MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

3 Februari 2017

Bab Sebelumnya

8. Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

8.1 Bentuk Tak Tentu 0/0

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga

8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran TakTerbatas

2/12/2014 2(c) Hendra Gunawan

BAB 9. DERET TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.1 Barisan Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu barisandan, bila mungkin, menghitung limitnya

2/12/2014 4(c) Hendra Gunawan

9.1 BARISAN TAK TERHINGGAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Memeriksa kekonvergenan suatu barisandan, bila mungkin, menghitung limitnya

Mengapa Barisan Tak Terhingga

Masih ingatkah Metode Bagi Dua untuk men-dapatkan hampiran akar dari suatu persamaanf(x) = 0 pada suatu selang?

Pada setiap langkah, kita membagi dua selangdan menaksir akar persamaan itu dengan titiktengah selang tersebut.

Dengan metode ini, kita dapatkan barisan titik-titik tengah selang x1, x2, x3, … yang merupakanhampiran akar persamaan.

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Apa itu Barisan Tak Terhingga

Barisan tak terhingga, atau singkatnya barisan(dari bilangan real) adalah suatu fungsi dengandaerah asal N dan daerah nilai R, yang biasanyadisajikan sebagai {an} atau

a1, a2, a3, …

dengan an ϵ R untuk setiap n ϵ N.

Contoh 1: Barisan {2n – 1} adalah barisanbilangan ganjil 1, 3, 5, 7, … .2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Contoh Lagi

2. Barisan {(-1)n} adalah barisan bilangan -1, 1, -1, 1, -1, 1, …

Catatan: Barisan {(-1)n} tidak sama denganhimpunan {(-1)n : n ϵ N} = {-1, 1}.

3. Barisan {an} yang didefinisikan denganrumus rekursif: a1 = 1 dan

an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, …

adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, …

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8

“Grafik” Barisan (1)

Barisan dapat kita plot pada bidang koordinat

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9

1 2 3 4 5

x1

x2

x3

x4

x5

“Grafik” Barisan (2)

Barisan dapat kita plot pada garis bilangan real

Contoh: {1/n}

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10

x1 x2 x3 x4 x5

1/41/3 1/2 10

Kekonvergenan Barisan

Diberikan suatu barisan {an}, apa yang terjadibila n∞?

Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen kesuatu bilangan L, ditulis

apabila untuk tiap ε > 0 terdapat N ϵ N sehingga

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11

,lim Lann

. LaNn n

Catatan. Tidak semua barisan konvergen. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen.

Contoh:

1. Barisan1

𝑛konvergen ke 0, yakni

Untuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/εsehingga jika n ≥ N, maka

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12

0lim 1

nn

.0 111 Nnn

2. Barisan {(-1)n} merupakan barisan yang divergen, yakni: untuk tiap L ϵ R,

Sebagai contoh, untuk L = 1, ada ε = 1sehingga berapapun N ϵ N yang kita pilih, selalu ada bilangan ganjil n ≥ N sehingga

Ini menunjukkan bahwa

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13

.)1(lim Ln

n

.21)1( n

.1)1(lim

n

n

9.1b Beberapa Teorema Bantuanuntuk Memeriksa KekonvergenanBarisan dan Menghitung Limitnya

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14

Teorema Limit Barisan

Misalkan {an} dan {bn} barisan yang konvergen, dan k konstanta. Maka

1.

2.

3.

4.

5.2/12/2014 15(c) Hendra Gunawan

nn

nn

akka

limlim

nn

nn

nnn

baba

limlim)(lim

kkn

lim

nn

nn

nnn

baba

limlimlim

.0lim,limlim

lim

nn

b

a

b

a

nbasalkan

nn

nn

n

n

Teorema Limit Barisan

Jika maka

2/12/2014 16(c) Hendra Gunawan

.)(lim Lnfn

,)(lim Lxfx

1 2 3 4 5 6

L

Contoh:

1.

2.

3.

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17

.limlim21

0321

/1lim32lim

1lim

/321

32

nnn

nn

n nn

n

...lim13

243

2

nn

n

n

...lim

ne

n

n

Teorema Apit untuk Barisan

Jika an ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K ϵ N tertentu) dan

maka

2/12/2014 18(c) Hendra Gunawan

,limlim Lca nn

nn

.lim Lbnn

Contoh:

1.

dan

2. Jika

karena N.

2/12/2014 19(c) Hendra Gunawan

nnn

nnn

nkarena 1sin1sin ,0lim

.0lim 1

nn

,0lim,0lim

nn

nn

amakaa

naaa nnn

Barisan Monoton

Barisan {an} dikatakan naik apabila an ≤ an+1

untuk setiap n ϵ N.

Barisan {an} dikatakan turun apabila an ≥ an+1

untuk setiap n ϵ N.

Barisan naik atau turun disebut barisanmonoton.

Contoh: {1/n} turun, sedangkan {2n} naik.

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20

Latihan

Selidiki apakah barisan berikut monoton (naikatau turun) atau tidak.

1. {1 – 2-n}

2. {(-1)n}

3. {ln n}

4. {n∙ln n}

5. {(ln n)/n}

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Teorema Barisan Monoton

Jika barisan {an} naik dan terbatas di atas, yakniterdapat M ϵ R sehingga an ≤ M untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen.

Jika barisan {an} turun dan terbatas di bawah, yakni terdapat m ϵ R sehingga apabila m ≤ an

untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen.

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22

Contoh/Latihan

Barisan {an} yang didefinisikan dengan rumusrekursif: a1 = 1 dan

an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, …

adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … .

Dengan Prinsip Induksi Matematika*, dapatdibuktikan bahwa barisan ini naik dan terbatas diatas. Karena itu, menurut Teorema BarisanMonoton, barisan {an} konvergen.

Ke manakah barisan {an} konvergen?2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23

*Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan atau kalimatmatematika yang berkenaan dengan n ϵ N. [Sebagai contoh, P(n) adalah kalimat “n < 2n”.]

Jika:

(i) P(1) benar, dan

(ii) P(k) benar mengakibatkan P(k+1) benar,

maka:

P(n) benar untuk setiap n ϵ N.

2/12/2014 (c) Hendra Gunawan 24