108

Indikator Hasil Belajar

1. Memahami prinsip tataran energi Fermi

2. Menentukan distribusi energi

3. Menganalisis panas jenis elektron bebas.

4. Memahami konsep Drude Lorentz

5. Memahami sifat dari konduktivitas dan

mobilitas elektron bebas pada logam

6. Menganalisis sifat thermal dari

konduktivitas logam

7. Menjelaskan konsep efek Hall

8. Menjelaskan konsep pancaran Thermionik

109

BAB VI

ELEKTRON DALAM LOGAM

Pada tahun 1897, Joseph John Thomson (1856 1940) seorang Fisikawan Inggris

melalui serangkaian eksperimennya berhasil mendeteksi atau menemukan elektron muatan

negatif dan besarnya terkuantisasi yang dimaksud Stoney. Dalam penelitiannya dia

mempelajari bahwa tabung katoda pada kondisi vakum parsial (hampir vakum) yang diberi

tegangan tinggi akan mengeluarkan berkas sinar dimana Thomson menyebut sinar ini

sebagai berkas sinar katoda disebabkan berkas sinar ini berasal dari katoda (elektroda

negative). Berkas sinar katoda ini apabila didekatkan dengan medan listrik negatif maka akan

dibelokan (berkas sinar katoda ini tertolak oleh medan negative), berdasarkan hal ini maka

Thomson menyatakan bahwa berkas sinar katoda itu adalah partikel-partikel yang bermuatan

negatif yang ia sebut sebagai corpuscle corpuscle itu berasal dari atom-atom logam yang

dipakai sebagai elektroda pada tabung katoda. Dengan menggunakan jenis logam yang

berbeda-beda sebagai elektroda yang dia gunakan pada tabung katoda maka percobaan

Thomson tetap menghasilkan berkas sinar katoda yang sama.

Akhirnya Thomson menyimpulkan bahwa setiap atom pasti tersusun atas corpuscle.

Corpuscle yang ditemukan oleh Thomson ini kemudian disebut sebagai elektron oleh G.

Johnstone Stoney. Dari asumsi tersebut dia akhirnya meyakini bahwa atom sebenarnya tidak

berbentuk masif (berbentuk bulatan yang pejal) akan tetapi tersusun atas komponen-

komponen penyusun atom. Thompson telah berhasil memperoleh hadiah Nobel Fisika pada

tahun 1906 atas penemuan elektron. Thomson membuktikan bahwa elektron merupakan

partikel penyusun atom, bahkan Thomson mampu menghitung perbandingan muatan

terhadap massa elektron m

e, yaitu 1,759 108 coulomb/gram.

Kemudian melalui percobaan yang secara relatif sederhana dalam tahun 1909 Robert

Andrew Millikan (1868-1953) dari Universitas Chicago menemukan harga muatan elektron,

yaitu 1,602 1019 coulomb. Dengan percobaan yang menggunakan tabung sinar katoda

kemudian dapat pula ditentukan harga massa electron 0m dapat dihitung:

110

gramx

x

x

me

eelektronsatumassa

28

8

19

1011,9

10759,1

10602,1

Gambaran sederhana mengenai kristal logam menyatakan adanya suatu kisi ion-ion

yang teratur dalam ruang, dan elektron-elektron bebas yang bergerak dalam ruang diantara

ion-ion tersebut. Gambaran lebih lengkap diperoleh dengan mengatakan bahwa ion-ion itu

melakukan getaran termal disekitar kedudukan setimbangnya, demikian pula elektron bebas

melakukan gerak termal diantara ion-ion kristal, dan merubah arah geraknya setiap kali

elektron itu bertumbung dengan ion(kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan

kecil).

Beberapa sifat penting logam:

a. Apabila suhunya serba sama, untuk suatu logam ada hubungannya yang linear

antara rapat arus listrik j

dan kuat medan E

. Tetapan perbandingan dinamakan

konduktivitas listrik logam itu Ej

b. Logam merupakan penghantar listrik maupun penghantar panas yang baik. Untuk

logam pada pada suhu ruang terletak di daerah 1186 1010 mohm . Pada suhu

ruang logam murni memiliki harga konduktivitas termal yang 10 sampai 100 kali

lebih tinggi dibandingkan dengan bahan dielektrik. Jadi dalam keadaan tersebut

electron menjadi wahana terpenting dalam arus kalor.

c. Sejak tahun 1853 telah diketahui kaidah empiric dari Wiedemann dan Franz yang

menyatakan bahwa pada suhu yang sama antara konduktivitas panas dan

konduktivitas listrik samabesar untuk semua logam. Kecuali itu perbandingan

tersebut berbanding lurus dengan suhu mutlak T

TKe

d. Pada suhu yang cukup rendah harga suatu logam ditentukan oleh ketidakmurnian

dan ketidak sempurnaan kisi.

111

Untuk suhu rendah ini berlaku kaidah Matthiesen bahwa:

TT purcimp

111

yaitu bahwa sumbangan ketidakmurnian dan ketidaksempurnaan adalah tetap untuk

semua suhu.

e. Hampir separuh element logam menjadi superkonduktor pada suhu sangat rendah.

f. Sumbangan elektron bebas pada harga vC suatu logam sangat kecil, sumbangn

tersebut berbanding lurus dengan suhu

TC

ev

g. Sumbangan elektron bebas pada susceptibility magnetic juga kecil, dan tidak

bergantung suhu

TfX e

Beberapa teori mengenai elektron bebas dalam zat padat akan dibahas pada bagian ini yaitu :

a. Teori Drude tentang elektron bebas dalam logam

b. Model elektron bebas yang klasik

c. Model elektron bebas yang terkuantisasi

Model pita energi dapat menerangkan sifat-sifat terpenting bahan semikonduktor

A. Teori Drude Tentang Elektron Bebas Dalam Logam

Model sederhana tentang elektron di dalam logam dapat menerangkan kaidah

Wiedemann- Franz dibuat tahun 1900 oleh Drude. Asumsi dalam model ini adalah :

a. Dalam logam terdapat elektron-elektron bebas yang membentuk suatu gas

electron.

b. Elektron-elektron tersebut memiliki kecepatan rata-rata 0C , dan bergerak secara

sembarang dalam kristal. Elektron bebas berubah arah geraknya setelah

bertumbuk dengan ion-ion logam

112

c. Ion logam boleh dikatakan tidak terpengaruh oleh tumbukan ini, karena massanya

yang sangat lebih besar dibandingkan dengan massa electron.

d. Apabila kuat medan E hadir dalam logam, arah elektron tidak lagi sembarang,

tetapi secara keseluruhan bergerak di bawah pengaruh medan E itu.

Andaikanlah bahwa waktu rata-rata antara 2 tumbukan elektron dan ion logam adalah

2 , maka secara rata-rata percepatan elektron antara dua tumbukan adalah

0

0m

eEa

dengan e adalah muatan elektron, dan m0 adalah massa elektron. Dengan mengambil arah x

sebagai arah kuat medan E

. Asumsikan bahwa kecepatan gerak sembarang elektron adalah

0C dengan komponen kecepatan 0 dalam arah x seperti pada gambar 6.1

Gambar 6.1 Gerak Elekton dalam Medan

Kecepatan rata-rata antara dua tumbukan adalah 0

00m

e

. Rapat arus dalam arah x

adalah

0

0m

eejx

Penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas dalam satu satuan volume. 00

Karena penjumlahan komponen kecepatan gerak sembarang elektron adalah nol maka

diperoleh 0

2

m

Eejx

. Konduktivitas listrik dapat ditentukan yaitu : 0

2

m

e

0C

0

E

x

113

Pada logam murni, pada suhu ruang sumbangan terbesar pada konduktivitas termal, K

berasal dari electron. eQ merepresentasikan arus kalor, yaitu jumlah energi yang mengalir

per satuan luas per detik, maka kondutivitas termal eK dibataskan sebagai

x

TKQ ee

,

dengan x

T

gradien suhu sepanjang arah arus x

Gambar 6.2 Hamburan elektron

Pandanglah suatu satuan luas yang tegak lurus terhadap arah x pada kedudukan 0xx

Elektron menumbuk ion yang ada pada permukaan tadi, dengan kecepatan membuat sudut

dengan arah x seperti pada gambar 6.2. Elektron tersebut terhambur oleh ion yang terletak

pada kedudukan cos2 00 Cxx , sebelum menumbuk ion di 0xx Apabila suhu serba

sama, maka 0C dan energy elektron U tidak bergantung pada kedudukan. Kehadiran gradient

potensial listrik dan gradient suhu membuat bahwa 0C dan U bergantung pada kedudukan x.

Jumlah elektron yang akan melalui satuan luas dengan sudut antara ddan ,

dalam selang waktu dt adalah

dtCnd cossin2

10

0C

cos2 00 Cxx

0xx

114

Gambar 6.3 Sudut Ruang

Sudut ruang d

d

R

dRRd

sin2

1

4

sin22

n adalah rapat elektron bebas per satuan volume. Energi elektron di 0xx dinyatakan dengan

0xU , sehingga energi elektron pada kedudukan

0

0000000 cos2cos2,cos2xxx

UCxUCxUxUganberkaitdenCxx

Besarnya fluks energi yang melalui bidang satuan di 0xx dalam waktu, melampaui semua.

Sudut yang mungkin ada adalah

0

2

03

2

xx

ex

UnCdtQdt

Karena integral pertama identik nol

0

2

0

2

0

0

00 sincos22

1cossin

2

1d

T

UCndtdxUCndt

xx

0

000 cossin2

1cos2 dtCndtCxUQdt e

d

115

0

2

03

2

xx

ex

UCnQ

Tetapi x

T

T

U

x

U

,

diperoleh T

UCnKe

2

03

2

Jika elektron-elektron tersebut sebagai gas elektron yang ditarik kesejajarannya dengan suatu

gas ideal maka harus dipatuhi kaidah-kaidah teori konetik gas dengan distribusi Maxwell-

Boltzmann, maka:

TkCmU B3

2

2

1 200

Bk adalah tetapan Boltzmann, maka: BkT

U

2

3

, dan

0

23

m

TknK Be

dengan demikian, maka harga Te

kK Be2

3

. Sesuai dengan kaidah Wiedemann-Franz

yang diperoleh secara empiric. Didefinisikan besaran baru yaitu bilangan Lorentz :

T

KL e

yang di dalam model ini berharga 2

3

e

kL B

B. Model Elektron Bebas Klasik

Model elektron bebas klasik, yang klasik adalah modelnya, artinya antara larangan

Pauli (1925) yang menyatakan bahwa tidak mungkin dalam satu system dua elektron atau

lebih mempunyai energy yang tepat sama Dalam bahasa mekanika kuantum ini dapat

diterjemahkan menjadi dalam satu system fisik tidak ada dua elektron atau lebih mempunyai

perangkat bilangan kuantum yang tepat sama

116

Apabila larangan Pauli diindahkan, maka tentunya yang berlaku untuk sistem tersebut

bagi elektron adalah distribusi Fermi-Dirac(1926). Distribusi Fermi-Diract dapat menjelaskan

peluang suatu partikel untuk berada di tingkat energi E pada saat T>0. Fungsi distribusi

Fermi-Diract

1

1

Tk

E

be

Ef

Keterangan :

= Potensial kimia ( pada T = 00K, =Ef)

f(E) = Peluang suatu partikel untuk berada di tingkat energi E

Gambaran umum tentang elektron dalam teori ini adalah bahwa ada elektron-elektron

(terluar, valensi) dari atom-atom logam yang tidak terikat lagi. Elektron macam itu bergerak

dengan bebas dalam kisi kristal, oleh karena itu dinamakan elektron bebas.

Kristal logam dipandang sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif

(membentuk kisi kristal) dan suatu rapat muatan negatif yang hampir serba sama diseluruh

volume kristal. Rapat muatan negatif ini berasal dari elektron-elektron bebas. Elektron-

elektron bebas dapat diperlakukan sebagai suatu gas dengan kecepatan termal. Berkat

pengaruh mereka secara kolektif kisi ion-ion positif terlihat menjadi zat padat.

Suatu elektron (bebas) melihat kisi ion positif sebagai jajaran bukit-bukit potensial

elektro statik. Dalam model ini pengaruh rata-rata dari bukit-bukit potensial tersebut

dianggap sangat kecil dibandingkan dengan energi kinetik elektron bebas, oleh karena itu

dapat diabaikan. Kecuali di permukaan batas kristal dimana suatu penghalang potensial

menghindarkan keluarnya elektron dari logam. Model elektron bebas klasik tentang logam

mengandaikan :

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume

kristal

b. Kumpulan electron bebas itu dapat diperlakukan sebagai suatu gas, dengan

elektron individual yang bergerak denagn kecepatan termal(gas berarti tidak ada

gaya interaksi antar-elektron di luar tumbukan, dan gerak termal yang sembarang).

117

c. Pengaruh medan potensial yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan, energi

kinetic elektron bebas sanagt besar apabila dibandingkan dengan potensial yang

berasal dari jajaran ion positif

d. Suatu penghalang potensial dipermukaan batas kristal menghindarkan

mengalirnya elektron ke elektron luar kristal

Elektron sangat berperan dalam perpindahan kalor, lebih dari itu kontribusinya sangat

dominan dalam daya hantar kalor eK . Andaikanlah bahwa dalam logam yang ditelaah setiap

atom memberikan Z electron bebas, maka jumlah total elektron bebas per kilomolekul

adalah;

ANZn

dengan AN , bilangan Avogadro

Jadi energi yang tersimpan dalam gas elektron per satu kilomol logam adalah

RTZ

TkNZTknUnU BAel

2

3

2

3

2

3

B

dan panas jenis sumbangan elektron bebas :

RZCel

2

3

Dari teori Debye, diketahui bahwa untuk suhu ruang panas jenis yang berasal dari getaran

kisi kristal per kilo mol zat adalah

RCkisi

3

Secara empirik hal ini telah pula ditemukan oleh Dulong-Petit. Oleh karena itu, maka untuk

kristal logam

RZCCCkisiel

3

2

3

118

Koefesien susceptibilitas magnetic , mengkaitkan momen magnetic, M dengan kuat

medan magnetic, H sebagai:

HM

Untuk bahan yang isotropik M

paralel dengan H

, dan merrupakan scalar. Apabila tak

isotropik adalah suatu tensor. Pada bahasan ini dibatasi untuk zat padat isotropik ( M

adalah moment magnetik per satuan volume). Apabila ditelaah sifat magnetik zat padat yang

berasal dari elektron, maka dipelajari paramagnetisasi dari elektron. Pengaruh medan magnet

luar H pada elektron elektron bebas itu diungkapkan sebagai

Tk

HINHM

B

BB

dengan :

N = jumlah electron per satuan volume

B = magneton Bohr ; TJxm

eB /1027,9

2

29

0

)(1 xI adalah fungsi Langevin; xee

eexL

xx

xx 1

Bk , tetapan Boltzman

T adalah suhu mutlak

Apabila medan H tidak kuat, yaitu : HB

119

Secara eksperimental tidak terlihat kebergantungan dari suhu T. dengan demikian, juga

teori klasik elektron bebas tidak memadai untuk menerangkan paramagnetisme elektron.

Dari uraian teori klasik elektron bebas hanya memadai untuk menerangkan kaidah

empiric Wiedemann-Franz yaitu bahwa untuk logam berlaku : tetapT

Ke

; tetapi teori itu

tidak dapat menerangkan tentang:

a. Mengapa panas jenis elektronik suatu logam tidak berharga R2

3 untuk suhu ruang

b. Mengapa susepbilitas magnetik untuk paramagnetisme elektron tidak merupakan

fungsi dari T

Oleh karena itu model ini perlu diperbaiki, menjadi model elektron bebas terkuantisasi.

Model elektron bebas terkuantisasi berarti melangkah dari landasan klasik ke landasan fisika

modern, yang mengandung di dalamnya: kuantisasi energi elektron, prinsip larangan Pauli,

dan spin elektron.

C. Model Elektron Bebas Terkuantisasi

Landasan klasik adalah bahwa elektron tersebut berprilaku sebagai suatu gas elektron,

kesejajaran ditarik dengan suatu gas ideal, dengan gerak sebarangnya dan distribusi energi

menurut Maxwell Boltmann.

Model elekron bebas ini dapat diperbaiki dengan memberikan landasan fisika modern,

yang dalam hal ini meliputi:

a. Kuantisasi energi elektron

b. Larangan Pauli untuk elektron

Kuantisasi energi elektron bebas diperoleh dengan memperlakukan syarat batas (siklis) pada

gelombang yang merepresentasikan gerak elektron, sedangkan larangan Pauli memberikan

sebaran energi untuk energi total dan jumlah total elektron tertentu. Distribusi yang diperoleh

adalah distribusi Fermi-Dirac.

120

Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T =0K

(pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam

sistem fermion (elektron adalah fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi

gelombang yang saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil (

,3/2, 5/2...). Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem fermion

berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini

disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum

tertentu dari sistem tersebut

Mengingat kembali pada kuliah Fisika Statistik bahwa sistem dua partikel yang

terbedakan dan yang tak terbedakan.

Sistem dua partikel yang terbedakan

Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a dan

keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat dua

kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi gelombang:

Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel tersebut

dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah:

Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu

dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi

karena untuk fermion berlaku prinsip ekslusi Pauli).

Sistem dua partikel tak terbedakan

Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masingmasing

partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya harus merupakan

kombinasi dari 1 dan 2 , untuk mencerminkan peluang yang sama.

Dibawah ini digambarkan sketsa distribusi Fermi-Dirac (F-D) dan distribusi Maxwell

121

Boltzmann (M-B). Distribusi Fermi-Dirac untuk sistem elektron dengan landasan fisika

modern, distribusi Maxwell Boltzmann untuk suatu gas ideal atom-atom dengan landasan

fisika klasik.

TkEE BFeEf

/)(1

1)(

Gambar 6.4 Distribusi Fermi Dirac

TkE BeEf /)(

Gambar 6.5 Distribusi Maxwell-Boltzman

Tc 60000K

T=00K T=6000K

T=00K

T=6000K

T=60000K

122

Syarat distribusi Fermi Diract adalah :

o Partikelnya tak terbedakan

o Satu keadaan energi hanya dapat diisi oleh satu partikel atau kosong atau

memenuhi prinsip eksklusi Pauli.

o Berlaku untuk fermion (partikel spin pecahan misalnya: 1/2,1/3,1/4), elektron,

proton, neutron dan lain-lain.

Meskipun distribusi F-D telah dikenal, tetapi untuk kelengkapan informasi tertera

dibawah ini dengan beberapa ciri utamanya:

a. Distribusi F-D sangat berbeda dari distribusi M-B

b. Pada T=0, maka:

1)( Ef , untuk semua E< EF

0)( Ef , untuk semua E > EF

Ini berarti bahwa pada T=00K, semua state dengan E< EF penuh, semua state

dengan E > EF kosong.

c. Apabila TkEE BF )( , jadi untuk elektron dengan energi di atas EF dan

berenergi besar:

TkEE BFeEf /)()(

Jadi untuk E yang besar, distribusi F-D mendekati distribusi M-B

d. Sebaliknya apabila TkEE BF )( jadi untuk elektron dengan energi di

bawah EF dan berenergi rendah:

TkEE BFeEf /)(1)(

Jadi untuk E yang rendah, kebolehjadian bahwa suatu state terisi mendekati

1.

e. Untuk E= EF, pada semua suhu T:

5,0)( Ef

Disamping itu masih banyak yang perlu diuraikan tentang distribusi F-D.

f. Rapat elektron persatuan volum adalah:

123

dE

e

Em

dEEgEf

dEEnn

TkEE F

0

/)(

2/12/3

2

0

2

0

0

1)

2(

2

1

)()(

)(

B

Andaikan bahwa T= 00K, maka ungkapan diatas menjadi:

0

0

2/1

2/3

2

0

2

2

2

1 FE

dEEm

n

Dianggap bahwa 0F

E merupakan harga F

E suhunya T= 00K. Apabila integral

tersebut dievaluasi, maka:

2/3

2

00

2

2

3

1

FEmn

Sedangkan sketsa n(E) adalah seperti dibawah.

Gambar 6.6 Rapat Elektron Untuk Berbagai Suhu

Bagaimanakah EF=EF (T)?

Diketahui:

02

2

012

)(1

F

BFF

E

TkEE

g(E)f(E), pada suhu T=0

g(E)f(E), pada suhu T >0 EFT

EF0

124

Rapat elektron state dengan energi antara E dan (E+dE):

g(E)dE

Dalam menelaah perilaku gas elektron pendekatan elektron tunggal yaitu bahwa

elektron tersebut bergerak dalam potensial V yang merepresentasikan pengaruh dasar dari

semua elektron bebas yang lain dan semua ion-ion positifnya. Dalam model elektron bebas V

0

Persamaan Schroedinjernya adalah:

rErm

2

0

2

2

dengan solusi

rkik eAr ,

0

dengan energi elektron:

][2

222

0

2

zyxk kkkm

E

Sedangkan apabila elektron itu bergerak dalam kubus dengan rusuk L ; zyx kdankk , harus

memenuhi:

.,.........2,1,0;2

.,.........2,1,0;2

.,.........2,1,0;2

zzz

yyy

xxx

nL

nk

nL

nk

nL

nk

Hal ini dapat digambarkan dalam ruang k:

kZ

125

Gambar 6.7 Ruang k

Dalam ruang k, setiap state direpresentasikan dengan volume sebesar:

32

L

Yaitu masing-masing untuk 1,1,1 zyx nnn . Semua state dengan energi elektron

sebesar:

][2

222

0

2

zyxk kkkm

E

terletak pada permukaan bola dengan jari-jari k yang memenuhi:

2

2222 2][

kozyx

Emkkkk

Semua state dengan energi antara E dan E+dE terletak dalam kulit bola dengan jari-jari antara

k dan );( kk volum elemen itu dalam ruang k adalah:

kk 2

Sehingga jumlah state elektron adalah:

kkL

L

kk

2

23

3

2

22

4

Apabila diperhitungkan spin elektron; maka jumlah state elektron antara k dan (k+dk) adalah:

kkL

2

23

diketahui bahwa:

kx

ky

126

EE

mk

Emk

m

kEk

2

0

2

02

0

22

2

2

2

sehingga jumlah elektron-state persatuan volum dengan energi antara E dan (E+dE) adalah:

dEEmkk

Eg 2/12/32

0

22

2

)2

(2

1)(

dalam grafik, maka bentuknya:

Gambar 6.8 Rapat Elektron State

g(E) adalah rapat elektron state dan bukan rapat elektron. Rapat elektron n(E) adalah jumlah

elektron bebas persatuan volum untuk sistem dengan kesetimbangan suhu T adalah:

dE

eE

mEn

EfEgEn

TkEE BF /

2/12/3

2

0

2 1

1)

2(

2

1)(

)()()(

Jadi jumlah elektron persatuan volum dengan energi antara E dan

(E+dE) adalah:

dE

e

EmdEEndN

TkEE BF /

2/12/3

2

0

2 1)

2(

2

1)(

2/1)( EEg

127

Model elektron bebas terkuantisasi merupakan suatu pendekatan dalam menelaah

sifat-sifat listrik (dan magnet) logam. Model elektron bebas terkuantisasi merupakan

perbaikan dari model elektron bebas klasik yang menempatkan landasan fisika. modern

Model ini memberikan teori untuk:

a. Cv logam

b. untuk paramagnetisme elektron

c. Emisi termionik oleh permukaan logam

Asumsi yang digunakan pada model elektron bebas terkuantisasi sebagai berikut :

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (yang

membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volum kristal.

b. Kumpulan elektron bebas itu mengikuti kaedah-kaedah dasar fisika kuantum, yaitu

mengenai kuantisasi energi elektron bebas dan larangan Pauli, yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan untuk rapat elektron persatuan volum sebagai fungsi dari

energi elektron dan suku sistem:

dE

e

EmEn

TkEE BF /

2/12/3

2

0

2 1)

2(

2

1)(

c. Pengaruh medan yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan, energi kinetik elektron

bebas sangat besar apabila dibandingkan dengan energi potensial yang diperoleh dari

jajaran ion positif.

d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya, terdapat suatu

potensial penghalang yang harus diloncati elektron bebas pada T=00K (energi = EF)

untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.

Sumbangan Elektron Bebas Pada Harga Cv

Sumbangan elektron bebas pada Cv kadang-kadang dinyatakan sebagai Ce, panas

jenis elektronik. Berdasarkan model klasik diperoleh bahwa:

)2

3(

2

3RZkNZC vBAve

dengan Zv, jumlah elektron valensi dari unsur yang membentuk logam.

128

Untuk kasus T=00K. Energi total gas elektron (atom juga disebut gas Fermi) persatuan

volume:

2/5

0

2/3

2

0

2

0

2/32/3

2

0

2

0

0

)2

(5

1

1)

2(

2

1

)()(

0

0

F

E

E

Em

dEEm

dEEfEgE

F

F

f(E) = 1 pada T = 00K sehingga rapat elektron persatuan volum adalah:

2/3

02

0

2)

2(

3

1FE

m

nn

sehingga:

005

3FnE

maka energi rata-rata per elektron adalah:

005

3FEE

Bagaimanakah halnya apabila T = 00K ?

Energi total gas Fermi per satuan volum adalah:

0

/)(

2/3

0

2/3

2

0

2

0

0

1)

2(

2

1

)()(

)(

TkEE Fe

dEEm

dEEfEgE

dEEnE

B

Bentuk integral F-D:

0

)(0 01)(

yy

j

je

dyyyF

129

Bentuk )( 0yFj untuk 0y besar dan berharga positif adalah:

1,.........]6

)1(1[

)1()( 02

0

21

00

yy

jj

j

yyF

y

j

Penerapan pada evaluasi :

BF

F

BF

TkEEF

kEE

TkE

e

dEEEF

BF

;])(8

51[

5

2

}1{)(

2

2/5

0

/)(

2/3

2/3

karena:

]

121[

2

0

2

0

F

BFF

E

TkEE

maka:

])(12

51[

5

2

])(8

51)][(

24

51[

5

2)(

2

2/5

0

2

2/5

02/3

F

BF

F

B

F

BFF

E

TkE

E

Tk

E

TkEEF

dimana diperoleh:

F

Be

F

B

B

F

F

BF

E

Tnk

TC

E

Tkn

k

ET

E

TkmE

2

4

;])(12

51[)

2(

5

22

22

0

22/3

2

0

2

0

dibandingkan dengan ungkapan sebelumnya:

Be knC2

3' (model Klasik)

130

Maka:

e

F

Be C

E

TkC '

3

2

Dari hubungan diatas terlihat bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv untuk kristal

diperkecil dengan faktor

Tk

E

B

F

2

3

dari klasiknya [Ce].

Suatu gas elektron untuk mana kBT

131

Dimana diperoleh bahwa:

0

0 0

0

)()(1)()()()()(F

F

FE

E

E

FF EgEfEEdEEgEfEEdEdEEgE

Dari suku-suku diatas: 0 tak bergantung suhu T.

Oleh karena itu:

)()(

)(]1[)()()(

0

0

EgT

fEEdEC

EgT

fEEdEEg

T

fEEdE

TTC

Fel

E

F

E

Fel

F

F

Pada suhu rendah ( T

fETk FB

,01,0/ hanya besar didaerah dekat EF , sehingga

pendekatannya:

T

fEEdEEgC

EgT

fEEdEC

FFel

Fel

0

0

)()(

)()(

Evaluasinya:

2/)(

2 /)(

1.

TBkFEE

BF

e

e

Tk

EE

T

f TkEE

B

F

Apabila dibataskan:

TkEE BF /)( ,

maka:

TkE

Bel

BFe

edTkEgC

/

2

22

)1())((

Karena e berharga sangat kecil pada TkE BF / , maka batas bawah TkE BF / dapat

diganti menjadi .

132

3)1(

2

2

2

de

e

Maka:

TkEgC BFel22 )(

3

1

Tetapi:

2/12/3

2

0

2)

2(

2

1)( FE

mEg

dan

2/32/3

2

0

2)

2(

3

1FE

mn

, maka:

FE

nEg

2

3)(

Dimana diperoleh:

F

Bel

B

F

el

E

TknC

TkE

nC

2

2

3

3

1

22

22

Peramagnetisme Pauli

Dalam logam terdapat gas Fermion, yaitu elektron-elektron bebas yang bejarak dalam

kisi kristal. Apabila ada suatu medan magnet luar H, maka elektron-elektron bebas tersebut

dipengaruhi oleh medan luar H tersebut, khususnya ada penyesuaian spin elektron dengan

medan H. Dalam medan H tersebut elektron dengan spin yang berlawan mempunyai

energi magnetik yang berbeda sesuai dengan hubungan energi:

BEE BkinToT

Tanda + untuk spin yang berlawanan dengan medan B. Karena HB 0 , maka:

HEE BkinToT 0

Penyearah H terhadap g(E) digambarkan dibawah ini:

133

Gambar 6.10 Rapat Elektron State Dalam Medan Magnet Eksternal

Karena prilaku elektron lain apabila spin lain arahnya terhadap medan magnet H, maka g(E)

dibagi dalam 2 bagian yaitu dengan spin ke atas dan spin di bawah. Tanpa medan H luar,

kedua-duanya simetrik terhadap sumbu E. Apabila ada medan magnet luar, maka energi

elektron menjadi,

E = E + EB

E = E + B B

Positif untuk antipararel dan negatif apabila sebaliknya. Karena medan luar H ini, secara

total lebih banyak electron dengan spin anti-pararel terhadap H. Sehingga suseptibilitas

memenuhi

M = H

M = B () [1

2( + 0)

1

2( 0)]

0

M = B ()

0 (0)

M = B2 0 ()

0

Dimana

( + 0) = () +

0

( 0) = ()

0

g(E)

g(E)

g(E)

g(E)

E E

H>0

HB 0 HB 0 Spin

Spin

H

H

E= energy kinetik E= energy kinetic dan magnetik

134

Ambil kasus sederhana T = 00K

M = B2 0 ()

00

= 0B2

H g(EF0)

Sedangkan :

(0) =1

22(

202

)

32

012 =

3

20

Karena dari diketahui bahwa:

=1

32(

2002

)

32

Dimana diperoleh untuk T = 00K

M = 02

3

20= [

023

20]

= [0

23

20]

Apabila 0B H

135

Apabila dianalisis, maka :

a. Harga maksimum

E

Fterjadi pada E = EF, dan besarnya adalah

TkB4

1.

b. Untuk T = 0, diperoleh fungsi bagi

E

F1

c. Ternyata bahwa

E

Fsimetri terhadap E = EF.

Hal-hal tersebut dapat dilihat pada sketsa pada gambar 6.11:

Gambar 6.11 Fungsi Distribusi F-D

Untuk E

136

Daya Kontak Listrik

Kecepatan elektron bebas dalam Logam, Atau Fungsi:

F (vx, vy, vz) dvx dvy dvz:

Menyatakan jumlah elektron bebas dalam logam persatuan vlum yang memiliki kecepatan

antara vx dan (vx + dvx), vy dan (vy + dvy), vz dan (vz + dvz).

Atau fungsi:

F(v) dv :

Menyatakan jumlah elektron bebas persatuan volum dalam logam yang memiliki kecepatan

antara v dan (v + dv). Modal yang dipunyai untuk elektron bebar menurut model elektron

bebar terkuantisasi adalah:

n (E) dE = F(E)g(E)dE,

yaitu jumlah elektron bebar persatuan volum dalam logam yang memiliki energi antara E dan

(E + dE).

Berangkat dari n(E)dE = F(E) g(E) dE maka

n(E)dE = 1

22(

20

2)

3

2

1

2[1 + ()/]1

Perubahan variabel :

E = m0v2, sehingga E1/2 = (m0/2)

1/2v

dE = m0v dv

Substitusi memberikan,

n(E)dE 1

2(

20

2)

3

2(

0

2)

1

2 [1 + (

1

20

2)/]1

0

2 (0

)

3

(0

2)

1

2 [1 + exp(

02

2)]

1

(4 2 )

Darimana diperoleh:

F(v) dv = 2 (0

)

3

(0

2)

1

2 [1 + exp(

02

2)]

1

(4 2 )

Untuk menurunkan F(vx, vy, vz,), haruslah diingat bawa:

137

() =

0

+

+

(, , )

+

Dan sejalan dengan menurunkan distribusi Maxwell-Boltzmann untuk atom-atom gas, maka:

F(vx, vy, vz,) dvx dvy dvz =

2 (0

)3

(02

)

12

[1 + (0

2 2

)]

1

Sesungguhnya hasil yang diperoleh dapat di ubah untuk mengungkapkan:

F(p) dp

yaitu jumlah elektron bebas per satuan volum dalam logam yang

memiliki momenyum linier antara p dan (p+dp) dan ,

F (px, py, pz) dpx dpy dpz:

yaitu jumlah elektron bebas per satuan volum dalam logam yang memiliki komponen

momentum linier, antara;

px dan (px + dpx)

py dan (py + dpy)

py dan (pz + dpz)

dengan transformasi sederhana diperoleh:

() =2

3 [1 + (

2 2020

)]

1

4 2

() =2

3 [1 + (

2+

2 + 2 20

20)]

1

Fungsi distribusi F (vx, vy, vz), yang selanjutnya di singkat sebagai F(), dapat

digambarkan dalam ruang kecepatan [vx, vy, vz].

138

Gambar 6.12 Bola Fermi

Gambar tersebut untuk suhu T yang sangat dekat ke kurva T = 00 K. Dalam

keseimbangan antara elektron dan kisi, yaitu kesimbangan termal distribusi tersebut tidak

akan statik tetapi dalam keadaan steady-statik (keadaan mapan), untuk penolakannya

selanjutnya kita tempatkan indeks 0 pada fungsi distribusi yang mapan ini F0(). Gambaran

F0(), dalam ruang kecepatan mempunyai kesetangkupan bola dan dinamakan bola Fermi.

Indeks 0 mempersentasikan kemapanan, bukan keadaan dengan suhu T= 00K.

Keharidan medan akan mempengaruhi gerak elektron bebas dalam logam,

disamping gerak sembarang ke semua arah ada gerak tetap dalam arah yang berlawanan

dengan arah (ingat bahwa electron bermuatan negatif). Gerakan dalam arah yang tetap ini

tersuperposisi pada gerak sembarang.

Tanpa ada pengaruh dari luar, gas Fermi dalam logam memiliki distribusi kecepatan

F0(). Andaikan kemudian ada medan listrik luar didalam logam. Kehadiran medan luar

ini menyebabkan distribusi kecepatan menjadi F (). F () berbeda dengan F0(). Perubahan

fungsi distribusi :

F = F F0

Mempunyai komponen posisi dan komponen waktu:

F = (F). + (

) dt

Diambil yang sama dimana-mana, baik arah maupun besarnya, dalam keadaan seperti itu

F 0, sehingga yang bermakna hanyalah:

(

)

139

Perubahan yang terjadi melibatkan : Pengaruh Medan Luar , dan Proses Hamburan

Oleh karena itu proses yang pertama mengubah distribusi F, sedangkan proses kedua ingin

memulihkannya keadaan semula. Hal tersebut dapat ditulis sebagai :

(

) = (

)

+ (

)

Kedua suku pada ruas kanan ditelaah dalam butir ini.

Pertama : (

)

(

)

= (). (

)

Karena medan luar mempengaruhi . Besar dan arah (

) ditentukan oleh medan luar, yaitu

:

(

) =

0

Sehingga diperoleh :

(

)

= (). (

0)

Apabila dalam arah x, jadi = i E, maka:

(

)

=

. (

0)

Kedua : (

)

(

)

mengurangi pengaruh percepatan yang terjadi sebelum tumbukan, dan

merupakan proses yang ingin memulihkan distribusi kecepatan menuju F0. Andaikanlah

bahwa untuk pemulihan itu prosesd apat direpresentasikan dengan waktu relaksasi Tr:

(

)

=

( 0)

140

Penggabungan dari kedua itu menghasilkan persamaan kontinuitas (continuity equation).:

(

) +

0. () +

(0)

= 0

Ini adalah persamaan transport Boltzmann, untuk hal khusus yaitu medan luar yang

serbasama.

Gambar 6.13A Gambar 6.13B

Gambar 6.13B menunjukkan fungsi distribusi F untuk kasus dimana hadir medan

listrik luar yang arahnya dalam arah x. untuk jelasnya hanya digambarkan representasi dua

dimensi saja dalam bidang (vx, vy). Fungsi distribusi kecepatan bergeser karena pengaruh

medan luar sehingga titik pusat kecepatan bergeser dalam arah vx negative (kuat medan

dalam arah x positif). Kedudukan tetap dari titik pusat kecepatan ditentukan oleh resultan

dari medan luar dan proses pemulihan. Dalam pembahasan ini diandaikan bahwa:

Pergeseran titik pusat kecepatan oleh kehadiran medan luar sangat kecil apabila di

bandingkan dengan vrms

apabila keadaan mapan telah dicapai sesudah penerapan melampaui jangka waktu yang

jauh lebih besar daripada waktu Tr , maka:

(

) = 0

Untuk keadaan tersebut:

0. () +

( 0)

= 0

Atau

141

= 0 (

0) . ()

Apabila = , maka ungkapan diatas menjadi :

= 0

0

Fungsi F akan dipergunakan untuk memberi ungkapan tentang rapat arus listrik jx . maka:

=

+

Integrasi meliputi seluruh harga, , dari - ke +. Apabila disubtitusikan ungkapan

untuk F, maka diperoleh :

= (0

0

)

+

+

+

Yang menjadi:

= 2

0

+

+

+

Karena integral pertama, yang didalam integralnya mengandung F0, menghasilkan nilai

nol.[ = 0!].

Langkah berikutnya mengevaluasi integral di atas.

a. Tr dapat diganti dengan

, dimana lintas bebas rata-rata anatara z tumbukkan, v

adalah kecepatan elektron.

v2 = v2x + v2

y+ v2

z

b.

=

.

, tetapi

=

, sehingga:

=

.

, karena

=

0

142

c. Integral kemudian diubah menjadi:

(

) =

2 2 (

0

)

Karena geraknya yang sembarang, maka:

2 =1

3 (2 +

2 +

2) =

1

3 2

Yang menghasilkan:

(

) =

3 (

0

)

d. Dapat dilakukan tansformasi variabel pada integral:

(

)

+

+

+

=

3 (

0

) =

+

+

+

42

3 (

0

)

0

Dimana akhirnya diperoleh bahwa:

= 42

30 2

0

( 0

)

Dalam integral diatas fungsi distribusinya adalah F0 (). Sebelumnya diketahui bahwa:

0() = 2 (0

)3

[1 + (2 +

2 +

2 2

2)]

1

0() = 2 (0

)3

[1 + (

)]

1

0() = 2 (0

)3

()

Perubahan variabel dari v ke E:

0

= 0

.

= 2.

0

143

2 =1

2

Sehingga :

2

0

( 0

) = 2

0 E

0

0

Karena 0() = 2 (0

)

3

(), maka :

2

0

( 0

) = 2

0 E

0

0

=

2

0 E

0

2 (0

)3

=

402

3

0

(

)

Akhirnya diperoleh:

= 42

30.40

2

3

0

(

)

=1620

33

0

(

)

Daya hantar listrik:

=1620

33

0

(

)

Diperoleh bahwa:

=1

32(

202

)

32

=1

32(20)

3

32

()32

=8 (20)

33

32

()32

Sehingga :

= 2

0.

1

.

0

(

)

144

Karena sifat fungsi dari (

) untuk suhu tidak tinggi, maka:

.

0

(

) = EFEF

Darimana lalu diperoleh bahwa:

= 2EF0

Apabila waktu rata-rata antara tumbukkan elektron konduksi adalah TF, yaitu:

=EF

= 2T

0

EFEK HALL

Effek Hall berkaitan dengan suatu cara pengukuran eksprimental sifat listrik yang

dilaporkan oleh E.H.Hall di tahun 1879. Dalam telaah effek Hall disini akan ditempuh

pendekatan sederhana, menurut model elektron bebas klasik.

Gambar 6.14 Efek Hall

Pandanglah suatu balok logam. Pada balok itu bekerja dua medan luar yang saling

tegak lurus, yaitu kuat medan listrik Ex dengan arah sumbu-x dan medan induksi magnetic Bz

dalam arah sumbu-z. Karena pengarah medan Ex , akan ada arus listrik Ix yang searah dengan

Ex . andaikanlah bahwa electron merupakan pembawa arus. Maka pengaruh medan Bz akan

145

menyebabkan bahwa elektron akan melalui lintasan tidak dalam arah vx, akan tetapi

melengkung ke bawah. Elektron akan berkumpul di bagian bawah balok logam. Dengan

demikian terciptalah medan listrik karena tumpukan elektron di bagian bawah dan kurangnya

elektron di bagian sebelah atas balok. Keadaan ini menimbulkan medan listrik Ey. Apabila

kedaan sudah stationer y bekerja tetap dan elektron bergerak dalam arah vx. y inilah yang

diukur dan kemudian memberikan keterangan mengenai elektron konduksi di dalam logam.

Gaya pada elektron adalah: B

xveF

Dalam keadaan setimbang gaya dalam arah -y adalah nol, jadi,

zxy

zxy

Bv

sehingga

BveeFy

Fy

:

0

Rapat arus adalah:

xenx

Diperoleh harga Koefisien Hall.

enB

Rzx

y

H

1

dengan n = rapat elektron konduksi

e = harga muatan satu elektron

Apabila y , x , dan zB diketahui, maka diperoleh keterangan mengenai n.

Jadi, Effek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan:

a. Macam pembawa muatan (positif atau negatif).

b. Rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses penghantaran muatan.

Apabila dianut model Lorentz dari model elektron bebas klasik (lihat dalam buku

Blakemorce), maka koefisien Hall:

146

enB

RZx

y

H8

3

Mobilitas elektron dibataskan sebagai besarnya kecepatan rambat (bukan gerak

sebarang) elektron per satuan kuat medan listrik.

Jadi:

0v

Sedangkan kubangan antara rapat arus j dan muatan elektron serta kecepatan rambatnya

adalah:

envenj 0

Sehingga daya hantar listrik (konduktivitas):

enenR

atau

en

H

1

,

Jadi secara eksperimental dengan mengukur dan RH , dapatlah diperoleh keterangan

mengenai mobilitas elektron konduksi.

Pancaran Thermionik

Apabila suatu logam dipanaskan maka elektron-elektron bebas dalam logam itu akan

memiliki energi kinetik yang lebih tinggi. Apabila suhunya cukup tinggi, maka harga energi

kinetik elektron dalam logam dapat tinggi, hingga elektron itu dapat melampaui hambatan

potensial (work function ) untuk kemudian meninggalkan permukaan tersebut. Gejala ini

dinamakan pancaran fermionik atau emisi termionik.

Emisi termionik masih penting dalam elektronika, terutama sebagai sumber pancaran

elektron pada tabung TV. Pemancaran terjadi dalam suatu bagian dari tabung itu yang

dinamakan elektron gan. Agar elektron gan dapat memancarkan sebanyak mungkin elektron

dengan sedikit mungkin input energi diperlukan permukaan logam dengan fungsi kerja

yang serendah mungkin.

147

Model elektron bebas terkuantisasi mengenal potensial elektron seperti tertera pada

sketsa gambar 6.15.

e

EF

0

Panjang batang logam

Gambar 6.15 Potensial Elektron

Dalam arah horizontal adalah jarak, sedangkan vertikal energi elektron bebas. Energi

elektron bebas pada suhu T = 00 K hanya berharga sampai Ek = EF. Energi e adalah energi

yang diperlukan agar electron pada tingkat Fermi dapat meninggalkan permukaan logam.

dikenal sebagai fungsi kerja logam, work function.Elektron bergerak ke arah x dan

menguasai permukaan logam pada kedudukan x = x0. Maka agar elektron tersebut dapat

terpancar dari permukaannya, maka diperlukannya energi sebesar:

aljabardapaelektronmuaadalaheana

eEm

Pxf

tantantandim

,2 0

2

0

Sebaran kecepatan elektron bebas dalam logam menurut model elektron bebas

terkuantisasi, yaitu:

zyxzyx

zyx dvdvdvTk

mvmvmv

h

mdvdvdvvF 1

2222

0

2.exp12

B

menyatakan banyaknya elektron bebas persatuan volume yang menpunyai komponen-

komponen kecepatan dengan harga diantara:

vx dan vx + dvx

vy dan vx + dvy

vz dan vx + dvz

148

Pancaran termionik biasanya dilaksanakan pada suhu yang sangat tinggi, sehingga

statistiknya boleh dianggap Maxwell-Boltzmann. Dalam kasus sederhana itu fungsi

distribusinya menjadi:

Tk

vmvmvm

h

mdvdvdvvF

B

zyx

zyx2

.exp2

2

0

2

0

2

00

Jumlah elektron persatuan volume dengan kecepatan antara vx dan (vx dan dvx) diperoleh

dengan mengintegrasikan meliputi semua harga vy dan semua harga vz menjadi:

2

22/

3

0

220

2

Tk

vm

yx

Tk

vm

TkfE

zyxxx

B

yo

B

x

B edvdveeh

m

vFdvdvdvdvvF

Evaluasi integral:

a.

0

222

2 ry edrredxedyx

Dengan r2 = x2 + y2 ; integrasi 2re meliputi seluruh bidang datar.

0

2

0

22

2 dreedrr rr

Diperoleh:

2/12

yedy

b. Dengan menggunakan hasil di atas maka:

2/1

0

2 220

m

kedv BTk

mv

yB

Oleh karena itu,

149

x

Tk

vm

TkEB

xBTk

vm

TkE

xx

dveeh

Tkm

dvm

Tkee

h

mdvvF

B

x

BF

B

x

BF

2/

3

2

0

0

2/

3

0

20

20

4

22

Elektron yang dapat meninggalkan batas permukaan hanyalah yang energinya

eEvm Fxd2

02

1; dan dengan kemungkinan bahwa pada permukaan batas itu

bagian r daripadanya dipantulkan kembali.

Jadi rapat arus termionik adalah:

2/1

0

0

2/

3

2

0

22

14

20

m

eEv

eveerh

TkmJ

Fx

Tk

vm

x

TkEB B

x

BF

Evaluasi integral:

Tke

TkE

B

eEvm

Tkvm

B

B

xBTk

vm

v

xx

BB

F

Fx

B

x

TBk

xvm

B

x

x

eem

eTk

em

Tk

eTk

vmd

m

Tkedvve

0

2

1

2

0

2

0

0

2

20

20

2

20

20

02

Darimana diperoleh:

150

Tke

B

Tke

BB

B

B

erh

TkmeJ

em

Tkr

h

TkmJ

14

14

3

22

0

0

3

2

0

Ini dikenal sebagai hubungan Richardson-Dushman untuk pancaran termionik.

22

202

6

3

2

0

.1

.1020,1

4

mAmp

dalamerTAJ

Km

Ampx

h

kmeA

Tke

B

B

Suatu kawat pemanas (filamen) meningkatkan suhu katoda agar emisi dapat terjadi.

Perhatikanlah ungkapan Richardson-Dushman:

Tke

BeTrAJ

21

Yang dapat ditulis sebagai:

Tke

BerAT

J

12

Ambillah logaritmanya (bilangan pokok 10):

Tk

erA

T

J

B

1logloglog

2

Dan buatlah grafik log

2T

J vs.

T

1, maka dari grafik itu dapat diperoleh baik harga

maupun r1 .

151

SOAL-SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan di bawah ini:

1. Jelaskan perbedaan antara statistik Maxwell-Boltzman dan statistik Fermi-Diract!

2. Buktikan bahwa untuk energi electron yang cukup tinggi dapat digunakan statistic

Maxwell-Boltzman!

3. Jelaskan konsep electron terikat dan electron konduksi dalam logam!

4 a. Jelaskan hubungan energy kinetic dan bilangan gelombang untuk electron bebas!

b. Apakah hubungan itu berlaku untuk electron konduksi dalam logam?

5. Jelaskan gejala terpancarnya electron jika logam dipanaskan!