chapter 06

Upload: abdul-razak-yunus

Post on 05-Jul-2015

131 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahKalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahPembezaan SeparaKebanyakanperhubungandidalamekonomi melibatkanlebihdaripada dua pembolehubah. Permintaan barangan bergantung bukan sahaja kepada harga barangitusendiri tetapi jugakepadahargabarangpengganti danpengenap, pendapatanpengguna, perbelanjaanpengiklanandansebagainya. Begitujuga, output dari proses pengeluaran bergantung kepada berbagai input seperti tanah, modal danburuh. Untukmenganalisisgelagat ekonomi secaraam, kitamesti mengembangkankonsepfungsi, dankhususnyadidalamkalkulus pembezaan kepada fungsi berbagai pembolehubahKatakan, diberi satu fungsi sebagaimana berikut: f(x,y) = xy + 2yatau biasa ditulis sebagai: z = xy + 2xDidalam usaha untuk membolehkan kita menilai fungsi diatas kita perlu menetapkan nilai numerik bagi kedua-dua x dan y. Sebagai contoh, gantikan x = 3 dan x = 4 memberikan: f(3,4) = 3(4) + 2 (4) = 20dan menggantikan x = 4 dan y = 3 memberikan16Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubah f(4,3) = 4(3) + 2(3)Perhatikan, bagi fungsi ini, f(3,4) adalah tidak sama dengan f(4,3), oleh itu secara am kita mestilah berhati-hati apabila menulis susunan yang betul bagi pembolehubah-pembolehubah.Kita telah menggunakan labelxdanybagi dua pembolehubahbebas ini danzkepadapembolehubahsandar. Kitaselalunya menulis fungsi ini didalam bentuk2 2 1 3x + x x = y dimana x1 dan x2 merupakan pembolehubah bebas dan y adalah pembolehubah sandar.Penggunaan subskrip ini nampak mengelirukan tetapi ia memberikan kita kemudahan untuk mengembangkan fungsi tersebut kepada lebih dari dua pembolehubah. Secara amnya, satu fungsi dengan n pembolehubah boleh ditulis sebagai) x ,....., x , x , f(x = yn 3 2 1Fungsi yang mengandungi satu pembolehubah boleh diterangkan dengan mudahmelaluigerafdandapatmembantukitamemahamidenganjelassesatu gelagat. Rajah 4.1 menunjukkan fungsi yang biasa diberi sebagai y = f(x)dimana paksi mendatar menentukan pembolehubah bebas, x, dan paksi menegak adalahpembolehubahsandar, y. Ketinggiankelukdibawahmana-mana titik diatas paksi x adalah nilai fungsi pada titik tersebutPersoalan yang timbul ialah sama ada fungsi dari berbilang pembolehubahdapat digambarkanmelalui geraf atautidakJawapannyaboleh didalamkes fungsi dua pembolehubah walaupuan ia kelihatan sukar untuk dilakarkan. Fungsi z = f(x,y)2Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahbolehdilukiskan diatas permukaandidalamsatah tiga dimensi sebagaimana ditunjukkandidalamRajah4.2. Jika kita melihat titik pembolehubah bebas dengankodinat (x,y) sebagai terletakdiatas satahmendatar makaketinggian permukaan, z, secara lagsung mewakili nilai fungsi pada titik ini. Sekiranya anda dapat membayangkan adalah amat sukar untuk melakarkan geraf dari persamaan seperti4x + xy = y) f(x,3walaupun pakej komputer grafik 3-dimensi boleh menghasilkan lakaran tersebut. Walau bagaimanapun, bahagian ini, kita akan melihat bagaimana kalkulus pembezaan boleh digunakan untuk menganalisis gelagat ekonomi yang mempunyai fungsi yang berbilang pembolehubah3Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahKatakan, kita diberi fungsi dua pembolehubah z = f(x,y)kitabolehmenentukanduapembezaandarjahpertama.Pembezaanseparaf terhadap x adalah ditulis sebagaixfatauxf atauxzdengan membezakan f terhadap x, maka y diandaikan tetap. Begitu juga pembezaan separa f terhadap y ditulis sebagaiy f atau yfatau yzdan dengan membezakan f terhadap y, maka x diandaikan tetap. Kita biasanya menggunakan tatatandaxf 4Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahuntuk membezakan pembezaan separa berbilang pembolehubah dengan pembezaan biasa yang mempunyai satu pembolehubah. Tatatanda pilihan, ialah fxmerupakan analogi terhadap tatatanda f' untuk pembezaan biasa.Untuk membezakan fungsi3 2y + x = y) f(x,terhadap x kita lakukan sebagaimana berikut. Melalui peraturan hasil tambah kita tahu kita boleh membezakan setiap bahagian berasingan dan mencampurkannya. Sekarang, apabila membezakanx2terhadap x kita perolehi 2x. Walau bagaimanapun, apabila kita membezakany3terhadap x kita perolehi 0. Untuk melihat perkaraini, perhatikandaripadadefinisi pembezaanseparaterhadapx pembolehubahyadalahdiandaikantetap. Olehitu, jikayadalahtetapmaka begitu jugay3 dan pemalar apabila dibezakan adalah sifar. Oleh itu2x = 0 + 2x=xfDengan cara yang samafy=0+3y =3y2 2Kali ini x diandaikan tetap oleh itu x2 adalah sifar apabila dibezakan 3yterhadap y kita perolehi 23ySekarang, kita lihat contoh yang agak sukar. Katakany x = y) f(x,2 Untukmendapatkanpembezaan fx kitabezakandengancarayang normal mengambil x sebagai pembolehubah dengan membiarkan y sebagai tetap. Sekarang,apabila membezakan pemalar didharabkan dengan x2kita bezakan x2 untuk memperolehi 2x dan didharabkan dengan pemalar,y. Oleh itu 2xy = fx Begitu juga, untuk mencarifykita letakkan y sebagai pembolehubah dan x diandaikan tetap didalam pernyataan5Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahy x = y) f(x,2Oleh itu 2yx = fDidalam contoh, kita hendak mencari keluasan dibawah keluk di antara x = 1 dan x = 2, oleh itu kita menilai38=(2)31= F(2)31= (1)31= F(1)33Akhir sekali, kita tolakkan F(1) dari F(2) untuk memperolehi37=31-38= F(1) - F(2)Pembezaan Separa Peringkat KeduaSecaraam, apabilakitamembezakanfungsi duaangkubahkitaakhiri denganmembezakanbagi kali kedua. Sebenarnyaterdapat empat pembezaan separa darjah kedua. Kita tuliskan sebagai xx2222f atau xfatau xzbagi fungsi yang diperolehi dari pembezaan kedua terhadap x,yy2222f atau yfatau yzbagi fungsi yang diperolehi dari pembezaan kedua terhadap y,yx2 2f atau x yfatau x yz 6Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahbagi fungsi yang diperolehi dari pembezaan pertama terhadap x dan kemudian terhadap yxy2 2f atau y xfatau y xz bagi fungsi yang diperolehi dari pembezaan pertama terhadap y dan kemudian terhadap xContoh 4.1Cari pernyataan pembezaan separa darjah kedua f ,f ,fdan f xx yy yx xy bagi fungsiy x = y) f(x,(b)y + x = y) f(x,(a)23 2Penyelesaian:(a)Pembezaan separa darjah pertama bagi fungsi3 2y + x = y) f(x,adalah diberi oleh2x = fxdan2y 3y = fUntuk mencari xx f kita bezakan x f terhadap x untuk mendapatkan2 = fxxUntuk mencariyy fkita bezakany fterhadap y untuk mendapatkan7Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubah6y = fyy Untuk mencarifyxkita beza fx terhadap y untuk mendapatkan0 = fyx Untuk mencarixy fkita bezakany fterhadap x untuk mendapatkan0 = fxy

(b) Pembezaan separa darjah pertama bagi fungsi y x = y) f(x,2adalah diberi oleh2xy = fx dan2yx = foleh itu2x = f2x = f0 = f2y = fxyyxyyxxMelihat semula pernyataan yang diperolehi dari contoh di atas menunjukkan didalam semua kesy xf=x yf2 2 atau8Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahyy xx f = f Keputusanini adalahbenar bagi semuafungsi yangterdapat didalambidang ekonomi. Walau bagaimanapun, terdapat juga fungsi-fungsi diluar bidang ekonomi yangtidakmengikuti konsepini dankitatidakberminat dengannya. Walaupun kita hanya menumpukan keatas fungsi yang mempunyai dua angkubah tetapi pembezaan separa juga boleh dilakukan terhadap fungsi yang mempunyai dua angkubah. Bagi fungsi am) x ......, , x , x(x = yn 2 1 terdapat n pembezaan separa darjah pertama ditulis sebagai1,2,....n) = (1 f atau xfii yangditemui denganmembezakanterhadapsatuangkubahdanmengandaikan angkubah lain tetap. Pembezaan separa darjah kedua adalah sama sebagaimana dinyatakan sebelumnya. Sebagai contoh katakan24 x + x x + x = ) .x .x f(x3223121 3 2 1dan kita dikehendaki mencari1 3231x xf= f yang menandakan fungsi yang diperolehi dari pembezaan pertama terhadapx1dan kemudian terhadapx3 . Membezakan terhadapx1memberikan232111x + 3x =xf= f dan jika membezakannya seterusnya terhadapx3kita memperolehi31 3231 2x =x xf= f 9Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahSebenarnya, sebagaimana yang dinyatakan bagi fungsi dua angkubah, kita akan memperolehi jawapanyangsamajikakitamembezakannyasecarasongsang. Anda boleh memeriksanya sendiri!!!.Jumlah PembezaanKonsep pembezaan denganmudah bolehdikembangkan kepadaduaataulebih pembolehubah bebas. Katakan fungsi tabungan diberi olehS = s(Y,r)dimana S = tabungan, Y = pendapatan negara dan r= kadar faedah.Kita ketahui bahawa pembezaan separa YS (atau y S) mengukur perubahan S terhadap perubahan Y atau kecenderungan menabung marginal (MPS). Oleh itu perubahan didalam S disebabkan perubahan didalam Y boleh diwakili olehdY .YSdengan cara yang sama, perubahan didalam S yang disebabkan oleh perubahan didalam r boleh dinyatakan sebagaidr .rSmaka jumlah pembezaan didalam S dapat dinyatakan sebagai.drrS+ dy.YS= dS dan pernyataan ini dipanggil sebagai jumlah pembezaan.Secara am fungsi yang mempunyai n pembolehubah bebas yang diberi sebagai ) x ,...., x , U(x = U n 2 1 10Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahJumlah pembezaan bagi fungsi ini dinyatakan sebagainn2211dxxU+ ........ + dxxU+ dxxU= dUatau, menggantikanii U =xU, makan n 2 2 1 1 dx U + ....... + dx U + dx U = dUn1 ii idx U =Contoh 4.2a. Kirakan jumlah pembezaan bagi fungsi22121x x + 3x = y PenyelesaianOleh kerana2 122211x 2x =xy

dan x + 6x =xy maka2 2 1 12212211dx ) x (2x + dx ) x + (6x = dxxy+ dxxy= dy b. Kirakan jumlah pembezaan bagi fungsi11Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubah212312 1412 1 1412 1212 212 121212 211 2 1211212 12x1=xy2x2x - x -=4x) 2x - (-x 2x=4xx 4x - 2 - =) (2xx 4x - 4x - 2x=) (2x) )(4x x + (x - ) (2x (1)=xy2x x + x= y Oleh itu2211312 1dx2x1+ dx2x) x + (x -= dy Jumlah TerbitanDengan tatatanda pembezaan kita boleh menjawab persoalan bagaimana untuk mencari kadar perubahan fungsi seperti ) T C(Y, 0 terhadap0 T , apabila Ydan 0 T berhubungan. Sebagaimanayangtelahditerangkan, jawapannya adalahdisekitar konsepjumlahpembezaan. Tidakseperti pembezaansepara, jumlah pembezaan tidak memerlukan Y ditetapkan danT0boleh berubah, dan kita boleh menerbitkan perhubungan diantara dua pernyataan.Untukperbincangandidalamrangka kerja yanglebiham, mari kita pertimbangkan sebarang fungsi seperti(1) y = f(x,w)dimana x = g(w)12Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahdengan tiga pembolehubah y, x dan wberhubungan antara satu sama lain sebagaimana didalam Rajah berikut.Didalam rajah diatas, kita rujukkan sebagai peta saluran, kelihatan w - sebagai sumberperubahandidalamkesini -bolehmemberi kesanterhadapy melalui dua saluran: (1) secara tidak langsung, melalui fungsi g dan kemudian f (garisanlurus), dan(2) secaralangsungmelalui fungsi f (garisandibawah). Dimana pembezaan separafwhanya bersesuaian untuk kesan langsung sahaja, jumlah terbitan diperlukan untuk menyatakan kedua-dua kesan secara bersama.Untuk memperolehi jumlah terbitan ini, kita pertamanya membezakan y sepenuhnyauntukmemperolehi jumlahpembezaan dwwy+ dx xy= dy (atau .dw f + dxf = dyw x). Apabila kedua-dua belah bahagian dibahagikan dengan dw, hasilnya adalah1 =dwdwdimana wy+dwdx.xy = dwdw.wy+dwdx.xy=dwdyOleh kerana kadar dua pembezaan ditafsirkan sebagai terbitan, pernyataan dxdy disebelahkiriadalahukurankadarperubahanyterhadapw. Selanjutnya, jika dua sebutan disebelah kanan boleh dikenalpasti, masing-masingnya sebagai kesanlangsungdantidaklangsungwkeatas y, makadwdyadalahjumlah terbitan yanghendakkita lihat. Sekarang, sebutan kedua ,`

.|wydikenali sebagai ukuran kesan langsung dan ditunjukkan oleh garisan dibawah peta 13Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahsalurandidalamrajahdiatas. Sebutanpertama ,`

.|dwdx.xypulamengukur kesan tidak langsung. Perubahan didalamw(dw) pertamanya dipindahkan kepada pembolehubahnx, danmenyebabkanperubahandidalamx(dx) dan seterusnyamenyebabkanperubahandidalampembolehubahy. Proses untuk mencarijumlahterbitandxdyadalahdirujukkansebagaijumlahpembezaany terhadap w.Contoh 4.3a.Cari jumlah terbitan dwdy, diberi fungsi4 + w + 2w = g(w) = xdimana w + 3x= w) f(x, = y 22Penyelesaian:wy+dwdx

xy=dwdy3 =xy2w - =wy1 + 4w =dwdx3 + 10w =2w - 3 + 12w =(-2w) + 1) + 3(4w =dwdyb. Jika kita mempunyai fungsi utiliti U = U(c,s), dimana c jumlah kopi digunakandansialahjumlahgulayangdigunakan, dan fungsi lain s = s(c) menunjukkan pelengkap diantara dua barangan ini, maka kita boleh menulisU = U[c,g(c )]14Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahdan seterusnya membolehkan kita menulis(c) g'g(c)U+cU=dcdU Situasi ini lebih rumit apabila kita mempunyai 'h ( w ) = xg ( w ) = xd i m a n a w ) , x , f ( x = y ( 2 )212 1 Peta saluran kelihatan sebagaimana berikut:Kali ini, pembolehubah w boleh memberi kesan terhadap y melalui tiga saluran: (1)secaratidaklangsung, melalui fungsi gdankemudianf, (2)secaratidak langsung melalui h dan kemudian f, dan (3) secara langsung melalui f. Sebagaimana pengalaman lepas, ketiga-tiga kesan ini dijangkakan boleh dinyatakansebagaimanaberikut:wydan dwdx.xy,dwdx.xy 2 11 2 . Jangkaan ini adalahbenar apabilakitamelakukanjumlahpembezaany, dankemudian membahagikan kedua-dua bahagian dengan dw, kita akan memperolehi15Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahwy+dwdx.xy+dwdx.xy = dwdw.wy+dwdx.xy+dwdx.xy =dwdy(3)22112211Contoh 4.4Katakan fungsi pengeluaran diberi olehQ = Q(K,L,t)dimana selain daripada dua input K dan L, pembolehubah ketiga t, menandakan masa. Kehadiran pembolehubah t menunjukkan fungsi pengeluaran boleh bergerak mengikut masa didalam menggambarkan perubahan teknologi. Oleh itu ia menggambarkanfungsi pengeluaranyangdinamikberbanding statik. Olehitumodal danjugaburuhjugaberubahmengikut masa, dan boleh ditulis sebagaiK = K(t) danL = L(t)Oleh yang demikian kadar perubahan output terhadap masa boleh dinyatakan didalam formula jumlah terbitan sebagaimana berikuttQ+dtdL.LQ+dtdK.KQ=dtdQatau, dengan simbol alternatift L K Q + (t) L' Q + (t) K' Q =dtdQ Apabila terdapat berbilang sumber perubahan, wdidalampersamaan diatas digantikan dengan dua sumber yang lain, u dan v, situasi ini menjadi:16Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubah'v ) h ( u , = xv ) g ( u , = xd i m a n a v ) u , , x , f ( x = y ( 4 )212 1Oleh itu, peta saluran akan mempunyai lebih banyak garisan, tetapi pembinaannya adalah mengikut prinsipyangsama. Untuk mencari jumlah terbitan kita akan melakukan jumlah pembezaan y terhadap u dan menetapkan pembolehubah v sebagai skala dan seterusnya membahagikan kedua-dua bahagian dengan du menghasilkan:0 =dudv dimana uy+dudx.xy+dudx.xy=dudv.vy+dudu.uy+dudx.xy+dudx.xy=dudy(5)22112211Dari perbincangandiatas kitamembiarkanberubahdanmenetapkannilai v (kerana terbitan tunggal tidak dapat menangani perubahan didalam kedua-dua u dan v).Walau bagaimanapun, keputusan diatas mesti diubahsuaikan didalam dua cara: (1) terbitandudxdan dudx 2 1disebelahkananhendaklahditulis semula dengantandaseparasebagaimanauxdan ux 2 1, yangmanaselari dengan fungsi g dan h didalampersamaan (4);dan(2) kadardudydisebelah kiri juga patut ditafsirkan sebagaiterbitan separa, - walaupun diterbitkan melalui proses jumlah pembezaan y - ia sebenarnya keadaan jumlah terbitan. Disebabkan oleh faktor ini,kita rujukkan perkara ini dengan namajumlah terbitan separa, dan ditandakansebagai uy, didalamusahauntukmembezakannyadari terbitan separa yang mudahdudy. Dengan pengubahsuaian ini, keputusan yang diperolehi adalah17Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahuy+ux.xy+ux.xy=uy(6)2211 berbanding didalampersamaan (3). Perhatikan kewujudan dimboly/u disebelahkanan, merupakankeperluandidalampengenalansimbol baruyu disebelah kiri untuk menunjukkan konsep yang lebih luas bagi jumlah terbitan separa.Pembezaan Fungsi TersiratKita telah melihat bagaimana untuk melakukan pembezaan separa tetapi belum lagi memberikan tafsiran terhadapnya. Untuk memberikan tafsiran terhadappembezaanseparakitakembali semulakepadafungsi satuangkubah didalam bentuk y = f(x)Pembezaan,dydxmemberikanperubahanyterhadapx. Denganlain perkataan, jika x berubah dengan nilai yang kecil, x maka perubahan didalam y memenuhixdxdyy Selanjutnya, ketepatanpenghampirandiperbaiki apabila x menjadi semangkin kecil. Diberi dengan cara yang sama pembezaan separa boleh diperolehi dari fungsi duan angkubahz = f(x,y)Jikaxdenganjumlahyangkecil x danydiandaikantetapmaka perubahan didalam z memenuhixxzz 18Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahBegitujugajikayberubahsebanyaky danxadalahtetapmakaz berubah sebanyakyyzz Didalamamalan sebenarnya, x dan y kedua-duanya berubah secara serentak. Jika ini berlaku maka perubahan bersih didalamz adalah jumlah perubahanindividuyangdisebabkanolehperubahandidalamxdanysecara berasingan, oleh ituyyz+ x xzz Ini dirujukkansebagai formulapeningkatankecil. Walaupuniahanya merupakan penghampiran ia boleh ditunjukkan bahawa kebanyakan fungsi ralat adalahsifarapabilay danx kedua-duanyahampirkepadasifar. Untuk sebab ini formula kadangkala ditandakan dengan tatatanda persamaan dan ditulis sebagaidyyz+ dx xzdz dimanasimbol dx, dydandzdipanggil pembezaandanmewakili nilai limit x, y danz.Contoh 4.5Jika x y - yx = z3 3nilaikanyzdan xzpadatitik(1,3). Anggarkan perubahan didalam z apabila x meningkat dari 1 ke 1.1 dan y berkurangan dari 3 ke 2.8 secara serentak.Penyelesaianx y - yx = z3 3maka 19Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahx 3y - x =yzy - y3x =xz2 23 2Pada titik (1,3)3 2(3) - (3) 2(1) =xz21 - = 27 - 6 =xz26 - = 27 - 1 = 3(3) - (1) =yz2 2Oleh kerana x meningkat dari 1 ke 1.1, maka0.1 = xOleh kerana berkurangan dari 3 ke 2.8, maka0.2 - = yFormula peningkatan kecil menyatakandyyz+ dx xzdzoleh itu3.1 = 5.2 + 2.1 - = ) (-26)(-0.2 + (-21)(0.1) = z Oleh itu z meningkat sebanyak 3.120Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahSalahsatupenggunaanformula peningkatankecil adalahpembezaan tersirat. Setakat ini anda dengan mudah dapat membezakan fungsi satu angkubah seperti5 = 2x + x = y 2 3Walau bagaimanapun, katakan anda hendak mencari dxdy bagi fungsi5 = x- 2xy + y2 3Fungsi ini adalahlebihrumit. Didalamkes pertamayadalahdiberi didalam sebutan x, tetapi didalam fungsi kedua, fungsi adalah bergantung kepada y dan x yang diberi secara tersirat. Anda perlu menyusun semula persamaan ini dan menulis y didalam sebutan x sebelum membezakannya. Tetapi ini merupakan tugas yang mustahil kerana wujudnya sebutan3x. Cara untuk membezakannyaialahpernyataansebelahkiri persamaansebagai fungsi dua angkubah x dan y, oleh itu x - 2x + y = y) f(x,2 3

atau x - 2x + y = z2 3Persamaan5 = x- 2x + y2 3Kemudian dibacaz = 5Secara amnya, pembezaan dari formula peningkatan kecil menyatakandyyz+ dx xzdz Didalam kes kita, z adalah nilai tetap, 5 dan tidak berubah. Oleh itu dz = 0 dan formula tersebut menjadi21Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahdyyz+ dx xz0menyusun semula persamaan diatas, sebagaidyyz- = dx xz oleh ituxzyz- =dxdy

Fungsi ini bolehdugunakanuntukmencaridxdybagi sebarangfungsi tersiratf(x,y) = cc = pemalariaitu Jika f(x,y) = cmakayxff=dxdy

Bagi fungsi x - 2xy + y = y) f(x,2 3 kita mempunyai1 - 2y = f2xdan22Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubah4xy + 3y = fy 2 oleh ituyxff- =dxdy 4xy 3y2y - 1 =4xy + 3y1 - 2y- =dxdy2222+ Teknikuntukmencaridydxdari fungsiyxff-dipanggil pembezaan tersirat danbolehdigunakanapabilafungsi adalahsukar ataumustahil untuk mendapatkan perwakilan tersirat untuk y dalam sebutan x.23Kalkulus bagi Fungsi Berbilang AngkubahTutorial 61.Lakukan pembezaan separa darjah pertama bagi setiap fungsiberikut:a.z = 8x2 + 14xy + 5y2b.z = 4x3 + 2x2y - 7y2c.z = 6w2 + 4wx + 3x2 - 7xy - 8y2d.z = 2w2 + 8wxy - x2 + y32.Gunakan peraturan hasil dharab untuk pembezaan separa darjah pertama bagi setiap fungsi-fungsi berikut:a.z = 3x2(5x + 7y)b.z = (9x - 4y)(12x + 2y)c.z = (2x2 + 6y)(5x - 3y3)d.z = (w - x - y)(3w + 2x - 4y)3.Gunakan peraturan hasil bahagi untuk pembezaan separa darjahpertama bagi setiap fungsi berikut:a.7y + 6x 5x= zb. 3yy + x = zc. 2y + 5x 9y + 4x = z d. 2y + 3x y - x= z2 2 4.Lakukan pembezaan separa darjah pertama bagi ssetiap fungsi berikut menggunakan peraturan rantaian24Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubaha.z = (x + y)2b.z = (2x - 5y)3c.z = (7x2 - 4y3)5d.z = (5w + 4x + 7y)35.Gunakan kombinasi mana-mana peraturan untuk pembezaan separa darjah pertama bagi fungsi-fungsi berikut:a.2y + 4x 8y) + (3x 7y) - (5x= z2 2b.z = (5x2 - 4y)2(2x + 7y3)c. 6y + 2x 11y) + (3x = z3 d. 22) y 2 x 5 (7y) + (8x = z+ 6.Cari semua pembezaan separa langsung darjah kedua bagi setiap fungsi yang berikut:a.z = x2 + 2xy + y2b.z = x3 - 9xy - 3y2c.z = 2xy4 + 7x3yd.z = x4 + x3y2 - 3xy3 - 2y3e.z = (12x - 7y)2f.z = (7x + 3y)3g.z = (x2 + 2y)4h.z = 3x2 + 12xy + 5y2i.z = x3 - xy - 2y3j.z = 8x2y - 11xy3k.z = (8x - 4y)57. Carikan pembezaan, dy, bagi fungsi yang berikut:a.y = 7x3 - 5x2 + 6x - 3b. y = (4x + 3)(3x - 8)c.5x4 - 9x = y d. y = (11x + 9)38.Carikan jumlah pembezaan, dz = zx dx + zy dy, bagi setiap fungsi berikut:25Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubaha.z = 5x3 - 12xy - 6y5b.z = 7x2y3c.z = 3x2(8x - 7y)d.z = (5x2 + 7y)(2x - 4y3)e. y x9x= z3 f.z = (x - 3y)39.Cari jumlah pembezaan. dzdx, bagi setiap fungsi berikut:a.z = 6x2 + 15xy + 3y2;dimana y = 7x2b.z = (13x - 18y)2;dimana y = x + 6c. 5 + 2x 7y - 9x = z ;dimana y = 3x - 4d.z = 8x - 12y;dimana y = (x + 1)/x2 10.Carikan jumlah terbitan, dwdz, bagi setiap fungsi-fungsiberikut:a.z = 7x2 + 4y2,dimana x = 5w dan y = 4wb.z = 10x2 - 6xy - 12y2dimana x = 2w dan y = 3w.11.Carikan terbitan, dy.dx dan dydx, bagi setiap fungsi takketara berikuta.y - 6x + 7 = 0b.3y - 12x + 17 = 0c.x2 + 6x - 13 - y = 012.Menggunakanperaturanfungsi takketaracarikandxdy, dan, dimana sesuai, dzdy, bagi fungsi-fungsi berikut:a.f(x,y) = 3x2 + 2xy + 4y3b.f(x,y) = 12x2 - 2yc.f(x,y) = 7x2 + 2xy2 + 9y4d.f(x,y) = 6x3 - 5ye.f(x,y,z) = x2y3 + z2 + xyz26Kalkulus bagi Fungsi Berbilang Angkubahf.f(x,y,z) = x3y2 + y3 + 4xyz13. Carikan pembezaan bagi fungsi songsangan, dPdQ.a. Q = 210 - 3Pb. Q = 35 - 0.25Pc. Q = 14 + P2d. Q = P3 + 2P2 + 7P27