Em r rr r r

Tidak bergantung Waktu (Bentuk Hamiltonian)

Bergantung Waktu

Tidak bergantung Waktu (Koordinat Bola)

Persamaan Schrӧdinger time-independentHψ = Eψ

(T+V)ψ = Eψ

ψ = Eψ

)(

2

2

rVmP

Persamaan Schrӧdinger koordinat bola

Ψ(ṝ) = = R(r) Y(θ,φ)

Sehingga :

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin2 sin sin

r V Em r rr r r

Dari persamaan tersebut diperoleh Untuk persamaan radial :

Untuk persamaan azimuth :

Solusi persamaan radial

misalkan saja :

u(r) rR(r)

fungsi gelombang

Maka :

P.D orde dua = Suku sentrifugal

Sehingga :

Potensial efektif

Misalkan pada dinding potensial tak berhingga

0, jika r ≤a;

V = ∞, jika r >a;

Di luar dinding potensial V=0Di dalam dinding potensial, persamaan radialnya:

dengan memasukkan syarat batas u(a) = 0, dan untuk Ɩ=0 adalah mudah:

u(r) = A sin (kr) + B cos (kr)

r R(r)= A sin (kr) + B cos (kr)

Cos (kr)/r sangat besar, ketika r 0, maka B=0

Sin (ka)=0 ka=nπ dan

Normalisasi R(r)

(n= 1,2,3,…)

Fungsi umum gelombang Radial

Ketika l=0 dan m=0 dengan

Sehingga:

Spherical harmonics

Menggunakan Spherical Bessel and Neumann Function

Spherical Bessel Function Spherical Neumann Function

Denganmaka:

Grafik beberapa fungsi Bessel sferis.

Karena Energi hanya bergantung pada dan

Dengan Syarat batas u(a)=0 R(a)=0

Sehingga Fungsi Gelombangnya adalah

KESIMPULAN• Partikel bebas ialah suatu partikel yang bergerak dalam

ruang yang medan potensinya nol (zero potentials).• Zarah di tinjau dengan koordinat bola, dengan memposisikan

inti atom pada titik asal koordinat kartesian menjadi koordinat bola, sehingga Fungsi gelombang (x,y,z) dinyatakan dalam fungsi gelombang (r,θ,ϕ) jadi persamaan Schrödinger tiga dimensi time-independent :

• Persamaan Radial

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1sin2 sin sin

r V Em r rr r r

Persamaan Umum Gelombang Radial

Solusi Persamaan Gelombang Radial dengan Menggunakan Fungsi Bessel Sferis dan Fungsi Neumann Sferis