Pengenalan KonsepModel MatematikPengenalanModel ekonomi merupakan rangka kerja teoritikal dan oleh itu ia mesti melibatkan matematik. Jika model adalah matematik, ia biasanya mengandungi persamaanyang dibentuk untuk menerangkan struktur model tersebut. Dengan menghubungkanbeberapapembolehubahantarasatudenganlaindidalamcara tertentu, persamaan ini akan memberi bentuk matematik untuk menetapkan andaian-andaian analitikal yang digunakan. Kemudian, melalui penggunaan operasi matematik yang bersesuaian terhadap persamaan ini, kita boleh menerbitkankesimpulanyangsecaralogiknyamenurut andaian-andaianyang dibuat.Mengapa Ahli Ekonomi Menggunakan Matematik?Aktiviti-aktivitiekonomi telahmenjadi sebahagiandaripadakehidupan manusia sejak beribu-ribu tahun dahulu. Perkataanekonomiitu sendiri datangnya dari perkataan Greek yang bermaksudpengurusan isi rumah. WalaupunsebelumtamadunGreek, telahwujudperdagangandanperniagaan yang memahami fenomena ekonomi. Mereka telah mengetahui, sebagai contoh, hasil tuaian yang kurang menyebabkan peningkatan di dalam harga jagong, tetapi kekurangan emas telah menyebabkan turunnya harga jagong. Bagi beberapa abad yang lepas, konsep ekonomi yang paling asas telah dinyatakan didalam sebutan yangamat mudahmemerlukandenganhanyamenggunakanmatematikyang asas. Konsep seperti integer dan pecahan, berserta dengan operasi tambah, tolak, 1Pengenalan Konsep Model Matematikdharab dan bahagi adalah mencukupi untuk untuk membolehkan pedagang, saudagar, petani dan lain-lain agen ekonomi membincangkan dan membahaskan aktiviti-aktiviti danperistiwaekonomi yangmempengaruhi kehidupanharian mereka. Alat-alat ini membolehkansaudagar-saudagar menyimpanakaundan meletakkan harga untuk barangan. Walau bagaimanapun, pengiraan kadar faedah untuk pinjaman juga tidak begitu rumit. Aritmatik berkebolehan untuk melakukankerja-kerjayangdiperlukanolehmerekapadamasaituwalaupun tanpa konsep sifar dan perpuluhan dengan menggunakan alat pengiraan abacus.Sainsekonomi mencapai titikperalihandi dalamabadkelapanbelas denganterbitnyahasil kerjaseperti DavidHumebertajukPolitical Discourses (1752), Francois Quesnay, Tableau Economique (1758 - 1759), dan Adam Smith, The Wealth of Nations (1776). Perbahasan ekonomi menjadi formal dan dibangunkan menjadi teori. Ini menjadikan keperluan untuk menyatakan peningkatanidea-ideayangrumit danhubungannyadidalambentuklangsung. Sehingga pertengahan 1800an, sesetengah penulis telah menggunakan matematik untuk menghubungkanteori-teori mereka. Sesetengah daripada mereka yang awal adalahseperti AntoineCournot (penulispertamauntukmenentukandan melukis keluk permintaan explisit, dan menggunakan kalkulus didalam menyelesaikan masalah pemaksimuman didalamekonomi) danLeon Walras (individu pertama yang menulis dan menyelesaikan model kesaimbangan penawaran dan permintaan berbilang persamaan di dalam semua pasaran secara serentak). Kebanyakan daripada idea-idea mereka boleh diformulsi dengan lebih berkesan melalui bahasa matematik, termasuklah simbol-simbol aljabar, gambarajahdangeraf. Seterusnya, banyaklagi konsep-konsepekonomi yang canggih dan teori-teori yang rumit menjadi lebih mudah diterangkan menggunakan bahasa matematik.Hari ini, pemahaman matematik menjadi pekara penting bagi mempelajari ekonomi yang mudah melibatkan hanya dua atau tiga pembolehubahan. Ia dengan mudah dan nyata apabila diterangkan tanpa matematik, tetapi apabilamelibatkanlebihbanyakpembolehubahadalahlebih mudah menggunakan model matematik. Sebagai contoh, katakan sebuah agensi kerajaan merancang untuk membina kawasan perumahan baru yang besar disebidang tanah dibawah kawalannya. Apakah akibat dari perancangan ini terhadap sektor pekerjaan? Pada asasnya, peluang pekerjaan baru akan ditawarkan didalam sektor pembinaan ini kerana buruh akah diupah untuk projek tersebut. Seterusnya, pembinaan rumah baru memerlukan batu bata, simen, keluli, dan lain-lain bahan binaan. Peluang pekerjaan juga akan tumbuh didalam firma-firmayangmengeluarkanbahan-bahantersebut. Pengeluar-pengeluar ini pula akan memerlukan bahan-bahan dari pengeluar lain, dan seterusnya. Kesan kepada pengeluaran ini meningkatkan peluang pekerjaan dan seterusnya meningkatkan pendapatan. Jika peningkatan pendapatan ini tidak diimbangi dengan cukai pendapatan, maka permintaan untuk barangan pengguna akan 2Pengenalan Konsep Model Matematikmeningkat. Ini seterusnya akan meningkatkan keperlua tenaga kerja dikalangan pengeluar barangan pengguna, dan sekali lagi aliran keperluan input akan berkembang. Pada masa yang sama, terdapat tindak balas didalamsistem, sebagai contoh, peningkatan pendapatan juga menjanakan lebih permintaan untukperumahan. Didalamhalini,kedua-dua perubahanpositifdannegatif di dalam satu sektor akan dipindahkan kepada sektor ekonomi yang lain.Didalam contohini,sistemekonomiadalahamatrumitdimana kesan akhiradalahsukaruntukditentukantanpamenunjukkanhubunganmatematik seperti model aliran pusingan keseluruhan ekonomi.Pembolehubah, Pemalar dan ParameterPembolehubahialah sesuatu dimana magnitudnya boleh berubah, iaitu sesuatuyangbolehmengambil nilai yangberbeza. Pembolehubahyangselalu digunakandidalamekonomi danperniagaantermasuklah harga, keuntungan, hasil, kos, pendapatan negara, eksport, import dansebagainya. Oleh kerana pembolehubah diandaikan mempunyai berbagai nilai, ia mesti diwakili oleh simbol-simbol tertentu. Sebagai contohP = harga = keuntungan R = hasil Y = pendapatan negaraApabila kita menulis P = 3 atau C= 18, maka kita menetapkan pembolehubah ini pada nilai tertentu.Denganpembinaan yangsempurna,modelekonomiboleh diselesaikan untuk memberikan kita nilai penyelesaian bagi beberapa set pembolehubah. Sesetengahpembolehubah, dimananilai penyelesaianyanghendakkitacari dipanggilpembolehubah endogen (endogenous variable). Walau bagaimanapun, model ekonomi juga mengandungi pembolehubah yang diandaikan akan ditentukan oleh faktor-faktor luaran dan dipanggil sebagai pembolehubah eksogen (exogenous variable). Perlu dinyatakan bahawa pembolehubah endogen bagi sesuatu model merupakan juga pembolehubah eksogen bagi model yang lain. Sebagai contoh, pembolehubah P adalah pembolehubah endogen, tetapi didalam kerangka teori perbelanjaan pengguna, P akan dipertimbangkan sebagai pembolehubah eksogen.Pembolehubah kerapkali ditunjukkan di dalam kombinasi nombor tetap ataumalar, seperti pernyataan7Patau0.5R.Pemalaradalahmagnitudyang tidak berubah dan oleh itu ia merupakan antithesis kepada pembolehubah. Apabila pemalar digabungkandenganpembolehubah, iabiasanya dirujukkan kepada koefisien atau pengkali kepada pembolehubah tersebut.3Pengenalan Konsep Model MatematikPersamaan dan IdentitiPembolehubah mungkin wujud secara bebas, tetapi ia tidak begitu bermaknasehinggalahiadihubungkandenganyanglainolehpersamaanatau ketaksamaan. Didalampenggunaanekonomi, kitaakanmembezakantigajenis persamaan: persamaan definasi, persamaan gelagat dan persamaan kesaimbangan.Persamaan definasimenetapkan identiti diantara dua pernyataan yang mempunyai maksudyangsama. Persamaanini ditunjukkandengantatatanda kesamaanidentitikal (disebut sebagai identiti samadengan) berbanding tatatanda persamaan (=). Walau bagaimanapun tatatanda = juga boleh digunakan. Sebagai contoh, jumlahkeuntungandidefinasikansebagai lebihan jumlah hasil dari jumlah kos, oleh itu kita boleh menulisC - R Persamaan gelagat, menentukan gelagat sesuatu pembolehubah bertindakbalas terhadap perubahan didalam pembolehubah yang lain. Ini mungkin melibatkan sama ada gelagat manusia (seperti corak penggunaan aggregat terhadap pendapatan negara) atau gelagat bukan manusia (seperti bagaimana jumlah kos sesuatu firma bertindakbalas terhadap perubahan output). Secara amnya, persamaan gelagat boleh digunakan untuk menerangkan penyediaan model secara am, termasuklah teknologi (seperti fungsi pengeluaran) dan aspek perundangan (seperti struktur cukai). Sebelum sesuatu model gelagat ditulis, adalah penting untuk mendefinasikan andaian-andaian berkaitan dengan corakgelagat pembolehubahdi dalampersamaan. Contohnyabagi persamaan berikut:a. C + 75 + 10Qb. C = 110 Q2Di manaQadalahkuantiti output. Olehkeranakedua-duapersamaan mempunyai bentuk yang berbeza, keadaan pengeluaran bagi kedua-duanya diandaikan juga berbeza. Di dalam (a), kos tetap (nilai C apabila Q = 0) ialah 75 dandidalam(b) ialah110. Variasi didalamkos juga berbeza. Didalam(b), peningkatan Q daripada satu unit ke unit yang lain menyebabkan C meningkat dengan jumlah yang besar. Melalui spesifikasi persamaan gelagat yang dinyatakan sebagai penyataan matematik ia adalah berdasarkan kepada andaian yang diberikan kepada model.4Pengenalan Konsep Model MatematikPersamaan identiti, hanya bersesuaian hanya jika model tersebut melibatkan keadaan kesaimbangan. Dua keadaan kesaimbangan didalam ekonomi ialahQd = Qs (kuantiti diminta = kuantiti ditawarkan) dan S = I(simpanan = pelaboran)bagi model pasaran dan model kesaimbangan pendapatan negara.Sistem Nombor NyataPersamaan dan angkubah adalah bahan-bahan untuk model matematik. Tetapiolehkerana nilaidi dalamangkubahekonomibiasanyadidalambentuk numerikal, beberapa perkara berkaitan sistemnombor perlu dibincangkan. Biasanya kita akan membincangkan lima set nombor yang berikut:1. Set N bagi nombor asli yang mempunyai unsur nombor membilang: N = {1,2,3,4,5,.......}2.Set Jbagi integer, yangmempunyai nombormembilang, negatifnyadan sifar: J = {.....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.......}3.Set Qbagi nombornisbah, yangmempunyai unsursemuanomboryang boleh diwakilkan sebagai hasil bahagi dua integer, ba, dimana b bukan sifar. Di antaraunsur-unsur Qialahnombor-nombor seperti11613271843- dan, , , - . Secara simbol,;' 0 b J, b a, ,ba= x| x = QSetiap nombor nisbah boleh diwakilkan oleh angka perpuluhan yang berakhir atau berulang, seperti 3.2, 1.975, 6.3333, ... dan 2.171717 ......5Pengenalan Konsep Model Matematik4.Set Hbagi nombor taknisbah, yangmempunyai unsur nombor dengan perwakilan perpuluhannya tidak berakhiran dan tidak berulangan. Diantara unsur-unsur dari set ini ialahseperti nombor 7 - 7, 5, , 3 , 2 . Satu nombor tak nisbah tidak boleh diwakilkan di dalam bentuk ba, dimana a dan b adalah integer.5.Set R bagi nombor nyata, yang mengandungi semua unsur bagi set nombor nisbah dan semua unsur bagi set nombor tak nisbah:H Q = R Set nombor-nombor di atas dapat ditunjukkan di dalamgambarajah dibawah. yang demikian: Q J N danR, Q R, H Teori SetSatu set adalah secara ringkasnya adalah satu himpunan beberapa benda. Di dalam aljabar kita berminat kepada set berbagai jenis nombor dan hubungannya dengan set titik-titik atau garis-garis di dalam satu satah atau ruang. Mana mana dari himpunan benda-benda dalam satu set itu dipanggil ahli atau unsur set itu. Contohnya nombor 1,2,3... adalah unsur-unur dari satu set yang kita panggil set nombor asli .Biasanya set ditandakan dengan huruf besar, A, B, C dan sebagainya. Ia dapat dikenali dari tanda kurungan, { }, dengan unsur-unsurnya samada disenaraikan atau diperihalkan.Contoh 1.1N = {1,2,3....} atauN ialah set nombor asli.6Pengenalan Konsep Model MatematikTakrifDua set A dan B adalah sama, A = B jika dan hanya jika kedua-duanya mempunyai unsur-unsur yang samaContoh 1.2A = {1,2,3,4} B = {2,3,4,1} C = {5,6,7}D = {7,6,5}maka A = B dan C = DSubset Jika setiap unsur dari set A itu adalah unsur dari set B, maka A adalah satu subset bagi B.Simbol (dibaca sebagai satu subset bagi atau terkandung didalam) akan digunakan untuk menunjukkan hubungan subset.Contoh 1.3A = {1,2,3} dan B = {1,2,3,4} MakaA B = {1,2,3}7Pengenalan Konsep Model MatematikSet yang tidak mengandungi unsur dipanggil sebagai set kosong atau set nul dan ditunjukkan oleh dan adalah satu subset bagi semua subset.KesatuanKesatuan bagi dua set A dan B ialah set bagi semua unsur-unsur yang dipunyai sama oleh A atau B atau oleh kedua-duanya.Simbol digunakanuntukmenunjukkankesatuanbagi set. Yang demikian A B (kesatuan bagi A dan B) ialah semua unsur yang ada didalam A atau B atau kedua-duanya.Contoh 1.4A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}makaA B = {1,2,3,4,5}Tindanan Tindananbagi duaset AdanBialahset semuaunsur sepunyakepada kedua-dua A dan B. Simbol digunakan untuk menunjukkan tindanan bagi set. Yang demikian A B ialah set semua yang ada didalam kedua-dua A dan B.Contoh 1.5A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}makaA B = {3,4}8Pengenalan Konsep Model MatematikJika set AdanBtidak mempunyai unsur yang sepunya, Adan B dikatakan tidak bercantum. iaitu A dan B tidak bercantum jika dan hanya jika A B = 0.Contoh 1.6A = {1,2,3} dan B = {5,6,7}maka A B = 0PelengkapPelengkap bagi satu set A di dalam satu set semesta U ialah semua unsur didalam U tidak di dalam A. Simbol A' digunakan untuk menunjukkan pelengkap bagi AContoh 1.7U = {1,2,3,4,5,6} dan A = {1,2,3,4} makaA' = {5,6}Tatatanda Keahlian SetSimbol (ahli bagi atauunsur bagi) digunakanuntukmenunjukkan keahlian didalam satu set.9Pengenalan Konsep Model MatematikContoh 1.82 {1,2,3}Pembolehubah Satu pembolehubah ialah satu simbol mewakili unsur yang tidak ditentukandari set yangdiberi mengandungi lebihdari satuunsur. Set yang diberi dipanggil set gantian atau domain bagi pembolehubah.Contoh 1.9x Abermakna bahawa pembolehubah x mewakili unsur (tidak ditentukan) dari set A. Unsur-unsur bagi set gantian dipanggil "nilai-nilai" pembolehubah. Simbol dengan hanya satu jawapan yang mungkin dipanggil sebagai "pemalar"Simbol Penafian Garisancondong/yangdilukismemotongsimbol-simbol hubungan menunjukkanpenafian. Yangdemikian iaitudibacatidaksamadengan, dibaca bukan satu subset bagi dan dibaca bukan satu unsur bagi .Contoh 1.10{1,2}{1,2,3} {1,2,3 {1,2}3 {1,2}10Pengenalan Konsep Model MatematikTatatanda Pembina Set Tatatanda lain didalam membincangkan set ialah {x|x mempunyai satu sifat tertentu}.Contoh 1.11{ } b a x| x dibaca set bagi semua x yang demikian x ialah satu ahli bagi A dan bukan satu ahli bagi B . Tatatanda ini dipanggil Tatatanda Pembina Set .Hubungan Dan Fungsi Perbincangan setakat ini adalah penggunaan didalam hubungan dengan beberapa jenis nombor di dalam sistem nombor. Walau bagaimanapun, set boleh dirujukkan sebagai objek selain daripada nombor. Khususnya, kita boleh mengatakan set sebagai "susunan pasangan".Susunan Pasangan Di dalam menulis set {a,b}, kita tidak mengendahkan berkenaan susunan di mana unsur-unsur a dan b kelihatan, disebabkan melalui definisi {a,b} = {b,a}. Pasangan unsur-unsur a dan b di dalam kes ini adalah pasangan tidak tersusun. Apabila susunan a dan b membawa maksud yang signifikan, kita boleh menulis dua susunan pasangan yang berbeza yang ditandakan dengan (a,b) dan (b,a), di mana (a,b)(b,a) melainkan a = b. Contoh 1.12Untukmenunjukkanumurdanberat setiappelajardidalamkelas, kita boleh membentuk susunan pasangan (a,w) dimana a = umur (tahun) dan w=berat (kg), maka(19,80)dan(80,19) adalahmempunyai maksud yang berbeza.11Pengenalan Konsep Model MatematikSusunan pasangan, seperti lain-lain objek, boleh menjadi unsur set. Pertimbangkansatahkordinat didalamRajah1.1, dimanapaksi xdanpaksi y bersilang pada satu sudut, dan membahagi satah tersebut kepada 4 kuadran. Satah xy ini merupakanset titik-titikyangtidakterhingga, dengan setiap satunya diwakili olehsusunanpasangandimanaunsur pertamanyaadalahnilai xdan unsur keduanya ialah nilai y. Titik yang dilabelkan (4,2) adalah berbeza daripada titik (2,4). Set ini dipanggil sebagai Hasil Cartesian (Cartesian Product). Set ini dipanggil sebagaihasillangsung, bagisetxdan ydan ditandasebagaix X y. Adalahpentinguntukdiingati, olehkeranaxdanyadalahset nombor, hasil Cartesianakanmenjadi susunanpasangan. Olehitukitabolehnyatakanhasil Cartesian sebagai x X y = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} atau { } y b danxa | b) (a, = yX x Secaraamnya, kedua-duaxdanytermasuklahsemuanombor-sombor benar, dan hasil cartesian boleh dinyatakan sebagai. { } R b danR a | b) (a, = yX x Jenis-Jenis Fungsi Banyak gejala ekonomi berhubung secara matematik antara satu dengan lain. Contohnya, jualan sesuatu keluaran firma bergantung kepada belanja iklan yang dikeluarkan. Kuantiti sesuatu barang yang dibeli bergantung kepada harga barang itu dan pendapatan pengguna. Kuantiti output padi sehektar sawah bergantungkepada kuantiti bajayangdigunakan, jumlahtenaga buruhyang digunakan untuk menjaga tanaman itu dan lain-lain input.Katakan, sebagai contoh, jualan(S)adalahbergantungkepadabelanja iklan (A). Hubungan ini boleh ditulis sebagai: S = f(A)12Pengenalan Konsep Model MatematikRajah 1.1Susunan PasanganPersamaandi atasberbunyi: S(jualan) adalahfungsi ataubergantung kepadaA(belanja iklan) . Simbol-simbol disebelahkana persamaandi atas bukan bererti "f" dharab dengan "A". Huruf 'f' bermakna fungsi atau bergantung atau bersandar kepada. Malah kita boleh menggantikan huruf "f" dengan huruf-huruf lain tanpa mengubah maksudnya.Sekarang, mari kita bincangkan beberapa jenis fungsi yang biasa terdapat didalam model ekonomi.Fungsi MalarFungsi yangmengandungi hanyasatuunsur sahaja dipanggil sebagai fungsi malar . Sebagai contoh, katakan fungsi131 2 34 -1 -2-31234KUADRAN IIKUADRAN IKUADRAN IIIKUADRAN IV(2,1)(2,2)(2,3)(4,1)(4,2)(4,3)Pengenalan Konsep Model Matematiky = f(x) = 7di mana secara alternatifnya boleh dinyatakan sebagai y = 7 atau f(x) = 7, dengan nilainya sama dengan nilai x. Didalam satah kordinat, fungsi ini akah kelihatan sebagai garisanmenegak. Didalammodel pendapatannegara, sebagai contoh, apabila pelaboran (I) ditentukan secara exogen, kita mungkin mempunyai fungsi pelaborandidalambentukI=RM100juta, atauI=I0, yangmenunjukkan sebagai fungsi malar. Fungsi Polinomial Fungsi malar sebenarnya kes degenerasi dari apa yang kita panggil sebagai fungsi polinomial . Perkataanpolinomial bermaknaberbilangsebutan dan polinomial bagi angkubah tunggal x mempunyai bentuk amnn3322 1 0 x a + ...... + x a + x a + xa + a = y di manasetiapsebutanmengandungi koeffisiendanmempunyai kuasabukan negatif bagi angkubah x. perhatikan selain daripada simbol a,b,c,..., kita menggunakan simbol subskrip a0, a1, a2, bagi koeffisien. Ini bertujuan untuk (1) meminumkan simbol-simbol yang digunakan, dan (2) subskrip boleh membantuuntukmenunjukkanlokasi koeffisientertentudidalampersamaan. Sebagai contoh 2aadalah koeffisien angkubah x2, dan seterusnya.Bergantungkepadanilai integer n(yangmenunjukkankuasatertinggi bagi x), kita mempunyai beberapa kelas fungsi polinomial:kiub Fungsi x a + x a + xa + a = y: 3 = nKeskuadratik Fungsi x a + xa + a = y: 2 = nKeslinear Fungsi xa + a = y: 1 = nKesmalar Fungsi a = y: 0 = nKes3322 1 022 1 01 0 0dan sebagainya. Superskrip yang menunjukkan kuasa x dipanggil sebagai eksponen. Kuasayangtertinggi, iaitunilai bagi n, biasanyadipanggil sebagai darjah fungsi polinomial, fungsi kaudratik sebagai contoh, merupakan polinomial darjah kedua, fungsi kiub adalah polinomial darjah ketiga.Apabila kita melakarkan didalam satah kordinat, fungsi linear akan kelihatansebagaimanadidalamRajah1.2. Apabilax=0, fungsi linear akan menghasilkan y = a0; oleh itu susunan pasangan adalah) a , 0 (0 diatas garisan. Ini 14Pengenalan Konsep Model Matematikmemberi kita apa yang dipanggil pintasan y (atau pintasan menegak), disebabkan padatitikini paksimenegakmemotonggarisan. Koeffisienlain, a1,mengukur kecerunan garisan tersebut. Ini bermakna peningkatan satu unit didalamx menyebabkan peningkatan y berjumlah 1a . Apa yang digambarakn oleh Rajah 2a ialah kes dimana 1a > 0, melibatkan kecerunan positif, jika 1a < 0 maka garisan mempunyai kecerunan yang negatif.Rajah 1.2Persamaan LinearFungsi kuadratik, dilakarkansebagai parabola. Ini digambarkandidalam Rajah 1.3 yang menunjukkan nilai a2yang negatif; didalamkes2a > 0, kedudukanyangsebaliknyaberlaku. Sementara Rajah1.3pulamenunjukkan fungsi kiub dan akan digunakan dengan kerap didalam model ekonomi yang akan dibincangkan kemudian.Fungsi Nisbah Fungsi seperti ) 4 x 2 x () 1 x (= y 2+ +15yx0y = a0 + a1xa0Kecerunan = a1Pengenalan Konsep Model MatematikRajah 1.3Fungsi KuadratikRajah 1.4Fungsi Kiub16yxa1 0Pengenalan Konsep Model MatematikFungsi Bukan Nisbah Mana-mana fungsi yang dinyatakan di dalam sebutan polinomial dan/ataupuncakuasapolinomial adalahfungsi algebra. Olehitufungsi yang dibincangkansetakat ini adalahfungsi algebra. Fungsi seperti 3) + (x = y 2 adalah bukan nisbah.Walau bagaimanapun, fungsi eksponen sepertixb = y, di mana pembolehubah bebas kelihatan didalam bentuk eksponen, adalah bukan aljabar. Fungsi yangpaling hampir ialahfungsi logrithma, seperti x log = y b, juga bukan aljabar. Satu jenis fungsi bukan agebra ialah fungsi trigometri (atau bulatan). Fungsi bukanalgebra juga dikenali dengannama "transcendental function".Peraturan EksponenDidalam membincangkan fungsi polinomial, kita telah memperkenalkan perkataan eksponen untuk menunjukkan kuasa terhadap angkubag (atau nombor) yanghendakdikuasakan. Pernyataan26bermaksud6dikuasaduakan; iaitu6 didharabkan denga 6; atau 26 = 6 x 6 = 36. Secara amnya, kita definisikansebutan) (ny x..... yy xy x= yndan kes khas, kita nyatakan bahaway = y1. Dari definisi am, ia membolehkan eksponen mengikut peraturan-peraturan berikut:Peraturan Iym x yn = ym+nContoh 1.1274 + 3 4 3yy y xy 18Pengenalan Konsep Model MatematikPeraturan II 0) (yy =yyn + mnmContoh 1.13y = y =yy(4)(3)34 Peraturan III0) (y y1= ynn -Peraturan IV0) (y 1 = y0Peraturan Vn1/ny = y19Pengenalan Konsep Model MatematikPeraturan VImb n my = ) (yPeraturan VIIm m m(yz) = z xy Penggunaan Geraf dan Persamaan di dalam EkonomiSkop Geraf dan PersamaanGeraf kerapkali digunakan di dalam ekonomi apabila masalah mempunyai perhubungan di antara duapembolehubahatau boleh diringkaskan kepada masalah dua pembolehubah. Masalah-masalah seperti analisis penawaran danpermintaan, model penentuanpendapatan, kecekapanmarginal pelaburan, garisan belanjawan dan keluk isokos. Persamaan lebih kerap digunakan. Ia boleh digunakansebagai alternatif kepada geraf danbolehmenyelesaikanmasalah yang lebih rumit.20Pengenalan Konsep Model MatematikContoh 1.14Garisanisokosmewakili kombinasi duainput ataufaktor pengeluaran yangberbezayangdapat membeli dengansejumlahwangyangsama. Formula am ialah PKK + PLL = B, dimana K dan L adalah modal dan buruh, PK dan PL adalah harga kedua-duanya, dan B adalah jumlah wang yangdiperuntukanuntukperbelanjaan. Di dalamanalisisisokosharga individu dan perbelanjaan adalah diandaikan tetap pada awalnya; hanya kombinasi input yang berbeza sahaja boleh berubah. Fungsi ini kemudian boleh digerafkan dengan menyatakan satu pembolehubah di dalam sebutan yang lain. Sebagai contoh:B = L P + KP L KL P - B = KP L KK PL P B= K L KLK PL P-PB=Ini merupakan fungsi linear yangbiasa didalambentuk1 bx + a = y , dimana k PB= a (pintasan menegak) dan,_

KLPP- = b = kecerunan. Geraf tersebut ditunjukkan didalam Rajah 1.6.Daripadapersamaandangeraf, kesanperubahandi dalammana-mana satu parameter dengan mudah ditentukan. Peningkatan didalam perbelanjaan dari EkeE' akanmeningkatkanpintasanmenegakgarisanisokosuntukbergerak kekanan selari dengan garisan lama. Kecerunannya tidak berubah kerana kecerunan adalah bergantung kepada harga relatif ,_

KLPP- dan harga tidak berubah mengikut perubahan perbelanjaan. Perubahan di dalam PKakan mengubah kecerunan dan pintasan menegak.21Pengenalan Konsep Model MatematikAnalisis Penawaran dan PermintaanKesaimbangan di dalamanalisis penawaran dan permintaan terjadi apabilaQs- Qd. Denganmenyamakanpenawarandanpermintaan, hargadan kuantiti kesaimbangan boleh ditentukan. Contoh 1.15DiberiQs = -5 3PQd = 10 - 2PDidalam kesaimbangan, Qs = QdMenyelesaikan untuk P; -5 + 3P = 10 - 2P5P = 15P = 3Menggantikan P = 3 didalam mana-mana persamaan;Qs = -5 + 3P = -5 + 3(3) = -5 + 9 = 4 = QdModel Penentuan PendapatanModel penentuan pendapatan pada amnya menyatakan paras kesaimbangan pendapatan didalam ekonomi empat sektor sebagaiY = C + I + G + (X - M)dimanaY = pendapatanC = penggunaanI = pelaboranG = perbelanjaan kerajaanX = eksportM = Import.22Pengenalan Konsep Model MatematikDenganmenggantikanmaklumat yangdiberikan, paras kesaimbangan pendapatandenganmudahdapat diselesaikan. Pengaggregatanpembolehubah dibahagian sebelah kanan persamaan membolehkan persamaan tersebut digerafkan di dalam satah dua dimensi.Contoh 1.16Andaikan ekonomi dua sektor yang mudah dimanaY = C + IC = Co + bY danIo = I.SeterusnyaandaikanCo=85, b=0.9, danIo=55. Kirakanparas kesaimbangan pendapatan didalam sebutana.parameter amb.nilai khusus yang telah ditentukanPenyelesaian:a. Persamaan kesaimbangan ialahY = C + IMenggantikan untuk C dan IY = Co + bY + IoMenyelesaikan untuk YY - bY = Co + Io(1 - b)Y = Co + Iob - 1I + C= Yo oPenyelesaian didalam bentuk ini dipanggil bentuk dikurangkan. Bentuk dikurangkan (atau persamaan penyelesaian) menyatakan pembolehubah endogen (Y) sebagai fungsi kepada 23Pengenalan Konsep Model Matematikpembolehubah eksogen (Co dan Io) dan parameter (b).b.Paras kesaimbanganpendapatanyangkhusus colehdikirakan denganmenggantikannilai nukerikal bagi parameter samaada didalam persamaan asal (i) atau bentk dikurangkan (ii).i.Y = Co + bY + IoY= 85 + 0.9Y + 55Y - 0.9Y = 1400.1 Y = 140Y = 1400ii.b - 1I + C= Yo o0.9 - 155 + 851 . 0140= 1400Sebutanb - 11dipanggil sebagai pengganda didalam ekonomi. Ia mengukur kesan pengganda bagi setiap ringgit yang diperuntukkan keatas paras kesaimbangan pendapatan. Oleh kerana b = MPC (kecenderungan mengguna marginal) di dalam model penentuan pendapatan, maka pengganda adalah MPC - 11.Analsis IS-LMISmerupakanlokas titik-titikyangmewakili semua kombinasi yang berbeza paras kadar faedah dan pendapatan konsisten dengan kesaimbangan di dalampasaran barangan (komoditi). LMpula adalah lokas titik-titik yang mewakili semuakombinasi yangberbezaparaskadar faedahdanpendapatan konsistendenganpasaranwang. Analisis IS-LMadalahuntukmencari paras pendapatandan kadar faedahdimanakedua-dua pasarankomoditidan pasaran wang didalam kesaimbangan. Ini boleh dilakukan dengan teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan serentak. Tidak seperti model penentuan pendapatan, analisis IS-LMberurusan dengan kadar faedah dan melibatkan kesannya kepada model.24Pengenalan Konsep Model MatematikContoh 1.16Pasaran komoditi didalamekonomi dua-sektor yang mudah adalah saimbang apabila Y = C + I. Pasaran wang pula didalam kesaimbangan adalahapabilapenawaranwang(Ms) samadenganpermintaanuntuk wang (Md), dimana mengandungi permintaan untuk wang (Mt) dan permintaan spekulatif untuk wang (Mz). Andaikan ekonomi dua sektor di mana C = 48 + 0.8YI = 98 - 75rMs = 250 Mt = 0.3YMz = 52 - 150rKesaimbangan komoditi (IS) wujud apabila Y = C + I. Menggantikan kedalam persamaanY = 48 + 0.8Y + 98 - 75rY - 0.8Y = 146 - 75r0.2Y + 75r - 146 = 0(1)Kesaimbangan wang (LM) wujud apabila Ms = Mt + Mz.Menggantikan ke dalam persamaan250 = 0.3Y + 52 - 150r0.3Y - 150r - 198 = 0(2)Keadaan kesaimbangan serentak didalam kedua-dua pasaran boleh ditemui dengan menyelesaikan (1) dan (2) secara serentak0.2Y + 75R - 146 = 00.3Y - 150r - 198 = 0Dharabkan (1) dengan 2, dan campurkan keputusan (3) kepada (2) untuk menghapuskan r, dan selesaikan untuk Y25Pengenalan Konsep Model Matematik 26Pengenalan Konsep Model MatematikLatihan 11. a. Gerafkan fungsi permintaanQd = -4P + 0.01Y - 5Pr + 10 Tdimana Qd = kuantiti dimintaY = pendapatan P = harga barang itu sendiriPr = harga barang berkaitan T = citarasa penggunaapabila Y = 8000, Pr = 8 dan T = 4.b. Apakah jenis barang berkaitan tersebut?c. Apa akanterjadi jikaTmeningkat kepada 8menunjukkancitarasa meningkat bagi barangan?d.Lakarkan geraf menurut teori tradisional dengan P sebagai paksi menegak dan Q dipaksi mendatar.2. Fungsi penawaran didalam teori ekonomi dinyatakan sebagai P = -a + bQ. Tunjukkanapakahakanterjadi kepadafungsi penawaranjikakerajaan mengenakan cukai T keatas setiap unit barangan yang dikeluarkan. Tunjukkan perubahan tersebut didalam geraf.3.Seorang pengguna memperuntukkan $120 untuk dua jenis barangan (X,Y) dan harga masing-masing adalah $3 dan $5.a.Lukiskan garisan belanjawan yang menunjukkan semua kombinasi yang berbeza bagi dua barangan yang boleh dibeli dengan belanjawan tersebut. Apa akan terjadi kepada garisan belanjawan jika:b.belanjawan turun 25%?c.harga X dua kali ganda?d.Y turun kepada $4?4.Arangbatuataugasbolehdigunakandidalampengeluarankeluli. Kos arang batu 100 dan kos gas 500. Lukiskan geraf isokos untuk menunjukkan kombinasi gas dan arang batu yang boleh dibeli (a) dengan perbelanjaanawal (B)10000, (b)jikaperbelanjaanmeningkat 50%, (c) jika harga gas dikurangkan 20%, dan (d) jika harga arang batu meningkat 25%.27Pengenalan Konsep Model Matematik5.Jika diberiY = C + I C = 50 + 0.8Y Io = 50a.Gerafkan fungsi penggunaanb.Gerafkan fungsi permintaan aggregat, C + Io, danc.Carikan paras kesaimbangan pendapatan daripada geraf.6.Jika diberiY = C + I + G C = 25 + 0.25YI = Io = 50,G = Go = 25.a.Lakarkangeraffungsi permintaanaggregat dantunjukkankomponen individu.b.Carikan paras kesaimbangan pendapatan, dan c.Bagaimana fungsi permintaan aggregat boleh digerafkan secara langsung tanpa melakarkan geraf komponen individu.7.Gunakan geraf untuk menunjukkan tampaban cukai lump-sum(cukai bebas bagi pendapatan) yang mempengaruhi parameter model penentuan pendapatan.Gerafkan dua sistem secara individu, gunakan garisan tepab untuk (1) dan garisan putus-putus untuk (2).8.Terangkan menggunakan geraf bagaimana memasukkan cukai berkadaram (cukai bergantung kepada pendapatan) yang mempengaruhi parameter didalammodel penentuan pendapatan. Gerafkan model tanpa cukai menggunakan garisan tebal dan model dengan cukai garisan putus-putus.9.a.Gerafkan fungsi permintaan S = -100 + 0.25 Yb.Carikan paras kesaimbangan pendapatan.10.Diberi C=50+0.6YdanIo=50. Gunakangerafuntukmencari paras kesaimbangan pendapatan.11.Carikanpenyelesaiansecara geraf bagi paras kesaimbanga pendapatan apabila S = -70 + 0.25Yd, T = 20, Io = 40, Go = 30 dan Yd = Y - T.28Pengenalan Konsep Model Matematik12.Carikan harga dan kuantiti kesaimbangan bagi pasaran berikut:a. Qs = -20 + 3PQd = 220 - 5Pb. Qs = -45 + 8PQd = 125 - 2Pc.Qs + 32 - 7P = 0Qd - 128 + 9P = 0d.13P - Qs = 27Qd + 4P - 24 = 013.Diberi persamaanserentakberikut bagi duapasaranyangberhubungan, lembu (B) dan ayam(A), carikan keadaan kesaimbangan bagi setiap pasaran menggunakan kaedah penggantian:a.QdB = 82 - 3PB + PAQsB = -5 + 15PBb.QDA = 92 + 2PB - 4PAQsA = -6 + 32PA14.Carikanhargadankuantiti kesaimbanganbagi duabaranganpengenap, gula (G) dan kopi (K) menggunakan kaedah penghapusana.QdG = 410 - 5PG - 2PKQsG = - 60 + 3PGb.QdK = 295 - PG - 3PKQsK = - 120 + 2PK 15.Keadaan penawaran dan permintaan juga boleh dinyatakan didalam bentuk kuadratik. Carikan harga dan kuantiti kesaimbangan, jika fungsi permintaanP + Q2 + 3Q - 20 = 0dan fungsi penawaranP - 3Q2 + 10Q = 5.29Pengenalan Konsep Model Matematik16.Gunakan kaedah penghapusan untuk mencari harga dan kuantiti kesaimbangan apabila fungsi permintaan adalah3P + Q2 + 5Q - 102 = 0dan fungsi penawaran adalahP - 2Q2 + 3Q + 71 = 017.Analisis penawaran dan permintaan juga boleh melibatkan lebih dari dua pasaran. Cari harga dan kuantiti kesaimbangan bagi tiga barang pengganti berikut:Qd1 = 23 - 5P1 + P2 + P3Qs1 = -8 + 6P1Qd2 = 15 + P1 - 3P2 + 2P3Qs2 = -11 + 3P2Qd3 = 19 + P1 + 2P2 - 4P3Qs3 = -5 + 3P318. Jika Y = C + I + G C = Co + bYI = Io G = Godimana Co = 135, b = 0.8, Io = 75 dan Go = 330a. Caripersamaan bagiparaskesaimbangan pendapatan didalambentuk dikurangkan.b. Selesaikan paras kesaimbangan pendapatan i.secara langsung dan ii. dengan bentuk dikurangkan.19.Carikan paras kesaimbangan pendapatan Y = C + I, apabila C = 89 + 0.8Y dan Io = 24.20. JikaY = C + I C = Co + bY I = Io + aYdimana Co = 65, Io = 70, b = 0.6 dan a = 0.2a.Carikanbentukdikurangkandarimodel penentuanpendapatandiatas apabila pelaburan bukan autonomous tetapi fungsi kepada pendapatanb.Carikan nilai numerikal bagi paras kesaimbangan pendapatan (Ye)30Pengenalan Konsep Model Matematikc.Tunjukkan apakah yang terjadi kepada pengganda.21.Carikan (a) bentuk dikurangkan, (b) nilai numerik Ye, dan (c) kesan keatas pengganda apabila cukai lump-sum ditambah kepada model dan penggunaanmenjadi fungsi kepadapendapatanbolehgunasebagaimana berikut:Y = C + IC = Co + BYd I = IoYd = Y - Tdimana Co = 100, b = 0.6, Io = 40 dan T = 50.22.Cari (a)bentukdikurangkan, (b)nilai numerikYe, dan(c)kesankeatas pengganda jika cukai pendapatan berkadaran (t) dimasukkan kedalam modelY = C + IC = Co + bYd T = To + tYYd = Y - Tdimana I = Io = 30, Co = 85, b = 0.75, t = 0.2 dan To = 2023.Jika sektor luar negara ditambah kepada model dan terdapat kecenderungan mengimport marginal (z) yang positif, (a) carikan bentuk dikurangkan, (b) paraskesaimbanganpendapatan, dan(c) kesankeatas pengganda bagi model berikut:Y = C + I + G + (X - M)C = Co + bYM = Mo + zYdimana I = Io = 90,G = Go = 65,X = Xo = 80, Co = 70,Mo = 40, b = 0.9 z = 0.1524.Carikan paras kesaimbangan pendapatan apabila S = -70 + 0.25Yd Yd = Y - TI = Io = 40 G = Go = 30T = To = 2025.Jika31Pengenalan Konsep Model MatematikC = 102 + 0.7Y I = 150 - 100rMs = 300 Mt = 0.25Y Mz =124 - 200ra.Carikan paras kesaimbangan pendapatan dan kesaimbangan kadar faedah, danb.carikan paras C, I, Mt, danMzapabila ekonomi berada di dalam kesaimbangan.26.Jika penawaran wang didalam masalah 25 meningkat sebanyak 17 a.Apaakanterjadi kepadaparaskesaimbanganpendapatandankadar faedahb.Apakah nilai C, I, Mt dan Mz pada paras kesaimbangan yang baru.27.JikaC = 89 + 0.6YI = 120 - 150rMs = 275Mt = 0.1YMz = 240 - 250rCaria.Paras kesaimbangan pendapatan dan kadar faedahb. Paras C, I, Mt dan Mz apabial ekonomi berada di dalam kesaimbangan.28. Tunjukkanapaakanterjadi kepadakeadaankesaimbangandidalam masalah 27 jika pelaboran autonomous turun kepada 97.32