chapter 06

Bab 8

Pengenalan kepada Statistik Ekonomi dan Perniagaan

Statistik Pentaabiran: Penganggaran Untuk Populasi Tunggal

Statistik Pentaabiran:

Penganggaran Untuk Populasi Tunggal

Teorem had memusat yang dibincangkan di dalam Bab 7 menyatakan beberapa statistik yang diminati, seperti min sampel dan perkadaran sampel, adalah penghampiran taburan normal bagi saiz sampel yang besar walau apa pun bentuk taburan populasi. Formula Z bagi setiap statistik yang telah dibincangkan mempunyai potensi untuk digunakan di dalam penganggaran parameter, ujian hipotesis, dan menentukan saiz sampel. Bab ini akan membincangkan bagaimana formula Z ini untuk statistik yang besar boleh dimanipulasi secara aljabar kepada formula yang boleh digunakan untuk menganggar parameter populasi dan untuk menentukan saiz sampel yang perlu untuk menjalankan penyelidikan. Seterusnya, mekanisma akan diperkenalkan untuk penganggaran saiz sampel yang kecil dan untuk penganggaran varian populasi.

8.1 Penganggaran Min Populasi dengan Sampel Saiz yang Besar

Di dalam banyak keadaan, menganggar min populasi adalah berguna di dalam penyelidikan perniagaan. Sebagai contoh, pengurus sumber manusia di dalam sysrikat mungkin mahu menganggarkan purata bilangan hari pekerja yang tidak hadir berkerja setahun kerana sebab kesihatan. Jika firma mempunyai beribu-ribu pekerja, mengira min populasi secara langsung adalah tidak praktikal. Sebaliknya, sampel rawak bilangan pekerja yang tidak hadir kerana sebab kesihatan boleh diambil unruk digunakan untuk menganggarkan min populasi.

Syarikat talipon cellular, memikirkan untuk mengubah struktur harga. Pelanggan kelihatan sanggup untuk memperuntukkan lebih masa keatas talipon dan meninjau untuk melihat harga yang terbaik. Untuk mendapatkan perancangan yang lebih baik, syarikat talipon celluler mahu menentukan purata masa yang digunakan sebulan setiap pengguna tetapi tidak mempunyai sumber yang ada untuk menguji bil pelanggan dan memperolehi maklumat. Syarikat telah mengambil sampel 85 bil bulanan yang terbaru dan mendapati min sampel masa panggilan ialah 153 minit. Min sampel ini adalah statistik, yang akan digunakan untuk menganggar min populasi, yang merupakan parameter. Jika syarikat menggunakan min sampel 153 minit sebagai penganggaran untuk min populasi, maka min sampel tersebut ialah penganggaran titik.

Penganggaran titik ialah statistik yang diambil daripada sampel dan digunakan untuk menganggarkan min populasi. Walau bagaimanapun, penganggaran titik ini hanya baik sebagai perwakilan sampelnya sahaja. Jika sampel rawak yang lain diambil daripada populasi, penganggaran titik yang diterbitkan daripada sampel tersebut adalah berlainan. Disebabkan oleh variasi di dalam sampel statistik, penganggaran parameter populasi dengan selang penganggaran biasanya lebih digemari untuk menggunakan penganggaran titik. Penganggaran selang (selang keyakinan) adalah jeda nilai dimana penganalisis boleh menyatakan dengan keyakinan tertentu dimana kedudukan parameter populasi. Selang keyakinan boleh jadi dua atau satu bahagian. Buku ini membincangkan hanya dua bahagian selang keyakinan. Bagaimanakan selang keyakinan dibina?

Sebagai hasil teorem had memusat, formula Z yang berikut untuk min sampel boleh digunakan apabila saiz sampel adalah besar, tidak kira bentuk taburan populasi, atau untuk saiz sampel yang kecil dan bertaburan normal.

Menyusun semula formula tersebut untuk menyelesaikan nilai ( memberikan

Disebabkan min sampel boleh jadi lebih besar daripada atau lebih kecil daripada min populasi, Z boleh jadi positif atau negatif. Oleh itu formula di atas boleh disusun sebagai

Menulis semula pernyataan di atas menghasilkan formula selang keyakinan untuk menganggar ( dengan saiz sampel yang besar.

Alpha (() adalah keluasan di bawah keluk normal dibahagian hujung taburan diluar kawasan yang dikenalpasti sebagai selang keyakinan. Kita akan menumpukan keatas ( di dalam Bab 9. Disini kita akan menggunakan ( untuk mentukan nilai Z di dalam membina selang keyakinan sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 8.1. Disebabkan jadual normal piawai adalah berdasarkan keatas keluasan Z di antara 0 dan Z(/2, nilai Z adalah ditemui terletak dikawasan 0.5000 - , yang merupakan bahagian keluk normal di antara pertengahan keluk dan satu bahagian ekor. Cara lain untuk menentukan kedudukan nilai Z ialah mengubah paras keyakinan daripada peratus kepada perkadaran, dibahagikan dengan setengah, dan lihat semula jadual dengan nilai ini. Keputusannya adalah sama.

Rajah 8.1

Skor Z untuk Selang Keyakinan di dalam Hubungannya dengan (

Formula selang keyakinan (8.1) menghasilkan selang yang kita rasakan yakin dimana min populasi terletak. Adalah tidak pasti dimana min populasi terletak di dalam selang tersebut melainkan kita mempunyai 100% selang keyakinan. Walau bagaimanapun, kita boleh meletakkan kebarangkalian bahawa parameter (di dalam kes ini ialah () terletak di antara selang. Formula 8.1 boleh dinyatakan di dalam pernyataan kebarangkalian seperti berikut:

Kebarangkalian() = 1 - (Jika kita mahu membentuk selang keyakinan 95%, paras keyakinan ialah 95% atau 0.95. Kenyataan kebarangkalian yang ditunjukkan memberitahu kita terdapat 0.95 kebarangkalian min populasi adalah di dalam selang ini. Jika 100 selang seperti itu dibentuk dengan mengambil sampel rawak daripada populasi, lebih kurang 95 daripada selang tersebut melibatkan min populasi dan lima daripadanya bukan. Kebarangkalian memberitahu kita kebolehjadian selang tertentu adalah satu yang termasuk di dalam min populasi.

Sebagai contoh, di dalam masalah syarikat talipon cellular untuk menganggarkan min populasi masa panggilan setiap pelanggan sebulan, bagi sampel 85 bil telah mengenalpasti min sampel ialah 153 minit. Menggunakan min sampel ini, selang keyakinan boleh dikira dimana penyelidik relatif yakin min populasi sebenar terletak. Untuk melakukannya menggunakan Formula 8.1, nilai sisihan piawai populasi dan nilai Z ) sebagai tambahan min sampel, 153, dan saiz sampel, 85) mesti diketahui. Katakan rekod lepas dan kajian yang sama menunjukkan bahawa sisihan piawai populasi ialah 46 minit.

Nilai Z adalah ditentukan oleh paras keyakinan yang diperlukan. Selang dengan 100% keyakinan adalah terlalu luas dan tidak bermakna. Beberapa paras selang keyakinan yang biasa digunakan oleh penyelidik adalah 95%, 95%, 98% dan 99%. Mengapakan penyelidik tidak hanya memilih keyakinan yang tertinggi dan sentiasa menggunakan paras tersebut? Ini disebabkan bahawa penggantian dantara saiz sampel, lebar selang, dan paras keyakinan mesti dipertimbangkan. Sebagai contoh, apabila paras keyakinan meningkat, selang semangkin luas, memberikan saiz sampel dan sisihan piawai tetap kekal.

Untuk masalah syarikat talipon cellular, katakan penyelidik menetapkan 90% selang keyakinan bagi keputusannya. Rajah 9.2 menunjukkan taburan normal min sampel berkaitan min populasi. Apabila menggunakan 90% paras keyakinan, ia telah memilih selang tersebut dengan ( disekitar 95% dimana semua nilai min sampel akan jatuh dan kemudian menggunakan lebar selang tersebut untuk membina selang disekitar min sampel dimana ia yakin min populasi akan berada.

Rajah 8.2

Taburan Min Sampel bagi 95% Keyakinan

Untuk 95% keyakinan, ( = 0.05 dan = 0.025. Nilai Z(/2 atay Z0.025 adalah ditemui dengan melihat jadual taburan normal di bawah 0.5000 0.025 = 0.4750. Keluasan ini di dalam jadual adalah berpadanan dengan nilai Z = 1.960. Terdapat cara lain untuk menentukan nilai Z. Disebabkan taburan adalah simetri dan selang adalah sama dikedua-dua belah bahagian min populasi, atau 0.4750, daripada keluasan adalah terletak disatu bahagian min. Jadual A.3 menghasilkan nilai Z = 1.96 bagi bahagian keluk normal. Oleh itu nilai Z untuk 95% selang keyakinan adalah sentiasa 1.96. Dengan lain perkataan, semua kemungkinan nilai disepanjang paksi mendatar rajah, 95% daripadanya sepatutnya disekitar skor Z =1.96 daripada min populasi.

Penyelidik sekarang boleh melengkapkan masalah syarikat talipon cellular. Untuk mencari 95% selang keyakinan bagi = 153, ( = 46, n = 85 dan Z = 1.96, ia menganggarkan purata masa panggilan dengan melibatkan nilai Z di dalam Formula 8.1 adalah.

153 9.78 ( ( ( 153 + 9.78

143.22 ( ( ( 162.78

Selang keyakinan ini dibina daripada penganggaran titik, dimana di dalam masalah ini ialah 153 minit, dan ralat bagi penganggaran ini ialah (9.78 minit. Keputusan selang keyakinan ialah 143.22 ( ( ( 162.78. Penyelidik syarikat talipon cellular ini 95% yakin bahawa purata masa panggilan untuk populasi ialah di antara 143.22 dan 162.78 minit.

Apakah 95% keyakinan bahawa min populasi adalah di dalam selang tersebut tunjukkan? Ia menunjukkan bahawa, jika penyelidik syarikat mengambil 100 sampel mengandungi 85 panggilan secara rawak dan menggunakan keputusan bagi setiap sampel dan menjalankan 95% selang keyakinan, hampir 95 daripada 100 selang tersebut akan mengandungi min populasi. Ia juga menunjukkan 5% daripada selang tidak mengandungi min populasi. Penyelidik hanya perlu mengambil satu sampel dan mengira selang keyakinan daripada maklumat sampel tersebut. Selang tersebut sama ada mengandungi min populasi atau tidak.

Rajah 8.3 menunjukkan maksud 95% selang keyakinan bagi min. Perhatikan jika 20 sampel rawak diambil dari populasi, 19 daripada 20 daripadanya akan terkandung di dalam min populasi jika 95% selang keyakinan digunakan (= 95%). Jika 90% selang keyakinan digunakan hanya 18 daripada 20 selang yang terkandung di dalam min populasi.

Rajah 8.3

Dua Puloh 95% Selang keyakinan Bagi (

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Contoh 8.1

Satu kajian telah dilakukan kepada syarikat di Malaysia yang menjalankan kajian di Cina. Satu daripada soalan ialah: Telah berapa lamakah syarikat anda menjalankann perniagaan dengan Cina? Satu sampel rawak 44 syarikat telah dipilih menghasilkan min 10.455 tahun. Katakan sisihan piawai populasi bagi soalan ini ialah 7.7 tahun. Menggunakan maklumat ini, jalankan selang keyakinan 90% min bilangan tahun syarikat di Malaysia telah menjalankan perniagaan di Cina bagi populasi syarikat Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina.

Penyelesaian

Disini, n = 44, = 10.455. dan ( = 7.7. Untuk menentukan nilai Z(/2, bahagikan selang keyakina 90% dengan dua atau 0.05 - = 0.500 0.0500. Taburan Z bagi disekitar ( mengandungi 0.4500 daripada kawasan sisetiap bahagian (, atau . Jadual A.3 menghasilkan nilai Z = 1.645 bagi keluasan 0.4500 (interpolasi di antara 0.4495 dan 0.4505). Selang keyakinan ialah

10.455 1.91 ( ( ( 10.455 + 1.91

8.545 ( ( ( 12.365

Kebarangkalian (8.545 ( ( ( 12.365 = 0.90

Oleh itu, penganalisis mempunyai keyakinan 90% menyatakan jika bancian terhadap syarikat Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina diambil pada masa survei ini, min populasi sebenar lama mereka menjalankan perniagaan di Cina adalah di antara 8.545 dan 12.365. Titik penganggaran ialah 10.455.

8.1.1 Faktor Pembetulan Finit

Ingat kembali di dalam Bab 7 menyatakan jika sampel adalah diambil dari populasi yang finit, faktor pembetulan finit adalah digunakan untuk meningkatkan ketepatan penyelesaian. Di dalam kes penganggaran selang, faktor pembetulan finit adalah digunakan untuk mengurangkan lebar selang. Sebagaimana yang dibincangkan di dalam Bab 7, jika saiz sampel kurang 5% daripada sampel, faktor pembetulan finit adalah tidak signifikan untuk mengubah penyelesaian. Jika formula (8.1) diubahsuai untuk pelarasan faktor pembetulan finit akan menghasilkan Formula 8.2

Contoh berikut menunjukkan bagaimana faktor pembetulan finit digunakan.

Contoh 8.2

Satu kajian telah dilakukan di dalam syarikat yang mempunyai 800 jurutera. Sampel rawak 50 jurutera ini mendapati purata umur sampel ialah 34.3 tahun. Rekod lama mendapati sisihan piawai umur jurutera syarikat ialah 8 tahun. Lakukan selang keyakinan 98% untuk menganggar unur semua jurutera di dalam syarikat ini.

PenyelesaianMasalah ini ialah masalah finit. Saiz sampel, 50 adalah lebih besar daripada 5% populasi, oleh itu faktor pembetulan perlu dilakukan. Di dalam kes ini N = 800, n = 50, = 34.3 dan ( = 8. Nilai Z bagi 98% selang keyakinan ialah 2.33 (0.98 dibahagi 2 menghasilkan 0.4900; Nilai Z adalah diperolehi daripada Jadual A.3 dengan menggunakan 0.4900). Menggantikannya kedalam Formula 8.2 dan menyelesaikan untuk selang keyakinan memberikan

34.3 2.554 ( ( ( 34.3 + 2.554

31.75 ( ( ( 36.85

Tanpa faktor pembetulan finit, keputusannya adalah

34.3 2.64 ( ( ( 34.3 + 2.64

31.66 ( ( ( 36.94

Faktor pembetulan finit mengambil kira kenyataan bahawa populasi hanya 800 berbanding infiniti. Sampel, n = 50 adalah perkadaran yang besar daripada 800 yang sepatutmua populasi yang besar, dan oleh itu lebar selang keyakinan adalah dikurangkan.

8.1.2 Selang Kyakinan untuk Menganggar ( apabila ( Tidak Diketahui

Di dalam formula dan masalah yang dibincangkan di dalam bahagian ini, sisihan piawai adalah diketahui. Menganggar min populasi apabila sisihan piawai populasi diketahui kelihatannya aneh. Kadangkala sisihan piawai populasi dianggarkan daripada rekod-rekod lama atau daripada piawai industri. Walau bagaimanapun, di dalam realiti sisihan piawai populasi adalah tidak diketahui. Kebolehjadian adalah tinggi untuk sisihan piawai populasi diketahui. Oleh itu, bagaimanakah penyelidik mengatasi delima ini?

Apabila saiz sampel adalah besar (n ( 30), sisihan piawai sampel adalah penganggaran yang baik bagi sisihan piawai populasi dan boleh diterima dengan baik sebagai penghampiran sisihan piawai populasi di dalam formula Z bagi min. Disebabkan formula adalah berdasarkan kepada teorem had memusat yang memerlukan sampel besar bagi populasi tidak normal, maka perlulah kita mengubahsuaikan Formula 8.1 untuk menggunakan sisihan piawai sampel. Walau bagaimanapun, berhati-hatilah, jangan gunakan formula ini untuk saiz sampel yang kecil apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui, walaupun apabila populasi adalah bertaburan normal. Bahagian 8.2 akan membincangkan teknik untuk menguruskan kes sampel kecil apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui dan X adalah bertaburan normal.

Ditunjukkan berikut formula selang keyakinan untuk menganggar ( dengan sampel besar apabila menggunakan sisihan piawai sampel.

Sebagai contoh, katakan sebuah syarikat sewa kereta mahu menganggar purata jarak perjalanan sehari bagi setiap kereta yang disewakannya. Sampel rawak 110 kereta dipilih dan mendapati min sampel jarak perjalanan sehari ialah 85.5 km, dengan sisihan piawai 19.3 km. Kirakan 99% selang keyakinan untuk menganggar (.

Disini, n = 110, = 85.5 dan S = 9.3. Untuk 99% selang keyakinan, niali Z ialah 2.575 diperolehi. Selang keyakinan ialah

85.5 4.7 ( ( ( 85.5 + 4.7

80.8 ( ( ( 90.2

Titik penganggaran menunjukkan purata jarak perjalanan sehari bagi kereta yang disewakan ialah 85.5 km. Dengan selang keyakinan 99%, kita menganggarkan min populasi ialah di antara 80.8 hingga 90.2 km sehari.

Untuk keselesaan, Jadual 8.1 mengandungi beberapa paras keyakinan yang biasa digunakan dan nilai Z yang berkaitan.

Jadual 8.1

Nilai Z bagi beberapan Paras Keyakinan

yang biasa DigunakanSelang KeyakinanNilai Z

90%1.645

95%1.960

98%2.330

99%2.575

8.2 Penganggaran Min Populasi:

Saiz Sampel Kecil, ( Tidak Diketahui

Di dalam Bahagian 8.1 kita telah mempelajari bagaimana untuk menganggar min populasi dengan menggunakan min sampel. Teorem had memusat, yang dibincangkan di dalam Bab 7, menjamin min sampel adalah bertaburan normal apabila saiz sampel adalah besar. Tatacara ini masih lagi boleh digunakan apabila saiz sampel adalah kecil dan jika populasi adalah bertaburan normal dan jika ( diketahui.

Apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui, sisihan piawai sampel adalah anggaran boleh diterima dan menggantikan sisihan piawai populasi dan boleh digunakan di dalam selang keyakinan, disekitar min sampel, untuk menganggarkan min populasi jika saiz sampel adalah besar. Nilai n ( 30 biasanya dipertimbangkan sebagai had bawah untuk saiz sampel yang besar.

Sebaliknya, di dalam keadaan realiti, saiz sampel kurang daripada 30 adalah normal. Sebagai contoh, penyelidik yang berminat untuk mengkaji purata masa penerbangan DC-10 daripada Kuala Lumpur ke Tokyo, tetapi hanya 21 penerbangan sahaja yang ada. Penyelidik lain pula mengkaji kesan pengiklanan di TV keatas pelanggan, tetapi kumpulan yang digunakan di dalam kajian hanya mengandungi 11 orang sahaja.

Jika populasi adalah diketahui bertaburan normal dan sisihan piawai populasi adalah diketahui, nilai Z yang dikira daripada min sampel adalah bertaburan normal tidak kira saiz sampel. Oleh itu, mengandaikan populasi bertaburan normal (banyak fenomena adalah bertaburan normal) dan sisihan piawai populasi adalah diketahui, penyelidik secara teorinya boleh meneruskan untuk menggunakan teknik yang telah dibincangkan di dalam Bahagian 8.1 untuk menganggarkan selang keyakinan, walaupun dengan saiz sampel yang kecil. Formula untuk min sampel ialah

Di dalam banyak keadaan penyelidikan, sisihan piawai populasi adalah tidak diketahui dan mesti dianggarkan dengan menggunakan sisihan piawai sampel. Di dalam situasi ini, S adalah digantikkan kedalam formula di atas.

Walau bagaimanapun, sisihan piawai sampel, S, hanyalah penghampiran yang baik untuk sisihan piawai populasi, (, bagi sampel yang besar. Formula Z yang menggunakan S, oleh itu tidak sesuai digunakan apabila saiz sampel adalah kecil. Masalah ini telah dipertimbangkan dan diselesaikan oleh ahli statistik British, William S. Gosset.

Gosset telah dilahirkan dalam tahun 1976 di Canterbury, England. Ia belajar dalam jurusan kimia dan matematik dan di dalam tahun 1899 beliau berkerja di Guinness Berry di Dublin, Ireland. Gosset telah telibat di dalam kawalan kualiti disyarikatnya, mengkaji angkubah seperti bahan mentah dan suhu. Disebabkan oleh akibat-akibat dari penyelidikannya, Gosset telah menjalankan banyak kajian dengan sampel yang kecil. Ia mendapati dengan menggunakan ujian piawai Z dengan sisihan piawai sampel adalah taburan yang tidak tepat untuk sampel bersaiz kecil. Penemuan ini telah menyebabkan pembentukan taburan sisihan piawai sampel dan ujian t.

Gosset masih lagi pelajar dan rakan rapat kepada Karl Pearson. Apabila kerja pertama Gosset keatas ujian t diterbitkan, ia menggunakan nama pena Student. Sebagai hasilnya, ujian t kadangkala dirujukkan sebagai ujian Student-t. Sumbangan Gosset adalah besar kerana ia menerajui ujian statistik yang tepat, dimana beberapa ilmuan menandakan sebagai era moden di dalam matematik statistik.

8.2.1 Taburan t

Gosset telah membangunkan taburan t, yang mana menerangkan sampel data di dalam sampel bersaiz kecil apabila sisihan piawai tidak diketahui dan populasi bertaburan normal. Formula bagi nilai t ialah:

Formula ini adalah kelihatan sama sebagaimana formula Z, tetapi nilai jadual taburan adalah berebza. Nilai taburan t adalah terkandung di dalam Jadual A.5. Taburan t sebenarnya adalah siri taburan disebabkan setiap saiz sampel mempunyai taburan yang berbeza, oleh itu membuatkan banyak potensi jadual t. Untuk menjadikan nilai t ini lebih bermakna, hanya nilai utama sahaja dipilih dan dibentangkan; setiap barisan di dalam jadual mengandungi nilai daripada taburan t yang berbeza. Andaian disebalik penggunaan teknik yang dibincangkan di dalam buku ini adalah untuk saiz sampel yang kecil dan populasi adalah bertaburan normal. Jika populasi tidak bertaburan normal atau tidak diketahui, teknik tidak berparameter perlu digunakan.

8.2.2 Kekukuhan

Kebanyakan teknik statistik mempunyai satu atau lebih andaian. Jika teknik statistik adalah relatifnya tidak sensitif terhadap pelanggaran minor di dalam satu atau lebih andaian tersebut, teknik tersebut dikatakan sebagai kukuh terhadap andaian tersebut. Statistik t bagi penganggaran min populasi adalah relatif kukuh terhadap andaian dimana populasi adalah bertaburan normal.

Sesetengah teknik statistik tidak robust, dan ahli statistik sepatutnya berhati-hati untuk mempastikan andaian disebalik teknik tersebut mesti dipenuhi sebelum menggunakannya atau mentafsirkan output statistik hasil dari penggunaannya. Statistik khi-kuasadua yang akan dibincangkan di dalam Bahagian 8.4 untuk menganggar vairan populasi adalah tidak robust dan ia sebenarnya sensitif terhadap pelanggaran andaian taburan adalah bertaburan normal. Penyelidik hendaklah selalu berhati-hati terhadap andaian statistik dan robustness teknik yang hendak digunakan di dalam analisis.

8.2.3 Ciri-ciri Tabutan t

Rajah 8.5 menunjukkan dua taburan t di atas taburan normal piawai. Sebagaimana taburan normal, taburan t juga simetri, unimodel dan keluarga kepada keluk. Taburan t lebih rata dipertengahan dan mempunyai lebih keluasan dihujung ekornnya berbanding dengan taburan normal.

Menguji nilai taburan t mendapati taburan t menghampiri keluk taburan normal apabila n menjadi semangkin besar. Taburan t adalah taburan yang bersesuaian untuk digunakan pada sebarabng masa varian dan sisihan piawai populasi tidak diketahui, walau apa pun saiz sampel. Walau bagaimanapun, disebabkan perbezaan di antara nilai jadual Z dan t tidak berubah apabila sampel menjadi besar, kebanyakan penyelidik menggunakan taburan Z untuk menganalisis sampel bersaiz besar apabila sisihan piawai atau varian tidak diketahui. Di dalam buku ini, taburan t adalah digunakan hanya untuk masalah bersaiz kecil (n < 30) disebabkan n menghampiri saiz 30 niali jadual t menghampiri nilai jadual Z.

Rajah 8.5

Perbandingan dua taburan t denga keluk normal piawai

8.2.4 Membaca Jadual Taburan t

Untuk mencari nilai di dalam taburan t memerlukan kita mengetahui saiz sampel. Jadual taburan t adalah susunan banyak taburan t, dimana setiap barian di dalam jadual mewakili saiz sampel yang berbeza. Walau bagaimanapun, saiz sampel mesti ditukarkan kepada darjah kebebasan (df) sebelum nilai jadual boleh ditentukan. Darjah kebebasan berbeza menurut manakah formula yang akan digunakan, oleh itu formula darjah kebebasan akan diberikan mengikut manakah formula yang akan digunakan. Konsep darjah kebebasan adalah sukar untuk diterangkan dan diluar skop buku ini. Penerangan ringkas ialah formula t adalah digunakan disebabkan varian atau sisihan piawai populasi yang merupakan sebahagian daripada formula Z tidak diketahui dan mesti dianggarkan oleh sisihan piawai atau varian sampel. Untuk setiap parameter (seperti varian atau sisihan piawai) bagi formula statistik yang tidak diketahui dan mesti dianggarkan menggunakan statistik (contohnya varian atau sisihan piawai sampel) di dalam formula, satu darjah kebebasan mesti diberikan.

Di dalam Jadual A.5, darjah kebebasan terletak dilajur kiri jadual. Jadual taburan t di dalam buku ini tidak menggunakan keluasan di antara statistik dan min sebagaimana taburan Z (taburan normal piawai). Sebaliknya, jadual t menggunakan keluasan dibahagian ekor taburan. Penekanan di dalam jadual t ialah keatas (, dan setiap ekor taburan mengandungi daripada nilai di bawah keluk apabila selang keyakinan dikehendaki. Untuk selang keyakinan, nilai taburan t ialah dilajur di bawah nilai pada persilangan nilai darjah kebebasan.

Sebagai contoh, jika 90% selang keyakinan hendak dikira, jumlah keluasan di dalam dua hujung ialah 10%. Oleh itu, ( ialah 0.10 dan ialah 0.05, sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 8.6. Jadual taburan t ditunjukkan di dalam Jadual 8.2 mengandungi hanya lima nilai (0.10, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005). Nilai t adalah terletak dipersilangan nilai darjah kebebasan dan nilai yang dipilih. Oleh itu, jika darjah kebebasan bagi t-statistik ialah 24 dan nilai (/2 yang dikehendaki ialah 0.05, nilai t ialah 1.711.

Jadual 8.2

Taburan t

Darjah

Kebebasant0.100t0.050t0.025t0.010t0.005

.

.

.

23

241.711

25

.

.

Rajah 8.6

Taburan dengan Alpha untuk 90% Keyakinan

8.2.5 Selang Keyakinan untuk Menganggar ( Apabila ( Tidak Diketahui dan Saiz Sampel adalah Kecil

Formula t ialah

boleh dimanipulasi secara aljabar untuk menghasilkan formula untuk menganggarkan min populasi menggunakan ssaiz sampel yang kecil apabila ( tidak diketahui dan populasi bertaburan normal. Keputusannya ialah formula berikut:

Formula 8.4 boleh digunakan sama sebagaiman dengan kaedah yang dibincangkan di dalam Bahagian 8.1 untuk mendapatkan selang keyakinan di dalam menganggar (. Sebagai contoh, jika di dalam satu syarikat membenarkan pekerjanya mengumpulkan jumlah lebih masa kerjanya melebehi 40 jam seminggu. Ramai dikalangan pengurus berkerja lebih dari lapan jam sehari untuk menyiapkan kerja mereka. Menyedari kerja lebih masa tersebut adalah penting dan pengurus tersebut tidak dibayar elaun lebih masa tetapi rekodnya disimpan untuk membolehkan mereka memperolehi cuti gantian.

Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata masa cuti gantian yang terkumpul bagi saorang pengurus. Sampel rawak jam lebih masa 18 pengurus telah direkodkan di dalam minggu tertentu dan ditunjukkan sebagaimana berikut (di dalam jam)

6 21 17 20 7 0 8 16 29

3 8 12 11 9 21 25 15 16

Dapatkan 90% selang keyakinan untuk menganggarkan purata masa kerja lebih masa seminggu oleh pengurus syarikat tersebut. Ia mengandaikan kerja lebih masa tersebut adalah bertaburan normal di dalam populasi. Saiz sampel ialah 18, oleh itu darjah kebebasan ialah 18 1 =17. Selang keyakinan 90% dihasilkan di dalam keluasan = 0.05 di dalam setiap ekor. Nilai jadual t ialah

t0.05,17 = 1.740

Sub-skrip di dalam nilai t menunjukkan kepada penyelidik lain keluasan dibahagian ekor kanan taburan t (untuk selang keyakinan ) dan darjah kebebasan ialah 17. Min sampel ialah 13.56 jam, dan sisihan piawai ialah 7.8 jam. Selang keyakinan adalah dikira dari maklumat ini ialah

Penganggaran titik bagi masalah ini ialah 13.56 jam, dengan ralat (3.20 jam. Penyelidik sekarang 90% yakin bahawa kerja lebih masa terkumpul seminggu bagi setiap pengurus di dalam syarikat ini ialah di antara 10.36 dan 16.76 jam.

Daripada angka ini, pengurus syarikat boleh merancang sistem ganjaran bagi setiap kerja lebih masa atau menilai semula kerja 40-jam seminggu untuk menentukan bagaimana untuk menggunakan kerja normal lebih berkesan dan mengurangkan jumlah cuti gantian.

Contoh 8.3

Syarikat menyewa kereta telah cuba untuk membuat anggaran purata bilangan hari pelanggan menyewa kereta daripada syarikatnya. Oleh kerana ketiadaan maklumat, pengurus syarikat tersebut telah mengambil sampel rawak 14 pelanggan dan mencatitkan bilangan hari ia menyewa kereta tersebut subagaimana di bawah. Ia menggunakan data tersebut membina 99% selang keyakinan untuk menganggar purata bilangan hari menyewa kerata dan mengandaikan bilangan hari untuk setiap penyewaan adalah bertaburan normal di dalam populasi.

3 132512

1421311

Penyelesaian

Oleh kerana n = 14, df =13. Paras keyakinan 99% dihasilkan di dalam = 0.005 keluasan di dalam setiap ekor taburan. Nilai jadual t ialah

t0.005,13 = 3.012

Min sampel ialah 2.14 dengan sisihan piawai sampel ialah 1.29. Selang keyakinan ialah

1.10 ( ( ( 3.18

Kebarangkalian (10.36 ( ( ( 16.76) = 0.90

Penganggaran titik keatas purata penyewaan ialah 2.14 hari, dengan ralat (1.04. Dengan 99% paras keyakinan, syarikat tersebut boleh menganggarkan purata masa penyewaan kerata di antara 1.10 dan 3.18 hari. Mengabungkan angka ini dengan angkubah seperti kekerapan sewa setahun boleh membantu syarikat tersebut menganggarkan potensi keuntungan atau kerugian setahun untuk perniagaannya.

8.3 Penganggaran Perkadaran Populasi

Pembuat keputusan perniagaan dan penyelidik biasanya perlu berkebolehan untuk menganggar perkadaran populasi. Bagi kebanyakan perniagaan, menganggarkan bahagian pasaran (perkadaran pasaran mereka) adalah penting disebabkan banyak keputusan syarikat merlibatkan maklumat bahagian pasaran. Syarikat membelanjakan berjuta ringgit menganggar perkadaran mengeluarkan barangan yang rosak. Peluang pemetakkan pemasaran datangnya dari pengetahuan terhadap perkadaran berbagai ciri-ciri demografi dikalangan pelanggan yang berpotensi.

Kaedah yang sama sebagaimana di bahagian 8.1 boleh digunakan untuk menganggarkan perkadaran populasi. Torem had memusat bagi perkadaran sampel menghasilkan formula berikut di dalam bab 7.

dimana Q = 1 P. Ingat kembali, formula ini hanya boleh digunakan hanya apabila n.P dan n.Q lebih besar daripada 5.

Secara aljabar, memanipulasikan formula ini untuk menganggar Q melibatkan penyelesaian untuk P. P ialah di dalam kedua-dua numerator dan denominator, yang merumitkan formula yang akan dihasilkan. Oleh sebab itu untuk hanya kegunaan selang keyakinan dan untuk saiz sampel yang besar - akan menggantikan P di dalam denominator, dan menghasilkan

dimana = 1 . Menyelesaikan untuk P akan menghasilkan selang keyakinan sebagaimana formula di bawah.

Di dalam formula ini, ialah titik penganggaran dan adalah ralat penganggaran.

Sebagai contoh, kajian terhadap 87 syarikat yang dipilih secara rawak dengan operasi tele-pemasaran mendapati 39% daripada sampel syarikat telah menggunakan tele-pemasaran untuk membantu mereka memproses pesanan. Menggunakan maklumat ini, bagaimana penyelidik menganggarkan perkadaran populasi syarikat tele-pemasaran yang menggunakan operasi tele-pemasaran untuk membantu mereka di dalam memproses pesanan?

Perkadaran sampel = 0.39 adalah titik penganggaran bagi perkadaran populasi, P. Untuk n = 87, dan = 0.39, selang keyakinan 95% boleh dikira untuk menentukan selang penganggaran P. Nilai Z bagi 95% selang keyakinan ialah 1.96. Nilai = 1 = 1 0.39 = 0.61. Anggaran selang keyakinan ialah,

0.39 0.10 ( P ( 0.39 + 0.10

0.29 ( P ( 0.49

Kebarangkalian(0.29 ( P ( 0.49) = 0.95

Selang ini mencadangkan 95% kebarangkalian perkadaran populasi firma tele-pemasaran yang menggunakan operasi mereka untuk membantu pemprosesan pesanan diantar 0.29 dan 0.49. Terdapat titik penganggaran 0.39 dengan ralat (0.10. Keputusan iniadalah pada paras 95% selang keyakinan.

Contoh 8.4

MITI telah menemubual 250 ketua eksekutiff syarikat kecil yang sedang berkembang. Hanya 51% daripada ketua eksekutif ini telah menjalankan perancangan kejayaam-pengurusan. Jurucakap MITI telah menyatakan bahawa banyak syarikat tidak khuatir dengan kejayaan pengurusan melainkan jika terdapat masalah pertengahan. Walau bagaimanapun, penghijrahan tidak terjangka ketua koperat boleh merosakkan syarikat untuk menyebabkan kehilangan momentum.

Gunakan data yang diberi untuk mengira 92% selang keyakinan untuk menganggarkan perkadaran semua syarikat kecil yang sedang berkembang yang mempunyai perancangan kejayaan-pengurusan.

Penyelesaian

Titik penganggaran ialah perkadaran sampel yang diberi sebagai 0.51. Ia dianggarkan bahawa 0.51 atau 51% daripada semua syarikat kecil yang berkembang mempunyai perancangan kejayaan-pengurusan. Menyedari bahawa titik penganggaran mungkin berubah dengan pemilihan sampel yang lain, kita kirakan selang keyakinan.

Nilai n ialah 210; = 0.51 dan = 1 = 1 0.51 = 0.49. Disebabkan selang keyakinan ialah 92%, nilai Z0.04 = 1.75. Selang keyakinan adalah dikira sebagai

0.51 0.06 ( P ( 0.51 + 0.06

0.41 ( P ( 0.57

Kebarangkalian (0.45 ( P ( 0.57) = 0.92

Adalah dianggarkan dengan 92% keyakinan bahawa perkadaran populasi syarikat kecil yang sedang berkembang yang mempunyai perancangan kejayaan-pengurusan adalah di antara 0.45 dan 0.57

Contoh 8.5

Syarikat pakaian mengeluarkan jean untuk lelaki. Jean tersebut dibuat dan dijual sama ada potongan biasa atau potongan boot. Dalam usaha untuk menganggar perkadaran pasaran jean lelaki tersebut di Kuala Lumpur untuk jean potongan boot, penganalisis mengambil sampel rawak 212 jean yang dijual oleh syarikat tersebut dari dua kedai di Kuala Lumpur. Hanya 34 daripada jualan adalah jean potongan boot. Jalankan 90% selang keyakinan untuk menganggar perkadaran populasi di Kuala Lumpur yang mengemari jean potongan boot.

Penyelesaian

Sampel saiz ialah 212, dan bilangan yang mengemari jean potongan boot ialah 34. Perkadaran sampel ialah = 34/212 = 0.16. Titik penganggaran bagi jean potongan boot di dalam populasi ialah 0.16 atau 16%. Nilai Z untuk 90% selangan keyakinan ialah 1.645, dan nilai = 0.16 dan = 1 = 1 0.16 = 0.84. Selang keyakinan yang dianggarkan ialah

0.16 0.04 ( P ( 0.16 + 0.04

0.12 ( P ( 0.20

Kebarangkalian (0.12 ( P ( 0.20) = 0.90

Anggaran penganalisis dengan kebarangkalian 0.90 bahawa perkadaran populasi pembelian jean potongan boot adalah di antara 0.12 dan 0.20. Paras selang keyakinan ialah 90%.

8.4 Menganggar Varian Populasi

Terdapat dimana kadangkala penyelidik berminat terhadap nilai varian populasi berbanding min populasi atau perkadaran populasi. Sebagai contoh, di dalam pergerakan jumlah kualiti, pembekal mahu menjadikan syarikatnya sebagai pembekal bertaraf dunia atau mereka yang mahu untuk mengekalkan kontrak pelanggan selalunya ditanya untuk menunjukkan pengurangan variasi keatas bekalan yang dihantar. Ujian adalah dilakukan dengan sampel di dalam usaha untuk menentukan variasi lot penghantaran dan menentukan sama ada matlamat variasi dipenuhi.

Terdapat banyak cara di dalam perniagaan dimana menganggar varian adalah penting. Sebagai contoh, variasi di antara bacaan altimeter kapalterbang diperlukan yang minimum. Adalah tidak mencukupi dengan hanya mengetahui perkara itu sahaja, secara purata, jenama tertentu keluaran altimeter hendaklah mempunyai altitud yang betul. Juga penting bahawa variasi di antara peralatan juga mestilah kecil. Oleh itu pengukuran variasi altimeter adalah kritikal. Peralatan yang digunakan di dalam jentera mesti muat secukupnya secara konsisten. Variabiliti yang luas di antara peralatan boleh menghasilkan peralatan tersebut terlalu besar untuk dimuatkan di dalam ruang atau terlalu kecil yang akan menghasilkan gegaran. Bagaimanakah varian boleh dianggarkan?

Ingat kembali di dalam Bab 3, varian sampel adalah dikira dengan menggunakan formula

Disebabkan varian sampel selalunya digunakan sebagai penganggar atau penganggaran varian populasi, pelarasan matematik dilakukan kepada denominator dengan menggunakan n 1 untuk membuatkan varian sampel tidak bias sebagai penganggaran varian populasi.

Katakan penyelidik mahu menganggarkan varian populasi daripada varian sampel sebagaimana yang dilakukan terhadap penganggaran min populasi dari min sampel. Perhubungan varian sampel terhadap varian populasi diterangkan oleh taburan khi-kuasadua ((2). Kadar varian sampel (S2) didharabkan dengan (n-1) terhadap varian populasi ((2) adalah penghampiran taburan khi-kuasadua, sebagaimana yang ditunjukkan di dalam formula 8.6, jika populasi dimana nilai tersebut diambil adalah bertaburan normal.

Sebagaimana taburan t, taburan khi-kuasadua berbeza mengikut saiz sampel dan mengandungi nilai darjah kebebasam. Bilangan darjah kebebasan bagi formula khi-kuasadua (8.6) ialah n-1.

Tabuarn khi-kuasadua adalah tidak simetri, dan bentuknya berbagai menurut darjah kebebasan. Rajah 8.9 menunjukan bentuk taburan khi-kuasadua untuk tiga darjah kebebasan yang berbeza.

Formula 8.6 boleh disusun semula secara aljabar untuk menghasilkan formula yang boleh digunakan untuk membina selang keyakinan untuk varian populasi. Formula baru ini ditunjukkan sebagai Formula 8.7.

Rajah 8.9

Tiga Taburan Khi-kuasadua

Nilai alpha (() adalah sama dengan 1 (paras keyakinan yang dinyatakan sebagai perkadaran). Oleh itu, jika kita mahu mendapatkan 90% selang keyakinan, alpha ialah 10% daripada kawasan dan dinyatakan di dalam bentuk perkadaran: ( = 0.10.

Bagaimanakah formula ini boleh digunakan untuk menganggarkan varian populasi daripada varian sampel? Katakan lapan selinder aluminium 7-sm di dalam sampel yang diukur di dalam garispusat sebagaimana berikut:

6.91 sm 6.93 sm

7.01 sm 7.02 sm

7.05 sm 7.00 sm

6.98 sm 7.01 sm

Di dalam menganggar varian populasi dari nilai ini, varian sampel mesti dikira. Nilai ini ialah S2 = 0.0022125. Jika penganggaran titik semuanya dikehendaki, penganggaran titik ialah varian sampel, 0.0022125. Walau bagaimanapun, menyedari bahawa penganggaran titik selalunya akan berubah dari satu sampel ke sampel yang lain, kita mhu mencari penganggaran selang. Untuk melakukannya, kita mesti tahu darjah kebebasan dan nilai jadual khi-kuasadua. Disebabkan oleh n = 8, darjah kebebasan, df = n 1 = 8 1. Apakah nilai khi-kuasadua yang perlu untuk melengkapkan maklumat yang diperlukan oleh formula 8.7? Andaikan populasi garispusat selinder adalah bertaburan normal.

Katakan kita hendak mencari selang keyakinan 90%. Nilai ( ialah 1 0.90 = 0.10. Ini merupakan bahagian keluasan di bawah keluk khi-kuasadua, iaitu diluar selang keyakinan. Keluasan diluar kawasan ini adalah diperlukan kerana nilai jadual khi-kuasadua yang diberi di dalam Jadual A.8 adalah menyenaraikan keluasan dihujung kanan taburan. Di dalam 90% selang keyakinan, atau 0.05 adalah keluasan dihujung kanan taburan, dan 0.05 adalah dihujung kiri taburan. Nilai khi-kuasadua bagi kawasan 0.05 dihujung kanan taburan boleh diperolehi dariada jadual menggunakan darjah kebebasan, dimana di dalam kes ini ialah 7. Oleh itu, nilai khi-kuasadua disebelah kanan, ialah 14.0671. Disebabkan Jadual A.8 menyenaraikan nilai khi-kuasadua untuk kawasan hujung kanan, nilai khi-kuasadua untuk hujung kiri mesti juga ditentukan dengan menentukan berapa banyak keluasan terletak dikanan dari hujung kiri. Jika 0.05 adalah dikiri selang keyakinan, maka 1 - 0.05 = 0.95 bagi kawasan ialah kearah kanan hujung kiri. Ini konsisten dengan 1 - pernyataan yang digunakan di dalam Formula 8.7. Oleh itu khi-kuasadua bagi hujung sebelah kiri . Rajah 8.10 menunjukkan dua nilai jadual (2 bagi taburan khi-kuasadua.

Rajah 8.10

Dua Nilai Jadual Khi-Kuasadua

Memasukkan nilai ini kedalam formula, kita boleh memperolehi 90% selang keyakinan untuk menganggarkan varian populasi bagi selinder aluminium 7-sm.

0.001101 ( (2 ( 0.007146

Kebarangkalian (0.001101 ( (2 ( 0.007146) = 0.90

Selang keyakinan menyatakan bahawa 90% keyakinan, varian populasi adalah di antara 0.001101 dan 0.007146. kebarangkalian bahawa varian populasi adalah di dalam selang ialah 0.90.

Contoh 8.6

Jabatan Buruh telah mengeluarkan data kos tuntutan pekerja sektor perkilangan diseluruh negara. Angka terakhir menunjukkan purata gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilangan ialah RM9.63. Katakan kerajaan mahu menentukan berapa konsistennya angka ini. Ia mengambil 25 sempel rawak pekerja disektor perkilangan diseluruh negara dan menentukan sisihan piawai gaji sejam pekerja ialah RM1.12. Menggunakan maklumat ini untuk bentukkan 95% selang keyakinan untuk menganggar varian populasi untuk gaji sejam pekerja pengeluaran di dalam sektor perkilangan. Andaikan gaji sejam pekerja pengeluaran diseluruh negara disektor perkilangan adalah bertaburan normal.

Penyelesaian:

Dengan mengkuasa duakan sisihan piawai, S = 1.12, kita akan memperolehi varian, S2 = 1.2544. Ini merupakan penganggaran titik varian populasi. Disebabkan saiz sampel, n, adalah 25, darjah kebebasan, n 1 adalah 24. 95% keyakinan min bahawa alpha ialah 1 0.95 = 0.05. Nilai ini dipecahkan untuk menentukan keluasan di dalam setiap hujung taburan khi-kuasadua, = 0.025. Nilai khi-kuasa dua yang diperolehi dari Jadual A.8 adalah

dari maklumat ini, selang keyakinan boleh ditentukan.

0.7648 ( (2 ( 2.4277

Kebarangkalian (0.7648 ( (2 ( 2.4277) = 0.95

Kerajaan boleh menganggarkan dengan 95% keyakinan bahawa populasi varian gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilanhan adalah di antara 0.7648 dan 2.4277.

8.5 Menganggar Saiz Sampel

Di dalam kebanyakan penyelidikan perniagaan yang menggunakan sampel statistik untuk mentaabir populasi, berkebolehan untuk menganggarkan saiz sampel yang perlu untuk melengkapkan tujuan kajian adalah amat penting. Keperluan penganggaran saiz sampel ini adalah sama untuk syarikat yang besar melaburkan berjuta-juta ringgit di dalam kajian yang rumit terhadap citarasa pelanggan dan juga untuk pelajar-pelajar yang menjalankan kajian kes yang kecil dan mahu menghantar soal selidik kepada ahli perniagaan. Di dalam semua kes, perkara seperti selang keyakinan, ralat persampelan, dan lebar selang penganggaran adalah terikat terhadap saiz sampel. Jika syarikat yang besar menjalankan kajian pasaran, patutkah ia mengambil sampel 40 pelanggan atau 400 pelanggan? Persoalan ini amat penting. Di dalam kebanyakan kes, disebabkan oleh pertimbangan kos, penyelidik tidak mahu mangambil sebarang saiz sampel bagi sesuatu unit atau individu yang tidak perlu.

8.5.1 Saiz Sampel apabila Menganggar (Di dalam kajian penyelidikan apabila ( telah dianggarkaan, saiz sampel boleh ditentukan dengan menggunakan formula Z untuk min sampel untuk menyelesaikan n.

Perbezaan di antara dan ( adalah ralat penganggaran yang dihasilkan dari proses persampelen. Biarkan E = ( - () = ralat penganggaran. Menggantikan E kedalam formula di atas akan menghasilkan

Menyelesaikan untuk n menghasilkan sampel saiz

Kadangkala di dalam menganggar saiz sampel, varian populasi diketahui atau boleh ditentukan daripada kajian lepas. Sesetengah masa pula, varian populasi tidak diketahui dan mesti dianggarkan untuk menentukan saiz sampel. Di dalam kes tersebut, adalah diterima untuk menggunakan penganggaran berikut untuk mewakili (.

Penganggaran ini diterbitkan daripada peraturan empirikal (Bab 3) bermula dengan penghampiran 95% daripada nilai di dalam taburan normal adalah disekitar (2( daripada min, memberikan jeda disekitar dimana kebanyakan nilai tersebut terletak.

Menggunakan Formula 8.8, penyelidik boleh menganggar saiz sampel yang diperlukan untuk mencapai matlamat kajian sebelum memungut data. Sebagai contoh, katakan penyelidik mahu menganggarkan purata perbelanjaan bulanan ke atas roti oleh penduduk Kuala Lumpur. Ia mahu 90% keyakinan bagi keputusannya. Berapa banyak ralat yang sanggup ia terima di dalam keputusannya? Katakan ia mahu menganggarkan disekitar RM1.00 angka sebenar dan sisihan piawai purata pembelian roti sebula ialah RM4.00. Apakah saiz sampel penganggaran bagi masalah ini? Nilai Z bagi 90% selang keyakinan ialah 1.645. Menggunakan Formula 8.8 dengan E = RM1.00, ( = RM4.00, dan Z = 1.645 memberikan

Oleh itu, sekurang-kurangnya n = 43.3 mesti sampel rawak diambil untuk memperolehi 90% selang keyakinan dan menghasilkan ralat disekitar RM1.00 untuk sisihan piawai RM4.00. Persampelan 43.3 unit adalah tidak mungkin, oleh itu ia mesti dibundarkan kepada n = 44.

Di dalam pendekatan ini untuk menganggarkan saiz sampel, kita lihat ralat penganggaran adalah jumlah perbezaan di antara statistik (di dalam kes ini, ) dan parameter (di dalam kes ini, (). Ralat mungkin di dalam arah yang berlawanan, iaitu, statistik boleh jadi di atas atau di bawah parameter. Oleh itu, ralat, E, sebenarnya (E sebagaimana yang kita lihat. Oleh itu, apabila masalah menyatakan penyelidik mahukan disekitar RM1.00 perbelanjaan sebenar keluarga keatas roti, ini bermakna penyelidik sanggup untuk membenarkan toleransi disekitar (RM1.00 daripada angka sebenar. Nama lain bagi ralat ini ialah (bound) batasan selang.

Sesetengah penyelidik lebih gemar untuk melihat ralat sebagai jumlah jarak disepanjang selang keyakinan, lebarnya selang tersebut, yang ditandakan sebagai W. Disebabkan selang keyakinan dibina dengan menambah dan menolak penganggaran ralat kepata penganggaran titik, W bagi selang adalah sama dengan dua kali ralat, E. Melalui pendekatan ini terhadap ralat, W = 2E. Disebabkan E = , formula saiz sampel untuk menganggar ( dengan lebar selang selain menggunakan ralat menjadi

Perhatikan formula di atas mengandungi angka 2 di dalam kurungan sementara Formula 8.8 tidak. Walau bagaimanapun, ini adalah songsangan dimana W adalah dua kali E, oleh itu, menghasilkan penganggaran sampel saiz yang sama. Untuk masalah penganggaran perbelanjaan roti, lebar selang adalah RM2.00 (kerana menggunakan ralat (RM1.00). Penyelesaian untuk menentukan saiz sampel dengan menggunakan lebar adalah

Dimana persamaan atau pendekatan untuk menggunakan formula adalah terpulang kepada citarasa pengguna. Jika penganggaran sampel memerlukan disekitar jumlah yang diberi, E selalunya akan diberikan. Jika masalah menyatakan kita mahukan lebar selang keyakinan tidak lebih daripada jumlah yang diberi, W selalunya akan dinyatakan.

Contoh 8.7

Katakan kita mahu menganggarkan purata usia semua kapalterbang Boeig 727 yang masih digunakan diseluruh Malaysia. Kita mahukan 95% keyakinan, dan memerlukan anggaran disekitar 2 tahun dari angka sebenar. Boeing 727 pertama kali digunakan 30 tahun yang lepas, tetapi kita percaya kapal terbang ini tidak aktif lagi lebih dari 25 tahun. Berapa besarkan saiz sampel yang perlu diambil?

Penyelesaian

Disini, E = 2 tahun, nilai Z untuk 95% adalah 1.94, ( tidak diketahui, oleh itu penganggaran menggunakan ( = (jeda) diperlukan. Oleh kerana jeda umur ialah 0 hingga 25, ( = (25) = 6.25. Menggunakan formula 8.8

Disebabkan kita tidak boleh mengambil 37.52 unit, sampel saiz yang diperlukan ialah 38. Jika kita mengambil sampel rawak 38 unit, kita mempunyai peluang untuk menganggarkan purata usia Boeing 727 yang aktif disekitar 2 tahun dan 95% keyakinan keputusan. Jika kita mahu disekitar 1 tahun untuk menganggar (E = 1), saiz sampel berubah menjadi

Perhatikan, memotong ralat dengan faktor meningkatkan keperluan saiz sampel dengan faktor 4. Ini disebabkan faktor kuasa dua di dalam Formula 8.8. Jika kita mahu untuk mengurangkan ralat sebanyak setengah dari apa yang kita gunakan sebelumnya, kita mesti sanggup meningkatkan kos sampel empat kali ganda, untuk paras selang keyakinan yang sama.

8.5.2 Menentukan Saiz Sampel apabila menganggar P

Menentukan saiz sampel memerlukan kita menganggar perkadaran populasi, P; juga perkara yang mustahil. Proses bermula dengan formula Z untuk perkadaran sampel.

dimana Q = 1 P

Oleh kerana berbagai-bagai sampel adalah diambil dari populasi, selalunya jarang sama dengan perkadaran populasi, P, menghasilkan ralat di dalam penganggaran. Oleh itu, perbezaan di antara dan P adalah ralat penganggaran, oleh itu -p.

Menyelesaikan untuk n menghasilkan saiz sampel.

Bagaimanakah boleh nilai n ditentukan terdahulu untuk kajian jika formula memerlukan nilai P dan kajian adalah dilakukan untuk menganggar P? Walaupun nilai sebenar P adalah tidak diketahui terlebih dahulu untuk kajian, kajian yang sama mungkin menjanakan penghampiran yang terbaik untuk P. Jika tidak ada nilai terdahulu untuk digunakan di dalam penganggaran P, nilai P yang mungkin, sebagaimana ditunjukkan di dalam Jadual 8.3 boleh dipertimbangkan.

Jadual 8.3

PQ bagi Berbagai-bagai Nilai P yang terpilih

PPQ

0.50.25

0.40.24

0.30.21

0.20.16

0.10.09

Perhatikan, oleh kerana PQ aadalah sebagai numerator formula saiz sampel, P = 0.50 akan dihasilkan di dalam saiz sampel yang terbesar. Selalunya jika P adalah tidak diketahui, penyelidik menggunakan 0.5 sebagai penganggaran P di dalam Formula 8.8. Pemilihan ini dihasilkan di dalam saiz sampel yang terbesar yang boleh ditentukan di dalam Formula 8.9 bagi nilai Z dan ralat penganggaran yang diberi.

Jika kita menggunakan konsep keluasan selang berbanding ralat dengan W = 2E dan oleh itu E = , formula untuk menentukan saiz sampel apabila menganggar perkadaran populasi menjadi

Contoh 8.8

Satu kajian telah dijalankan untuk menentukan sejauh manakah majikan menggalakkan kesihatan dan kesegaran dikalangan pekerjanya. Satu soalah telah ditanya, Adakah syarikat anda menawarkan kelas latihan ditempat kerja? Katakan telah dianggarkan sebelum kajian dijalankan tidak lebih 40% daripada syarikat menjawab YA. Berapa besarkah sampel yang pelu diambil di dalam menganggarkan perkadaran populasi untuk menentukan 98% keyakinan di dalam keputusan dan disekitar 0.03 perkadaran populasi sebenar?

Penyelesaian:

Nilai E bagi masalah ini ialah 0.03. Disebabkan penganggaran adalah tidak lebih daripada 40% daripada syarikat yang menjawab YA, P = 0.40 boleh digunakan. Selang keyakinan 98% menghasilkan nilai Z = 2.33. Memasukkan nilai ini kedalam formula 8.9 menghasilkan

Oleh itu kajian ini perlu mengambil sambel sebanyak 1448 syarikat supaya 98% keyakinan di dalam keputusan dan mengekalkan ralat 0.03.

Contoh 8.9

Satu keputusan kajian mendapati lebih kurang dua per tiga rakyat Malaysia mencuba satu keluaran baru di dalam tempoh 12 bulan yang lepas. Katakan satu organisasi industri keluaran mahu mengkaji rakyat Malaysia dan menyoal sama ada mereka memakan buah-buahan dan sayuran segar atau tidak di dalam tempoh satu tahun lepas. Organisasi tersebut mahu 90% keyakinan di dalam keputusannya dan mengekalkan ralat disekitar 0.05. Berapa besarkah sampel yang perlu diambil?

Penyelesaian:

Nilai E ialah 0.05. Disebabkan tiada angka penghampiran yang diberikan terhadap apakah perkadaran mereka yang mungkin menjawab YA terhadap soalan tersebut, kita akan menggunakan P = 0.50. Nilai Z bagi 90% keyakinan ialah (1.645. Menyelesaikan untuk n memberikan

Organisasi tersebut sepatutnya mengambil sampel sekurang-kurangnya 2271 pelanggan untuk mencapai 90% keyakinan dan mempunyai ralat disekitar 0.05.

Disebalik menetapkan ralat 0.05 keatas anggaran perkadaran, organisasi sepatutnya memerlukan selang penganggaran yang tidak melebehi 0.10. Dengan keluasan ini, penyelesaian masih lagi sama

Selang Keyakinan 100(1 - ()% untuk Menganggar (

EMBED Equation.3

atau

EMBED Equation.3 (8.1)

dimana

( = keluasan di bawah keluk normal diluar kawasan selang keyakinan

EMBED Equation.3 = keluasan di dalam satu ekor taburan diluar selang keyakinan

Selang Keyakinan untuk Menganggar (

Menggunakan Faktor Pembetulan Finit


Selang Keyakinan untuk Menganggar (

Apabila ( tidak diketahui dan n adalah Besar

EMBED Equation.3

atau


Selang Keyakinan unruk Menganggar (:

Sampel Kecil dan ( Tidak Diketahui

EMBED Equation.3

df = n - 1

Selang Keyakinan untuk Menganggar P

EMBED Equation.3

dimana

EMBED Equation.3 = perkadaran sampel

EMBED Equation.3 = 1 EMBED Equation.3

P = Perkadaran populasi

N = saiz sampel

Formula (2 untuk Varian Tunggal


df = n - 1

Selang Keyakinan untuk Menganggar

Varian Populasi


df = n - 1

Saiz Sampel Apabila Menganggar (


Saiz Sampel apabila Menganggar P


dimana:

P = perkadaran populasi

Q = 1 p

E = ralat penganggaran

N = saiz sampel

1 - (

keyakinan

0.50 - EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

-Z(/2 Z(/2

( = kawasan berlorek

(

95%

EMBED Equation.3 =0.025 Z=-1.96 Z=+1.96 EMBED Equation.3 =0.025

0.4750

EMBED Equation.3

(

EMBED Equation.3

95%

Keluk normal piawai

Keluk t (n=25)

Keluk t (n=10)

Dipecahkan

( = 10%

EMBED Equation.3 = 5%

EMBED Equation.3 = 5%

0.05

0.05

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0.95

8

Perhatian: Menggunakan statistik khi-kuasadua untuk menganggar varian populasi adalah amat sensitif terhadap pelanggaran andaian bahawa populasi adalah bertaburan normal. Disebabkan perkara ini, sesetengah penyelidik tidak memasukkan teknik ini dikalangan statistical repertoire. Walaupun teknik ini meluas diterangkan sebagai mekanisma untuk membentuk selang keyakinan untuk menganggar varian populasi, kita perlu berhati-hati di dalam menggunakan teknik ini hanya di dalam kes populasi adalah diketahui bertaburan normal. Kita boleh nyatakan teknik ini sebagai teknik yang kurang kukuh.

Nota: Penganggaran saiz sampel bagi populasi min dengan saiz sampel yang kecil dimana ( tidak diketahui menggunakan taburan t tidak ditunjukkan disini. Disebabkan saiz sampel mesti diketahui untuk menentukan nilai jadual t, dimana akan digunakan untuk menganggarkan saiz sampel, tatacara selalunya akan melibatkan proses lelaran.

3837

_1054928365.unknown

_1054989125.unknown

_1076169214.unknown

_1076170801.unknown

_1076171741.unknown

_1076172115.unknown

_1076172274.unknown

_1076172355.unknown

_1076172254.unknown

_1076171767.unknown

_1076170825.unknown

_1076171722.unknown

_1076170809.unknown

_1076169772.unknown

_1076170055.unknown

_1076169353.unknown

_1076169374.unknown

_1076169665.unknown

_1076169257.unknown

_1056195972.unknown

_1056195989.unknown

_1056180873.unknown

_1056018962.unknown

_1056026339.unknown

_1056028783.unknown

_1056029693.unknown

_1056027019.unknown

_1056027548.unknown

_1056027766.unknown

_1056026727.unknown

_1056019391.unknown

_1056026140.unknown

_1056019015.unknown

_1056019107.unknown

_1054989642.unknown

_1056016669.unknown

_1056018782.unknown

_1056018919.unknown

_1056016816.unknown

_1056017524.unknown

_1056016726.unknown

_1056016393.unknown

_1056016603.unknown

_1056015612.unknown

_1056016282.unknown

_1056015820.unknown

_1054989911.unknown

_1054989299.unknown

_1054989453.unknown

_1054970976.unknown

_1054977880.unknown

_1054988613.unknown

_1054988660.unknown

_1054987831.unknown

_1054971317.unknown

_1054977696.unknown

_1054971088.unknown

_1054971237.unknown

_1054960243.unknown

_1054960543.unknown

_1054962668.unknown

_1054970860.unknown

_1054962144.unknown

_1054962244.unknown

_1054962322.unknown

_1054961258.unknown

_1054960482.unknown

_1054960056.unknown

_1054927994.unknown

_1054928222.unknown

_1054928285.unknown

_1054928071.unknown

_1054928102.unknown

_1054916172.unknown

_1054925832.unknown

_1054926252.unknown

_1054927627.unknown

_1054927906.unknown

_1054925152.unknown

_1054916129.unknown

_1054915885.unknown

_1054916099.unknown

_1054916118.unknown

_1054915713.unknown

_1054915656.unknown

chapter 06

Documents